Chéo hoá ma trận

Đặc biệt trong quá trình học tập các môn học và bài giảng chuyên đề, chúng em đã tiếp thu được một số kiến thức: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, vectơ riêng và giá trị ri

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán, các thầy

cô trong bộ môn Hình học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp em trong thời gian vừa qua Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và

sâu sắc tới cô Đinh Thị Kim Thuý đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em, để

em hoàn thành tốt khoá luận tốt nghiệp và quá trình học tập

Bên cạnh đó, em muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện để em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này

Do điều kiện thời gian có hạn, nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Nguyễn Thị Quỳnh Đông

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận tốt nghiệp này là kết quả của em trong thời gian học tập và nghiên cứu vừa qua, dưới sự hướng dẫn của cô Đinh Thị Kim Thuý

Em xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp về đề tài ― Chéo hoá ma trận‖

không trùng với bất cứ khoá luận tốt nghiệp nào khác

Người thực hiện

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU

1.2 Vectơ riêng – giá trị riêng

1.2.1 Không gian con bất biến

1.2.2 Vectơ riêng – giá trị riêng

1.2.3 Đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính

1.2.4 Định lí Cayley – Hamilton, đa thức tối tiểu

1.2.5 Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu f 1.3 Chéo hóa ma trận của tự đồng cấu

1.4 Chéo hoá trực giao

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chéo hóa ma trận là một vấn đề lý thú và quan trọng của Toán học Nó

có rất nhiều ứng dụng trong các chuyên ngành khác nhau của toán học như:

Giải tích, Hình afin, Vì vậy đề tài ―Chéo hóa ma trận‖ là đề tài hấp dẫn đối

với nhiều lớp sinh viên yêu thích bộ môn hình học

Đặc biệt trong quá trình học tập các môn học và bài giảng chuyên đề, chúng em đã tiếp thu được một số kiến thức: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận, cơ sở trực chuẩn, ma trận trực giao,chéo hóa ma trận và chéo hóa trực giao…Chính những kiến thức này đã tạo cho em niềm say mê và mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về bài toán chéo hóa ma trận

Vì lý do trên và được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô Đinh Thị

Kim Thúy nên em đã quyết định chọn đề tài: “ Chéo hóa ma trận”

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy lôgic đặc thù của bộ môn

Khắc sâu và tìm hiểu những kiến thức về chéo hóa ma trận

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số kiến thức cơ sở lí thuyết liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận

Nghiên cứu hai bài toán chéo hóa ma trận

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp phân tích đánh giá tổng hợp

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu, luận văn gồm 2

chương:

Chương 1: Cơ sở lí thuyết

Chương 2: Bài toán chéo hóa ma trận

B NỘI DUNG CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Ma trận và hạng của ma trận

mj

a a

được gọi là cột thứ j của ma trận A

Khi m = n thì ma trận (aij)nxn được gọi là ma trận vuông cấp n

Kí hiệu A= (a )ij nxn

Định nghĩa 1.2:

Hai ma trận vuông A và B cùng Mat n n K(  , ) ta nói hai ma trận Avà B đồng dạng nếu có một ma trận khả nghịch CMat n n K(  , ) sao cho

j j j

mj

a a a a

Giả sử một ma trận A( )aij Mat m n K(  , ) Khi đó, hạng của ma trận A

bằng cấp cao nhất của các định thức con khác không của A Nói rõ hơn,

r(A) = k nếu có định thức con cấp k của A khác 0 và mọi định thức con cấp lớn hơn k (nếu có) của A đều bằng không

* Quy tắc tính r(A) bằng định thức:

(1 ≤ k ≤ min{n,m})

Bước 2: Ta tính các định thức cấp k + 1 bao Dk (nếu có)

+ Nếu các định thức này cấp k + 1 này đều bằng không thì kết luận r(A) = k

+ Nếu tồn tại một định thức cấp r+1 khác không thì ta tính các định thức cấp k + 2 bao Dk+1 ≠ 0 này (nếu có)

Cứ tiếp tục như vậy ta tìm được r(A)

* Quy tắc tính r(A) bằng phép biến đổi sơ cấp:

Bước 1: Bằng các phép biến đổi sơ cấp đưa A về dạng ma trận bậc

1

1 5

1.2 Vectơ riêng – giá trị riêng

1.2.1 Không gian con ổn định

Định nghĩa 1.7:

Cho một không gian vectơ V trên trường K và f là một tự đồng cấu của V Không gian vectơ con U của V được gọi là một không gian con ổn định đối với f ( hay một không gian f - ổn định) nếu f(U)  U

Ví dụ 1: Đối với tự đồng cấu f: VVbất kì, các không gian con sau đây đều là f – ổn định:  0

