Vấn đề chéo hóa ma trận và ứng dụng

PHẦN A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Có thể nói Đại Số Tuyến Tính môn học quan trọng sinh viên ngành Toán Nó coi môn sở cho tất môn Toán mà sinh viên học Trong ma trận toán liên quan đến ma trận phần kiến thức nhất, gây nhiều hứng thú nội dung môn học Có nhiều vấn đề khó liên quan đến ma trận chéo hóa ma trận những vấn đề Do em muốn sâu vào tìm hiểu vấn đề Được hướng dẫn tận tình Th.s Nguyễn Văn Vạn với lòng yêu thích môn học em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Vấn đề chéo hóa ma trận ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài mà em chọn ứng dụng chéo hóa ma trận Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp chéo hóa ứng dụng chéo hóa ma trận Đối tƣợng nghiên cứu Trong đề tài em xây dựng xung quanh vấn đề chéo hóa ma trận Theo đó, em đưa ứng dụng chéo hóa ma trận Phƣơng pháp nghiên cứu Tìm tham khảo tài liệu, phân tích tổng hợp tập minh họa, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn PHẦN B NỘI DUNG CHƢƠNG HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Không gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa Cho tập khác rỗng , xác định phép toán: a) phép cộng: b) phép nhân: ( _trường) Nếu phép toán thỏa mãn điều kiện sau: (V1) (V2 (V3 -phần tử đối) (V4) (V5 (V6 (V7) (V8 ( lập thành không gian vectơ trường gian vectơ (gọi tắt không gian vectơ ) Các phần tử gọi vectơ Các phần tử gọi không gọi vô hướng Phép cộng “+” gọi phép cộng vectơ Phép nhân “.” gọi phép nhân vectơ với vô hướng Khi gọi không gian vectơ thực Khi gọi không gian vectơ phức Ví dụ: a) Tập vectơ tự với phép toán cộng vectơ nhân vectơ với số thực không gian vectơ thực b) Tập đa thức ) lập thành không gian vectơ trường với phép toán cộng đa thức phép nhân đa thức với vô hướng thuộc trường 1.1.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 1.1.2.1 Định nghĩa (độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính) Trong không gian vectơ a) Hệ vectơ ( gọi độc lập tuyến tính hệ thức: xảy b) Hệ vectơ ( phụ thuộc tuyến tính hệ không độc lập tuyến tính 1.1.2.2 Ví dụ: Trong không gian vectơ thực Hệ Hệ ( ( ) độc cho hệ vectơ: lập ) phụ thuộc tuyến tính 1.1.3 Cơ sở số chiều không gian vectơ 1.1.3.1 Định nghĩa tuyến tính a) Một hệ vectơ gọi hệ sinh vectơ vectơ biểu thị tuyến tính qua hệ b) Một hệ vectơ gọi sở biểu thị tuyến tính qua hệ Như sở hệ sinh 1.1.3.2 Định lý Cho hệ hữu hạn vectơ ( không gian vectơ Khi mệnh đề sau tương đương: a) ( ,…, b) ( ,…, sở ) hệ sinh độc lập tuyến tính c) ( hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại 1.1.3.3 Định nghĩa Không gian vectơ gọi hữu hạn sinh có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử Số vectơ sở cuả { } gọi số chiều sinh trường không gian vectơ hữu hạn kí hiệu hay { } ta qui ước Nếu Nếu sở gồm hữu hạn phần tử gọi không gian vô hạn chiều 1.1.3.4 Ví dụ a) Cho (0,0,0,…,1) , Khi { sở tắc (cơ sở tự nhiên ) b) Trường số phức Đồng thời không gian vectơ với sở {1,i} Do không gian vectơ với sở {1} Tổng quát 1.2 Ma trận 1.2.1 Định nghĩa trường tùy ý Một bảng m.n phần tử Cho thuộc trường có dạng: (1) gọi ma trận kiểu (m,n) Mỗi gọi phần tử ma ) gọi dòng thứ i ma trận trận Vectơ dòng ( gọi cột thứ j ma trận Vectơ cột Ta thường kí hiệu ma trận chữ A, B.