Phân tích thống kê quá trình điểm Poisson

trường đại học sư phạm hà nội khoa toán o0o NGUYỄN THỊ THU HÀ PHÂN TÍCH THỐNG KÊ QUÁ TRÌNH ĐIỂM POISSON khố luận tốt nghiệp đại học Chun ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học Nguyễn Trung Dũng Hà Nội – 2008 Mục lục Trang Mở đầu……………………………………………………………… -1- Bảng kí hiệu………………………………………………………… Chương 1: Quá trình điểm Poisson……………………………… 1.1 Các định nghĩa…………………………………………… 1.2 Một số tính chất q trình điểm Poisson…… 11 1.3 Mômen độ đo mômen trình điểm Poisson…… 15 1.4 Phân phối khoảng cách lân cận gần trình điểm Poisson………………………………………………………… 18 1.5 Phân phối khoảng cách biến cố………………… 20 1.6 Phân phối khoảng cách từ điểm tới biến cố gần nhất…… 20 Chương 2: Phân tích thống kê trình điểm Poisson………… 21 2.1 ước lượng cường độ……………………………………… 21 2.2 Kiểm định giả thuyết…………………………………… 23 2.2.1 Kiểm định giả thuyết tính dừng q trình điểm Poisson……………………………………………………………… 23 2.2.2 Kiểm định giả thuyết trình Poisson…………… 24 Kết luận…………………………………………………………… 34 -2- Tài liệu tham khảo……………………………………………… 35 -3- mở đầu Xác suất thống kê phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Nói cách khác tượng ngẫu nhiên tượng khơng thể nói trước xảy hay khơng xảy thực lần quan sát Tuy nhiên thực quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên hồn cảnh nhiều trường hợp ta rút kết luận khoa học tượng Trong thời đại khoa học kĩ thuật ngày nay, Xác suất thống kê lĩnh vực tốn học có sở lý thuyết chặt chẽ có nhiều ứng dụng lĩnh vực hoạt động khác người từ âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thống kê xã hội, từ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết tới kinh tế, từ nông học tới y học Với mong muốn tìm hiểu sâu mơn tốn ứng dụng, hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Trung Dũng, em chọn đề tài: “Phân tích thống kê q trình điểm Poisson” Nội dung khoá luận gồm chương: Chương 1: Quá trình điểm Poisson Trong chương này, trình bày khái niệm kết trình điểm Poisson mômen độ đo mômen, phân phối q trình Poisson Chương 2: Phân tích thống kê trình điểm Poisson Trong chương này, trình bày tổng quan thống kê trình điểm Poisson ước lượng cường độ, kiểm định giả thuyết… Trước khó khăn nghiên cứu đề tài, em nhận giúp đỡ, động viên thầy cô giáo, bạn sinh viên khoa Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Trung Dũng giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hồn thành khố luận Do hạn chế thời gian, kiến thức nên khoá luận khơng tránh khỏi thiếu xót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn đọc để đề tài hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hà Bảng kí hiệu □d : Khơng gian Ơclít d chiều Ax : {y x y A} d b(a, r) : x a : {x  d : Thể tích hình cầu đơn vị d r} (, A, P) : Không gian xác suất B d :  - đại số Borel  d d d : Độ đo Lebesgue  1B : Hàm tiêu tập B Chương Quá trình điểm Poisson 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Một trình điểm  d ánh xạ đo  từ không gian xác suất (, A, P) vào không gian đo [N, N], N họ tất tập hợp của d  N - đại số N thoả mãn điều kiện:  là đơn giản ( x i , x j xi x j , i j ) thì  là hữu hạn địa phương (mỗi tập giới nội d  chứa