Vấn đề chéo hóa ma trận và ứng dụng

Định nghĩa Đa thức đặc trƣng Giả sử là một giá trị riêng của tự đồng cấu Khi đó không gian vectơ gồm vectơ và tất cả các vectơ riêng của ứng với... Thuật toán tìm giá trị riêng và vect

ma trận là phần kiến thức cơ bản nhất, gây được nhiều hứng thú nhất trong nội dung môn học này Có nhiều vấn đề khó liên quan đến ma trận và chéo hóa ma trận là một trong những những vấn đề như thế Do đó em muốn đi sâu

vào tìm hiểu vấn đề này Được sự hướng dẫn tận tình của Th.s Nguyễn Văn Vạn cùng với lòng yêu thích môn học này em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Vấn đề chéo hóa ma trận và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu chính của đề tài mà em chọn là ứng dụng của chéo hóa ma trận

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp chéo hóa và các ứng dụng của chéo hóa

ma trận

4 Đối tượng nghiên cứu

Trong đề tài này em xây dựng xung quanh các vấn đề về chéo hóa ma trận Theo đó, em đưa ra các ứng dụng của chéo hóa ma trận

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm và tham khảo tài liệu, phân tích và tổng hợp bài tập minh họa, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

2

PHẦN B NỘI DUNG

1.1 Không gian vectơ

3

Khi thì được gọi là không gian vectơ thực Khi thì được gọi là không gian vectơ phức

Ví dụ:

a) Tập các vectơ tự do cùng với phép toán cộng 2 vectơ và nhân vectơ với 1

số thực là một không gian vectơ thực

b) Tập các đa thức ) cũng lập thành 1 không gian vectơ trên trường với phép toán cộng đa thức và phép nhân đa thức với vô hướng thuộc trường

1.1.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

1.1.2.1 Định nghĩa (độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính)

Trong không gian vectơ

a) Hệ vectơ ( được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức:

Nếu { } ta qui ước

Nếu không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không gian vô hạn chiều

1.1.3.4 Ví dụ

Khi đó { là cơ sở chính tắc (cơ sở tự nhiên của ) và

5

b) Trường số phức là một không gian vectơ với cơ sở {1}

Đồng thời là 1 không gian vectơ với cơ sở {1,i}

Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A, B.…Ma trận (1) có thể được kí hiệu đơn giản bởi: ( Ta cũng nói A là ma trận có m dòng, n cột Khi m n thì ma trận ( được gọi là ma trận vuông cấp n và được kí hiệu đơn giản là

Tập tất cả các ma trận kiểu (m,n) với các phần tử thuộc trường được kí hiệu là Mat(m

1.2.2 Định nghĩa

Cho ( là 2 ma trận cùng thuộc Mat(

Ta gọi là tổng của 2 ma trận A và B một ma trận xác định bởi:

Ta gọi ma trận vuông là ma trận khả nghịch (hay là

ma trận vuông không suy biến), nếu có ma trận vuông

Khi đó B gọi là ma trận nghịch đảo của A và kí hiệu Nếu A là

ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo cuả nó là duy nhất

1.2.5 Ma trận chuyển

Định nghĩa:

vectơ n chiều V.Ta gọi ma trận vuông cấp n trong đó được xác định bởi:

7

là ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sở (

Gọi và lần lượt là các cột toạ độ của vectơ lần lượt đối

với cơ sở (e) và cơ sở ( thì ta có công thức đổi toạ độ từ cơ sở (e) sang cơ sở ( viết dưới dạng ma trận là :

8

2.6 Ma trận đồng dạng

Định nghĩa:

Cho 2 ma trận A, B Ta nói A, B là 2 ma trận đồng dạng nếu tồn tại một ma trận C là ma trận khả nghịch sao cho

xác định như sau:

Tính chất 2: Nếu các thành phần của một cột có thừa số chung thì có thể

đưa ra ngoài dấu định thức

Ví dụ:

Với tự đồng cấu bất kì, các không gian sau đây đều là bất biến: {

1.5.2 Định nghĩa (Vectơ riêng và giá trị riêng)

