Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ma trận và ứng dụng

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc nắm lại kiến thức của ma trận. Qua đó có thể áp dụng để tìm lời giải cho một số bài toán sơ cấp, những bài toán liên quan đến tính các đại lượng trong hệ thống lò xo hay trong kinh tế.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ XUÂN TRANG MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN Phản biện 1: TS LÊ VĂN DŨNG Phản biện 2: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ma trận chiếm vị trí quan trọng toán học Lý thuyết ma trận có mối liên hệ mật thiết với nhiều lĩnh vực khác tốn học có ứng dụng nhiều lĩnh vực quan trọng toán học, xây dựng, học, vật lý lý thuyết, kinh tế lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác Chẳng hạn việc sử dụng phép biến đổi, tính tốn ma trận dựa mối liên hệ dịch chuyển nặng, độ biến dạng lò xo, lực đàn hồi, trọng lực nặng để tìm ma trận độ cứng K Từ đó, dể dàng tính dịch chuyển nặng, độ biến dạng lò xo lực đàn hồi Trong số toán dãy số dãy số cho theo công thức truy hồi, tốn hệ phương trình vi phân hay tốn tìm cực trị hàm nhiều biến việc dùng ma trận để giải hướng hay ta thu kết bất ngờ mà dùng cách giải thông thường khơng có Cũng việc tính tốn diện tích, thể tích m – hộp, m – đơn hình khơng gian Euclide n – chiều ta sử dụng định thức Gram để tính tốn giúp giải tốn nhanh chóng dể dàng nhiều.Điều đặc biệt ta ứng dụng kinh tế Với lý trên, hỗ trợ giáo viên hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn định lựa chọn đề tài: "Ma trận ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm giúp người đọc nắm lại kiến thức ma trận Qua áp dụng để tìm lời giải cho số tốn sơ cấp, tốn liên quan đến tính đại lượng hệ thống lò xo hay kinh tế Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lý thuyết ma trận, hệ thống lò xo, mơ hình kinh tế mở Leontief 3.2 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài phép biến đổi ma trận, chéo hóa ma trận, ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến phép biến đổi ma trận, chéo hóa ma trận, lực đàn hồi hệ thống lò xo Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi email với chuyên gia ứng dụng ma trận giải toán vật lý Đóng góp đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến ma trận ứng dụng thực tế qua ví dụ, tập áp dụng, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Ma trận ứng dụng Chứng minh chi tiết định lí, cơng thức đưa số ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm có hai chương: Chương trình bày số kiến thức ma trận Chương trình bày số ứng dụng ma trận CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MA TRẬN Khi ta có m × n số ta xếp thành bảng chữ nhật chứa m hàng n cột Một bảng số gọi ma trận Định nghĩa 1.1 Một bảng số chữ nhật có m hàng n cột   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n  A =   , gọi ma trận cỡ m × n am1 am2 amn aij phần tử ma trận A nằm giao điểm hàng i cột j 1.2 CÁC PHÉP TOÁN CỦA MA TRẬN 1.2.1 Cộng