số hữu hạn điểm )  N - đại số nhỏ N cho tất ánh xạ   (B) đo với tập Borel B Định nghĩa 1.2 Phân phối P trình điểm được xác định P(B) P (B) P ( : () B), B N (1.1) Định nghĩa 1.3 Quá trình điểm hoặc phân phối P gọi là:  dừng (hay nhất) đặc trưng bất biến phép dịch chuyển, tức  x  d  x n  x  x n  x có phân phối với  đẳng hướng đặc trưng bất biến phép quay, tức và r có phân phối với phép quay r quanh gốc Một trình điểm vừa dừng vừa đẳng hướng gọi bất biến chuyển động (motion – invarriance) Định nghĩa 1.4 Cho không gian xác suất (, A, P) X không gian tôpô Hausdorff compact địa phương Một độ đo ngẫu nhiên X ánh xạ đo : (, A, P) (M, M ) Trong đó: M = M( X ) tập hợp tất độ đo hữu hạn địa phương ( X , B) M - đại số nhỏ M cho tất ánh xạ  (B) đo với BB Chú ý 1.1 Q trình điểm xem tập ngẫu nhiên điểm rời rạc độ đo ngẫu nhiên đếm số điểm rơi vào miền khơng gian Tương ứng với ta có kí hiệu sau:  x khẳng định điểm x thuộc dãy ngẫu nhiên trường hợp ta kí hiệu  x n   (B) khẳng định tập B chứa n điểm  n  Từ Định nghĩa 1.1 Định nghĩa 1.4 ta thấy là trình điểm  là độ đo ngẫu nhiên d d  kết độ đo ngẫu nhiên áp dụng vào lý thuyết trình điểm Định nghĩa 1.5 Hệ thống xác suất P ((B1) n1,(B2 )  n2, ,(Bk ) nk ) B1,B2 , ,Bk tập Borel giới nội phân phối hữu hạn chiều  n1,n2, ,nk 0 (1.2) gọi Chú ý 1.2 Theo lý thuyết trình điểm phân phối trên [N, N] xác định tập phân phối hữu hạn chiều nó, k = 1, 2, 3, Định nghĩa 1.6 Xác suất trống (void - probabilities) trình điểm  xác định hF hN chứng tỏ độ sai lệch từ giả thuyết Poisson Vấn đề dùng thống kê cho phù hợp Điều phụ thuộc vào đối thiết Nếu đối thiết liên quan đến nhóm (đến kết tập) hF phù hợp hN thích hợp với đối thiết mơ tả tính quy mẫu *Phương pháp dựa vào phân phối khoảng cách biến cố Giả sử được quan sát qua cửa sổ W với hàm phân phối khoảng cách biến cố H(t) biết Kí hiệu t ij khoảng cách biến cố mẫu Khi hàm phân phối khoảng cách thực nghiệm, kí hiệu xác định  H 1(t) { n(n 1 1)} #(t n số biến cố mẫu H 1(t) t) ij Tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết trình điểm Poisson dựa hàm phân phối khoảng cách điểm sau: Biểu diễn điểm lên mặt phẳng toạ độ với tung độ H 1(t) hoành độ H(t) Khi liệu phù hợp với q trình điểm Poisson đồ thị thu gần tuyến tính Mức ý nghĩa tìm từ phân phối H 1(t) mẫu giả thiết trình Poisson Tuy nhiên điều phức tạp phụ thuộc khoảng cách điểm với điểm cuối, ta xử lí sau: Tính hàm phân phối thực nghiệm H i (t), i  2,3, ,s từ s1 mô độc lập n điểm độc lập, phân phối W định nghĩa bao trên, bao sau U(t)  max {H i (t)} ; L(t) i 2,3, ,s  {H i (t)} i 2,3, ,s Các bao bao sử dụng để bác bỏ giả thiết Theo tiêu chuẩn Monte Carlo, giả thuyết trình điểm Poisson, với t 1   P{H 1(t) U(t)} = P {H 1(t) L(t)} s Ví dụ 2.4 Cho mẫu điểm Hình 2.3 Hình 2.3: Vị trí 65 thơng non Nhật Bản hình vng 5.7m x 5.7m (Numata,1961) Hình vẽ 2.4 cho hình ảnh H 1(t), U(t), L(t) H(t) Từ hình vẽ ta thấy đồ thị  H 1(t) ứng với liệu nằm U(t) L(t) miền giá trị nó, điều sở cho ta chấp nhận giả thuyết trình Poisson Dựa tiêu chuẩn phù hợp  Bartlett (1964), Besag Diggle (1977) đưa khẳng định tương tự Hình 2.4: bao bao từ 99 mô phỏng, đường đường ứng với liệu Ví dụ 2.5 Cho mẫu điểm Hình 