; V; Kerf ; Imf

Xét trường hợp không gian con ổn định 1 chiều:

Giả sử L là không gian con f - ổn định một chiều, và  L (  0

)

sao cho ( )f  . (  0

)

Ngược lại nếu có một vectơ    0

( )

f      thì L  L ( )   là một không gian con f - ổn định một chiều

Ta đi tới định nghĩa sau đây:

1.2.2 Vectơ riêng và giá trị riêng

Nhận xét :

Như vậy việc tìm các không gian con một chiều tương đương với việc tìm các vectơ riêng

1.2.3 Đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính

det (f-.idv)= det (A-.En)

1.2.4 Định lí Cayley- hamilton, đa thức tối tiểu

Định lí 1.12 (Cayley- hamilton )

Mỗi ma trận vuông A đều là một nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó

Chứng minh:

của X có bậc không quá (n - 1), nên ta có thể viết:

B(X) = Bn – 1 .Xn – 1 + + B1.X + Bo

trong đó Bo, , Bn – 1 là những ma trận vuông cấp n với các phần tử trong K (không phụ thuộc X)

Mà ta có : (A – X.En)B(X) = det (A – X.En)En = PA(X).En

Thay X = A vào đẳng thức trên ta được :

PA(A)En = (A – A.En)B(A) = 0.B(A) = 0

Điều đó có nghĩa là: PA(A) = 0

Định nghĩa 1.13:

a Đa thức tối tiểu của ma trận A, được kí hiệu: A X là đa thức với

hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong những đa thức khác không nhận A làm một nghiệm

b Đa thức tối tiểu của đồng cấu f được kí hiệu: f  X là đa thức với

hệ số bậc cao nhất bằng 1 và bậc nhỏ nhất trong những đa thức khác không nhận f làm một nghiệm

1.2.5 Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu f

Bước 2: Lập đa thức đặc trưng det(A-.En) của ma trận A

Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n đối với ẩn λ :

Ví dụ 1:

Cho tự đồng cấu f : V  Vcó ma trận A trong cơ sở {e e e  1, ,2 3

} của V là:

Với = -1 ta giải hệ phương trình:

Có nghiệm không tầm thường là :( x1= a, x2= a, x3= -a) với (a0)

Vậy vectơ = a.(e1

( Vì lấy mỗi hàng (kể từ hàng thứ 2) trừ đi cho hàng đứng trước nó)

Khai triển theo cột cuối ta được :

+ Nếu khai triển det (A-.En) theo lũy thừa  thì ta có det (A-.En) là

đa thức bậc n của  Kí hiệu:D() và gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A: D() = (-1)n.[n

- P1.n-1

-…- Pn-1. - Pn] + Nếu φ(A) = ao .An + a1.An-1 + …+ an .En = 0 ta nói rằng đa thức

với

D(A) = (-1)n[An - P1 .An-1 - …- Pn.En] = 0

D(At) = (-1)n[(At) - P1.(At)n—1 -…- Pn .En] = 0

Trong tập hợp các đa thức nhận A làm nghiệm sẽ tồn tại duy nhất đa

A làm nghiệm là đa thức tối tiểu của ma trận A

+ Với vec tơ bất kỳ C(o)

= (C1(o), , Cn(o)) xác định hệ véctơ bất kì (C(i))ni=0 bởi C(i) = A C(i-1) i = 0,…, n

Từ định lí Cayley- hamilton ta có D(A).C(o)

tối thiểu của ma trận A là:

Đây chính là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất ẩn là α1, ,αm

trường hợp này ta không xác định được tất cả giá trị riêng của A

- Tiếp theo tìm các vectơ riêng của ma trận A

Giả sử hệ C(o),…, C(n-1)

là hệ vectơ độc lập tuyến tính (trong trường hợp ngược lại, chúng ta lấy C(o),…, C(m)

là hệ vec tơ độc lập tuyến tính tối đại của

hệ vectơ trên) Khi đó vectơ riêng xi

của ma trận A ứng với giá trị riêng λi sẽ tìm được ở dạng sau đây:

= d1.C(n-1) + d2 .C(n-2) + …+ dn .C(o)Chú ý rằng: A xi

Chọn d1 bất kì khác 0, hệ này cho di,  i 1,n và từ đó tìm được các vectơxi

* Tóm lại phương pháp krylov gồm các bước như sau:

Bước 1: Lấy vectơ C(o) = (C1(o),…, Cn(o)) bất kì, xác định hệ vectơ (C(i))ni=0 bởi công thức: C(i) = A C(i-1)  i 0,n , trong đó A là ma trận biểu thị 1 cơ sở nào đó của f