ma trận 1.2.2 Nhân ma trận với số thực 1.2.3 Phép nhân hai ma trận 1.3 ĐỊNH THỨC 1.3.1 Hoán vị 1.3.2 Nghịch 1.3.3 Định thức 1.3.4 Định thức Gram Định nghĩa 1.2 Cho không gian vectơ Euclide n − chiều − − − VEn cho hệ vectơ {→ u 1, → u , , → u m } Xét ma trận tạo tích vơ hướng hệ vectơ trên:  → − − − − u → u1 → u → u2 → − → − → − →  u u u − u2 → − → − → − Gr( u , u , , u m ) =  → − − − − u m → u1 → u m → u2  − − → u → um − − → u → um   → − → − u m u m (m) Ma trận gọi ma trận Gram hệ vectơ − − − {→ u 1, → u , , → u m } − Gọi (a1i , a2i , , ani ) tọa độ vectơ → u i ; ∀i = 1, m n sở trực chuẩn VE Xét ma trận:   a11 a12 a1m  a21 a22 a2m  A =   an1 an2 anm (n×m) 1.4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Định lý 1.1 (Định lí tồn ma trận khả đảo ) 1.5 HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa 1.3 Hạng ma trận A cấp cao tất định thức khác ma trận A Ký hiệu: hạng ma trận A r(A) 1.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.6.1 Các định nghĩa 1.6.2 Hệ Cramer Định lý 1.2 (Qui tắc Cramer) Hệ Cramer có nghiệm (hay hệ Cramer hệ xác định) nghiệm xác định sau:    x1 D1 D2   x2   D3   x3   X= =     D   xn Dn  hay xi = Di D ,i = 1, n 1.6.3 Các định lý nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định lý 1.3 (Định lý tồn nghiệm hay định lý Kronecker Capeli) 1.7 TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG Định nghĩa 1.4 Cho không gian vectơ E trường T f phép biến đổi tuyến tính E Ta gọi trị riêng f vô hướng λ ∈ T tồn vectơ x = E thỏa mãn: f (x) = λx Đồng thời vectơ x gọi vectơ riêng phép biến đổi tuyến tính f ứng với trị riêng λ 1.7.1 Ma trận đặc trưng, đa thức đặc trưng Định lý 1.4 Cho f phép biến đổi tuyến tính khơng gian vectơ n - chiều E trường T A ma trận f (theo sở E) Điều kiện cần đủ để λ ∈ T trị riêng f det(A − λE) = 1.7.2 Cách tìm trị riêng vectơ riêng phép biến đổi tuyến tính f 1.7.3 Khơng gian đặc trưng 1.7.4 Chéo hóa ma trận vng cấp n Định nghĩa 1.5 (Ma trận đồng dạng) Định lý 1.5 Ma trận vuông cấp n A đồng dạng với ma trận chéo A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính x1 , · · · , xn Trong trường hợp đặt P = [x1 , x2 , · · · , xn ] P −1 AP = diag(λ1 , λ2 , · · · , λn ), λ1 , λ2 , · · · , λn trị riêng ma trận A (không thiết phải khác biệt) tương ứng với vectơ riêng x1 , x2 , · · · , xn Định lý 1.6 Nếu ma trận vng cấp n có n trị riêng khác biệt chéo hóa Khi ma trận vng khơng chéo hóa được, tam giác hóa 1.7.5 Tam giác hóa E K - không gian vectơ hữu hạn chiều với số chiều n, n ≥ Định nghĩa 1.6 Giả sử phép biến đổi tuyến tính f khơng gian vectơ n− chiều E (f ∈ ζ(E)) Ta nói f tam giác hóa tồn sở {e1 , e2 , · · · , en } E cho ma trận phép biến đổi tuyến tính f ứng với sở ma trận tam giác Giả sử A ma trận vuông cấp n (A ∈ Mn (K)) Ta nói A tam giác hóa tồn ma trận tam giác T (ma trận vuông cấp n) đồng dạng với A Định lý 1.7 Giả sử (A ∈ Mn (K)) Hai tính chất sau tương đương: (a) A tam giác hóa (b) Đa thức đặc trưng A tách K Giả sử (f ∈ ζ(E)) Hai tính chất sau tương