Chéo hoá ma trận

Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa toán, thầy cô môn Hình học trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp em thời gian vừa qua Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô Đinh Thị Kim Thuý tận tình hướng dẫn giúp đỡ em, để em hoàn thành tốt khoá luận tốt nghiệp trình học tập Bên cạnh đó, em muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè tạo điều kiện để em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Do điều kiện thời gian có hạn, nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Đông Nguyễn Thị Quỳnh Đông K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Khoá luận tốt nghiệp kết em thời gian học tập nghiên cứu vừa qua, hướng dẫn cô Đinh Thị Kim Thuý Em xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp đề tài ― Chéo hoá ma trận‖ không trùng với khoá luận tốt nghiệp khác Ngƣời thực Nguyễn Thị Quỳnh Đông Nguyễn Thị Quỳnh Đông K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn B NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Ma trận hạng ma trận 1.1.1 Ma trận 1.1.2 Hạng ma trận 1.2 Vectơ riêng – giá trị riêng 1.2.1 Không gian bất biến 1.2.2 Vectơ riêng – giá trị riêng 1.2.3 Đa thức đặc trưng phép biến đổi tuyến tính 1.2.4 Định lí Cayley – Hamilton, đa thức tối tiểu 1.2.5 Các phương pháp tính giá trị riêng vectơ riêng tự đồng cấu f 1.3 Chéo hóa ma trận tự đồng cấu 1.4 Chéo hoá trực giao 1.4.1 Cơ sở trực chuẩn 1.4.2 Phương pháp trực giao trực chuẩn Gram – Schmidt 1.4.3 Ma trận trực giao Chương BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 2.1 Bài toán 2.2 Bài toán 2.3 Bài tập C KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thị Quỳnh Đông K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chéo hóa ma trận vấn đề lý thú quan trọng Toán học Nó có nhiều ứng dụng chuyên ngành khác toán học như: Giải tích, Hình afin, Vì đề tài ―Chéo hóa ma trận‖ đề tài hấp dẫn nhiều lớp sinh viên yêu thích môn hình học Đặc biệt trình học tập môn học giảng chuyên đề, chúng em tiếp thu số kiến thức: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, vectơ riêng giá trị riêng ma trận, sở trực chuẩn, ma trận trực giao,chéo hóa ma trận chéo hóa trực giao…Chính kiến thức tạo cho em niềm say mê mong muốn tìm hiểu kĩ toán chéo hóa ma trận Vì lý hướng dẫn, giúp đỡ tận tình cô Đinh Thị Kim Thúy nên em định chọn đề tài: “ Chéo hóa ma trận” Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư lôgic đặc thù môn Khắc sâu tìm hiểu kiến thức chéo hóa ma trận Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số kiến thức sở lí thuyết liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận Nghiên cứu hai toán chéo hóa ma trận Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp phân tích đánh giá tổng hợp Nguyễn Thị Quỳnh Đông K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu, luận văn gồm chương: Chương 1: Cơ sở lí thuyết Chương 2: Bài toán chéo hóa ma trận Nguyễn Thị Quỳnh Đông K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp B NỘI DUNG CHƢƠNG CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Ma trận hạng ma trận 1.1.1 Ma trận Định nghĩa 1.1: Cho K trường tuỳ ý Một bảng gồm mxn phần tử aij  K (1≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n) có dạng:  a11 a12   a21 a22    am1 am a1n   a2 n    amn  gọi ma trận kiểu (m,n) Mỗi aij gọi thành phần ma trận Kí hiệu : A = ( aij )mxn Vectơ dòng ( hay hàng)  ai1 ain  gọi dòng (hay hàng) thứ i ma trận A  a1j     a2j  Vectơ cột   gọi cột thứ j ma trận A    amj  Khi m = n ma trận ( aij )nxn gọi ma trận vuông cấp n Kí hiệu A= ( aij )nxn Định nghĩa 1.2: Hai ma trận vuông A B  Mat (n  n, K ) ta nói hai ma trận Avà B đồng dạng có ma trận khả nghịch C  Mat (n  n, K ) cho Nguyễn Thị Quỳnh Đông K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp B =C-1AC Định nghĩa 1.3: Ma trận A gọi đối xứng At = A 1.1.2 Hạng ma trận Định nghĩa 1.4: Cho ma trận A có dạng : A  (aij )mn  a11 a12  a a22   21    am1 am a1n   a2 n    amn    Hạng ma trận A hạng hệ vectơ cột a1 , , an  với  a1 j      a2 j  aj      a   mj  (j=1,…,n) Kí hiệu là: r(A) rank(A) Định lí 1.5: Giả sử ma trận A  (aij )  Mat (m  n, K ) Khi đó, hạng ma trận A cấp cao định thức khác không A Nói rõ hơn, r(A) = k có định thức cấp k A khác định thức cấp lớn k (nếu có) A không Nhận xét: Định thức cấp r A định lí 1.5 gọi định thức sở ma trận A Hệ 1.6: Hạng ma trận hạng vectơ hàng Chú ý: Một ma trận có nhiều định thức sở khác cấp chúng hạng ma trận Nguyễn Thị Quỳnh Đông K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp * Quy tắc tính r(A) định thức: Bước 1: Bằng cách ta tìm định thức Dk cấp k ≠ (1 ≤ k ≤ min{n,m}) Bước 2: Ta tính định thức cấp k + bao Dk (nếu có) + Nếu định thức cấp k + không kết luận r(A) = k + Nếu tồn định thức cấp r+1 khác không ta tính định thức cấp k + bao Dk+1 ≠ (nếu có) Cứ tiếp tục ta tìm r(A) Ví dụ 1: Tính hạng ma trận sau:  1    A     1 1 1  2  1   Lời giải: Ta thấy D2  1  1  0 Vì D2 ≠ nên xét tiếp định thức cấp bao D2 là: 1 0 D3  1  1  Vì D3 ≠ nên xét tiếp định thức cấp bao D3 bao là: Nguyễn Thị Quỳnh Đông K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp 1 D4  1 1 0 1 Vậy r(A)=3 * Quy tắc tính r(A) phép biến đổi sơ cấp: Bước 1: Bằng phép biến đổi sơ cấp đưa A dạng ma trận bậc thang A Bước 2: Đếm số hàng khác không A , số r(A) Ví dụ 2: Tìm giá trị  cho ma trận sau có hạng thấp nhất: 3   A 1  2 1 4  10  17   3 Lời giải: Thực phép biến đổi sơ cấp: 3   1  2 1 4  17   17     10  L3  L1   10  3 L1  L3  L3  10     2 L1  L4  L4  1 4  20 50 17      3  2 3  12 30  17   17    L3  L3  10   1 L3  L4  L4   10      L4  L4    10  10      10   0 0 3  1 5  3 Như ta thấy r(A)min =   0 Vậy   ma trận có hạng nhỏ Nguyễn Thị Quỳnh Đông K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp 1.2 Vectơ riêng – giá trị riêng 1.2.1 Không gian ổn định Định nghĩa 1.7: Cho không gian vectơ V trường K f tự đồng cấu V Không gian vectơ U V gọi không gian ổn định f ( hay không gian f - ổn định) f(U)  U Ví dụ 1: Đối với tự đồng cấu f: V  V bất kì, không gian sau  f – ổn định: ; V; Kerf ; Imf  Xét trường hợp