Bước 2 : Xác định được Pi theo hệ phương trình :

từ đó tính được các giá trị riêng

Giải phương trình trên ta được : 1 = 1; 2 = 4; 3 = 3

Vậy ma trận A có các giá trị riêng là : 1 = 1; 2 = 4; 3 = 3

c Phương pháp Leverie

Giả sử φ() = n

+ P1.n-1

+…+ Pn-1. + Pn có các nghiệm là: 1, 2, … ,n (kể cả nghiệm bội )

n i i

* Tóm lại thuật Leverie gồm các bước :

Bước 1: Tính Ak k1,n sau đó tính vết của ma trận Ak là:

- Phương pháp Leverie dùng để tìm đa thức đặc trưng của ma trận A

Từ đa thức đặc trưng đó của ma trận ta tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận bằng phương pháp đã biết

- Phương pháp Leverie là phương pháp đơn giản nhất về mặt lí tưởng

để có thể áp dụng cho mọi trường hợp

Ví dụ 4:

Hãy tìm đa thức đặc trưng của ma trận A bằng phương pháp Leverie từ

đó xác định các giá trị riêng và vectơ riêng ứng với giá trị riêng của ma trận

1 3

2

1 3

ii i

ii i

Vậy vectơ riêng ứng với giá trị riêng 1= 0 là :

Hệ này có nghiệm không tầm thường là: ( 0, a, -2a) (a  0)

Vậy vectơ riêng ứng với giá trị riêng 2 = 3 là :

2

 = a (e2 2e3), (a  0)

Với 3 = 2 ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Hệ này có nghiệm không tầm thường là: ( -a, -a, a) (a  0)

Vậy vectơ riêng ứng với giá trị riêng 3 = 2 là :

3

 = a (e 1 e2 e3), (a  0)

1.3 Chéo hóa ma trận của tự đồng cấu

Định nghĩa 1.114:

chéo hóa được nếu ta tìm được một cơ sở V gồm những vectơ riêng của f Nói cách khác f chéo hóa được nếu có một cơ sở của V mà ma trận của f đối với

cơ sở đó là ma trận chéo

Gọi A Mat n n K   ,  là ma trận của f trong một cơ sở bất kì của V Từ định nghĩa ta suy ngay ra rằng f chéo hóa được nếu và chỉ nếu tồn tại một ma trận CMat n n K  , không suy biến (detC ≠ 0) và C-1

.A.C có dạng chéo nghĩa là:

Giả sử A là ma trận trong một cơ sở nào đó của V thì f chéo hóa được khi và chỉ khi ma trận A của f đồng dạng với ma trận chéo

Định nghĩa 1.15:

Ma trận A Mat n n K   ,  đồng dạng với ma trận chéo

 , 

BMat n n K thì A được gọi là ma trận chéo hóa được

được

Định lí 1.16:

Giả sử 1, ,mlà những vectơ riêng của tự đồng cấu

f: V  Vứng với những giá trị riêng đôi một khác nhau 1, ,m Khi đó hệ vectơ 1, ,m độc lập tuyến tính

Chứng minh : Định lí được chứng minh quy nạp theo m

Với m =1 vectơ riêng 10 nên hệ gồm một vectơ  1 độc lập tuyến tính

Giả sử quy nạp rằng định lí được khẳng định đối với hệ gồm m -1 vectơ Xét hệ vectơ riêng 1, ,m ứng m giá trị riêng đôi một khác nhau

Do  m i 0 với i = 1,…, m-1 nên suy ra 1   m1 0

Thay các giá trị này vào đẳng thức (1) được  m.m 0 Vì vectơ riêng

0

m

   nên m 0

Tóm lại: 1  m1m 0 Chứng tỏ hệ 1, ,m độc lập tuyến tính

f và ma trận của nó trong cơ sở bất kì của V chéo hóa được.

trong đó 1, ,k là các vô hướng đôi một khác nhau trong K

b rank (A -i.En) = n – mk ở đây mi là bội của i xem như là nghiệm của đa thức đặc trưng ( )P X f

Chứng minh:

Giả sử f chéo hóa được.Khi đó ta phải chứng minh f thỏa mãn hai điều kiện a và b

i ≠ j nào đó

Nên ta có:

Rank( f - i.idv) = rank (A -i.En) = n – mk với i = 1, ,k

Giả sử ngược lại, f thỏa mãn các điều kiện a và b Ta phải chứng minh f chéo hóa được

Xét không gian con riêng của f ứng với giá trị riêng i là:

Vi = Ker( f – λi.idv), i = 1,…, k

Ta có:

dim V = dim Ker( f – λi.idv) = n - Rank( f - i.idv) = n – ( n - mi ) = mi

Theo định lí 1.17, các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng đôi một khác nhau thì lập thành một hệ độc lập tuyến tính nên :

j

V  V   Mặt khác , n = m1 + ….+ mk nên ta có :