đương: (a) f tam giác hóa (b) Đa thức đặc trưng ma trận f tách K 1.7.6 Tính lũy thừa ma trận vuông Cho A ma trận vuông cấp n Giả sử A chéo hóa được, tồn P B cho: A = P BP −1 Ta chứng minh quy nạp: ∀k ∈ N, Ak = P B k P −1  λ1 · · ·  λ ···  Mặt khác, B = · · · · ·2· · · · · · · nên 0 · · · λn  k  λ1 · · · k   ∀k ∈ N, B k =  λ2 · · ·  ··· ··· ··· ··· 0 · · · λkn  Từ suy giá trị Ak (1.1) Giả sử A khơng chéo hóa đa thức đặc trưng A tách Ta biết cách tam giác hóa A Nếu A = P T P −1 ∀k ∈ N, Ak = P T k P −1 Ta việc tính T k 1.8 DẠNG TỒN PHƯƠNG 1.8.1 Ánh xạ song tuyến tính, dạng song tuyến tính 1.8.2 Dạng tồn phương 1.8.3 Đưa dạng tồn phương dạng tắc 1.8.4 Dạng chuẩn tắc dạng toàn phương 1.8.5 Dạng toàn phương xác định dương, xác định âm, luật quán tính Định lý 1.8 Để dạng tồn phương ω(x) không gian vectơ E trường số thực R xác định dương có đủ tồn sở E cho sở n n ω(x) = aij αi αj , i=1 j=1 với định thức D1 , D2 , , Dn (xác định định lý trên) dương Định lý 1.9 Để dạng tồn phương ω(x) khơng gian vectơ E trường số thực R xác định âm có đủ tồn hệ sở E cho sở n n ω(x) = aij αi αj , i=1 j=1 có định thức D0 , D1 , , Dn thỏa (−1)i Di > 0, i = 1, n 10 CHƯƠNG ỨNG DỤNG 2.1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1.1 Áp dụng định lý Cramer 2.1.2 Phương pháp Gauss hay phương pháp khử dần ẩn số 2.1.3 Sử dụng ma trận nghịch đảo Xét hệ phương trình gồm n phương trình n ẩn số viết dạng ma trận: A.X = B (2.2)     x1 b1  x2   b2     A = [aij ], i, j = 1, n, X =    , B =   xn bn Định lý 2.1 ([10]) Nếu A không suy biến (tồn A−1 ) phương trình ma trận (2.2) có nghiệm X = A−1 B 2.2 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 2.2.1 Hệ dãy truy hồi tuyến tính cấp hệ số Giả sử n ∈ N∗ , A = [aij ]ij ∈ Mn (K), (α1 , , αn ) ∈ K n Bài tốn: 11 Hệ dãy truy hồi tuyến tính cấp hệ số xác định bởi:  ∀j ∈ 1, , n, xj0 = αj n (E) j aij xik ∀j ∈ 1, , n, ∀k ∈ N, xk+1 = (x1k )k∈N , , (xnk )k∈N i=0 Tìm số hạng tổng quát xjk Phương pháp: Đặt  x1k    Xk =   , xnk    α1             X0 =    (E) đưa về:       αn    ∀k ∈ N, Xk+1 = AXk Vậy ta có: ∀k ∈ N, Xk = Ak X0 việc xác định Xk quy việc tính Ak  2.2.2 Dãy truy hồi tuyến tính cấp cao hệ số Bài toán: Cho dãy truy hồi tuyến tính cấp cao hệ số (un )n∈N xác định bởi:  p (u0 , , up−1 ) ∈ K p−1 un+i = a0 un + + ap−1 un+p−1 ∀n ∈ N, un+p = i=0 ∀p ∈ N, (a0 , , ap−1 ) ∈ K p Tìm số hạng tổng quát un theo n, ∀n ∈ N 12 Phương pháp: Đặt:   A= 0 a0 a2  0   ∈ Mp (K), ap−2 ap−1 với n thuộc N :   un  un+1     Xn =      un+p−1 Ta có với n thuộc   un+1  un+2      Xn+1 =   =    a0 un+p N:  a1 ap−2  un  un+1         ap−1   un+p−1  = AXn Như việc tìm số hạng tổng quát un đưa tính An 2.3 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Cho hàm số f (M ) = f (x1 , x2 , , xn ) xác định miền D điểm M0 (x01 , x02 , , x0n ) điểm miền D Định lý 2.2 (Điều kiện cần cực trị)([4]) Chú ý điều kiện điều kiện cần cực trị chặt từ cực trị chặt ta có cực trị Điểm mà đạo hàm riêng khơng có đạo hàm gọi điểm tới hạn, điểm nghi ngờ có cực trị