2.1. Tìm ma trận nghịch đảo
Ta sử dụng thuật toán Gauss_Jordan để tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A vuông cấp n trên trường . Thuật toán này được xây dựng dựa vào kết quả thứ 2 của hệ quả sau:
31
Cho A là ma trận vuông cấp n trên Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương:
1. A khả nghịch dạng chính tắc của A là
2. Nếu A khả nghịch thì nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) đồng thời chính dãy các phép biến đổi sơ cấp sẽ biến thành nghịch đảo của ma trận A.
Ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị
cấp n vào bên phải.
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa về dạng trong đó là 1 ma trận bậc thang chính tắc.
- Nếu thì A khả nghịch và
.
- Nếu thì A không khả
nghịch. Nghĩa là trong quá trình biến đổi nếu xuất hiện ít nhất 1 dòng không thì lập tức kết luận A không khả nghịch (không cần phải đưa về dạng chính tắc) và kết thúc thuật toán.
32
Ví dụ 1:
Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
33 Vậy Ví dụ 2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận: Giải Ta có:
34 Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là:
Ta còn áp dụng ma trận chéo để tính lũy thừa của ma trận vuông.
Ví dụ 3: Tìm ma trận nghịch đảo cuả A và tính
35 Vì vậy ta có A khả nghịch và Từ Do đó : Vậy . Bài tập tự giải
Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau: a)
36 b)
c)
d)