Tìm hiểu sự liên hệ giữa đồ thị vô hướng và ma trận

Từ nhận thức trên với tên đề tài: "Tìm sự liên hệ giữa đồ thị vôhướng và ma trận" em sẽ nghiên cứu ứng dụng của đại số tuyến tính và lí thuyết ma trận để khảo sát đồ thị vô hướng.. Ưu đi

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầygiáo hướng dẫn TS.Trần Minh Tước Thầy đã giao đề tài và tận tìnhhướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này Nhân dịp này

em xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy cô giáo trong khoaToán đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tạikhoa

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Minh Tước, người

đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho em những kiến thức nềntảng để em hoàn thành bài khóa luận này Thầy cũng là người đã giúp

em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gianđược làm việc cùng Thầy

Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại KhoaToán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, cô khác đã trựctiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyênmôn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.Cuối cùng, em xin cảm ơn các bạn trong lớp K35 Cử Nhân Toán đãnhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Hà Nội, Ngày 17 tháng 5 năm 2013

Sinh viênTRẦN XUÂN DŨNG

Lời cam đoan

Tên em là: Trần Xuân Dũng, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013 lớpK35CN Toán, Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Em xincam đoan đề tài: “Tìm sự liên hệ giữa đồ thị vô hướng và ma trận”, làkết quả nghiên cứu và thu thập của riêng em Các luận cứ, kết quả thuđược trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác Nếu có

gì không trung thực trong luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệmtrước hội đồng khoa học

Hà Nội, Ngày 17 tháng 5 năm 2013

Sinh viênTRẦN XUÂN DŨNG

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Một số khái niệm của lí thuyết đồ thị 3

1.1.1 Đồ thị vô hướng 3

1.1.2 Bậc của đỉnh 4

1.1.3 Tính liên thông 4

1.1.4 Sự đẳng cấu 6

1.2 Một số khái niệm về ma trận 7

1.2.1 Ma trận 7

Chương 2: Mối liên hệ giữa đồ thị vô hướng và ma trận kề 10 2.1 Cách biểu diễn đồ thị vô hướng bằng ma trận 10

2.2 Hành trình, đường, chu trình, vết, mạch và tính liên thông 12 2.2.1 Hành trình, đường, chu trình, vết và mạch 12

2.2.2 Tính liên thông của đồ thị vô hướng 16

2.3 Sự đẳng cấu của các đồ thị 21

2.3.1 Đồ thị đẳng cấu 21

Chương 3: Đồ thị Euler và đồ thị vòng 24 3.1 Đồ thị Euler 24

3.2 Đồ thị vòng 30

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Việc sử dụng các phương pháp đại số trong việc khảo sát đồ thị đangđược quan tâm Như chúng ta đã biết cách biểu diễn đồ thị qua matrận kề và ma trận liên thuộc Riêng các đặc tính của đồ thị đượcbiểu diễn như thế nào trên ma trận kề tương ứng thì còn ít ngườinói tới

Từ nhận thức trên với tên đề tài: "Tìm sự liên hệ giữa đồ thị vôhướng và ma trận" em sẽ nghiên cứu ứng dụng của đại số tuyến tính

và lí thuyết ma trận để khảo sát đồ thị vô hướng

2 Đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu

• Đối tượng: Đồ thị vô hướng và ma trận kề

• Phạm vi: Sự liên hệ giữa đồ thị vô hướng và ma trận

Phương pháp nghiên cứu:

• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu

• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều khiển

• Phương pháp quan sát, đọc sách

3 Mục đích, yêu cầu và nhiệm vụ nghiên cứu

• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướngcủa giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học

• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các kháiniệm, các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứngdụng, ).

• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình

Em xin bắt đầu nhắc lại các kiến thức cơ bản về lí thuyết đồ thị và

ma trận của đồ thị vô hướng nó là cơ sỏ nghiên cứu về mối liên hệgiữa chúng Trong khoá luận này em tập trung việc chuyển thể cácđặc tính của đồ thị sang các đặc tính đại số (ma trận kề), và sau

đó sử dụng các phương pháp đại số để đưa ra các tính chất về đồ thị

4 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận của em gồm 3 chương:

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại các khái niệm cơ bản về đồ thị và ma trận.Chương 2 Mối liên hệ giữa đồ thị vô hướng và ma trận kề

Chương này tìm hiểu mối liên hệ giữa đồ thị vô hướng và matrận kề Biểu diễn các đặc tính của đồ thị qua ma trận kề Từ

đó chuyển thể đặc tính của đồ thị sang đặc tính của ma trận kề.Chương 3 Đồ thị Euler và đồ thị vòng

Chương này nhắc lại khái niệm về vết và mạch Euler và cáchbiểu diễn chúng trên ma trận kề Áp dụng thuật toán Fleury tìmmạch Euler trên ma trận kề tương ứng Chương này nói đến cáchbiểu diễn đồ thị vòng trên ma trạn kề

đồ thị vô hướng G Nếue = {a, b} là một cạnh của G thì avà b được gọi

là các đỉnh đầu mút của cạnh e hay các đỉnh liên thuộc với e Ta cũngthường kí hiệu cạnh {a, b} một cách đơn giản là ab

Ví dụ 1.1 Cho G = (V, E)vớiV = {a, b, c, d}vàE = {{a, b}, {b, d},{b, c}, {c, d}} Khi đó Glà một đồ thị vô hướng và có thể được biểu diễnnhư sau:

cd

Hình 1.1 Ví dụ đồ thị vô hướng

Như vậy, trong khoá luận này, chúng ta sẽ chỉ đề cập tới đồ thị vô hướng,hữu hạn, không có khuyên và không có cạnh bội

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.2 Bậc của đỉnh

Định nghĩa 1.2 Bậc của v, kí hiệu bởi deg(v), lá số cạnh liên thuộcvới v, nghĩa là deg(v) = |E(v)| Đỉnh bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập

Bậc nhỏ nhất của G là số δ(G) = min{deg(v)|v ∈ V }; Bậc lớn nhấtcủa G là số ∆(G) = max{deg(v)|v ∈ V }

Hình 1.2 Bậc của đỉnh và bậc của đồ thị

Ta có: deg(a) = 2; deg(b) = 4; deg(c) = 3; deg(d) = 0; deg(e) = 1;deg(f ) = 4; deg(g) = 4, δ(G) = 0, ∆(G) = 4

Có thể kiểm chứng được ngay các kết luận sau đây

Định lý 1.1 [2, 3] Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng m cạnh.Khi đó

Xv∈V

i = 0, 1, , n − 1, {vi, vi+1} là một cạnh của G Các cạnh {vi, vi+1},

i = 0, 1, , n − 1, được gọi là các cạnh của hành trình Khi đó n đượcgọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh vn được gọi là đỉnh

cuối của hành trình vô hướng trên.

Một hành trình được gọi là khép kín nếu đỉnh đầu và đỉnh cuối của

CD

EF

Hình 1.3 Minh họa hành trình trong đồ thị

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊhành trình vô hướng trong Gvới đỉnh đầu là vi và đỉnh cuối làvj Trongtrường hợp ngược lại đồ thị là không liên thông.

Đồ thị con liên thông cực đại G′ = (V′, E′) của một đồ thị vô hướng

G = (V, E) được gọi là một thành phần liên thông của G

Ví dụ 1.4 Cho đồ thị vô hướng G:

DE

FH

G1 G2

Hình 1.4 Đồ thị G với hai thành phần liên thông là G1 và G2

Đồ thị vô hướng G là đồ thị không liên thông Nó có hai thành phầnliên thông là G1 và G2

1.1.4 Sự đẳng cấu

Định nghĩa 1.5 Hai đồ thị vô hướng G = (V, E) và G′ = (V′, E′)được gọi là đẳng cấu với nhau va viết là G ∼= G′ nếu tồn tại song ánh