Điểm mà đạo hàm riêng gọi điểm dừng 13 Định lý 2.3 ([4]) Cho hàm f (M ) xác định, liên tục có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục lân cận điểm dừng M0 Khi dạng toàn phương d2 f (M0 ) xác định dương hàm số đạt cực tiểu chặt M0 xác định âm hàm số đạt cực đại chặt M0 khơng xác định hàm số không đạt cực trị M0 2.4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HỆ SỐ HẰNG 2.4.1 Hệ phương trình a Phương trình đặc trưng có nghiệm thực phân biệt b Phương trình đặc trưng có nghiệm phức Nếu số phức a + bi nghiệm phương trình đặc trưng phương trình vi phân X = AX nghiệm phương trình X = AX có dạng cQe(a+bi)t Ở Q vectơ riêng phức, c số phức cố định tùy ý Khi ma trận A phương trình X = AX ma trận thực điều kiện ban đầu số thực việc biểu diễn nghiệm theo số thực hay hàm thực cần thiết Tương tự trường hợp phương trình vi phân tuyến tính cấp cao ta tìm nghiệm thực cách tách phần thực phần ảo nghiệm phức tương ứng Giả sử A ma trận thực, λ = a + bi giá trị riêng phức C = C1 + iC2 (C1 , C2 vectơ thực) vectơ riêng ứng với λ, thỏa mãn phương trình riêng: (A − λI)C = 14 Lấy liên hợp ta (A − λI)C = (A − λI)C = Điều chứng tỏ λ giá trị riêng ta thu vectơ riêng C tương ứng Như vậy, X1 = Ceλt , X2 = Ceλt nghiệm phương trình X = AX hiển nhiên tổ hợp tuyến tính chúng nghiệm Do đó: ReCeλt = ReX1 = X1 + X2 = C1 eat cosbt − C2 eat sinbt ImCeλt = ImX1 = X1 − X2 = C1 eat sinbt + C2 eat cosbt 2i nghiệm thực độc lập tuyến tính Ở đây, ReCeλt , ImCeλt phần thực phần ảo số phức Ceλt c Phương trình đặc trưng có nghiệm bội Giả sử phương trình đặc trưng có nghiệm bội m Tương tự với trường hợp y = ceat nghiệm phương trình y = ay , ta xét X = eAt C với tư cách nghiệm phương trình X = AX , với A ma trận vuông cấp n C vectơ cố định Trước hết ta định nghĩa eAt Ta định nghĩa: eAt = I + tA + t2 t3 A + A + 2! 3! với giả thiết chuỗi vế phải hội tụ ∀t Ta gọi khai triển hàm mũ ma trận A Ta có: d At t2 e = A + tA2 + A3 + = AeAt dt 2! 15 Định nghĩa ta nói X = eAt C nghiệm phương trình X = AX Vấn đề đặt ta tính tốn eAt C Ta sử dụng định nghĩa với tính tốn chuỗi vơ hạn, nhiên ta lợi dụng khai triển: Ce(A−λI)t = C + t(A − λI)C + + t2 t3 (A − λI)2 C + (A − λI)3 C + 2! 3! tk (A − λI)k C + k! Ở đây, có k để (A − λI)k C = tất số hạng phía sau ta cần tính tốn với chuỗi hữu hạn Từ với λ giá trị riêng ứng với nghiệm bội m ta tìm C từ hệ phương trình: (A − λI)k C = (A − λI)k−1 C = (2 ≤ k ≤ m), Với C tìm ta tìm nghiệm riêng eAt C = eλt e(A−λt) C từ khai triển 2.4.2 Hệ phương trình khơng Trước khảo sát phương trình khơng X = AX + F , ta nhắc lại phương trình X = AX A ma trận vuông cấp n, X1 , X2 , X3 , , Xn nghiệm độc lập tuyến tính phương trình X = AX Khi đó: Φ = (X1 X2 Xn ) gọi ma trận sở có tính chất sau: • detΦ = W (X1 , X2 , , Xn )(W: định thức Wronski) • Φ = AΦ 16   c1  c2   • c1 X1 + c2 X2 + + cn Xn = Φ    = ΦC cn Từ đó, nghiệm phương trình X = AX ΦC sử dụng phương pháp hệ số biến thiên ta viết Φ(t)U (t) nghiệm phương trình X = AX + F Do đạo hàm ma trận