…Ma trận (1) kí hiệu đơn giản bởi: Khi m ( n ma trận kí hiệu đơn giản Ta nói A ma trận có m dòng, n cột gọi ma trận vuông cấp n ( Tập tất ma trận kiểu (m,n) với phần tử thuộc trường hiệu Mat(m kí 1.2.2 Định nghĩa Cho ( ma trận thuộc Mat( Ta gọi tổng ma trận A B ma trận bởi: xác định kí hiệu Ta gọi tích ma trận với vô hướng ma trận xác định bởi: kí hiệu Như vậy: ( 1.2.3 Định nghĩa (Tích ma trận) Cho ma trận Ta gọi tích ma trận A với ma trận B ma trận C ) mà phần tử xác định bởi: kí hiệu 1.2.4 Ma trận khả nghịch Định nghĩa: Ta gọi ma trận vuông ma trận khả nghịch (hay ma trận vuông không suy biến), có ma trận vuông cho Khi B gọi ma trận nghịch đảo A kí hiệu Nếu A ma trận khả nghịch ma trận nghịch đảo cuả 1.2.5 Ma trận chuyển Định nghĩa: Cho (e) { sở cuả không gian vectơ n chiều V.Ta gọi ma trận vuông cấp n định bởi: xác ma trận chuyển từ sở (e) sang sở ( Gọi với sở (e) sở ( ( cột toạ độ vectơ đối ta có công thức đổi toạ độ từ sở (e) sang sở viết dạng ma trận : 2.6 Ma trận đồng dạng Định nghĩa: Ta nói A, B ma trận đồng dạng Cho ma trận A, B tồn ma trận C ma trận khả nghịch cho Kí hiệu: A 2.7 Ma trận chuyển vị Định nghĩa: Ta gọi ma trận ma trận chuyển vị ma trận A dòng ma trận A cột ma trận Tức là: Ta có : ( ( Ví dụ: 2.8 Ma trận chéo Định nghĩa: Ma trận chéo ma trận vuông có tất phần tử không nằm đường chéo nghĩa Ví dụ: Ma trận A ma trận chéo 2.9 Ma trận đơn vị Định nghĩa: Ma trận I Trong phần tử chéo 1, phần tử khác gọi ma trận đơn vị cấp n Đặc điểm ma trận đơn vị I là: , Ví dụ: ma trận đơn vị , 1.3 Phép dấu phép 1.3.1 Định nghĩa Ta gọi song ánh từ tập lên phép bậc n Tập hợp tất phép bậc n với phép lấy tích ánh xạ lập thành nhóm kí hiệu Ta gọi nhóm nhóm đối xứng bậc n Nó có tử Với ta thường viết: phần Ví dụ : X = {1;2;3} (phần tử) 1.3.2 Định nghĩa Với ta gọi cặp { cho nghịch Ta bảo phép phép chẵn hay lẻ tuỳ theo số nghịch chẵn hay lẻ Trong dấu phép Ví dụ: Phép có nghịch (1; 2) 1.4 Định thức 1.4.1 Định nghĩa Cho ma trận trường Định thức ma trận A vuông phần tử trường xác định sau: 10 kí hiệu Ví dụ 1: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận: Giải 32 Vậy Ví dụ 2: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận: Giải Ta có: 33 Vậy ma trận nghịch đảo ma trận A là: Ta áp dụng ma trận chéo để tính lũy thừa ma trận vuông Ví dụ 3: Tìm ma trận nghịch đảo cuả A tính Giải 34 Vì ta có A khả nghịch Từ Do : Vậy Bài tập tự giải Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: a) 35 b) c) d) 2.2 Tìm sở Theo định nghĩa tự đồng cấu chéo hoá tự đồng cấu gọi chéo hóa tồn sở (nếu có) riêng ma trận Hay tự đồng cấu gồm vectơ chéo hóa tồn sở mà sở có dạng chéo Việc tìm sở (nếu có) gồm toàn vectơ riêng gọi việc chéo hoá tự đồng cấu Như ta chéo hoá ma trận A để ta tìm sở có dạng chéo sở Các bước tìm sở để có dạng ma trận chéo: Bước 1: Tìm ma trận tự đồng cấu Bước 2: Lập đa thức đặc trưng sở ma trận A Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n ẩn Bước 4: Với nghiệm tìm ta giải hệ phương trình tuyến tính là: 36 Ứng với nghiệm không tầm vectơ riêng thường ứng với hệ ( ta có nghiệm không tầm thường hệ Cơ sở tìm gồm toàn vectơ riêng vừa tìm Ví dụ 1: Tự đồng cấu Tìm sở để có ma trận: có ma trận dạng chéo sở Giải Xét phương trình đa thức đặc trưng: Ứng với trình: Vectơ riêng Trong sở 37 ta có hệ phương Ứng với ta có hệ phương trình: Vectơ riêng Ứng với ta có hệ: Vectơ riêng Vậy sở tìm ( )) Ví dụ 2: Tự đồng cấu Tìm sở để có ma trận: có ma trận dạng chéo sở Giải Xét phương trình đa thức đặc trưng =0 Ứng với giá trị riêng 38 ta giải hệ phương trình: Vectơ riêng Ứng với giá trị riêng , ta giải hệ phương trình: Vectơ riêng Ứng với giá trị riêng vectơ riêng Vậy , ta giải hệ phương trình: ) sở tìm Bài tập tự giải Tìm sở để ma trận sau có dạng chéo: a) b) c) 39 d) e) f) Giải hệ phƣơng trình tuyến tính Một hệ phương trình n ẩn có dạng: (1) Trong phần tử cho trước thuộc trường hệ phương trình tuyến tính trường ẩn, Các gọi gọi hệ số gọi hệ số tự Ma trận gọi ma trận hệ số Ma trận có cách thêm vào ma trận hệ số A cột hệ số tự gọi ma trận bổ sung kí hiệu 40 Nếu hệ (1) gọi hệ Crame Nếu hệ (1) gọi hệ tuyến tính Hệ (1) có nghiệm nhất, vô nghiệm vô số nghiệm Ứng dụng chéo hóa ma trận vào giải hệ phương trình tuyến tính sau: Ta áp dụng phương pháp Gauss_Jordan để giải hệ phương trình Crame: Ta sử dụng phép biến đổi Gauss đưa ma trận A ma trận tam giác Sau ta tiếp tục áp dụng biến đổi sơ cấp để đưa ma trận tam giác ma trận đơn vị Ví dụ 1: Giải hệ sau: Giải Ta có Ta biến đổi ma trận 41 nghiệm hệ cho Vậy Ví dụ 2: Giải hệ sau: Giải Ta áp dụng thuật toán Gauss_Jordan vào giải hệ phương trình sau: Ta có ma trận A , Ta biến đổi ma trận 42 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: Bài tập tự giải Giải hệ phương trình tuyến tính sau: a) 43 b) c) d) 44 PHẦN C KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận em Trong khóa luận em trình bày hiểu biết kiến thức liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận ứng dụng chéo hóa ma trận vào giải số toán tìm ma trận nghịch đảo, giải hệ phương trình tuyến tính tìm sở… Qua việc thực nghiên cứu đề tài này, em mở rộng tầm hiểu biết vấn đề chéo hóa ma trận làm quen với việc nghiên cứu khoa học Mặc dù có nhiều cố gắng song thời gian có hạn vấn đề thân em nên trình viết trình in ấn, khóa luận tránh khỏi thiếu xót Em kính mong thầy cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hoàn thành khóa luận Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đặc biệt thầy Nguyễn Văn Vạn giúp đỡ tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Xuân Hải (chủ biên), Trịnh Thanh Đèo, Thái Minh Đường, Trần Ngọc Hội, Đại số tuyến tính, Nhà xuất ĐHQG TP Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000 [3] Ngô Thúc Lanh, Đại số tuyến tính, Nhà xuất ĐH THCN, 1970 [4] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Giáo trình toán đại cương phần Đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1988 [5] Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội 2001 [6] Phan Hồng Trường, Giáo trình Đại số tuyến tính 46 [...]... sở đó là ma trận chéo Giả sử A là ma trận của ta suy ra rằng trong một cơ sở nào đó của Từ định nghĩa chéo hóa được nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận C không suy biến (det C và Việc tìm một ma trận khả nghịch C (nếu có) để là ma trận chéo gọi là việc chéo hóa ma trận Nhận xét: chéo hóa được khi và chỉ khi ma trận A của đồng dạng với ma trận chéo 1.6.2 Định nghĩa Ma trận A đồng dạng với ma trận chéo thì... tắc) và kết thúc thuật toán 31 về Ví dụ 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận: Giải 32 Vậy Ví dụ 2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận: Giải Ta có: 33 Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là: Ta còn áp dụng ma trận chéo để tính lũy thừa của ma trận vuông Ví dụ 3: Tìm ma trận nghịch đảo cuả A và tính Giải 34 Vì vậy ta có A khả nghịch và Từ Do đó : Vậy Bài tập tự giải Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận. .. cơ sở trực chuẩn gồm toàn vectơ riêng của A chéo hóa được Lấy ma trận C là ma trận các cột tọa độ của Khi đó và Vậy A 1.6.9 Phƣơng pháp chéo hóa 1.6.9.1 Phương pháp trực giao hóa Gram_schmidt Phương pháp này là dùng ma trận trực giao để chéo hoá ma trận đối xứng Nghĩa là ta đi tìm ma trận trực giao C sao cho Ví dụ : 26 có dạng chéo Cho ma trận Hãy chéo hóa trực giao A Giải Phương trình