Chéo hóa ma trận

của không gian Euclid n chiều được gọi là một cơ sở trực giao nếu các vectơ của cơ sở đôi một vuông góc với nhau, tức là e e i, j 0 nếu ij.. Phương pháp trực giao trực chuẩn hóa Sc

Trước hết, em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm Khoa toán và Tổ hình học cùng với các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Đặc biệt, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất của mình tới cô Đinh Thị Kim Thúy, người đã hướng dẫn tận tình và thường xuyên động viên em trong quá trình hoàn thành đề tài

Em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận này

Do thời gian có hạn, kiến thức của bản thân còn hạn chế nên trong nội dung khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận

được sự đóng góp ý kiến và tiếp tục xây dựng đề tài của quý thầy cô và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Trịnh Thị Lệ

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành là kết quả nghiên cứu và tìm hiểu của bản thân, cùng với sự hướng dẫn tận tình của cô

Đinh Thị Kim Thúy

Khóa luận với đề tài: “Chéo hóa ma trận” này không trùng với kết

quả của bất kì công trình nghiên cứu nào khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Trịnh Thị Lệ

A mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 1

B nội dung 2

Chương 1: kiến thức chuẩn bị 2

1.1.Ma trận 2

1.2 Ma trận của đồng cấu tuyến tính 5

1.3 Cơ sở trực chuẩn 6

1.4 Vectơ riêng – giá trị riêng 8

1.5 Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng

cấu f 11

Chương 2: chéo hóa ma trận 23

2.1 Chéo hóa ma trận của tự đồng cấu 23

2.2 Chéo hóa trực giao 29

2.3 Phương pháp chéo hóa ma trận 30

2.4 ứng dụng chéo hóa ma trận 46

2.7 Bài tập áp dụng 47

C kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

A mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Có thể nói Đại số tuyến tính là môn học khá quan trọng của sinh

viên ngành Toán Nó được coi là môn học cơ sở cho tất cả các môn toán

mà sinh viên được học Trong đó ma trận và các bài toán liên quan đến

ma trận là phần kiến thức cơ bản, gây được nhiều hứng thú trong nội dung môn học này Có nhiều vấn đề khó liên quan đến ma trận, và chéo hóa ma trận là một trong những vấn đề như thế Do đó em muốn đi sâu vào tìm hiểu vấn đề này Được sự hướng dẫn nhiệt tình của cô Đinh Thị Kim Thúy cùng với lòng yêu thích môn học này em đã lựa chọn nghiên

cứu đề tài “Chéo hóa ma trận”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và khắc sâu những kiến thức về ma trận chéo và phương pháp chéo hóa ma trận

3 Đối tượng nghiên cứu

Các vấn đề về chéo hóa ma trận

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số kiến thức liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận và hai bài toán chéo hóa ma trận

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm và tham khảo tài liệu, phân tích và tổng hợp bài tập minh họa, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

B nội dung Chương 1: kiến thức chuẩn bị 1.1.Ma trận

a a

Tập hợp tất cả các ma trận kiểu (m,n) với các phần tử thuộc trường

 được kí hiệu là Mat(mn,)

Phần tử đơn vị của vành Mat(nn,) là ma trận:

E n =

1 0 0

0 1 0

Đường chéo chứa các phần tử a a11, 22, ,a nn của ma trận vuông

A=( a ) ij n được gọi là đường chéo chính của ma trận A, đường chéo còn lại

được gọi là đường chéo phụ

Ma trận vuông A=( a ) ij n có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận chéo

Cho hai ma trận A và A cùng thuộc Mat(nn,) Hai ma trận A '

và A là đồng dạng nếu có một ma trận khả nghịch CMat(nn,) sao 'cho: A'C1 .A C

1.2 Ma trận của đồng cấu tuyến tính

Khi f :V V là một tự đồng cấu tuyến tính, thì ma trận của f

trong cơ sở  e được xác định như sau: Cột thứ j của ma trận là tọa độ

của không gian Euclid

n chiều được gọi là một cơ sở trực giao nếu các vectơ của cơ sở đôi một

vuông góc với nhau, tức là e e i, j 0

nếu ij

b) Cho một cơ sở gồm n vectơ  e e  1, , ,2 e n

của không gian Euclid

n chiều gọi là một cơ sở trực chuẩn nếu nó là một cơ sở trực giao và

chuẩn của mọi vectơ trong cơ sở đều bằng 1

0 ,

1.3.2 Phương pháp trực giao trực chuẩn hóa Schmidt

Phương pháp trực giao hóa Schmidt là phương pháp chuyển một hệ

n vectơ độc lập tuyến tính của không gian vectơ Euclid sang hệ n vectơ

k i i

Ví dụ: Hãy trực giao, trực chuẩn hóa hệ ba vectơ sau trong không gian vectơ Euclid 4:  1  1,1,0,0   2   1,0,1,0   3    1,0,0,1 Lời giải:

Dễ dàng chứng tỏ hệ vectơ     1, 2, 3

là hệ vectơ độc lập tuyến tính

như sau:

1 1

1

1 1, ,0,0

1.4.1 Không gian con bất biến

Định nghĩa

Cho một không gian vectơ V trên trường  và f là một tự đồng cấu của V Không gian vectơ con U của V được gọi là một không gian con bất biến đối với f (hay một không gian con f - bất biến) nếu

f (U)U

Ví dụ: Đối với một tự đồng cấu f bất kì, các không gian con sau

đây đều là không gian con f - bất biến: { 0

}; V; Ker f ; Im f 1.4.2 Vectơ riêng - giá trị riêng

được gọi là một giá trị riêng còn  

được gọi là một vectơ riêng của f

ứng với giá trị riêng 

và tất cả các vectơ riêng của

f ứng với giá trị riêng  được gọi là không gian con riêng ứng với giá trị riêng  và được kí hiệu là P

Vô hướng  là một giá trị riêng của tự đồng cấu f :VV nếu

và chỉ nếu là một nghiệm của đa thức đặc trưng det( f -.idv) của f

Số thực  là giá trị riêng của A Mat(nn, ) khi và chỉ khi  là

nghiệm của đa thức đặc trưng det(A-.En)

1.4.4 Định lý Cayley - Hamilton

Định lý: Mỗi ma trận vuông A đều là một nghiệm của đa thức đặc

trưng của chính nó

Chứng minh:

Gọi B(X) là ma trận phụ hợp của ma trận (A - X.E n) Vì phần bù

đại số của mọi phần tử trong (A - X.E n) đều là một đa thức của X có bậc không vượt quá (n-1), nên ta có thể viết:

B(X) = B n-1.Xn-1 + … + B1.X+ B0 trong đó B0,…,B n-1 là những ma trận vuông cấp n với các phần tử trong 

(không phụ thuộc X)

Mà ta có: (A - X.E n ).B(X) = det(A - X.E n).En = P A(X).En

Thay X = A vào đẳng thức ta được:

P A (A).E n = (A - A.E n ).B(A) = 0.B(A) = 0

Điều đó có nghĩa là: P A (A) = 0

1.4.5 Đa thức tối tiểu

a Đa thức tối tiểu của ma trận A được kí hiệu A X là đa thức với hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong những đa thức khác 0

Bước 1: Lấy một cơ sở {e} = (e e  1, , ,2 e n

) trong V và tìm ma trận

A của f trong cơ sở đó

Bước 2: Lập đa thức đặc trưng det(A- E n ) của ma trận A

Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n đối với ẩn : det(A- E n) = 0 Bước 4: Với mỗi nghiệm của phương trình Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất suy biến:

øng víi gi¸ trÞ riªng 3 = 3

VËy ma trËn A cã c¸c vect¬ riªng 16, 7,5 

D(A t) = (-1)n.[ ( At n)  P A1.( t n) 1   Pn1.( At)  P En. n] = 0

Trong tập hợp các đa thức nhận A làm nghiệm sẽ tồn tại duy nhất

đa thức () có hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong các đa

thức khác không nhận A làm nghiệm là đa thức tối tiểu của ma trận A

Với vectơ bất kì C(0)  ( C1(0), , Cn(0)) xác định hệ vectơ bất kì

C C , (1mn-1) là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ này,

khi đó ta không xác định được các hệ số của đa thức D() mà chỉ xác

định hệ số của đa thức tối tiểu của ma trận A là :

() = m   1. m1  m1    m

Từ đó ta có: A Cm.  0  1 Am1 C 0   n AC 0  m C 0  0

Vậy: 1 Cm1   m1 C 1  m C 0  Cm

Đây chính là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất ẩn là 1 ,…,m

có định thức của ma trận hệ số khác không nên có nghiệm duy nhất là

các hệ số của đa thức () đồng thời cũng là các giá trị riêng của A

Tiếp theo tìm các vectơ riêng của ma trận A

Giả sử hệ C 0 , , Cn1 là hệ vectơ độc lập tuyến tính (trong

trường hợp ngược lại, chúng ta lấy C 0 , , C m là hệ vectơ độc lập

tuyến tính tối đại của hệ trên) Khi đó vectơ riêng x i

, C (i) = A.C (i-1) , i = 1,2,…,n

Tóm lại phương pháp Krylow gồm các bước sau:

Bước 1: Lấy vectơ C(0) (C1(0), ,C n(0))bất kì, xác định hệ vectơ

Ví dụ: Hãy xác định giá trị riêng của ma trận A và vectơ riêng ứng

với giá trị riêng theo phương pháp Krylow

P P P

VËy vect¬ riªng 1

cã d¹ng: 1

= 1.C(2) + (-4).C(1) + 3.C(0)

 1

= (2,3,1) - 4.(1,1,0) + 3.(1,0,0)  1

= (1,-1,1) Víi 2 = 1, xÐt hÖ:

000

= (-1,0,1) Víi 3 = 3, xÐt hÖ:

0 0 0

Vậy ma trận A có các giá trị riêng là 1=0,2=1,3=3 và các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng là :

a



k k

thức đặc trưng của ma trận A Từ đa thức đặc trưng của ma trận đó ta tìm

được các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận bằng phương pháp

đã biết Phương pháp Leverie là phương pháp đơn giản nhất về mặt lý tưởng để có thể áp dụng cho mọi trường hợp

Ví dụ: Hãy tìm đa thức đặc trưng của ma trận A bằng phương pháp Leverie, từ đó xác định giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận A:

ii i

ii i

(14 6.6) 112

1(36 6.14 11.6) 6

P P

 Với 1 = 3 ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Hệ này có nghiệm không tầm thường là ( , 3 , 4 )a a a , a 0

Chọn a = 1 ta được vectơ riêng ứng với giá trị riêng 1 = 3 là :1

Hệ này có nghiệm không tầm thường là ( , ,a a a ) , a 0

Chọn a = 1 ta được vectơ riêng ứng với giá trị riêng 2 = 1 là  2  (1,1,1)

Chương 2: chéo hóa ma trận

2.1 Chéo hóa ma trận của tự đồng cấu

Định nghĩa 1

Tự đồng cấu f của - không gian vectơ hữu hạn chiều V được gọi

là chéo hóa được nếu ta tìm được một cơ sở của V gồm các vectơ riêng của f Nói cách khác f chéo hóa được nếu có một cơ sở của V mà ma trận của f đối với cơ sở đó là ma trận chéo

Gọi AMat(nn,) là ma trận của f trong một cơ sở bất kì của V

Từ định nghĩa ta suy ra rằng f chéo hóa được nếu và chỉ nếu tồn tại một

ma trận CMat(nn,), C không suy biến (det C  0) và C-1.A.C có

Việc tìm một ma trận khả nghịch C (nếu có) để C-1.A.C là một

ma trận chéo gọi là việc chéo hóa ma trận

Định lý 1

Giả sử   1, 2, ,m

là những vectơ riêng của tự đồng cấu f :

V V ứng với những giá trị riêng đôi một khác nhau  1, 2, , m Khi đó

hệ vectơ   1, 2, ,m

độc lập tuyến tính

Chứng minh: Định lý được chứng minh quy nạp theo m

Với m = 1 vectơ riêng 1  0

nên hệ gồm một vectơ {1

} độc lập tuyến tính

Giả sử quy nạp rằng định lý được khẳng định đối với hệ gồm m-1

vectơ Xét hệ vectơ riêng   1, 2, ,m

ứng với m giá trị riêng đôi một

khác nhau 1, 2, ,m

Nếu có  1 1   22    mm  0 

(1) Thì f (  11  22    mm)  f (0) 

Suy ra :   1 11  2 22    m mm 0

(2) Nhân đẳng thức (1) với m rồi cộng vào đẳng thức (2) ta được:

Hệ quả: a Nếu dimV = n và tự đồng cấu f : VV có n giá trị

riêng đôi một khác nhau thì f chéo hóa được

b Nếu ma trận A  Mat(nn,) có n giá trị riêng đôi một khác nhau trong  thì A chéo hóa được trên 

Chứng minh:

a Gọi    1, 2, ,  n

là hệ gồm n vectơ riêng ứng với n giá trị riêng

f Vì dimV=n đúng bằng số vectơ của hệ nên hệ này lập nên một cơ sở của V Như vậy f và ma trận của nó trong cơ sở bất kì của V chéo hóa

Trước hết ta thấy ngay rằng U và W đều là những không gian con

V bất biến đối với f

f f    f  

Vì f 2= f nên f( )  f( ) 