đạo hàm thành phần nên ta có: (ΦU ) = Φ U + ΦU Thay X = ΦU vào phương trình X = AX + F ta thu được: Φ U + ΦU = AΦU + F Sử dụng tính chất ⇒ ΦU = F Sử dụng cơng thức Cramer ta tính U từ tính U Khi đó, nghiệm tổng qt phương trình là: X = ΦC + ΦU Một số phương trình vi phân cấp cao hệ phương trình vi phân cấp cao ta đưa dạng hệ phương trình vi phân cấp cách đặt ẩn phụ thích hợp Ví dụ 2.1 : Giải hệ phương trình: x1 − 2x1 − 3x2 = x1 + x2 + 2x2 = Giải: Đặt thành: u = x1 v = x2 ⇒ u = x1 v = x2    x1 0 x2   0 u  =  −1 −2 v hệ cho viết 0   x1 1 x2  0  u  v 17  0 Phương trình đặc trưng ma trận A =  −1 λ − = 0, từ ta tìm giá trị riêng Từ ta tính vectơ riêng tương ứng:       −3 −i −1    i  −3 , −3 , −1 1 0 −2 λ= Từ giá trị Ceλt là:  −t     3e −3et −i(cost + isint)  −e−t   et  i(cost + isint)  −3e−t  −3et  −(cost + isint)  cost + isint e−t et Và từ ta có ma trận sở  −t  3e −3et sint −cost  −e−t et −sint cost  Φ(t) =  −t −3e −3et −cost −sint  e−t et cost sint Và nghiệm tổng quát là:  −t   3e −3et sint −cost c1  −e−t et −sint cost  c2  X= −3e−t −3et −cost −sint  c3  c4 e−t et cost sint Từ giải theo x1 , x2 ta được: x1 = c1 3et − c2 3et + c3 sint − c4 cost x2 = −c1 et + c2 et − c3 sint + c4 cost  0 1 0 0 ±1, ±i 18 2.5 TÍNH THỂ TÍCH m − HỘP, m − ĐƠN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE n − CHIỀU E n 2.5.1 Thể tích m − hộp khơng gian Euclide n − chiều E n Định lý 2.4 Bình phương thể tích m− hộp qua điểm − − − I dựng theo hệ vectơ {→ u 1, → u , , → u m } định thức Gram → − → − → − hệ vectơ { u , u , , u m } − − − − − − Tức là: (V (H(I, → u 1, → u , , → u m )))2 = det Gr(→ u 1, → u , , → u m ), → − → − → − → − → − → − hay V (H(I, u , u , , u m )) = det Gr( u , u , , u m ) 2.5.2 Thể tích m − đơn hình khơng gian Euclide n − chiều E n Định lý 2.5 Thể tích m− chiều m− đơn hình S(A0 , A1 , , Am ) tính cơng thức sau: V (S(A0 , A1 , , Am )) = = m! −−−→ −−−→ V (H(A0 , A0 A1 , , A0 Am )) m! −−−→ −−−→ detGr(A0 A1 , , A0 Am ) 2.6 MƠ HÌNH KINH TẾ MỞ LEONTIEF Phân tích tĩnh đầu vào - đầu Leontief nhằm trả lời câu hỏi: Mỗi n ngành công nghiệp kinh tế phải đảm bảo mức sản xuất hàng hóa đầu để vừa vặn đủ thỏa mãn tổng cầu loại hàng hóa đó, tức thỏa mãn ngành cơng nghiệp nhu cầu chung xã hội Cụm từ đầu vào - đầu có nghĩa là: đầu ngành cơng nghiệp A lại đầu vào cần thiết cho một 19 số ngành công nghiệp B, C, D Do đó, mức đầu hợp lí ngành công nghiệp A (không bị thiếu hụt hay thặng dư) phụ thuộc vào nhu cầu đầu vào ngành công nghiệp B, C, D nhu cầu chung xã hội, bao gồm nhu cầu tiêu dùng, tích lũy tài sản xuất Một cách tổng qt nói, mức đầu hợp lí ngành cơng nghiệp phụ thuộc vào nhu cầu đầu vào ngành công nghiệp Việc xác định mức đầu hợp lí ngàng công nghiệp để "cân bằng" đầu vào giúp cho kinh tế giữ ổn định phát triển, khơng để xảy tình trạng "nút thắt cổ chai", đầu số loại hàng hóa q khan khơng đủ dùng làm đầu vào cho nganh cơng nghiệp khác Chính vậy, mơ hình đầu vào - đầu Leontief coi mơ hình phân tích cân Để nghiên cứu cấu trúc mơ hình đầu