không gian ổn định chiều:    Giả sử L không gian f - ổn định chiều,   L (   )  Khi (  ) sở L Vì f(L)  L có vô hướng   K     cho f ( )  . (   )   Ngược lại có vectơ   vô hướng   K cho    f ( )   L  L( ) không gian f - ổn định chiều Ta tới định nghĩa sau đây: 1.2.2 Vectơ riêng giá trị riêng Định nghĩa 1.8: Giả sử f tự đồng cấu K-không gian vectơ V Nếu có vectơ       vô hướng   K cho f( ) =    gọi giá trị riêng f vectơ   gọi vectơ riêng f ứng với giá trị riêng  Nhận xét : Như việc tìm không gian chiều tương đương với việc tìm vectơ riêng Nguyễn Thị Quỳnh Đông 10 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp - n chẵn: Làm tương tự trường hợp n lẻ ta có điều kiện cần đủ để f chéo hóa là: a1.an  0, a2 an1  0, ., an an  2 1 Hoặc a1  a2   an  * Trường hợp K = C thì: - n chẵn: f chéo hóa khi: a1.an  0, a2 an1  0, ., an1.an3  2 Hoặc a1  an  a2  an1   an1  an3  2 - n lẻ: f chéo hóa khi: a1.an  0, a2 an1  0, ., an an  2 1 Hoặc a1  a2   an  2.2 Bài toán a Bài toán Cho ma trận đối xứng A  Mat  n  n, K  , tìm ma trận trực giao Q  Mat  n  n, K  ma trận B  Mat  n  n, K  cho ma trận B = Q-1.A.Q ma trận chéo Lời giải: Để giải toán ta tiến hành theo bước sau: Bước : Sử dụng phương pháp tìm vectơ riêng - giá trị riêng chương để tìm giá trị riêng A Bước 2: Tìm sở trực chuẩn cho không gian riêng ứng với giá trị riêng a Nếu  k bội mk = lấy vectơ riêng ứng với  k chuẩn hóa Nguyễn Thị Quỳnh Đông 41 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp b Nếu  k bội mk > ta tìm sở trực giao không gian riêng ứng với  k hai cách sau : - Cách 1: Tìm sở không gian riêng ứng với  k sau áp dụng trình trực chuẩn hóa Gram- Schmidt để sở trực chuẩn - Cách 2:Từ công thức nghiệm hệ (A-  k.En)x = ta lấy   vectơ a1 có chuẩn sau tìm vectơ nghiệm khác a2 thỏa mãn:        a1 , a2    a2 , a2  Tiếp tục trình cho vectơ nghiệm sau trực giao với vectơ nghiệm chọn trước có chuẩn Cuối ta sở trực chuẩn không gian riêng ứng với giá trị riêng  k ( k  1, n ) Và ghép chúng lại ta sở trực chuẩn gồm vectơ riêng Bước 3: - Lập ma trận Q có cột thứ j tọa độ vectơ thứ j sở vừa tìm bước - Lập ma trận chéo B có phần tử đường chéo giá trị riêng A, phần tử khác không 2.2.2 Các ví dụ Ví dụ 1: Cho ma trận A, tìm ma trận trực giao Q cho B = Q-1AQ ma trận chéo   A   2   2   0   Lời giải: Nguyễn Thị Quỳnh Đông 42 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Lấy C(o) = (1, 0, 0) 2    (1, 0, 0)  7    C(1) = A.C(o) =  2    C(1) = (6, -2, 2) Tương tự ta có: C(2) = (44, -22, 26); C(3) = (360, -198, 270); Vậy P1.C(2) + P2 C(1) + P3 C(o) = C(3)  P1.(44, -22, 26) + P2.(6, -2, 2) + P3.(1, 0, 0) = (360, -198, 270)  (44.P1+ 6.P2 + P3 , - 22.P1 - P2 , 26.P1 + 2.P2 ) = (360, -198, 270)   44.P  6.P  22.P1  2.P2  26.P + 2.P   18  P1  P3  360   198   P2  99   270  P3  162 Từ có đa thức đặc trưng A là:  – 18  + 99  – 162 =  (  6).( 12.  