Luận văn sư phạm Phân tích thống kê phân phối chuẩn

Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng L IC M N hoƠn thƠnh b n lu n v n t t nghi p nƠy, tr c h t em xin bƠy t lòng bi t n sơu s c đ n th y, giáo khoa Tốn tr ng i h c s ph m HƠ N i đƣ đ ng viên, giúp đ em su t th i gian hoƠn thƠnh khoá lu n c bi t, em xin bƠy t lòng bi t n sơu s c c a t i th y giáo Th.s Nguy n Trung D ng - ng i đƣ t o u ki n t t nh t vƠ ch b o t n tình giúp em hồn thành khóa lu n Em xin chơn thƠnh c m n HƠ N i, ngƠy 20 tháng 04 n m 2010 Sinh viên Nguy n Th Huy n Trang Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng L I CAM OAN tƠi c a em đ c hình thƠnh d i s h ng d n c a th y Th.s Nguy n Trung D ng s c g ng c a b n thơn Trong su t th i gian nghiên c u vƠ th c hi n khoá lu n nƠy em đƣ tham kh o m t s tƠi li u (đƣ nêu ph n tƠi li u tham kh o) Em xin cam đoan nh ng k t qu khoá lu n t t nghi p lƠ k t qu nghiên c u c a em, không trùng v i b t k tác gi nƠo khác N u sai em xin ch u hoƠn toƠn trách nhi m HƠ N i, ngƠy 20 tháng 04 n m 2010 Sinh viên Nguy n Th Huy n Trang Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng L I NĨI U Tốn ng d ng lƠ m t ngƠnh tốn h c có ý ngh a r t to l n vƠ chi m m t v trí quan tr ng Nó lƠ c u n i đ đ a nh ng k t qu đ c nghiên c u lý thuy t c a gi i tích , đ i s , hình h c vƠo ngƠnh khoa h c khác vƠ th c t cu c s ng Lý thuy t xác su t lƠ b mơn có tính ng d ng r t r ng rƣi ngành khoa h c t nhiên, khoa h c xƣ h i vƠ th c t cu c s ng Nó lƠ cơng c đ gi i quy t v n đ chuyên môn c a nhi u l nh v c nh kinh t , sinh h c , tâm lý – xƣ h i Do b mơn nƠy đ tr c đ a vƠo gi ng d y h u h t ng đ i h c vƠ cao đ ng Trong đó, phân ph i chu n đóng vai trị quan tr ng lý thuy t xác su t, đ ng th i chi m v trí trung tơm k t lu n th ng kê ng d ng Trong th c t nhi u bi n ng u nhiên , nhi u quy lu t tuơn theo lu t chu n ho c g n chu n NgoƠi ra, phơn ph i chu n c ng đ hi n t ng đ a ch t nh hƠm l ng n c ng d ng đ mô t nhi u c đá tr m tích, hƠm l m t s ngun t hố h cầvƠ đ c bi t, phơn ph i chu n cịn đ bƠi tốn đ cl ng c a c ng d ng ng vƠ bƠi toán ki m đ nh gi thi t, lƠ c s đ a c nh ng k t lu n th ng kê có giá tr V i mong mu n lƠm rõ h n ý ngh a c a th ng kê đ i s ng thông qua m t s ng d ng c b n nh t c a phơn ph i chu n Em đƣ ch n đ tƠi “Phơn tích th ng kê phơn ph i chu n” lƠm đ tƠi khoá lu n c a N i dung c a khố lu n bao g m Ch ng 1: C s Ch ng 2: Phơn tích th ng kê đ i v i phơn ph i chu n V i khoá lu n t t nghi p trên, em mong r ng s lƠ tƠi li u b ích cho nh ng quan tơm t i v n đ nƠy Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng M CL C L I C M N L I CAM OAN L I NÓI U CH NG 1: C S 1.1 Phơn ph i chu n 1.2 M u vƠ phơn ph i m u c a chu n 14 1.3 c l ng m 14 1.3.1 M t s đ nh ngh a 14 1.3.2 Các ph ng pháp tìm c l ng m 16 1.4 c l ng kho ng 18 1.4.1 M t s đ nh ngh a 18 1.4.2 Ph ng pháp P-Q-M tìm c l ng kho ng 19 CH NG PHÂN TÍCH TH NG KÊ V I PHÂN PH I CHU N 20 2.1 c l ng tham s 20 2.2 Kho ng tin c y c a tham s 22 2.3 Ki m đ nh gi thuy t tham s 28 2.3.1 Ki m đ nh gi thuy t v giá tr trung bình 