ϕ : V → V′ sao cho ab ∈ E khi và chỉ khi ϕ(a)ϕ(b) ∈ E′ với mọi

a, b ∈ V Song ánh ϕ như trên được gọi là đẳng cấu giữa G và G′

Ví dụ 1.5 Cho G = (V, E) và G′ = (V′, E′) là các đồ thị vô hướngtrong Hình 1.5

f

Hình 1.5 Ví dụ hai đồ thị vô hướng đẳng cấu

Khi đó G ∼= G′ và ánh xạ ϕ : V → V′ với

ϕ(1) = a, ϕ(5) = b, ϕ(2) = cϕ(6) = d, ϕ(3) = e, ϕ(4) = f

là đẳng cấu của G và G′

1.2 Một số khái niệm về ma trận

1.2.1 Ma trận

Định nghĩa 1.6 Ma trận là một tập các phần tử trong một bảng chữnhật hay vuông

Với các ma trận ta có các định nghĩa sau đây

Cho K là một trường tuỳ ý Một bảng gồm m.n phần từ aij thuộctrường k có dạng:

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊđược gọi là cột thứ j của ma trận.

Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A, B, Ma trận tổng quáttrên có thể được kí hiệu đơn giản: A = (aij)m×n Ta cũng nói A là matrận có m dòng và n cột

Khi m = n thì ma trận A = (aij)n×n được gọi là ma trận vuông cấp

n và được kí hiệu đơn giản là A = (aij)n

Tập hợp tất cả các ma trận kiểu (m, n) với các phần tử thuộc trường

K được kí hiệu là Mat(m × n, K)

Cho A = (aij)m×n, B = (bij)m×n là hai ma trận cùng thuộc Mat(m ×

Cho ma trận A = (aij) ∈ Mat(m × n, K) và B = (bjk) ∈ Mat(n ×

p, K) Ta gọi tích của hai ma trận A và B là một ma trận C = (cik) ∈Mat(m × p, K) các phần tử được xác định bởi:

cik =

nXj=1

Ma trận đường chéo (diagonal matrix) Ma trận đường chéo là một

ma trận vuông với aij = 0 , ∀i 6= j

Một ví dụ với ma trận đường chéo là:

Ma trận đơn vị (Identity matrix) Ma trận đơn vị có tất cả các phần

tử trên đường chéo chính (i = j) bằng 1 Ma trận đơn vị thường đượcbiểu thị bởi I hay U

Một ví dụ về ma trận đơn vị như sau:

2.1 Cách biểu diễn đồ thị vô hướng bằng ma trận

Xét đồ thị vô hướng G = (V, E), với tập đỉnh hữu hạn V = {v1, v2, ,

Dễ thấy ma trận kề A của đồ thị vô hướng G hoàn toàn xác định G.

Vì vậy, ma trận kề A được gọi là một biểu diễn của G

Ví dụ 2.1 Cho đồ thị G vô hướng

Hình 2.1 Ví dụ biểu diễn đồ thị vô hướng qua ma trận kề

Khi đó ma trận kề tương ứng của đồ thị G là:

ai1 = 2 = deg(A);

6Xj=1

a2 j =

6Xi=1

ai2 = 3 = deg(B)

CHƯƠNG 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ 6

X

j=1

a3 j =

6Xi=1

ai3 = 3 = deg(C);

6Xj=1

a4 j =

6Xi=1

ai5 = 3 = deg(E);

6Xj=1

a6 j =

6Xi=1

ai6 = 2 = deg(F )

Ưu điểm của phương pháp biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề là ta dễdàng trả lời được câu hỏi: Hai đỉnh u, v có kề nhau trên đồ thị hay không

và chúng ta chỉ mất đúng một phép so sánh Nhược điểm lớn nhất của

nó là bất kể đồ thị có bao nhiêu cạnh ta đều mất n2 đơn vị bộ nhớ đểlưu trữ đồ thị

2.2 Hành trình, đường, chu trình, vết, mạch và tính liên

Hình 2.2 Ví dụ hành trình trong đồ thị

Một số đường đi từ đỉnh A đến đỉnh C là:

• Đường đi d1 : {A, B}, {B, D}, {D, C} (đường đi có độ dài là 3)

• Đường đi d2 : {A, D}, {D, B}, {B, C} (đường đi có độ dài là 3).