27)  Giải phương trình ta :  = 6;  = 9;  = Vậy ma trận A có giá trị riêng là:  = 6;  = 9;  = Với  = 6, xét hệ:  d1.P1  d1.P2   d1.P3  18.d1   99.d1  162.d1  1.d1  1.d2  1.d3  d2   d3  0  6.d1  d2   6.d2  d3   6.d3 0 Chọn d1 = , ta có : d2 = -12, d3 = 27  Vậy vectơ riêng  có dạng :   = 1.C(2) + (-12).C(1) + 27.C(o) Nguyễn Thị Quỳnh Đông 43 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp    = (44, -22, 26) – 12.( 6, -2, 2) + 27.( 1, 0, 0)    = ( -1, 2, 2)   1 2 Chuẩn hóa 1 được: e1  ( , , ) 3 Với  = 9, xét hệ :  2 d2  2 d2  2 d3  d1.P1  d1.P2   d1.P3  18.d1   99.d1  162.d1  d2   d3  0  9.d1  d2   9.d2  d3   9.d3 0 Chọn d1 = ta có :d2 = -9, d3 = 18  Vậy vectơ riêng  có dạng :   = 1.C(2) + (-9).C(1) + 18.C(o)    = (44, -22, 26) – 9.( 6, -2, 2) +18.( 1, 0, 0)    = ( 8, -4, 8) 1   Chuẩn hóa  được: e2  ( , , ) 3 Với  = 3, xét hệ:  d1.P1  d1.P2   d1.P3  18.d1   99.d1  162.d1  3.d1  3.d2  3.d3  d2   d3  0  3.d1  d2   3.d2  d3   3.d3 0 Chọn d1 = 1, ta có :d2 = - 15, d3 = 54 Nguyễn Thị Quỳnh Đông 44 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp  Vậy vectơ riêng  có dạng :   = 1.C(2) + (-15).C(1) + 54.C(o)    = (44, -22, 26) – 15.( 6, -2, 2) + 54.( 1, 0, 0)    = ( 8, 8, -4) 2 1   Chuẩn hóa  được: e3  ( , , ) 3    Vậy ( e1 , e2 , e3 ) sở trực chuẩn gồm toàn vectơ riêng A Ma trận trực giao làm chéo hóa ma trận A là:  1    Q     2 3  1  3  1   3 Ma trận chéo B là: 6  B  0  0 0  0  3 Ví dụ 2: Cho ma trận A, tìm ma trận Q để đưa A dạng đường chéo B=Q-1 A.Q Tìm ma trận B 1  A2  2  2  2   Lời giải: Ta có : Nguyễn Thị Quỳnh Đông 45 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp 2 1 2 9 8     2       1 2 1 8 9 1  A2    2  1  A  A A    2  2   8   41 42 42          42 41 42       8   42 42 41    Ta có : S1  Tr  A   aii     i 1 S2  Tr  A2    aii 2     27 i 1 S3  Tr  A    aii3  41  41  41  123 3 i 1 Ta có :   P1    P2    P3    S1   (S2  P1.S1 )   P1    P2    P3    (S3  P1.S2  P2 S1 )  3   (27  9)  9   (123  3.27  9.3)  5 Vậy đa thức đặc trưng ma trận A :        3.  9.  Các giá trị riêng ma trận A nghiệm phương trình :   3.  9.        1       5     1 (bội 1) (bội 2) Với  = 5, xét hệ phương trình : Nguyễn Thị Quỳnh Đông 46 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp 4.x  2.x   2.x 1  2.x2  4.x2  2.x2  2.x3   2.x3   4.x3   x1  t  x1  x3     x2  t  x2  x3  x  t  t  0   Chọn 1 = ( 1, 1, 1) vectơ riêng ứng với  = 5, chuẩn hóa 1   1  , ,   3 3 e1   Với  =  = -1 giải hệ (A-  E3).x =0  2.x   2.x  2.x 1  2.x2  2.x2  2.x2  2.x3   2.x3   2.x3   x1  x2  x3   x  x  x  t1  t2  t1  t  t1 , t2   Để tìm sở trực chuẩn không gian riêng ứng với  =  = -1 ta tìm theo cách: - Cách 1: Cơ sở không gian riêng ứng với  =  = -1 là:   a2  (1,0, 1) ; a3  (0,1, 1)   Trực chuẩn hóa Gram- Schmidt hệ {a2 , a3} :   e2  a2  (1,0, 1) ;   e2 , a3    e3  a3    e2 e2 , e2   e2 , a3  1  e3  (0,1, 1)  (1,0, 1) ; với   = ; 2 e2 , e2 Nguyễn Thị Quỳnh Đông 47 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp  1 1  e3  ( ,1, ) 2 1     1 1 , ) Chuẩn hóa e2 , e3 được:   ( ,0, ) ;   ( , 6 2   - Cách 2: Vectơ riêng có dạng x   x1 , x2 ,  x1  x2  , Chọn a2  (1,0, 1) 1   Chuẩn hóa a2  (1,0, 1) ta   ( ,0, ) 2   ,    Tìm  = ( x1, x2, x3) cho thỏa mãn hệ:      ;   (1) (2) Giải (1) ta x1 – x3 =  x1 – (- x1 – x2) =  x2 = - 2.x1  1 1 , ) Kết hợp với (2), chọn x1 = ta :   ( , 6 Vậy ma trận trực giao làm chéo hóa ma trận A là:     Q      3 2 1   6  ; 6  1   Ma trận chéo B là: 5  B  0  0 0  1   1 Ví dụ 3: Cho ma trận thực A: Nguyễn Thị Quỳnh Đông 48 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp  0     0    A     0     0    Hãy tìm ma trận trực giao Q để Q-1.A.Q có dạng chéo Lời giải: * Trường hợp 1: n chẵn (n = 2k) Đa thức đặc trưng A là:  A   En  D2 k     0  0  0    0  0  0  1  0 (do khai triển dòng thứ định thức)  0    1  0    0        1 D2. k 1 Quy nạp theo k ta suy D2 k     1 k Vậy A có hai giá trị riêng 1  (bội k) 2  1 (bội k) Nguyễn Thị Quỳnh Đông 49 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Với 1  ta dễ dàng tìm sở trực chuẩn là:   1  u1   ,0, ,0,  2    1  u2   0, , , ,0  2     1  uk   0,0, , , , ,0  2   Với 2  1 ta dễ dàng tìm sở trực chuẩn là:   1  uk 1   0,0, , , , ,  2     1  u2 k 1   0, , , ,0  2      1 u2 k   , 0, , 0,  2  Vậy ma trận trực giao Q là:        Q        1 1 2 1 0 1   2            * Trường hợp 2: n lẻ (n = 2k+1) Khai triển theo dòng thứ k+1 sau tính trường hợp n chẵn, ta được: A   E2 k 1  D2 k 1  1       1 k Vậy A có hai giá trị riêng 1  (bội k+1) 2  1 (bội k) Nguyễn Thị Quỳnh Đông 50 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Từ suy ma trận trực giao C trường hợp giống n chẵn 2.3 Bài tập Bài 1: Trong ma trận A ma trận chéo hóa được? Nếu tìm ma trận C làm chéo hóa A tìm ma trận B biết B = C-1 A.C 3 a A   2 3  b A   i  0 4 ;  3  1 d A   3 4  1    c A   1      1 i   0  4 1 1 0  0  3  1  Gợi ý: a A chéo hóa : 2   1   ; B     1   5 1 C   b A chéo hóa và: 1  C  i 2 0 i 0  ;  2 1  B  0  0 0  i 0  i  c Không chéo hóa d Không chéo hóa Bài 2: Cho f : R3 → R3 xác định bởi: f ( x1, x2, x3) = (4.x1 – 5.x2 + 2.x3, 5.x1 – 7.x2 + 3.x3, 6.x1 – 9.x2 + 4.x3) tìm sở R3 để sở ma trận f có dạng chéo tìm ma trận chéo Nguyễn Thị Quỳnh Đông 51 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Gợi ý: Ta có ma trận A sở tắc R3 là:  6   A   5 7     4    Cơ sở là: 1  (1,1,1);  (1,1,0);  (1,0, 3) ma trận chéo là: 1  C  0  0 0  0  1 Bài 3: Chứng minh ma trận vuông A giao hoán với tất ma trận vuông cấp chéo hóa Gợi ý: - Giả sử A ma trận vuông cấp n - Vì A giao hoán với tất ma trận vuông cấp n nên A giao  1  0 hoán với ma trận chéo B, với B =   0  2 0  0   n  - Sử dụng tính chất giao hoán suy A có dạng chéo nên A chéo hóa Bài 4: Cho ma trận A : a 0  A  1  1 1  1   Nguyễn Thị Quỳnh Đông ; 1    A   1      1 b 52 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp c 1  0 A 0 0  0 0 0 0 0  0  0  ; 1 1   1 1 1 A  1 1 1 1 1 1    d Hãy tìm ma trận trực giao Q cho để đưa A dạng đường chéo B = Q-1AQ Gợi ý:     a Q        c       Q          1 2   3   3    6 2 1 1 2 1 0 Nguyễn Thị Quỳnh Đông ; b    Q             d Q                 ;   2    53 30 2 30 5  6 2   6  6  30 12 1   1 1 12   1 12  12 0   2       K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp C KẾT LUẬN Trong khóa luận tốt nghiệp em nghiên cứu số