28 2.3.2 Ki m đ nh gi thuy t v hai k v ng toán c a hai bi n ng u nhiên phân ph i chu n 32 2.3.3 Ki m đ nh gi thuy t v ph ng sai 36 2.3.4 Ki m đ nh gi thuy t v s b ng c a hai ph ng sai 37 2.3.5 Ki m đ nh k ph ng sai c a k bi n ng u nhiên phơn ph i chu n38 2.3.6 Ki m đ nh gi thuy t v quy lu t phân ph i xác su t 38 2.4 M t s bƠi toán 39 2.4.1 BƠi toán v c l ng tham s 39 2.4.2 BƠi toán v kho ng tin c y c a tham s 42 2.4.3 BƠi toán v ki m đ nh tham s 46 K T LU N 54 TẨI LI U THAM KH O 55 Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán Phân tích th ng kê phân ph i Chu n CH Th s Nguy n Trung Dũng NG C S 1.1 Phơn ph i chu n nh ngh a 1.1 Bi n ng u nhiên X đ c g i có phân ph i chu n n u hàm m t đ xác su t c a X có d ng f X  x   x   2 e 2 2 , - ∞ <  < +∞ , <  < +∞,   x   Kí hi u X ~ N(  ,  ) Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X ~ N(  ,  ) có d ng FX  x   P  X  x   x   Tr  t    2 e 2 2 ng h p đ c bi t N u µ = Ư = X đ dt , x  ฀ c g i có phân ph i chu n t c, kí hi u X ~ N ( 0,1) e Chú ý N u X ~ N ( 0,1 ) fX  x  2  x2 x ,   x    e FX  x  2  t 2 ,x  ฀ dt nh lý 1.1 Bi n ng u nhiên X ~ N (  ,  )  Z  X  ฀ N( 0,1 ) Ch ng minh  Gi s X ~ N (  ,  ) Ta c n ch ng minh Z  Th t v y, X ~ N (  ,  ) nên fX  x  Xét bi n đ i Z  X  2 X   x   e ,  Ta có X   Z   , Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán 2 ฀ N( 0,1 ) dX   liên t c nên Z có dZ Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng phơn ph i liên t c t đ i Nh v y T c lƠ Z  fZ  z   X   Gi s Z     Z    2 e 2  2 dX  z2 e  dZ 2 ฀ N( 0,1 ) X  ฀ N( 0,1 ) Ta c n ch ng minh X ~ N (  ,  ),   Ta có X   Z   ,  có phép bi n đ i ng c z X   dz ,  liên t c  dx  Do X có phơn ph i liên t c t đ i có  dz  21( x )2 1  fX ( x )  fZ  z( x ) e  e  dx 2 2  x  2 2 T c lƠ X ~ N (  ,  ) nh lý 1.2 Gi s X ~ N ( 0,1 ) Khi ta có E( X 2n1 )  0; E( X 2n )  ( 2n )! , n  n ( n!) nh lý 1.3 Cho X ~ N (  , ) Khi ta có EX   ; DX   HƠm sinh mômen c a X lƠ M X  t   e t   2t 2 Ch ng minh EX   Th t v y theo đ nh ngh a kì v ng toán c a bi n ng u nhiên liên t c, ta có  EX   xf ( x )dx   2  Ta th c hi n phép bi n đ i bi n s z    xe  ( x  )2 2 dx  x   Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán Khi x   z   Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng dx   dz Khi đ i bi n c n l y tích phơn khơng thay đ i Ta có  EX  2  2 Ta có 2    ze  z2  (  z   )e  z2 dz     ze   z2 dz  2 dz  hƠm d   e  z2 dz  i d u tích phơn lƠ hƠm l mƠ c n l y   tích phơn l i đ i x ng qua g c t a đ VƠ tích phơn  e  z2 dz  2 ( tích  phân Poisson ) Do đó: EX    DX   Th t v y theo đ nh ngh a ph ng sai c a bi n ng u nhiên liên t c, ta có DX   2   ( x  ) e  ( x  )2 2 dx  Ta th c hi n phép bi n đ i bi n s : z  x   Khi x     z dx   dz Ta có  (    z )2  z2 EX   e  dz    2 2  2  Z2 2 dz  2   z     e  z e dz  2  ze dz    Z2 Z2       2     e dz   z.e 2          Z2  2   0   e dZ       2     Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán  z2 2 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng Nh v y DX         Ta có M X  t   EetX    2     2  e  t  e etxe   x  2 2  