Định lý siêu việt hermite lindemann

Ta đã biết số  và số e là những số siêu việt, nhưng thực sự để chỉ ra tính siêu việt của hai số này không phải đơn giản.. Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn tính siêu việ

Lời cảm ơn

Trong thời gian học tập tại khoa Toán - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo, em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy, các cô trong khoa Toán – những người đã luôn chăm lo, dìu dắt cho chúng em trưởng thành như hôm nay

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy NCS Nguyễn Huy Hưng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khoá luận này

Sinh viên

Đào Xuân Tiềm

Lời cam đoan

Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy NCS Nguyễn Huy Hưng cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình nghiên cứu, em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Đào Xuân Tiềm

Mục lục

Trang

Mở đầu……… 4

Chương 1 những Kiến thức bổ trợ ……… 5

1.1 Đa thức……… 5

1.2 Hàm hữu tỉ……… 9

1.3 Số đại số……… 9

Chương 2 Định lí siêu việt Hermite - Lindemann………… 13

2.1 Một số bổ đề……… 13

2.2 Định lí siêu việt Hermite - Lindemann……… 17

2.3 Một số hệ quả ……… 28

Kết luận……… 31

Tài liệu tham khảo……… 32

Mở đầu

Vào khoảng 287 - 212 trước CN, nhà toán học cổ Hi Lạp Archimède đã tìm ra số , dựa vào những công trình hình học của ông là nhằm tìm ra tương quan giữa độ dài đường tròn và đường kính của nó Đến cuối thế kỉ XVII đầu thế kỉ XVIII, Euler nhà toán học người Thụy Sĩ đã đưa ra số e

Khi số  và số e ra đời, nó có vai trò quan trọng trong Toán học, Vật lý học và cả trong một số lĩnh vực kĩ thuật Ta đã biết số  và số e là những số siêu việt, nhưng thực sự để chỉ ra tính siêu việt của hai số này không phải đơn giản Vào năm 1882, nhà Toán học người Đức Lindemann đã chứng minh định lí siêu việt Hermite – Lindemann và kết quả thật đáng ngạc nhiên trong việc chỉ ra số  và số e là số siêu việt thật dễ dàng khi dựa vào định lí này

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn tính siêu việt của

số và số e, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đã

chọn đề tài “ Định lí siêu việt Hermite – Lindemann ”

Nội dung của luận văn gồm hai chương:

Chương 1 Những kiến thức bổ trợ

Chương 2 Định lí siêu việt Hermite – Lindemann

Trong chương 1, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về đa thức, nghiệm của đa thức; hàm hữu tỉ và đặc biệt là khái niệm số đại số, số siêu việt

Trong chương 2, tôi đưa ra các bổ đề để sử dụng trong việc chứng minh định

lí siêu việt Hermite-Lindemann và đưa ra một số hệ quả của nó

Phương pháp nghiên cứu của đề tài là đọc tài liệu và trao đổi nghiên cứu

Chương 1 Những kiến thức bổ trợ

1.1 Đa thức

Định nghĩa 1.1.1 Một hàm số dạng f(x) = axn gọi là một đơn thức, với a0

là một số bất kì (trường hợp chung nhất là số phức), x là biến độc lập và n là một số nguyên không âm, a được gọi là hệ số của đơn thức, n được gọi là bậc của đơn thức

Định nghĩa 1.1.2 Một hàm số P x gọi là một đa thức, nếu có thể biểu diễn  

như tổng hữu hạn những đơn thức, nghĩa là:

Định nghĩa 1.1.3 Nếu đa thức P(x) viết dưới dạng:

P(x) = a0 xn + a1xn-1 + …+an-1x + an, trong đó a0 0, thì ta nói rằng nó được viết theo bậc của x hoặc là biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc Các số a0, a1,…, an gọi là các hệ số của đa thức Số a0 là

hệ số bậc cao nhất còn số an gọi là hệ số tự do Số n gọi là bậc của đa thức và

b, P(x) = x3+ x - 2x2 - 2

= x - 2x + x - 2,

c, P(x) = 4 - 4 i x2 - x4 + (2 + i 3) x3 + ix2 = - x4 + (2 + i 3)x3 - 3ix2 + 0.x + 4