đa thức đặc... là ma trận trực giao nếu trong đó là ma trận chuyển vị của A hay nói cách khác nếu hệ vectơ cột của A là một hệ trực chuẩn trong Ví dụ: Xét ma trận Khi đó 23 Vậy A là ma trận trực giao Nhận xét: Nếu A là ma trận trực giao thì A khả nghịch và 1.6.8.2 Định nghĩa Giả sử A là ma trận vuông cấp n Nếu tồn tại ma trận trực giao C sao cho là ma trận chéo thì A gọi là chéo hóa trực giao được và C gọi là ma trận. .. Ví dụ 2: Dùng phương pháp Gauss đưa A về ma trận chéo Cho Giải Ta có: 29 Vậy dạng chéo của A là: CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA CHÉO HÓA MA TRẬN 2.1 Tìm ma trận nghịch đảo Ta sử dụng thuật toán Gauss_Jordan để tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A vuông cấp n trên trường vào kết quả thứ 2 của hệ quả sau: 30 Thuật toán này được xây dựng dựa Cho A là ma trận vuông cấp n trên Khi đó các khẳng định... Khi đó ma trận sẽ là ma trận chéo với trị riêng và chúng sẽ là các phần tử nằm trên đường chéo chính Ví dụ 1: Hãy chéo hóa ma trận A Giải 20 là các giá Đa thức đặc trưng của ma trận A là: Vì A có 3 giá trị riêng phân biệt Ứng với A chéo hóa được ta có hệ phương trình trong đó Vectơ riêng Ứng với ta có là cơ sở của f hệ phương trình: Vectơ riêng Ứng với ta có hệ: Vectơ riêng 3 vectơ riêng tương ứng với... riêng trực chuẩn ] là ma trận vuông gồm các vectơ cột là Ma trận kí hiệu là 1 ma trận chéo Do các vectơ của C là n vectơ trực chuẩn nên C là ma trận trực giao Khi đó ma trận A làm chéo hoá trực giao được Thuật toán tìm ma trận trực giao C làm chéo hóa A Bước 1: Lập đa thức đặc trưng và giải phương trình đặc trưng để tìm giá trị riêng Bước 2: Tìm cơ sở gồm toàn những vectơ riêng ứng với giá trị riêng... 2: Cho ma trận Hãy chéo hóa ma trận A Giải Xét phương trình đa thức đặc trưng: + Nếu A là ma trận thực thì A chỉ có 1 giá trị riêng nên A không chéo hóa được + Nếu A là ma trận phức thì A có 3 giá trị riêng phân biệt là chéo hóa được Với ta có: Xét hệ phương trình: Vectơ riêng Với ta xét hệ phương trình: 22 Vectơ riêng Với Xét hệ: vectơ riêng Vậy 1.6.8 Chéo hóa trực giao 1.6.8.1 Định nghĩa Ma trận vuông... lập tuyến tính Khi đó C là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở gồm n vectơ riêng của của A Chứng minh A chéo hóa được tức là A đồng dạng với ma trận chéo B có dạng Nghĩa là tồn tại ma trận không suy biến C sao cho Kí hiệu trong đó hay ) là các vectơ cột của C Theo định nghĩa phép nhân 2 ma trận ta có ma trận tích và ma trận tích Từ là các giá trị riêng của tương ứng với các giá trị riêng Vì... chéo hóa trực giao được và C gọi là ma trận làm chéo hoá trực giao A 1.6.8.3 Định lý Ma trận vuông A làm chéo hóa trực giao được khi và chỉ khi A có n vectơ riêng trực chuẩn Chứng minh Giả sử ma trận A làm chéo hoá trực giao được và tồn tại ma trận trực giao C sao cho , trong đó B là ma trận chéo mà n vectơ cột của C là các vectơ riêng của A Mặt khác C là ma trận trực giao nên theo định nghĩa các vectơ ... tìm ma trận khả nghịch C (nếu có) để ma trận chéo gọi việc chéo hóa ma trận Nhận xét: chéo hóa ma trận A đồng dạng với ma trận chéo 1.6.2 Định nghĩa Ma trận A đồng dạng với ma trận chéo A gọi ma. .. A, B ma trận đồng dạng Cho ma trận A, B tồn ma trận C ma trận khả nghịch cho Kí hiệu: A 2.7 Ma trận chuyển vị Định nghĩa: Ta gọi ma trận ma trận chuyển vị ma trận A dòng ma trận A cột ma trận. .. dụ: 2.8 Ma trận chéo Định nghĩa: Ma trận chéo ma trận vuông có tất phần tử không nằm đường chéo nghĩa Ví dụ: Ma trận A ma trận chéo 2.9 Ma trận đơn vị Định nghĩa: Ma trận I Trong phần tử chéo 1,