dx       2t [ x  2t   ]2 t   2 2 e 2 dx  e t  etxe  t 2 2  2t    e  x2 2 2 e  e t 2 2 x e e  2 2 dx  [ x  2t  ]2 2 dx  2t 2 nh lý 1.4 Cho X ~ N (  , ) Khi ta có a  P  X  a      ,a  ฀    b a  b  a  P  a  X  b   P  Z                  đơy x   x   e 2  t 2 dt,x  ฀ Ch ng minh Do X ~ N (  , )  Z  X  ฀ N( 0,1 ) Nên ta có P( X  a )  P(  Z    a )  P(  Z  a   ) a  P( Z  ) ( Do X ~ N (  , )  Z  a   X  ) ฀ N( 0,1 ) Ta có P( a  X  b )  P( a   Z    b ) Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng  P( a     Z  b   ) a  b  P( Z )  ( b   )  ( a   ) Tính ch t 1.1 (  x )   ( x ) nh lý 1.5 Cho Xi ฀ N( i , i2 ) , i  1,n lƠ bi n ng u nhiên đ c l p Khi n n n i 1 i 1 i 1 X   Xi có phơn ph i chu n v i  X   i  X2   i2 1.2 M u vƠ phơn ph i m u c a chu n nh ngh a 1.2 ( M u ng u nhiên ) Cho bi n ng u nhiên X Ti n hành n quan sát đ c l p v X G i Xi quan sát th đ i,i  1,n Khi X1,X2,…,Xn c g i m u ng u nhiên c n quan sát v bi n ng u nhiên X Chú ý Cho (X1,X2,…,Xn ) m u ng u nhiên quan sát v bi n ng u nhiên X Khi ta có  X1,X2,…,Xn bi n ng u nhiên đ c l p  X1,X2,…,Xn bi n ng u nhiên có phân ph i xác su t v i bi n ng u nhiên X Gi s xi giá tr c th l n quan sát th i Khi (x1, ,xn ) đ c g i m u s li u c th mà m u ng u nhiên (X1,X2,…,Xn ) nh n nh lý 1.6 Gi s Xi ฀ N( i , i2 ) , i  1,n Khi n n a X i 1 i i có phơn ph i n chu n v i  X   a i i    a i2 i2 i 1 X i 1 nh ngh a 1.3 (Phơn ph i  ) phân ph i theo quy lu t bình ph su t c a đ il ng ng u nhiên liên t c X đ c g i ng v i k b c t n u hàm m t đ xác c xác đ nh b ng bi u th c Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng x n 1  2 e x  n  fX ( x )   2  ( n )  0 Kí hi u  ~  (k)  ( x )   t ,x > ,x  x1  t e dt hàm Gamma N u k m t s nguyên  ( k  1)  k ! N u  ~  (k ) Khi ta có EX = k DX = 2k nh lý 1.7 N u X ~ N (0,1) X ~ (21 )  X N u X ~ N (  , )   ~ ( k )    2 nh lý 1.8 N u Zi có phơn ph i chu n t c Zi ~ N (0,1), i  1,k bi n ng u nhiên đ c l p Khi k U   Zi2 ~ 2k  i 1  H qu Gi s Xi ~ N (  , ) , i  1,k vƠ lƠ bi n ng u nhiên đ c l p Khi k  i 1 ( Xi  i )2  ~ (2k )  X X ~ N(  , )  Z    ~ N( 0,1)    nh ngh a 1.4 (Phơn ph i T-student) Bi n ng u nhiên liên t c X g i 2 phân ph i theo quy lu t Student v i n b c t n u hàm m t đ xác su t c a xác đ nh b ng bi u th c sau fX ( t )  n ( )  t2    n   n1   ( n  )  ( ) Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán  n , t  ฀ , 10 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng 57  0,57  X  1100  0,57.20  1111,4 100 383 su2   ( 0,57 )2  3,5051  s X2  ( 20 )2 3,5051  1402,04 100 u Ta có ( 1150.10  1160.15  1170.20  1180.30  1190.15  1200.10 )  1175,5 100 sY2  204,75 V y c l ng m cho EX X  1111,4 ( gi ) c l ng m cho EY Y  1175,5 ( gi ) Y cl ng m cho DX sX2  1402,4 cl ng m cho DY sY2  204,75 Ví d xác đ nh đ xác c a m t chi c t khơng có sai s h th ng , ng i ta ti n hƠnh l n đ c l p (cùng m t v t) K t qu nh sau 94,1 94,8 96 95.4 95.2 (kg) Xác đ nh c l ng không ch ch c a ph ng sai s tr ng h p a Bi t kh i l ng v t lƠ 95 b Không bi t kh i l ng v t Gi i a Khi đƣ bi t tr trung bình lý thuy t X  0,95 c l ng khơng ch ch c a