Một số tính chất

Cho P(x) và Q(x) là những đa thức Khi đó, ta có một số tính chất sau:

1, Tính của hai đa thức P(x) và Q(x) là một đa thức R(x), và ta có: degR(x)= degP(x) + degQ(x)

2, Tổng (hiệu) của hai đa thức P(x) và Q(x) là một đa thức R(x), và ta có: degR(x) = Max{degP(x); degQ(x)}

Định nghĩa1.1.4 Cho đa thức P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 Khi đó, một

số  gọi là nghiệm của đa thức nếu P() = 0

Ví dụ 1.1.2 Hãy tìm nghiệm của đa thức trên  và  :

P(x) = a0 (x - 1) (x - 2) … (x - n), trong đó 1,2, …,n là những nghiệm của đa thức

P x a x x x trong đó  1, 2, ,n là những nghiệm của

đa thức Khi đó, ta có công thức Viéte:

1

 +2+ … +n = - 1

0

a a

1

 2 +13 + … +1n+23+ … +n1n = 2

0

a a

Định nghĩa 1.1.7 Một hàm số P x x 1, , ,2 x k gọi là một đa thức nhiều biến, nếu nó có thể biểu diễn như tổng của hữu hạn những đơn thức, nghĩa là:

Định nghĩa 1.1.8 Cho một đa thức nhiều biến P x x 1, , ,2 x k Đa thức này

gọi là đa thức đối xứng, nếu với mọi hoán vị các số i 1 , i 2 , … i k của các số 1,2,

…, k đều thoả mãn đẳng thức sau:

 1, 2, , 

k

i i i

P x x x  P x x 1, , ,2 x k Nói cách khác, một đa thức là đối xứng nếu nó không thay đổi khi thay đổi vai trò của các biến cho nhau trong dạng khai triển của nó

Ví dụ 1.1.3 Đa thức sau đây là đối xứng

Định lí 1.1.4 (Định lí cơ bản cho những đa thức đối xứng)

Mọi đa thức đối xứng có thể biểu diễn như đa thức của những đa thức đối xứng cơ sở và sự biểu diễn này là duy nhất

Hệ quả 1.1.1 Nếu 1,2,…,k là k nghiệm của đa thức với hệ số hữu tỉ và

P(x1,x2,…,xk) là một đa thức đối xứng với hệ số là các số hữu tỉ, thì ta có: P(1,2,…,k) là một số hữu tỉ

phức), gọi là các hệ số của hàm hữu tỉ, a0 0, b0 0, n và m là những số nguyên không âm

Hàm hữu tỉ R x( ) xác định với mọi x mà làm cho Q x( )0

Định nghĩa 1.2.2 Hàm hữu tỉ gọi là hàm hữu tỉ chuẩn nếu bậc của đa thức tử

nhỏ hơn bậc của đa thức mẫu

Ví dụ 1.2.1 Các hàm sau là các hàm hữu tỉ

a)

3 2

Định nghĩa 1.2.3 Hàm hữu tỉ nguyên là tên gọi khác của đa thức

Ta thấy hàm hữu tỉ nguyên là trường hợp riêng của hàm hữu tỉ (với đa thức mẫu là đa thức bậc 0)

Định nghĩa 1.3.2 Cho  là một số đại số Khi đó, đa thức m(x) với hệ số

hữu tỉ gọi là đa thức tối tiểu của số  nếu m(x) là đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng 1 và m(x) là đa thức bậc thấp nhất mà nhận  làm nghiệm

Ví dụ 1.3.2 Đa thức tối tiểu của số đại số 1+2i là: x2 2x5

( Ta có thể dễ dàng chỉ ra không có đa thức bậc nhất nào mà nhận 1 2i làm nghiệm )

Định nghĩa 1.3.3 Một số không phải là số đại số được gọi là số siêu việt

Ví dụ 1.3.3 Số  và số e là những số siêu việt (tính siêu việt của  , e ta thấy ở phần sau)