vấn đề sau đây: Ma trận hạng ma trận, vectơ riêng - giá trị riêng, chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao hai toán chéo hóa ma trận Khóa luận tốt nghiệp mang tính chất tổng quan em trình bày cụ thể số kiến thức chéo hóa ma trận Em nêu số nhận xét, ý ví dụ cụ thể để hiểu rõ nội dung khóa luận đề cập đến Mong tài liệu bổ ích cho bạn quan tâm đến đề tài Để hoàn thành tốt khóa luận em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Hình học, đặc biệt cô Đinh Thị Kim Thúy tận tình giúp đỡ em suốt trình thực đề tài Do thời gian có hạn, lần làm quen với nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân hạn chế nên khóa luận em nhiều thiếu sót Em hi vọng nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn Nguyễn Thị Quỳnh Đông 54 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khu Quốc Anh - Nguyễn Anh Kiệt - Tạ Mẫn - Nguyễn Doãn Tuấn (2001), Bài tập đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2001), Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đoàn Quỳnh (chủ biên) (1996), Giáo trình đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Lương Hữu Thành (1998), Hướng dẫn giải tập đại số tuyến tính, Trường Đại học Giao thông vận tải [5] Phan Hồng Trường (2001), Giáo trình đại số tuyến tính, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Nguyễn Thị Quỳnh Đông 55 K32G Toán [...]... Giả sử A là ma trận trong một cơ sở nào đó của V thì f chéo hóa được khi và chỉ khi ma trận A của f đồng dạng với ma trận chéo Định nghĩa 1.15: Ma trận A  Mat  n  n, K  đồng dạng với ma trận chéo B  Mat  n  n, K  thì A được gọi là ma trận chéo hóa được Nếu A chéo hóa được thì mọi ma trận đồng dạng với nó cũng chéo hóa được Định lí 1.16:   Giả sử 1, , m là những vectơ riêng của tự đồng... tương tự  Định nghĩa 1.25: Cho ma trận vuông A, nếu tồn tại ma trận trực giao Q sao cho Q-1AQ là ma trận chéo thì ta nói A chéo hóa trực giao được và Q là ma trận làm chéo hóa trực giao ma trận A + Khi đó ta có : B = Q-1 A.Q là ma trận chéo suy ra: B = Bt = (Q-1.A.Q )t = Qt At (Q-1)t = Q-1 A.Q ( vì Qt =Q-1 không suy biến )  A= At Nếu A là ma trận trực giao thì A chéo hóa được Nguyễn Thị Quỳnh Đông... 1.27: Mọi ma trận thực đối xứng chéo hóa được được nhờ các ma trận trực giao Cụ thể hơn, nếu A là một ma trận thực đối xứng, thì tồn tại một ma trận trực giao Q để sao cho B = Q-1.A.Q = Qt.A.Q là ma trận chéo Chứng minh : Nguyễn Thị Quỳnh Đông 32 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Chọn một không gian Euclid E có số chiều n là số hàng và số cột của ma trận A Gọi φ là một tự đồng cấu của E nhận A làm ma trận. .. tồn tại một ma trận C  Mat  n  n, K  không suy biến (detC ≠ 0) và C-1.A.C có dạng chéo nghĩa là:  1  0 -1 C AC =   0  0 2 0  0   0 n  Việc tìm một ma trận khả nghịch C (nếu có ) để C-1AC là một ma trận chéo gọi là việc chéo hóa ma trận A Nhận xét : Nguyễn Thị Quỳnh Đông 24 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Giả sử A là ma trận trong một cơ sở nào đó của V thì f chéo hóa được... hóa trực giao được là A đối