ph ng sai đ c tính theo cơng th c n ( xi  95 )  0,41 ( xi  X )   n i 1 i 1 b N u không bi t kh i l ng v t cơn, ta ph i c l ng theo công th c n X   xi   xi 95,5 n i 1 i 1 V y c l ng không ch ch c a ph ng sai lƠ s2  n   ( x X ) ( xi  95,5 )2  0,7   i n  i 1 i 1 Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán 41 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng 2.4.2 BƠi toán v kho ng tin c y c a tham s Ví d Tr ng l ng c a m t lo i s n ph m lƠ bi n ng u nhiên phơn ph i theo quy lu t chu n v i đ l ch chu n lƠ gam Cơn th 25 s n ph m lo i nƠy ta thu đ c k t qu sau Tr ng l ng(gam) 18 19 20 21 S s n ph m t ng ng 15 V i đ tin c y 95% hƣy tìm kho ng tin c y đ i x ng c a tr ng l ng trung bình c a lo i s n ph m nói Gi i G i X lƠ tr ng l ng s n ph m Theo gi thi t X phơn ph i chu n v i   V y tr ng l ng trung bình c a s n ph m lƠ tham s  ơy lƠ bƠi toán c l ng b ng kho ng tin c y đ i x ng giá tr c a tham s  c a phơn ph i N( µ, Ư) đƣ bi t ph ng sai c a Nên áp d ng cơng th c ta có kho ng tin c y          X  u( )  X  u( )  n n   L y t t ng th m u ng u nhiên kích th c n= 25 , g i Xi lƠ tr ng l s n ph m th i (i = 1, ,25 ) ta có 25 X   Xi 25 i 1  V i đ tin c y 1-   0,95  0,025 Tra b ng giá tr t i h n chu n ta có u 0,025 = 1,96 V y kho ng tin c y đ i x ng c a  ng 1   1, 96 , X  1, 96    X  0, 392; X  0, 392  X 25 25   K t qu thu đ c cho bi t 95% s m u kích th c n= 25 s ch a đ ng tham s  kho ng  X  0, 392; X  0, 392  T b ng s li u tìm đ c trung bình m u c th Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn 42 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng 3.18  5.19  15.20  2.21  19, 64 25 V y v i đ tin c y 95% kho ng đ i x ng c a  là: X 19,64  0, 392;19, 64  0, 392  (19,248 <  < 20,032) Hay Ví d xác đ nh tr ng l ng trung bình c a bao b t có kho, ng đem ng u nhiên 15 bao c a kho vƠ tìm đ Hƣy tìm kho ng tin c y đ i x ng c a tr ng l kho v i yêu c u đ tin c y c a vi c Gi thi t tr ng l cl i ta c X  39, 8kg ; s  0, 144 ng trung bình bao b t ng lƠ 99% ng đóng bao c a bao b t lƠ bi n ng u nhiên phơn ph i chu n Gi i G i X lƠ tr ng l ng đóng bao trung bình lƠ giá tr  V y tr ng l l ng b t đóng bao, theo gi thi t X phơn ph i chu n ơy lƠ bƠi toán c ng b ng kho ng tin c y đ i x ng giá tr c a tham s  c a phơn ph i N( µ, Ư) ch a bi t  c a X V y ta có kho ng tin c y lƠ  sˆ  sˆ   ; X  tn1 ( )  X  tn1 ( )  n n   Cơn ng u nhiên 15 bao b t, g i Xi( i= 1, ,15 ) lƠ tr ng l V i đ tin c y 1-  = 0,99 ng c a bao th i  = 0,005 tra b ng phơn ph i Student ta có t014,005  2, 977 V y v i đ tin c y 0,99 kho ng tin c y đ i x ng c a  sˆ sˆ   ; X  2, 977  X  2, 977  15 15   Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn 43 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng V i m u c th ta tính đ c X  39, 8kg; s  0, 144  s = 0,397 V y v i đ tin c y 0,99 qua m u c th nƠy, kho ng tin c y đ i x ng  0, 397 0, 397   39 , , 977 ; X , 977     15 15   (39,5023 <  < 40,0977) Hay Ví d tham kh o đ xác c a m t d ng c đo đ dƠi ng m t m c tiêu 30 l n b ng d ng c Hƣy tìm cl y K t qu nhơn đ i ta đo c sˆ =0,05 ng