Định nghĩa 1.3.4 Một số  gọi là số đại số nguyên nếu nó là nghiệm của đa thức hệ số nguyên

Định nghĩa 1.3.5 Số nguyên Cyclotomic là số có dạng :

Từ định nghĩa, ta có thể dễ dàng chỉ ra: tổng, hiệu, tích hai số nguyên

Eisenstein là một số nguyên Eisenstein

Từ định nghĩa, ta có thể dễ dàng chỉ ra: tổng, hiệu, tích hai số nguyên

Gaussian là một số nguyên Gaussian

Đinh nghĩa 1.3.8 Số nguyên Hamiltonian là tổ hợp tuyến tính của các

Quaternion

Định nghĩa 1.3.9 Số nguyên hữu tỉ là tên gọi chung của các số sau:

số nguyên Cyclotomic, số nguyên Eisenstein, số nguyên Gaussian, số nguyên Hamiltonian

1.3.2 Một số tính chất

1, Mọi số hữu tỉ đều là số đại số

2, Mọi số phức dạng a + bi trong đó a, b   đều là các số đại số

3, Số  là số đại số khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thức hệ số nguyên

4, Nếu  là một số đại số, thì a cũng là một số đại số (với a là một số hữu tỉ)

5, Nếu  ,  là 2 số đại số, thì    , . cũng là các số đại số

(Vì tập các phần tử của trường K là đại số trên trường A lập thành một trường con của K trong đó A là một mở rộng của K Ta có      suy ra các phần tử của  hoặc  là đại số trên trường  lập thành một trường con của  hoặc  )

Chương 2 Định lí siêu việt Hermite - lindemann

là tích của tất cả các F và ta có số hạng đầu tiên đã thu được lúc đó là số nhỏ j

nhất trong tất cả các số mũ đã thu được, có hệ số là tích của hữu hạn các A , jr

do các Ajr 0  hệ số ứng với số mũ nhỏ nhất xuất hiện chỉ một lần và khác 0 Bởi vậy, ít nhất số hạng đầu tiên của tích đã nhân ra khác 0 Còn việc

Ta lập tất cả các biểu thức được gọi là  có thể A e r 1  A e s , trong đó

Ar,…,A s là  thành phần bất kì của A1, ,A và ta nhân các biểu thức này với L

nhau, luôn luôn kết hợp mỗi phần tử với cùng hệ số mũ e*

Nhận thấy các hệ số A1, ,A m không bị thay đổi khi ta hoán chuyển các đại

lượng A1,…,A L; nói cách khác, đó là một đa thức đối xứng với các biến

A1,…,A L Do A1,…,A L là nghiệm của phương trình đa thức P(x) = 0 có hệ số

hữu tỉ, nên áp dụng Hệ quả 1.1.1 ta chỉ ra được các hệ số A1, ,A m là các số hữu tỉ

MA m B m  *

m

B 

Vậy tồn tại m số đại số đại số đôi một khác nhau 1,…,m và m số B 1 ,…,B m

là những số nguyên khác với số 0 sao cho:

1

m

B e  B e 

Suy ra Bổ đề 2.1.2 được chứng minh

Bổ đề 2.1.3 Cho 1, ,n là các số đôi một khác nhau, P(x) là đa thức và P(j) 0, j = 1,2, … , n Khi đó, nếu có n số khác 0 là C1,…,C n sao cho:

C1P(1) + C2P(2)+ …+ CnP(n) = 0, thì luôn tồn tại một số nguyên dương

m ( m<n ) sao cho:

C11m P(1) + C22m P(2+ …+ Cnn m P(n)0

Chứng minh

Giả sử có đa thức P(x), 1, …, n là các số đôi một khác nhau, P(j)0 ,

j = 1,2, …, n, có C1, … , C n là n số khác với số 0 sao cho:

C1P(1) + C2P(2) + …+ C n P(n) = 0, nhưng không tồn tại số nguyên dương m ( m < n ) để sao cho:

0

n

x x

( )( )

Như vậy ta phải có

Suy ra Bổ đề 2.1.3 được chứng minh

2.2 Định lí siêu việt Hermite - Lindemann

+ Giả sử có  số đại số A1, A2,…,A, các số Aj 0,j = 1, 2, …,  và có 

số đại số 1,2,…, đôi một khác nhau sao cho:

A1e1 +A2e2 + …+Ae= 0 (1) Bây giờ ta cần chỉ ra giả định này dẫn đến mâu thuẫn Thật vậy:

+ áp dụng Bổ đề 2.1.2 ta có:

 , 2,…,m, ,M Ta tạo ra M(M- 1) … (M- m+1) biểu thức dạng:

B1e r + …+ B m e s , (3) trong đó  là một biến, r,…,s là m số bất kì trong M số: 1,…,M Nhân các biểu thức dạng (3) với nhau, kết hợp lại một lần nữa các số hạng với cùng hệ số mũ e*

Khi đó, tích thu được có dạng:

áp dụng Hệ quả 1.1.1 Ta suy ra k là những số hữu tỉ  = 1, 2, …

Theo đó, nếu g(x) là một hàm hữu tỉ của x có các hệ số là các số nguyên hữu

tỉ, thì ta luôn có:

C g( ) + C g( )+ + C g( ) 1 1 2 2 n n  là một số hữu tỉ (7) + Do các số 1,…,n là các số đại số đôi một khác nhau nên ta có thể xem các số này như là các nghiệm của phương trình:

xN + r1xN-1 + r2xN-2+…+ rN-1x + rN = 0, (8) trong đó các hệ số r1, r2,…,rN-1, rN là các số hữu tỉ, Nn và không có nghiệm bội

Ta nhân phương trình này với H N , trong đó H là mẫu số chung nhỏ nhất của

các hệ số r1,…,rN và thu được phương trình mới tương đương:

Nếu  1, 2, ,N là các nghiệm của phương trình f X 0, thì lúc đó theo

Vì 1,2,…,n là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên, nên  1, 2, ,n

biểu diễn các số đại số nguyên Khi đó áp dụng kết quả của (7), ta có:

C g( ) + C g(1 1 2 2) + + C g(n n)  là một số nguyên hữu tỉ (9) Ngoài f X ra, ta sẽ xem xét hàm:  

N  N  là các đa thức đối xứng của các biến 1,2,…,N

áp dụng Hệ quả 1.1.1 ta suy ra N N N, 1, 2, ,N N2,N N1 là các số hữu tỉ

Tiếp đó, công thức của ta có thể viết theo dạng đơn giản:

 Nếu  là phân số và  1 mà .e gần đúng với

phương trình kết quả với 1, K1, K 2 ,…,K k ta được:

Cộng vế với vế của k+1 phương trình này lại với nhau ta được:

k k

V X  X K X  K X   K (12)

Ta thấy với mỗi giá trị X cụ thể thì V X  V X 

Nếu  1, 2, ,k là nghiệm của phương trình V(X) = 0, thì khi đó áp dụng

Bây giờ, ta cho x các giá trị  và X các giá trị  ( là số bất kì từ 1 tới n),

e d d

Đặc biệt:

       Thật vậy, chẳng hạn với  1, ta có:

Đưa sự khai triển (15) vào (14) cuối cùng ta thu được

Bây giờ áp dụng định lí Fermat “ Với mọi số nguyên g và mọi số nguyên tố p,

ta luôn có  p 

g g p ” Ta có:

G p – G = gp, trong đó g  ,

Do cách chọn số p nên ta phải có (20) đúng với mọi số nguyên tố p Bây giờ,

ta lấy số nguyên tố p đủ lớn sao cho p G và





trình (20) chứa mâu thuẫn đó là: Vế trái của (20) là một số nguyên không chia

hết cho p  G G p 1 Mặt khác theo cách chọn số nguyên tố p thì vế phải

của (20) có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 hay 1

!

q

E A

q  Do đó điều giả sử của ta

là sai Suy ra “ Định lí siêu việt Hermite – Lindemann ” được chứng minh 2.3 Một số hệ quả

Hệ quả 2.3.1 Số e là số siêu việt

Thật vậy, giả sử e không phải là số siêu việt, suy ra e phải là số đại số Ta

Hệ quả 2.3.2 Số  là số siêu việt

Thật vậy, Euler đã tìm ra mối quan hệ giữa số e và số  là:

Suy ra,  không phải là số đại số hay nói cách khác  là số siêu việt

Hệ quả 2.3.3 Không thể vẽ bằng compa và êke một hình vuông có diện tích

bằng diện tích hình tròn

Thật vậy, giả sử hình tròn đã cho có bán kính bằng 1(đơn vị độ dài), suy ra diện tích hình tròn cần dựng là  (đơn vị diện tích) Nếu gọi cạnh của hình vuông cần dựng là x (đơn vị độ dài), thì ta phải có x=  Tuy nhiên, không thể dựng được bằng compa và êke Suy ra điều phải chứng minh

* Trong hệ trục toạ độ R.Descartes điểm A = (x0; y0) gọi là điểm đại số nếu như x0 và y là những số đại số 0

Hệ quả 2.3.4 Đồ thị hàm số y = ex không đi qua điểm đại số nào của mặt

phẳng trừ điểm A = (0;1)

Thật vậy, do e0 = 1 và hai số 0 và 1 là hai số đại số, nên đồ thị hàm số y = ex

đi qua điểm đại số A = (0;1) Bây giờ ta cần chỉ ra A là điểm đại số duy nhất

mà đồ thị hàm số y = ex

đi qua

Thật vậy, giả sử B a b;  A 0;1 và B là điểm đại số mà đồ thị hàm số

y = ex đi qua Từ đó, suy ra b = ea hay 1.ea+(-b).e0 = 0 Theo “ Định lí siêu việt Hermite – Lindemann ” điều này là không thể được Suy ra điều phải

chứng minh

* Nhận xét:

Vì điểm đại số hiện diện khắp nơi theo số lượng tập trung trù mật trong mặt phẳng, đường hàm số mũ hoàn thành kì công khó khăn phi thường của việc uấn lượn giữa tất cả những điểm này mà không chạm vào bất kì điểm đại số nào trừ điểm (0;1)

Hệ quả 2.3.5 Đồ thị hàm số y = lnx không đi qua điểm đại số nào của mặt

phẳng trừ điểm A = (1;0)

Thật vậy, do A = (1;0) là điểm đại số và có ln1= 0 suy ra đồ thị hàm số

y= lnx đi qua điểm đại số A = (1;0) Bây giờ ta cần chỉ ra đồ thị hàm số y=lnx không đi qua điểm đại số nào khác điểm A Giả sử B a b;  A  1;0 và B

là điểm đại số mà đồ thị hàm số y = lnx đi qua suy ra b = lna, hay

a e 1.e   a e 0.

Theo “ Định lí siêu việt Hermite – Lindemann ” thì điều này là không thể

Suy ra điều phải chứng minh

*Nhận xét:

Ta có thể lí giải điều này dựa vào đồ thị hàm số y = ex như sau:

Ta thấy đồ thị của 2 hàm số y = ex và y = lnx đối xứng nhau qua đường phân giác y = x (Theo định nghĩa hàm số lôgarit và theo định lí về 2 hàm số ngược nhau) Do đồ thị y = ex

chỉ đi qua 1 diểm đại số duy nhất (0;1) nên đồ thị hàm

số y=lnx chỉ đi qua một điểm đại số duy nhất là (1;0)

Hệ quả 2.3.6 Đồ thị hàm số y = sinx không đi qua điểm đại số nào của mặt

phẳng trừ điểm nút (0;0)

Thật vậy, do (0;0) là điểm đại số và có 0 = sin0, suy ra đồ thị hàm số y = sinx

đi qua điểm đại số (0;0) Bây giờ ta cần chỉ ra điểm nút (0;0) là điểm đại số duy nhất mà đồ thị hàm số y=sinx đi qua Thật vậy, giả sử đồ thị hàm số

y = sinx đi qua điểm đại số  ;    0;0

Khi đó, ta có  sin. Mặt khác, ta lại có:

Theo “ Định lí siêu việt Hermite – Lindemann ” thì điều này là không thể

Suy ra điều phải chứng minh