xứng Nguyễn Thị Quỳnh Đông 33 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 2 BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 2.1 Bài toán 1 a Bài toán Cho ma trận A  Mat  n  n, K  , hãy tìm ma trận khả nghịch C  Mat  n  n, K  và ma trận B  Mat  n  n, K  sao cho B = C-1.A.C là ma trận chéo Lời giải: Để giải bài toán 1 ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1 : Sử dụng các phương pháp tìm các... 1.3 Chéo hóa ma trận của tự đồng cấu Định nghĩa 1.114: Tự đồng cấu f của K- không gian vectơ hữu hạn chiều V được gọi là chéo hóa được nếu ta tìm được một cơ sở V gồm những vectơ riêng của f Nói cách khác f chéo hóa được nếu có một cơ sở của V mà ma trận của f đối với cơ sở đó là ma trận chéo Gọi A  Mat  n  n, K  là ma trận của f trong một cơ sở bất kì của V Từ định nghĩa ta suy ngay ra rằng f chéo. .. (vì A là một ma trận đối xứng)   Theo định lí 1.27 thì có một cơ sở trực chuẩn 1, ,  n của E gồm các vectơ riêng của φ Ma trận B của φ trong cơ sở này hiển nhiên là một ma trận    chéo Gọi Q là một ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn (e1 , e2 , , en ) sang cơ   sở trực chuẩn 1, ,  n Khi đó, Q là một ma trận trực giao Hơn nữa, ta có : B = Q-1.A.Q = Qt.A.Q  Định lí 1.28: Nếu ma trận vuông A... 1.4.3 Ma trận trực giao Định nghĩa 1.23: Ma trận thực A vuông cấp n được gọi là ma trận trực giao nếu At.A=En Nguyễn Thị Quỳnh Đông 30 K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Nói cách khác, nếu hệ vectơ cột của A là một hệ trực chuẩn trong Rn với tích vô hướng chính tắc thì A là ma trận trực giao Mệnh đề 1.24: Giả sử A là một ma trận thực, vuông cấp n Khi đó các tính chất sau là tương đương : (i) A là ma trận. .. Lập ma trận C = ( a11, , am1 , , a1p , , amp ) là ma trận có cột thứ j là tọa 1 p độ của vectơ riêng thứ j trong cơ sở mới  a  b Các ví dụ Ví dụ 1: Đưa ma trận sau về dạng ma trận đường chéo: 0  A  0  1 0 1  1 0  0 0  Lời giải: Phương trình đặc trưng của ma trận A là:  0 1 det( A  .E )  0 1   0  0 3 1 0   (1  ).( 2 1)  0 1  1  2  1   Kiểm tra điều kiện chéo. ..  và  là các vectơ riêng của ma trận đối xứng A với các giá trị riêng khác nhau λ và µ Do A là một ma trận đối xứng nên tồn tại một phép biến đổi đối xứng φ     nhận A làm ma trận cơ sở Nghĩa là: φ(  ) = λ  , φ(  ) = µ  Ta có:     ,    ,         ,    ,          ,   0     ,   0  Nhận xét: Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo hóa trực giao được là A ... đồng dạng với ma trận chéo Định nghĩa 1.15: Ma trận A  Mat  n  n, K  đồng dạng với ma trận chéo B  Mat  n  n, K  A gọi ma trận chéo hóa Nếu A chéo hóa ma trận đồng dạng với chéo hóa Định... nghĩa 1.25: Cho ma trận vuông A, tồn ma trận trực giao Q cho Q-1AQ ma trận chéo ta nói A chéo hóa trực giao Q ma trận làm chéo hóa trực giao ma trận A + Khi ta có : B = Q-1 A.Q ma trận chéo suy ra:... BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 2.1 Bài toán a Bài toán Cho ma trận A  Mat  n  n, K  , tìm ma trận khả nghịch C  Mat  n  n, K  ma trận B  Mat  n  n, K  cho B = C-1.A.C ma trận chéo Lời