kho ng c a đ xác c a d ng c đo v i đ tin c y 95% Gi i Ta có sai s bi n ng u nhiên X tuơn theo lu t chu n N( 0, Ư) ơy lƠ bƠi toán cl ng ph ng sai c a bi n ng u nhiên phân ph i theo quy lu t chu n ch a bi t k v ng tốn µ Vì v y đ cl ng cho đ xác c a d ng c đo ta có kho ng tin c y    (n  1) sˆ2 (n  1) sˆ2  ,       n 1 ( )  n21 (1  )   2  Ta có  292 (0, 975)  16 ;  292 (0, 025)  45, V y kho ng tin c y lƠ (0,032 ; 0,09) Ví d M c hao phí nguyên li u cho m t đ n v s n xu t lƠ bi n ng u nhiên phơn ph i chu n v i trung bình lƠ 20 gam cl ng m c đ phơn tán c a m c hao phí nƠy ng ph m vƠ thu đ i ta th s n c k t qu sau Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn 44 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng Hao phí nguyên li u ( gam ) S s n ph m t 19,5 20,0 20,5 18 ng ng V i đ tin c y 1-  = 0,9 hƣy ng Ư v i cl Gi i  = 0,05 G i X lƠ m c hao phí nguyên li u cho m t đ n v s n ph m, X phơn ph i chu n v i k v ng toán đƣ bi t   20 ơy lƠ bƠi toán cl ng ph ng sai c a phơn ph i N( µ, Ư) đƣ bi t µ V y ta có cơng th c tìm kho ng tin c y c a Ư ns   ( ) n   ns 2   (1  ) n Ta có   252 ( )   252 (0, 05)  37 , 65   252 (1  )   252 (0, 95)  14, 61 tìm s ta l p b ng 2 xi ni ( xi- µ ) ( xi- µ )2 ni( xi- µ )2 19,5 20,0 20,5 18 -0,5 0,0 0,5 0,25 0,00 0,25 1,25 0,00 0,50 n = 25 Ta có s2   = 1,75 n 1,75  0, 07 ni ( xi   ) =  n i 1 25 V y v i đ tin c y 0,09 qua m u c th nƠy, kho ng tin c y c a ² lƠ  25.0,07 25.0,07  ;   hay 0,0464    0,1198   37,65 14,61  Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn 45 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng Ví d Giá c phi u c a hai công ty A B bi n ng u nhiên phân ph i chu n Theo dõi giá c phi u c a hai cơng ty 10 ngƠy tìm đ ph ng sai m u t s c a hai ph ng ng 0,51 0,2.V i đ tin c y 0,9 hƣy cl c ng t ng sai cu giá c phi u hai cơng ty Gi i G i X Y lƠ giá c phi u c a hai công ty A B Theo gi thi t X Y phơn ph i chu n V y ph Ta có kho ng tin c y c a t s hai ph ng sai lƠ  X2  Y2 ng sai nh sau  s2   s2   P  X2 f( m1,n1) (1  )  X2  X2 f( m1,n1) ( )      Y sY   sY T hai m u c th ta có n1 = 10  X2 = 0,51 n2 = 10  Y2  0,2 Và v i 1-  = 0,9 f( 9;9 )( 0,05 )  31,8 f( 9;9 )( 0,95 )  1   0,31 f( 9;9 )( 0,05 ) 3,18 T 0, 51  0, 51 0, 31  X2  3,  Y 0, 0,  X2  0,79   8, 11 Y 2.4.3 BƠi toán v ki m đ nh tham s Ví d Trong n m tr c tr ng l ng trung bình tr m t tr i ch n ni lƠ 380 kg N m ng nuôi v i hi v ng bò s t ng tr ng l th ng c xu t chu ng c a bò i ta áp d ng th m t ch đ ch n ng nhanh h n Sau th i gian áp d ng i ta l y ng u nhiên 50 bò tr Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán c xu t chu ng đem vƠ tính 46 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n đ c tr ng l Th s Nguy n Trung Dũng ng trung bình c a chúng 390 kg V y v i m c ý ngh a  =0,01 có th cho r ng tr ng l tr ng trung bình c a bị c xu t chu ng có t ng lên hay không? Gi thi t tr ng l ng c a bò lƠ bi n ng u nhiên phơn ph i chu n v i đ l ch chu n lƠ 35,2 kg Gi i G i X tr ng l ng c a bò tr c xu t chu ng Theo gi thi t X phân ph i chu n v i  = 35,2 V y tr ng l ng xu t chu ng