• Đường đi d3 : {A, B}, {B, C} (đường đi có độ dài là 2)

Đường đi d1 được biểu diễn bằng ma trận kề trong đồ thị hình 2.4 nhưsau:

Trong đó mỗi cạnh mà d1 đi qua được kí hiệu là (1)

Vì các cạnh của đường đi d1 là đôi một khác nhau do đó đường đi d1được gọi là vết d′

Trong đó mỗi cạnh mà d4 đi qua được kí hiệu là (1)

Vì các cạnh của đường đi d4 là đôi một khác nhau do đó đường đi d4được gọi là vết d′4 Như vậy vết d′4 cũng được biểu diễn giống đường đi

d4 trong ma trận kề của đồ thị

Vì vết d′4 là một vết kín nên vết d′4 được gọi là mạchl4 Như vậy mạch

l4 cũng được biểu diễn giống đường đi d4 trong ma trận kề của đồ thị.Một dãy các vị trí {i, j} = 1 của ma trận kề mà hai vị trí (và không

CHƯƠNG 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀqua hai) liên tiếp của dãy luôn nằm trên cùng một hàng hoặc cùng mộtcột gọi là dây chuyền.

Như vậy đường đi và vết của đồ thị được biểu diễn trong ma trận kềtương ứng là một dây chuyền

Ta thấy d4 là một đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối Người tanói d4 là một chu trình

Ví dụ 2.3: Cho đồ thị vô hướng:

Hình 2.3: Minh hoạ chu trình trong đồ thị

Xét chu trình C1 : {A, B}, {B, D}, {D, F }, {F, E}, {E, C}, {C, A}

Chu trình C1 được biểu diễn trong ma trận kề của đồ thị như sau:

Trong đó mỗi cạnh mà C1 đi qua được kí hiệu là (1)

Một dây chuyền được gọi là một chu trình trong ma trận kề nếu nóthoả mãn điều kiên sau:

• Hai vị trí {i, j} = 1 mà dây chuyền đi qua nằm trên cùng một hànghoặc một cột

• Không có 3 vị trí {i, j} = 1 mà dây chuyền đi qua nằm trên cùngmột hàng hoặc một cột

• Vị trí {i, j} = 1 mà dây chuyền đi qua đầu tiên nằm cùng một hànghay một cột với vị trí {i, j} = 1 mà dây chuyền đi qua cuối cùng.Nhận xét: Chu trình của đồ thị được biểu diễn qua ma trận kề tươngứng là một dây chuyền khép kín xuất phát từ đỉnh đầu tiên theo mộtquy luật hàng cột hàng cột cho ta một chu trình trên ma trận kề tươngứng là một tập hợp gồm 2 vị trí {i, j} = 1 trên mỗi hàng và mỗi cột của

Ví dụ 2.4 Cho đồ thị vô hướng:

CD

Hình 2.4 Ví dụ về tìm số đường đi giữa hai đỉnh bất kì

Được biểu diễn bằng ma trận kề tương ứng là:

CHƯƠNG 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀTìm số đường đi khác nhau đi từ đỉnh 1 đến đinh 3 có độ dài là 3?Với p = 3 ta có:

A2 =

; A3 =

; A3 =

CHƯƠNG 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ

Ví dụ 2.6 Xét tính liên thông của đồ thị sau:

CD

; A2 =

... class="page_container" data-page="24">

CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ

Ví dụ 2.6 Xét tính liên thông đồ thị sau:

CD

; A2 =... đỉnh j đồ thị G?

CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KỀ

Từ... phần liên thông đồ thị

Cạnh cầu: e gọi cạnh cầu xố làm tăng số thànhphần liên thông đồ thị

Cho quan hệ R đồ thịG Dãya0, a1, , ak gọi đường