Hệ quả 1.20:

Nếu klà nghiệm bội mk của phương trình đặc trưng của ma trận A vuông cấp n và nếu :

Rank ( A - k.En) = n - mk

thì A có mk vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng k

1.4 Chéo hóa trực giao

1.4.1 Cơ sơ trực chuẩn

Định nghĩa 1.21:

a Cho một cơ sở gồm n vectơ {e e 1, , ,2 en

} của không gian Euclid n chiều được gọi là một cơ sở trực giao nếu các vectơ của cơ sở đôi một vuông góc với nhau, tức là:

i j

e e   nếu i j

b Cho một cơ sở gồm n vectơ {e e 1, , ,2 en

} của không gian Euclid n chiều gọi là một cơ sở trực chuẩn nếu nó là một cơ sở trực giao và chuẩn của mọi vectơ trong cơ sở đều bằng 1, tức là:

ij

0,

} là một cơ sở bất kì của không gian vectơ Euclid E Ta

1 2

{ , , , }   n của hệ {e1, ,en

} nhờ phương pháp trực chuẩn hóa Gram – Schmidt

1.4.2 Phương pháp trực giao trực chuẩn Gram - Schmidt

nếunếu

i i



1 2

{ , , , }   n là một

cơ sở trực chuẩn của hệ {e1, ,en

} trong E bằng phương pháp trực chuẩn hóa Gram – Schmidt

( Vì đây là ma trận không suy biến có định thức cơ sở cấp 3 khác 0)

là:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 2 2, ,

thì nhận được cơ sở trực chuẩn { , , }    1 2 3 của hệ     1, 2, 3trong R3

Vậy cơ sở trực chuẩn từ ba vectơ    1, 2, 3 là:

Nói cách khác, nếu hệ vectơ cột của A là một hệ trực chuẩn trong Rn với tích

vô hướng chính tắc thì A là ma trận trực giao

= En

Chứng minh :

   i  ii Giả sử At.A = En Khi đó (detA)2

= det(At.A) = detEn = 1 Do

.A = En với A-1 từ bên phải, ta được At

= At.A.A-1 = En.A-1 = A-1

   ii  iii Bây giờ ta lại nhân hai vế của đẳng thức At = A-1 với A từ bên trái, ta được At.A = En

Như vậy ta đã chứng minh rằng      i  ii  iii

Suy luận ngược lại được tiến hành hoàn toàn tương tự.

Định nghĩa 1.25:

làm chéo hóa trực giao ma trận A

Định lí 1.26:

Phép biến đổi trực giao tuyến tính φ của không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều E là đối xứng nếu và chỉ nếu có một cơ sở trực chuẩn của E gồm toàn những vectơ riêng của φ

Chứng minh :

Nếu E có một cơ sở trực chuẩn gồm những vectơ riêng của φ thì ma trận của φ trong cơ sở đó là một ma trận chéo và do đó đối xứng

Ngược lại, giả sử φ đối xứng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo

n = dimE có một cơ sở trực chuẩn gồm toàn những vectơ riêng của φ

Kết luận là hiển nhiên đúng với n = 1, vì khi đó mỗi vectơ khác nhau trong E đều là vectơ riêng của φ

Giả sử quy nạp rằng kết luận đúng với mọi không gian có số chiều nhỏ hơn n Khi đó, φ sẽ có một giá trị riêng thực λ1

của L e 1 

gồm toàn vec tơ riêng của φ Khi đó hệ (e e e  1, 2, , ,3 en)

là cơ sở trực chuẩn của

Hệ quả 1.27:

Mọi ma trận thực đối xứng chéo hóa được được nhờ các ma trận trực giao Cụ thể hơn, nếu A là một ma trận thực đối xứng, thì tồn tại một ma trận

.A.Q = Qt.A.Q là ma trận chéo

Chứng minh :

Chọn một không gian Euclid E có số chiều n là số hàng và số cột của

ma trận A Gọi φ là một tự đồng cấu của E nhận A làm ma trận trong một cơ

CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 2.1 Bài toán 1

Để giải bài toán 1 ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1 : Sử dụng các phương pháp tìm các vectơ riêng - giá trị riêng

ở chương 1 để tìm ra các giá trị riêng của A là 1, ,k có bội tương ứng là

m1, m2, , mk ( k = 1, 2,…, p)

Bước 2 : Kiểm tra các điều kiện chéo hóa:

a Nếu p = n thì A chéo hóa được

b Nếu k ( k = 1, 2,…, p) mà Rank (A - kEn) = n- mk thì A chéo hóa được

c Nếu tồn tại k sao cho Rank (A - kEn ) ≠ n - mk thì A không chéo hóa được

Nếu A chéo hóa được thì A đồng dạng với ma trận B có dạng:

1 2 3