trung bình  ơy lƠ bƠi tốn ki m đ nh giá tr c a tham s ph i chu n đƣ bi t ph  c a bi n ng u nhiên phân ng sai c a t ng th Ta có c p gi thuy t th ng kê có d ng H :   380 ; K :   380 Tiêu chu n ki m đ nh U X  380 50 35, Trong X trung bình m u ng u nhiên kích th c n = 50 V i  =0,01 ta có u(  ) = u 0,01 = 2,33 T m u c th ta có X = 390 V y giá tr quan sát c a tiêu chu n ki m đ nh U Ta th y 390  380 50  2, 01 35, U = 2,01 < u 0,01 = 2,33 Nh v y v i m c ý ngh a  =0,01 , qua m u c th đƣ cho ta ch a có c s đ bác b H K t qu c ng cho th y trung bình m u thu đ c qua m u c th đƣ cho không khác bi t m t cách có ý ngh a so v i trung bình t ng th Ví d Tr ng l ng đóng bao c a bao g o kho lƠ bi n ng u nhiên phơn Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn 47 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n ph i chu n v i tr ng l ng trung bình theo quy đ nh lƠ 50 kg Nghi ng bao g o b đóng thi u, ng đ Th s Nguy n Trung Dũng i ta đem ng u nhiên 25 bao thu c s li u sau Tr ng l ng bao ( kg ) 48,0 - 48,5 48,5 - 49,0 49,0 – 49,5 49,5 – 50,0 50,0 – 50,5 S bao t ng ng 10 n = 25 V i ý ngh a  = 0,01 hƣy k t lu n v u nghi ng nói Gi i G i X lƠ tr ng l ng đóng bao Theo gi thi t X phơn ph i chu n ng đóng bao trung bình lƠ tham s  ơy lƠ bƠi V y tr ng l tốn ki m đ nh gi thuy t v tham s  c a phơn ph i chu n N(  , ) ch a bi t  C p gi thuy t th ng kê H :   50 ; K :   50 -tn-1(  )= -t24 ( 0,01) = - 2,402 Xét T m u c th ta l p b ng tính X,s xi ni nixi 48,25 48,75 49,25 49,75 50,25 10 n = 25 96,5 243,75 492,5 298,5 100,5 ni xi2 4656,125 11882,8125 24255,625 14850,375 5050,125   1231, 75   60695, 062 T X 1231,75  49,27 25 Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn 48 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n s= Th s Nguy n Trung Dũng 25  60695, 062 25   49, 27   0, 27  0, 53  24  25 24  V y giá tr quan sát c a tiêu chu n ki m đ nh t (49, 27  50 ) 25  6 , 887 0, 53 Ta th y t < - t24 (0,01) nên ta bác b H vƠ ch p nh n K, t c qua m u c th nƠy th a nh n bao g o b đóng thi u v i m c ý ngh a 0,01 Ví d 10 M t nghiên c u đ m t ph c th c hi n v i 20 ng i ph ng vƠ 19 ng i ng khác thành ph đ xem thu nh p trung bình hƠng n m ( tính b ng tri u đ ng ) c a dơn c hai ph không Các s li u m u thu đ ng có th c s khác hay c nh sau: n1 = 20 n2 = 19 X  18, 27 Y  16 ,78 SX2  8,74 SY2  6,58 V y v i m c ý ngh a 0,05 có th cho r ng thu nh p trung bình c a dơn c hai ph ng khác hay khơng? Gi thi t thu nh p hƠng n m c a dơn c hai ph ph ng phân ph i chu n v i ng sai nh Gi i G i X Y t ng ng thu nh p hƠng n m c a dơn c hai ph Theo gi thi t X Y phân ph i chu n v i ph ng ng sai  X2   Y2 Do đ ki m đ nh c p gi thuy t H :  X  Y ; K :  X  Y Ta s d ng công th c ki m đ nh Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán 49 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng    X Y   ; T  tn  m2 ( )  S  T   1   SP   n m  V i  = 0,05  tn m2 ( )  t37 (0, 025)  2, 021 T m u c th ta tính đ SP  c 19.8,74  18.6 , 58  2,773 20  19  Do T 18, 27  16 ,78  1, 677 1 2,773  20 19 Ta th y T = 1,677 < t37 (0,025) = 2,021 Do v