vào - đầu Leontief, cần xét đến giả thiết sau mơ hình: • Mỗi ngành công nghiệp j sản xuất loại hàng hóa j Tuy nhiên, giả thiết cho phép xem xét việc hai nhiều loại hàng hóa sản xuất với tỉ lệ cố định • Mỗi ngành công nghiệp sử dụng tỉ lệ đầu vào cố định để sản xuất hàng hóa đầu • Việc sản xuất loại hàng hóa có tính chất hiệu suất khơng đổi, tức mở rộng đầu vào k lần đầu tăng k lần Theo giả thiết thứ hai đây, với j = 1, 2, , n để ngành công nghiệp j sản xuất đơn vị hàng hóa loại j cần có tỉ lệ đầu vào cố định aij hàng hóa loại i, i = 1, 2, , n Chẳng hạn, a32 = 0, 35 có nghĩa để sản xuất lượng hàng hóa loại có giá trị đơn vị tiền tệ (chẳng hạn triệu đồng, đơn vị sản phẩm tính theo đơn vị tiền tệ) cần có 20 lượng sản phẩm loại làm đầu vào có giá trị 0,35 triệu đồng Các tỉ lệ đầu vào aij gọi hệ số đầu vào, ma trận A = [aij ]n×n gọi ma trận hệ số đầu vào hay ma trận đầu vào:   a11 a12 · · · a1n a a22 · · · a2n  A =  · 21 ·· ··· ··· ··· an1 an2 · · · ann Trong mơ hình Leontief, nhu cầu chung xã hội dj loại hàng hóa j coi nhu cầu cuối để phân biệt với nhu cầu đầu vào sử dụng cho sản xuất Nhu cầu chung nhu cầu dành cho "thành phần mở", nơi cung cấp dịch vụ, lực lượng lao động cho ngành công nghiệp, tức cung cấp "đầu vào bản" Ma trận đầu vào A phải có tính chất: tổng phần tử n aij < 1, ∀j = 1, 2, · · · , n, tức để tạo lượng cột j i=1 hàng hóa loại j có giá trị đơn vị tiền tệ, tổng giá trị đầu vào cần thiết phải đơn vị tiền tệ Phần dơi đơn vị (tính theo đơn vị tiền tệ) đầu hàng hóa loại j sau trừ n tất chi phí sử dụng loại hàng hóa đầu vào − aij i=1 lượng (tiền) lãi dành toàn để trả lương cho đầu vào (thành phần mở kinh tế) Từ phân tích trên, tới hệ phương trình sau đây:  x1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn + d1    x2 = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn + d2 , (2.3) ···    xn = an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn + dn Trong đó: di : nhu cầu chung xã hội sản phẩm loại i, xi : mức sản xuất đầu ngành cơng nghiệp i Giải thích: Hệ (2.3) hệ có n ẩn, n phương trình Xét phương trình thứ hệ (2.3), mức sản xuất đầu 21 hàng hóa loại x1 phải vừa vặn tổng lượng hàng hóa loại cần thiết cho đầu vào sản xuất loại hàng hóa loại 1, 2, 3, · · · , n cho nhu cầu chung (nhu cầu cuối cùng) xã hội hàng hóa loại Các phương trình khác giải thích tương tự Chúng ta sử dụng kí hiệu tốn học sau đây:     x1 d1 x  d  X = · ·2· vectơ đầu ra, D = · ·2· vectơ cầu, xn dn A = [aij ]n×n ma trận hệ số đầu vào, T = I − A gọi ma trận cơng nghệ Có thể kiểm tra T ma trận không suy biến n điều kiện − aij > 0, ∀j = 1, 2, · · · , n i=1 Hệ (2.3) viết dạng ma trận sau: X − AX = D ⇔ (I − A)X = D ⇔ T X = D ⇔ X = T −1 D 2.7 TÍNH LỰC ĐÀN HỒI CỦA HỆ THỐNG LỊ XO Cho n − nặng m1 , m2 , m3 , , mn−1 kết nối hệ thống gồm n lò xo với hai đầu cố định hình vẽ Tìm lực đàn hồi lò xo Lời giải: u = (u1 , u2 , u3 , , un−1 ): dịch chuyển nặng (lên xuống) y = (y1 , y2 , y3 , , yn ): lực căng lò xo Khi nặng dịch chuyển xuống, dịch chuyển