Giả sử là một tự đồng cấu của - không gian vectơ Nếu có vectơ của và vô hướng sao cho thì được gọi là 1 giá trị riêng còn được gọi là vectơ riêng của ứng với giá trị riêng

Nhận xét : Nếu là 1 vectơ riêng của ứng với giá trị riêng

1.5.3 Định nghĩa (Đa thức đặc trƣng)

Giả sử là một giá trị riêng của tự đồng cấu Khi đó không gian vectơ gồm vectơ và tất cả các vectơ riêng của ứng với

Như vậy là đa thức bậc n của

Thuật toán tìm giá trị riêng và vectơ riêng của f Bước 1: Tìm ma trận của tự đồng cấu trong 1 cơ sở nào đó

Bước 2: Lập đa thức bậc n đặc trưng của ma trận A

Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n của ẩn

Bước 4: Với mỗi nghiệm tìm được ở phương trình đa thức đặc trưng trên ta

giải hệ phương trình thuần nhất tuyến tính là:

Ứng với mỗi nghiệm không tầm thường ( của hệ này ta có

là 1 vectơ riêng của ứng với giá trị riêng

Ví dụ: Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cấu có ma trận

ứng với giá trị riêng

Ứng với giá trị riêng , ta giải hệ phương trình:

với Vậy các vectơ với là các vectơ riêng của ứng với giá trị riêng

1.6 Chéo hóa ma trận

1.6.1 Định nghĩa

Tự đồng cấu của không gian vectơ hữu hạn chiều được gọi là chéo hóa được nếu ta tìm được một cơ sở của gồm toàn những vectơ riêng của

15

Hay chéo hóa được nếu có một cơ sở của mà ma trận của đối với

cơ sở đó là ma trận chéo

Giả sử A là ma trận của trong một cơ sở nào đó của Từ định nghĩa

ta suy ra rằng chéo hóa được nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận

B thì A được gọi là ma trận chéo hoá được

Nếu A chéo hoá được thì mọi ma trận đồng dạng với A cũng chéo hoá được Việc tìm 1 cơ sở (nếu có) của gồm toàn những vectơ riêng của gọi là việc chéo hoá tự đồng cấu

1.6.3 Định lý

Giả sử là những vectơ riêng của tự đồng cấu ứng với những giá trị riêng đôi một khác nhau Khi đó hệ vectơ độc lập tuyến tính

Chứng minh:

Định lí được chứng minh quy nạp theo m

1.6.4 Hệ quả (Điều kiện cần)

a) Nếu và tự đồng cấu có n giá trị riêng đôi một khác nhau thì chéo hoá được

b) Nếu ma trận có n giá trị riêng đôi một khác nhau trong thì A chéo hoá được

1.6.5 Định lý

Giả sử là 1 tự đồng cấu của không gian vectơ hữu hạn chiều

có tính chất Thế thì chéo hoá được

Chứng minh

Lấy { là 1 cơ sở của Trong chứng minh phần trên ta đã chỉ ra rằng Vì thế các vectơ đều là vectơ riêng của ứng với giá trị riêng bằng 1

Vì nên các vectơ đều là các vectơ riêng của ứng với giá trị riêng bằng 0

gồm toàn vectơ riêng của cho nên chéo hóa được

1.6.6 Định lý (Điều kiện cần và đủ để tự đồng cấu chéo hoá đƣợc)

Cho là một không gian vectơ n chiều và là 1 tự đồng cấu của thì chéo hóa được khi và chỉ khi 2 điều kiện sau đây được thoả mãn: a) Đa thức đặc trưng của phân tích được

18

Trong đó là các vô hướng đôi một khác nhau trong

; ở đây là bội của xem như là nghiệm của đa thức đặc trưng

Chứng minh

Giả sử chéo hóa được Khi đó ta có thể tìm được 1 cơ sở của sao cho đối với ma trận này có dạng ma trận chéo là D với phần tử nằm trên đường chéo bằng phần tử nằm trên đường chéo bằng , trong đó

và các đôi một khác nhau Do đó:

Nhận xét rằng ma trận là một ma trận chéo với phần tử nằm trên

nào đó

Ngược lại, giả sử các điều kiện a) và b) được thoả mãn

Xét không gian con riêng của ứng với giá trị riêng là

19

với mỗi ta lấy { là 1 cơ sở của rồi gộp tất cả các cơ sở này với nhau ta sẽ nhận được 1 cơ sở của gồm toàn những vectơ riêng của Vậy chéo hóa được

1.6.7 Định lý (Điều kiện cần và đủ để 1 ma trận chéo hoá đƣợc)

Điều kiện cần và đủ để A chéo hóa được là A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Khi đó C là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của sang cơ sở gồm n vectơ riêng của A

Chứng minh

A chéo hóa được tức là A đồng dạng với ma trận chéo B có dạng

Nghĩa là tồn tại ma trận không suy biến C sao cho hay

Kí hiệu trong đó ) là các vectơ cột của C Theo định nghĩa phép nhân 2 ma trận ta có ma trận tích sẽ có các cột là

và ma trận tích sẽ có các cột là

Do vậy là các giá trị riêng của và là các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng

Vì khả nghịch nên các vectơ cột độc lập tuyến tính

Ngược lại, giả sử có n vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với các giá trị riêng là

Xây dựng ma trận với các cột là các vectơ nghĩa là ] Khi đó các cột của ma trận tích là

Hay chéo hoá được

Từ định lý trên ta rút ra quy tắc để chéo hoá 1 ma trận A cho trước như sau:

Bước 1: Tìm nghiệm đặc trưng của ma trận A và các vectơ riêng tương ứng Bước 2: Nếu mọi vectơ riêng A đều phụ thuộc tuyến tính thì A không đồng

dạng với ma trận chéo Ngược laị nếu tìm được n vectơ riêng độc lập tuyến tính thì ta lập được ma trận ở đây là các vectơ cột của C

Bước 3: Khi đó ma trận sẽ là ma trận chéo với là các giá trị riêng và chúng sẽ là các phần tử nằm trên đường chéo chính

Ví dụ 1:

Hãy chéo hóa ma trận A

Giải

21

Đa thức đặc trưng của ma trận A là:

Vì A có 3 giá trị riêng phân biệt A chéo hóa được

Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu trong đó

là ma trận chuyển vị của A hay nói cách khác nếu hệ vectơ cột của A là một

Giả sử A là ma trận vuông cấp n Nếu tồn tại ma trận trực giao C sao cho

là ma trận chéo thì A gọi là chéo hóa trực giao được và C gọi là ma

trận làm chéo hoá trực giao A

1.6.8.3 Định lý

Ma trận vuông A làm chéo hóa trực giao được khi và chỉ khi A có n vectơ riêng trực chuẩn

Chứng minh

Giả sử ma trận A làm chéo hoá trực giao được và tồn tại ma trận trực giao

C sao cho , trong đó B là ma trận chéo mà n vectơ cột của C là các vectơ riêng của A Mặt khác C là ma trận trực giao nên theo định nghĩa các vectơ cột của C là hệ trực chuẩn

Ngược lại, giả sử A có n vectơ riêng trực chuẩn kí hiệu

25

Bước 4: Ma trận C tìm được là ma trận mà các cột tọa độ của nó là tọa độ của

các vectơ cơ sở đã trực chuẩn ở bước 3

Gọi ma trận Khi đó B là ma trận có dạng chéo:

Vậy A có 2 giá trị riêng

Với , ta có là không gian nghiệm của hệ phương trình:

Với , ta có là không gian nghiệm của hệ phương trình:

26

Chọn 2 vectơ riêng trực giao

Hệ { là 1cơ sở trực giao gồm toàn vectơ riêng của A chuẩn hoá hệ này ta được:

1.6.9 Phương pháp chéo hóa

1.6.9.1 Phương pháp trực giao hóa Gram_schmidt

Phương pháp này là dùng ma trận trực giao để chéo hoá ma trận đối xứng Nghĩa là ta đi tìm ma trận trực giao C sao cho có dạng chéo

Ví dụ :