i m c ý ngh a 0,05 qua hai m u c th đƣ cho ch a có c s đ bác b H t c lƠ có th xem trung bình hƠng n m c a dơn c hai ph ng lƠ nh Ví d 11 Ng i ta tr s sinh hai khu v c thƠnh th vƠ nông thôn, thu đ ck t qu sau Khu v c S tr đ c Tr ng l ng trung bình Ph ng sai Nông thôn n = 2500 X  3, sX2  200 ThƠnh th m = 500 Y  3,1 sY2  V i m c ý ngh a 0,01 có th coi tr ng l khu v c lƠ b ng đ ng trung bình c a tr s sinh hai c không? Gi i G i tr ng l ng tr s sinh nông thôn vƠ thƠnh th t Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán ng ng lƠ X Y 50 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n V y tr ng l Th s Nguy n Trung Dũng ng tr s sinh trung bình lƠ  X Y ơy lƠ bƠi toán ki m đ nh c p gi thuy t H :  X  Y ; K :  X  Y Khi ch a bi t ph ng sai  X2  Y2 Do n > 30 m > 30 nên ta có cơng th c tiêu chu n ki m đ nh có d ng X Y T sX2 sY2  2500 500  Do   0, 01   0, 05  u0 ,005  2, 576 Qua m u c th tính đ c 3,  3, U  0, 33 200  2500 500 Ta th y U = -0,33 < u 0,005 = 2,576 nên ch a có c s đ bác b H Nh v y có th coi tr ng l ng tr s sinh nơng thơn vƠ thƠnh th lƠ nh Ví d 12 Có hai gi ng lúa có n ng su t lúa trung bình x p x nh song m c đ phơn tán v n ng su t có th khác ki m tra u ng i ta g t m u t i hai vùng tr ng hai gi ng lúa vƠ thu đ c k t qu sau Gi ng lúa S m g t Ph ng sai A B n1 = 41 n = 30 sˆ12  11, 41 sˆ22  6,52 V i m c ý ngh a  = 0,05 k t lu n v v n đ trên, bi t n ng su t lúa bi n ng u nhiên phân ph i chu n Gi i G i X Y lƠ n ng su t c a hai gi ng lúa A B X Y phân ph i chu n 2 2 ơy toán ki m đ nh c p g thuy t H: 1   v i K: 1   Ta có tiêu chu n ki m đ nh có d ng sˆ12 F  sˆ2 Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn 51 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng Do   0, 05 nên F40 ,29 (  ) =F40 ,29 ( 0,025 )  2,03 F40 ,29 (   ) F29 ,40 (   )  0,52 1,94 V i m u c th ta có 11, 41 F  1,75 , 52 Ta th y F = 1,75 < F40 ,29 ( 0,025 )  2,03 nên ch a có c s bác b H hay đ phơn tán c a n ng su t hai gi ng lúa lƠ nh Ví d 13 G t ng u nhiên 200 th a ru ngc a m t vùng thu đ c s li u sau N ng su t ( T / ) S th a ru ng t 4–6 6–8 – 10 10 – 12 12 – 14 14 – 16 16 – 18 18 – 20 20 – 22 ng ng 15 26 25 30 26 21 24 20 13 n = 200 V i m c ý ngh a  = 0,05 có th coi n ng su t c a vùng có phơn ph i theo quy lu t chu n đ c không? Gi i C p gi thuy t th ng kê H: N ng su t lúa X phân ph i chu n K: N ng su t lúa X không phân ph i chu n Qua m u c th trên, cl ng h p lý t i đa c a  X  12, 65 , c a  Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn 52 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng s x2i = 22,04 s xi = 4,695 tính xác su t  x    xi 1    pi  P  xi 1  X  xi     i     (i = 1,k )        xi  x   xi 1  x      p     i Hay  sx   sx2  i i     V i kho ng th nh t (x – x1) ta thay b ng  ,x1  vƠ kho ng cu i (xk - – x k ) thay b ng ( xk 1 ; ) đ h p c a t t c kho ng t o thƠnh toƠn b tr c s L p b ng tính tốn sau x i -1 - xi Ui -1 = Ui = xi 1  x s xi xi  x sxi    6–8 – 10 10 – 12 12 – 14 14 – 16 16 – 18 18 – 20 20   -1,41 -0,99 -0,156 -0,13 0,29 0,72 1,14 1,57 -1,41 -0,99 -0,156 -0,13 0,29 0,72 