2.5 Hình 2.5: vị trí 62 thơng Nhật Bản hình vng 23m 23m (Strauss, 1975; Ripley, 1977) Hình vẽ 2.6 cho hình ảnh thấy  H 1(t) lớn có  H 1(0.08)  H(0.08)  H 1(t),U(t),L(t) H(t) Từ sơ đồ ta U(t) H(t) nhậngiá trị nhỏ ta hay H 1(0.08) H i (0.08), i 2,3, ,s Vì giả thuyết trình Poisson bị bác bỏ Bằng phương pháp Chỉ số tán xạ phần sau ta có kết luận tương tự Hình 2.6: bao bao từ 99 mô phỏng, đường đường ứng với liệu *Phương pháp dựa vào phân phối khoảng cách từ điểm tới biến cố gần Cho mẫu điểm gồm n vị trí n biến cố quan sát W Một mẫu điểm gồm m điểm W chọn Kí hiệu xi khoảng cách từ điểm đến biến cố gần W Khi hàm phân phối thực nghiệm 1 1 F (x) m  x)  đo “miền trống” W theo nghĩa 1F 1(x) #(x i ước lượng cho diện tích Bx miền B gồm tất điểm W x mà khoảng cách đến biến cố n biến cố W không nhỏ x Lotwich (1981), dựa vào thuật tốn Green – Sibson, mơ tả thuật tốn tính xác Bx W hình chữ nhật Trong thực hành, m điểm lấy W lưới điểm vuông k k Việc chọn giá trị k cho hợp lý phụ thuộc vào hình dạng n biến cố W Diggle (1981) đề nghị lấy k  n Việc dùng hàm phân phối khoảng cách từ điểm tới biến cố gần để nhận biết trình Poisson tiến hành tương tự hàm phân phối khoảng cách biến cố *Phương pháp đếm ô vuông (quadrat count methods) Xét trường hợp mẫu điểm lấy số điểm rơi vào miền Giả sử cửa sổ W chia thành ô vuông có diện tích 2(Q) Khi với giả thuyết q trình điểm Poisson dừng số điểm rơi vào ô vuông (hay số đếm vng) có phân phối Poisson độc lập với có trung bình 2(Q) Các tiêu chuẩn định dựa tính chất phân phối kiểm  Tiêu chuẩn Chỉ số tán xạ (Index-of-dispersion): Dựa trung bình phương sai phân phối Poisson, tiêu chuẩn phù hợp cổ điển 2 xét phân phối số đếm ô vuông Chỉ số tán xạ I xác định ( n 1)S I X 2 n số vng, X số điểm trung bình vng S phương sai mẫu số điểm ô vuông Khi với giả thuyết q trình điểm Poisson dừng số I có phân phối 2 với (n - 1) bậc tự (điều kiện n >  > 1) Với mức ý nghĩa   (Q) 1thì I n1( )  2 I n1(1 )  ta bác bỏ giả thuyết q trình điểm Poisson Ví dụ 2.6 Cho mẫu điểm hình 2.7 Sử dụng lưới gồm 3 ô vuông ta có kết 10 15 Ta có n = 9, X = 7.22, S = 13.7 số tán xạ I = 15.17 Khi với độ tin cậy = 0.05 ta 2 (0.025) có 17.5  (0.975) 2.18 So sánh với I ta chấp nhận giả thuyết trình Poisson Hình 2.7: Vị trí 65 thơng non Nhật Bản hình vng 5.7m 5.7m (Numata, 1961) Ví dụ 2.7 Cho mẫu điểm hình 2.8 Hình 2.8: Vị trí 62 thơng Nhật Bản hình vng 23m 23m (Strauss, 1975; Ripley, 1977) Sử dụng lưới gồm 3 ô vng ta có kết 13 13 Ta có n = 9, X = 6.778, S = 19.94 số tán xạ I = 23.54 Khi với độ tin cậy = 0.05 ta có  (0.025)  17.5  (0.975) 2.18.So sánh với I ta bác bỏ giả thuyết trình Poisson  Tiêu chuẩn phù hợp  Giả sử trình điểm với cường độ được quan sát qua cửa sổ W Giả thiết cửa sổ mẫu chia thành ô vuông có diện tích 2(Q) Kí hiệu ni số ô vuông chứa i điểm, i = 0, 1, 2, Khi với giả thuyết trình Poisson số điểm mẫu rơi vào ô độc lập có phân phối Poisson với tham số 2(Q) Trong trường hợp này, dãy số liệu n0,n1,n2 , giá trị quan sát biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số 2(Q) Dựa tiêu chuẩn phù hợp ta kiểm định xem dãy số liệu n ,n ,n , có phù hợp với phân phối Poisson với tham số hay không (     ( Q) ước