Vectơ riêng

Với ta xét hệ phương trình:

Nhân 1 dòng với 1 vô hướng khác

30

Vậy dạng chéo của A là:

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA CHÉO HÓA MA TRẬN

2.1 Tìm ma trận nghịch đảo

Ta sử dụng thuật toán Gauss_Jordan để tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A vuông cấp n trên trường Thuật toán này được xây dựng dựa vào kết quả thứ 2 của hệ quả sau:

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị

cấp n vào bên phải

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa về dạng

34

Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là:

Ta còn áp dụng ma trận chéo để tính lũy thừa của ma trận vuông

Ví dụ 3: Tìm ma trận nghịch đảo cuả A và tính

Giải

ma trận của đối với cơ sở đó có dạng chéo

Việc tìm 1 cơ sở (nếu có) của gồm toàn những vectơ riêng của gọi là việc chéo hoá tự đồng cấu

Như vậy ta đi chéo hoá ma trận A của cũng chính là ta đi tìm cơ sở của

để có dạng chéo đối với cơ sở đó

Các bước tìm cơ sở của để có dạng ma trận chéo:

Bước 1: Tìm ma trận của tự đồng cấu trong 1 cơ sở nào đó

Bước 2: Lập đa thức đặc trưng của ma trận A

Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n của ẩn

Bước 4: Với mỗi nghiệm tìm được ta giải hệ phương trình tuyến tính thuần

nhất là:

37

Ứng với mỗi nghiệm không tầm thường của hệ này ta có

là 1 vectơ riêng của ứng với trong đó ( là nghiệm không tầm thường của hệ

Cơ sở tìm được là gồm toàn những vectơ riêng vừa tìm được

Vectơ riêng

Trong đó là cơ sở của

38

Ứng với ta có hệ phương trình:

a)

b)

c)

Trong đó các là các phần tử cho trước thuộc trường được gọi là một

hệ phương trình tuyến tính trên trường Các được gọi là các hệ số của

41

Nếu thì hệ (1) gọi là hệ Crame

Nếu thì hệ (1) được gọi là hệ tuyến tính thuần nhất

Hệ (1) có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

Ứng dụng của chéo hóa ma trận vào giải hệ phương trình tuyến tính như sau:

Ta áp dụng phương pháp Gauss_Jordan để giải hệ phương trình Crame:

Ta sử dụng các phép biến đổi Gauss đưa ma trận A về ma trận tam giác trên Sau đó ta tiếp tục áp dụng các biến đổi sơ cấp để đưa ma trận tam giác trên về ma trận đơn vị

a)

45

PHẦN C KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận của em Trong khóa luận này em

đã trình bày những hiểu biết của mình về những kiến thức cơ bản liên quan đến vấn đề chéo hóa ma trận và ứng dụng của chéo hóa ma trận vào giải một

số bài toán như tìm ma trận nghịch đảo, giải hệ phương trình tuyến tính và tìm

cơ sở…

Qua việc thực nghiên cứu đề tài này, em đã được mở rộng tầm hiểu biết

về vấn đề chéo hóa ma trận và làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do thời gian có hạn và đây cũng là vấn

đề mới đối với bản thân em nên trong quá trình viết cũng như trong quá trình

in ấn, khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu xót

Em kính mong các thầy cô giáo và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hoàn thành khóa luận này của mình

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đặc biệt thầy Nguyễn Văn Vạn đã giúp đỡ và tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận này

46

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bùi Xuân Hải (chủ biên), Trịnh Thanh Đèo, Thái Minh Đường, Trần Ngọc

Hội, Đại số tuyến tính, Nhà xuất bản ĐHQG TP Hồ Chí Minh

[2] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà

Nội, 2000

[3] Ngô Thúc Lanh, Đại số tuyến tính, Nhà xuất bản ĐH và THCN, 1970 [4] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Giáo trình toán đại cương phần một Đại số tuyến tính và hình học giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1988

[5] Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, Nhà xuất bản ĐHQG Hà

Nội 2001

[6] Phan Hồng Trường, Giáo trình Đại số tuyến tính