1,14 1,57  (U i 1 )  (U i ) pi =  (U i ) - ni'  npi (U i 1 ) -0,5 -0,4207 -0,3389 -0,2123 -0,0517 0,1141 0,2642 0,3729 0,4418 -0,4207 -0,3389 -0,2123 -0,0517 0,1141 0,2642 0,3729 0,4418 0,5 0,0793 0,0818 0,1266 0,1606 0,1658 0,1501 0,0917 0,0689 0,0582 15,86 16,36 25,32 32,12 33,16 30,02 21,74 13,78 11,6   1, 00   200 Giá tr quan sát k G  2   i 1 (ni  ni' ) = 13,32 ni' Do  = 0,05  k2r 1 ( )  62 (0, 05)  12, Ta th y  = 13,32 > 6 (0,05)  12,6 Ta bác b gi thuy t H ch p nh n K, t c lƠ th a nh n X không tuân theo quy lu t phơn ph i chu n Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn 53 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng K T LU N Phơn ph i chu n có vai trị vƠ v trí đ c bi t quan tr ng lý thuy t xác su t ng th i c ng chi m v trí trung tơm vƠ lƠ c s k t lu n th ng kê ng d ng V i ph m vi m t khoá lu n t t nghi p, đ tƠi “ Phân tích th ng kê phơn ph i chu n ” m i ch d ng l i vi c t ng h p ki n th c liên quan t i phơn ph i chu n c a bi n ng u nhiên, đ ng th i đ a nh ng ng d ng c b n nh t c a phơn ph i chu n m t s bƠi toán th ng kê Hi v ng r ng, k t qu c a khoá lu n t t nghi p nƠy s lƠ m t tƠi li u tham kh o h u ích cho nh ng mu n tìm hi u ng d ng c a phơn ph i chu n nói riêng c ng nh b mơn xác su t th ng kê nói chung khoa h c vƠ đ i s ng Do cịn kinh nghi m nghiên c u khoa h c vƠ th i gian nghiên h n ch nên khố lu n t t nghi p khơng tránh kh i nh ng thi u sót R t mong nh n đ c s góp ý chơn thƠnh t th y cô giáo vƠ b n Cu i cùng, em xin chơn thƠnh c m n th y giáo khoa Tốn, tr ng i h c S ph m HƠ N i đƣ t o u ki n giúp đ em su t th i gian hoƠn thƠnh khoá lu n c bi t, em xin bƠy t lòng bi t n sơu s c t i s quan tơm, giúp đ t n tình vƠ nh ng nh n xét, góp ý quý báu c a th y giáo Nguy n Trung D ng ậ Gi ng viên t Toán ng d ng, tr ng ih cS ph m HƠ N i su t th i gian hoƠn thƠnh khoá lu n t t nghi p nƠy Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn 54 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng TẨI LI U THAM KH O [1] Ơo H u H ( 2004 ), “H ng d n gi i toán Xác su t th ng kê ”, Nxb HQG HƠ N i [2] Ơo H u H ( 2007 ) , “Xác su t th ng kê ” , Nxb HQG HƠ N i [3] ng Hùng Th ng ( 2008), “ Th ng kê ng d ng ”, Nxb Giáo d c [4] Nguy n Cao V n ( 2008), Lý thuy t xác su t th ng kê toán , Nxb i h c Kinh t qu c dơn [5] Nguy n Duy Ti n , V Vi t Yên ( 2003 ), “Lý thuy t xác su t ”, Nxb Giáo d c Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán 55 ... cho     ,  Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn 19 Phân tích th ng kê phân ph i Chu n CH Th s Nguy n Trung Dũng NG PHÂN TệCH TH NG KÊ V I PHÂN PH I CHU N cl 2.1 ng tham s Tính ch t 2.1 Cho X1,X2,…,Xn... Phơn tích th ng kê đ i v i phơn ph i chu n V i khoá lu n t t nghi p trên, em mong r ng s lƠ tƠi li u b ích cho nh ng quan tơm t i v n đ nƠy Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNToán Phân tích th ng kê phân. .. Nguy n Th Huy n Trang - K32 CNTốn Khi x   z   Phân tích th ng kê phân ph i Chu n Th s Nguy n Trung Dũng dx   dz Khi đ i bi n c n l y tích phơn khơng thay đ i Ta có  EX  2  2 Ta có