Do đó kết hợp với trên suy ra f ( )       0 

đều là vectơ riêng

của f ứng với giá trị riêng bằng 1

V Cơ sở này gồm toàn vectơ riêng của f cho nên f chéo hóa được

Định lý 3 (Điều kiện cần và đủ để tự đồng cấu chéo hóa được)

Cho V là một  - không gian vectơ n chiều và f : VV là một tự

đồng cấu của V thì f chéo hóa được khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây

Chứng minh:

Giả sử f chéo hóa được Khi đó ta có thể tìm được một cơ sở của

V sao cho đối với cơ sở này f có ma trận chéo là A với m i phần tử nằm trên đường chéo  , ,…,, trong đó nm  m và các , ,…,

Nhận xét rằng ma trận (A-i.En ) là một ma trận chéo với m i phần tử

nằm trên đường chéo bằng i - i = 0, các phần tử còn lại bằng j - i  0

với i  j nào đó

Nên ta có: Rank( f -i.idV) = Rank(A-i.En )= n-m k ,i = 1,2,…,k

Giả sử ngược lại, f thỏa mãn các điều kiện a và b Ta phải chứng

minh f chéo hóa được

Xét không gian con riêng của f ứng với giá trị riêng i là:

Vậy f chéo hóa được

Hệ quả: Nếu k là nghiệm bội mk của phương trình đặc trưng của

ma trận A vuông cấp n và nếu Rank(A-k.En )= n-m k thì A có m k vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với gia trị riêng k

Định lý 4 (Điều kiện cần và đủ để một ma trận chéo hóa được)

Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo hóa được là A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Khi đó C là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc

Nghĩa là tồn tại ma trận không suy biến C sao cho A=C.B.C -1 hay

A.C=C.B Kí hiệu C = [c1,…, cn], trong đó ci , i=1,2,…,n, là các vectơ cột của C

Ngược lại, giả sử A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính c1,…,cn

tương ứng với các giá trị riêng 1,…,n

Xây dựng ma trận C với các cột là các vectơ c1,…,cn , nghĩa là

C=[c1,…,cn]

Từ A.C = C.B  B = C-1.A.C Hay A chéo hóa được

2.2 Chéo hóa trực giao

Định nghĩa 1

Cho ma trận vuông A, nếu tồn tại ma trận trực giao C sao cho

C-1.A.C là ma trận chéo thì A gọi là chéo hóa trực giao được, và C gọi là

ma trận làm chéo hóa trực giao ma trận A

Định lý 1

Nếu ma trận vuông A đối xứng thì các vectơ riêng tương ứng với

các giá trị riêng đôi một khác nhau sẽ trực giao với nhau

Chứng minh:

Giả sử  

và 

là các vectơ riêng của ma trận đối xứng A với các

giá trị riêng khác nhau  và 

Do A là ma trận đối xứng nên tồn tại phép biến đổi đối xứng 

nhận A làm ma trận cơ sở Nghĩa là:

Ma trận vuông A làm chéo hóa trực giao được khi và chỉ khi A có n

vectơ riêng trực chuẩn

Chứng minh:

Giả sử ma trận A làm chéo hóa trực giao được và tồn tại ma trận trực giao C sao cho C -1 A.C = B, trong đó B là ma trận chéo ma n vectơ cột của C là các vectơ riêng của A

Mặt khác, C là ma trận trực giao nên theo định nghĩa các vectơ cột của C là hệ trực chuẩn

Ngược lại, giả sử A có n vectơ riêng trực chuẩn c1,…,cn Kí hiệu

Nếu A là ma trận bất kì, A không đối xứng thì C là ma trận có các vectơ cột là các vectơ riêng của A

Nếu A là ma trận đối xứng thì C là một ma trận trực giao, với các vectơ cột là một cơ sở trực chuẩn gồm toàn vectơ riêng của A

Sau đây ta đi nghiên cứu hai dạng bài toán chéo hóa ma trận cơ bản như sau:

2.3.1 Bài toán 1

Cho ma trận AMat(nn,), hãy tìm ma trận khả nghịch

C Mat(nn,) và ma trận B  Mat(nn,) sao cho B = C-1.A.C là ma

trận chéo

Thuật toán để giải bài toán trên như sau:

Bước 1: Sử dụng các phương pháp tìm vectơ riêng - giá trị riêng ở chương 1 để tìm ra các giá trị riêng của A là 1,2,…,k có bội tương

ứng là m1,m2,…,m k (k=1,2,…,p)

Bước 2: Kiểm tra điều kiện chéo hóa

a) Nếu p = n thì A chéo hóa được Khi đó A đồng dạng với ma trận B có dạng:

B=

1 2

0 0

0 0