dương (ui > 0) Đối với lò xo, lực căng dương lực nén âm (yi < 0) Trong lực căng, lò xo kéo để kéo nặng vào Mỗi lò xo kiểm soát định luật Húc: y = ce Trong đó: 22 y : lực đàn hồi lò xo c: độ cứng lò xo e: độ biến dạng lò xo Cơng việc liên kết phương trình lò xo y = ce vào phương trình vectơ Ku = f cho tồn hệ thống Vectơ lực f lực hấp dẫn, lực f = (m1 g, m2 g, m3 g, , mn−1 g) với g số hấp dẫn Ta có mối liên hệ đại lượng sau: A C AT u− →e− → y −−→ f e = Au (A ma trận cỡ n × (n − 1)) y = Ce(C ma trận cỡ n × n) f = AT y (AT ma trận cỡ(n − 1) × n) Độ biến dạng lò xo khoảng cách kéo dài lò xo Khi đặt thẳng đứng vng góc, lực hấp dẫn tác động Các nặng dịch chuyển xuống khoảng u1 , u2 , u3 , , un−1 Mỗi lò xo bị kéo dài nén ei = ui − ui−1 Ta có độ biến dạng lò xo:      e1 0 0 u1   u2   e2   −1  e3   −1     =   u3         e   0 −1   un−2  n−1 en 0 −1 un−1 Phương trình y = Ce liên kết độ biến dạng lò xo với lực căng lò xo Đó định luật Húc : yi = ci ei cho lò xo riêng biệt Nó định luât mà phụ thuộc vào vật liệu lò xo Một lò xo mềm có c nhỏ, lực vừa phải y tạo độ biến dạng lớn Định luật Húc gần xác cho lò xo trước chúng q tải trở nên hỏng Từ lò xo có cơng thức riêng nó, ma trận C y = Ce ma trận đường chéo 23 Ta có:  y1 y2 y3      y n−1 yn       =     c1 0 c2 0 c3 0 0 0 0 0 0 cn−1 cn       e n−1 en hay y = CAu Lực cân f = AT y    f1 −1 0  f2   −1  f3  =  0 −1    fn−1 0 −1 Chúng ta tìm K = AT CA  c1 + c2 −c2 −c c + c −c 2 3  −c c + c4 = 3  0 e1 e2 e3        y1   y2    y3    yn   0 0   0  −cn−1 cn−1 + cn Nếu tất lò xo giống hệt nhau, với c1 = c2 = c3 = = cn = C = I Ma trận độ cứng AT A   −1 0  −1 −1 0   K0 = AT0 A0 =   −1 0  0 −1 24 KẾT LUẬN Luận văn "Ma trận ứng dụng" đề cập đến vấn đề sau đây: Hệ thống lại toàn kiến thức ma trận Trình bày số khái niệm dãy số truy hồi tuyến tính, cực trị cách tìm số hạng tổng quát dãy số hay tìm cực trị hàm nhiều biến Trình bày cách tương đối đầy đủ chi tiết khái niệm cách giải hệ phương trình vi phân Bên cạnh đó, luận văn trình bày số ví dụ đặc sắc nhằm minh họa cho vấn đề nêu Giải chi tiết số tập nhằm phục vụ hiệu cho việc tiếp cận vấn đề Đưa số ví dụ minh họa việc ứng dụng ma trận vào giải số toán kinh tế vật lý Do thời gian trình độ hạn chế nên luận văn dừng lại mức tìm hiểu giới thiệu vài ứng dụng ma trận Trong q trình thực luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn bè ... trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm có hai chương: Chương trình bày số kiến thức ma trận Chương trình bày số ứng dụng ma trận 3 CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MA TRẬN... dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN Phản biện 1: TS LÊ VĂN DŨNG Phản biện 2: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào... anm (n×m) 1.4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Định lý 1.1 (Định lí tồn ma trận khả đảo ) 1.5 HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa 1.3 Hạng ma trận A cấp cao tất định thức khác ma trận A Ký hiệu: hạng ma trận A r(A)