theo phần trên) Nếu dãy số liệu phù hợp với phân phối Poisson, ta chấp nhận giả thuyết q trình điểm Poisson Phương pháp Greig-Smith  Phương pháp không dùng số đếm ô vuông riêng biệt mà dùng số đếm vng nhóm lại ô vuông lân cận Giả sử số ô vuông n số tự nhiên Các đại lượng q 2 , s1,s2, ,sn đếm q 2q1s21 ( Số điểm ô vuông thứ i ) i  ( số điểm thuộc cặp ô vuông thứ k) k 2q2 s22 ( Số điểm ô vuông thứ j) j  ( số điểm thuộc cặp ô vuông thứ k) k Trong trường hợp q = vng đánh số theo kí hiệu bàn cờ, q 64 Các cặp vuông (a1,a2 ), (a3,a4 ), , (b1,b2 ), (b3,b4), Các cặp ô vuông (a1a2,b1,b2 ), (a3,a4,b3,b4 ), Các đại lượng si ước lượng không chệch cho phương sai số điểm ô vuông nhỏ Vì công thức số tán xạ tính tốn theo số j I j 2qj s2 j X tiêu chuẩn  dùng số X số điểm trung bình vng số bậc tự cho q1 thống kê I 1, I 2, , , q2 , Ta có kết luận sau: Giả thuyết trình điểm Poisson dừng chấp nhận tất số I nằm giá trị tiêu chuẩn hai phía j thống kê  Nếu trái lại ta bác bỏ giả thuyết trình điểm Poisson Ví dụ 2.8 Kết quan sát núi lửa bề mặt hoả hình 2.9 Hình 2.9: Số miệng núi lửa lớn 32 miền có diện tích bề mặt Sao Hoả (Lipskij, 1977) Trong trường hợp này, ta áp dụng phương pháp Greig-Smith với q = X = 0.97 Tính tốn ta có bảng số liệu sau i Bậc tự si2  (0.95) Ii  (0.05) 16 1.97 8.0 32.5 26.3 0.84 2.7 6.9 15.5 4.48 0.7 20.0 9.5 0.16 0.1 0.3 6.0 7.03 0.0 7.2 3.8 Dựa vào bảng ta so sánh giá trị I với giá trị 2 i  0.05 thấy với i = 1, số tán xạ vượt ngồi giá trị tiêu chuẩn nên ta bác bỏ giả thuyết trình Poisson kết luận Nghiên cứu đề tài sở kiến thức Lý thuyết xác suất Thống kê ứng dụng ta có hội tìm hiểu sâu trình điểm Poisson, tính chất bản, mơmen, độ đo mơmen q trình điểm Poisson, đặc biệt phân tích thống kê trình điểm Poisson Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên khố luận đạt số kết định Vì em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo tồn thể bạn sinh viên để khố luận em hồn thiện hơn, đồng thời em có thêm kinh nghiệm việc nghiên cứu khoa học Em xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Đào Hữu Hồ (2006), Xác suất thống kê, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hồng Hữu Như (2004), Thống kê tốn học, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết xác suất, Nxb Giáo dục Tiếng Anh Kallenberg, O (1975), Random measures, Akademie – Verlagg Kallenberg, O (1997), Foundations of Modern Probability, Springer Ripley, B.D (1981), Spatial Statistics, Willey – Interscience Stoyan, D , Kendall, W.S Mecke (1995), Stochastic geometri and its applications, 2nd edition, Willey ... tài: Phân tích thống kê q trình điểm Poisson Nội dung khố luận gồm chương: Chương 1: Quá trình điểm Poisson Trong chương này, trình bày khái niệm kết q trình điểm Poisson mơmen độ đo mômen, phân. .. Poisson mơmen độ đo mômen, phân phối trình Poisson Chương 2: Phân tích thống kê q trình điểm Poisson Trong chương này, trình bày tổng quan thống kê trình điểm Poisson ước lượng cường độ, kiểm định... trình điểm Poisson ……………………………………………………… 18 1.5 Phân phối khoảng cách biến cố………………… 20 1.6 Phân phối khoảng cách từ điểm tới biến cố gần nhất…… 20 Chương 2: Phân tích thống kê q trình điểm Poisson ………