Về không gian hyperbolic Brody padic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÂM TUẤN DUY VỀ KHÔNG GIAN HYPERBOLIC BRODY P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÂM TUẤN DUY VỀ KHÔNG GIAN HYPERBOLIC BRODY P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học TS Mai Văn Tư NGHỆ AN - 2013 MỤC LỤC Chương Các kiến thức sở 1.1 Trường số p-adic 1.2 Định lí Nevanlinna – Cartan p-adic Chương Không gian hyperbolic Brody p-adic 11 2.1 Các định nghĩa tính chất 11 2.2 Một số không gian hyperbolic Brody p-adic 13 2.2.1 Định lý (Tính Hyperbolic phần bù siêu phẳng) 13 2.2.2 Siêu mặt Fermat biến dạng 14 2.2.3 Xây dựng siêu mặt hyperbolic Brody p-adic thuật toán 25 2.2.4 Sử dụng định lý Nevanlinna – Cartan p-adic 32 MỞ ĐẦU Lý thuyết không gian hyperbolic xuất vào năm 70 kỉ trước, có nhiều ứng dụng quan trọng hình học mà số học đại Có thể khẳng định lý thuyết không gian hyperbolic chìa khóa nhằm giải vấn đề tính hữu hạn nghiệm nguyên phương trình Diophante Năm 1970, S Kobayashi giả thuyết siêu mặt tổng quát bậc đủ lớn P n (C p ) phần bù hyperbolic Mục đích đề tài tìm hiểu việc xây dựng không gian hyperbolic p-adic Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình chu đáo TS Mai Văn Tư Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người dành nhiều thời gian công sức giúp đỡ cho để hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh, người tận tình giảng dạy tổ chức thành công cho khóa học Xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Trung học sở Long Bình – Phòng Giáo dục Đào tạo quận – TP Hồ Chí Minh, đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên giúp đỡ hoàn thành nhiệm vụ học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận đóng góp thầy cô giáo đồng nghiệp TÁC GIẢ Chương Các kiến thức sở 1.1 Trường số p-adic 1.1.1 Giá trị tuyệt đối 1.1.1.1 Định nghĩa Giả sử K trường, giá trị tuyệt đối  K hàm số từ K vào R (kí hiệu  ( x)  x v , x  K ) thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau đây: a x v  0, với x  K x v  x  b xy v  x v y v với x, y  K c x  y v  x v  y v với x, y  K Một hàm giá trị tuyệt đối trường K gọi hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét x  y v  max{ x v , y v } với x, y  K Giá trị tuyệt đối mà x  , với x  K , x   gọi giá trị tuyệt đối tầm thường Giá trị tuyệt đối thông thường tập số hữu tỷ Q (hay tập số thực R ) kí hiệu  1.1.1.2 Định nghĩa Hai giá trị tuyệt đối trường K gọi phụ thuộc (còn gọi tương đương) chúng xác định tôpô K Trong trường hợp trái lại, chúng gọi độc lập (còn gọi không tương đương) 1.1.2 Sự phân loại giá trị tuyệt đối trường số hữu tỉ Q Giả sử p số nguyên tố x  Q, x  0, x viết dạng: x   p11 p22 pkk , p j , j  1, , k số nguyên tố, đôi khác  j số nguyên khác không Các số nguyên  j gọi số lũy thừa số nguyên tố p j có mặt phân tích số hữu tỉ x Kí hiệu ord p x   j , j  1, 2, , k , ord p x  p  p j j Đặt  x  p  ord p x p     x0 (*) 1.1.3 Mệnh đề Hàm số xác định Q công thức (*) hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét gọi giá trị tuyệt đối p-adic 1.1.4 Định lý (Ostrowski) Mọi giá trị tuyệt đối khác tầm thường Q tương đương (hay phụ thuộc) với giá trị tuyệt đối p-adic, p số nguyên tố p   Chứng minh: Giả sử giá trị tuyệt đối tùy ý Q , khác tầm thường Khi tồn x  Q : x   x  Chúng ta xét hai khả xảy Khả Tồn số nguyên dương n mà n  Gọi n0 số nguyên dương bé cho n0  ( n0 tồn tập số tự nhiên N tập thứ tự tốt) Suy tìm   R thỏa mãn: n0  n0 Chúng ta viết số n hệ đếm số n0 n  a0  a1n0   as n0s ,  a j  n0 , as  Khi n  a0  a1 n0   as n0 s   n0   n0s s    n      n0s c  n c  n0  s ( n0s  n ) Trong bất đẳng thức trên, thay đổi n n N nhận được: n  cn N , hay n  N cn N N c 1 c  nên Nlim  Bởi vậy, n  n (1) Mặt khác, cách biểu diễn n hệ đếm số n0 , có: n0s 1  n  n0s Vì n0s 1  n0s 1  n  n  n0s 1  n  n Từ n  n0s 1  n0s 1  n  n0 ( s 1)  (n0s 1  n)  ( s 1)  n0    1  1  1      n0    (1) : n0s 1  n  (n0s 1  n)   n0 ( s 1) c Trong bất đẳng thức cách thay đổi n n N cho N  , có: n  n (2) Từ (1) (2) suy n  n Trong trường hợp đương với  tương Khả Giả sử n  1, với n  N Ta tìm số tự nhiên bé n0 mà n0  Rõ ràng n0  p số nguyên tố (vì n0  p1 p2 , p j  số tự nhiên  n0  p1 p2   min{ p1 , p2 }  điều mâu thuẫn) Đặt   p Nếu q số nguyên tố, q  p giả sử q   tồn 2 m, n số tự nhiên cho q m  , p n  Vì ( p, q)  nên tồn u, v  Z thỏa mãn: up n  vq m  Bởi vậy,  up n  vq m  u p n  v q m  pn  qm  1    vô lý 2 Vậy q số nguyên tố, khác p q  Giả sử a số nguyên tố a   p1 p2 pk dạng phân tích tắc a Ta k có: 1 pi  p, i  1, 2, , k a   i   pi  p a b Giả sử x  Q, x  x  , a, b  Z Dễ thấy: x  Vậy ta thu ord p x tương đương với p Định lý Ostrowski chứng minh 1.1.5 Nhận xét Định lý Ostrowski sở quan trọng lý thuyết mở rộng trường Từ trường số hữu tỷ Q với giá trị tuyệt đối thông thường mở rộng Q thành trường số thực R (là bao đóng đầy đủ Q ) trường số phức C (là trường đóng đại số) Bằng phương pháp tương tự, từ trường số hữu tỷ với giá trị tuyệt đối p-adic người ta xây dựng trường số hữu tỷ p-adic Q p từ Q p , người ta xây dựng trường đóng đại số p-adic (kí hiệu C p ) 1.1.6 Định lý Q p trường không đầy đủ (Nghĩa tồn dãy phần tử Q p không hội tụ) Giả sử X tập hợp dãy gồm phần tử Q p , dãy  xn  xn p  gọi dãy không lim n  Hai dãy  xn   yn  gọi tương đương xn  yn  dãy không Đặt C p  X /  , rõ ràng C p với phép toán +, dãy thông thường (cộng, nhân thành phần) lập thành trường 1.1.7 Định lý C p trường đóng đại số Như phần tử C p giới hạn dãy phần tử xn , giá trị tuyệt đối C p định nghĩa sau: Q p Nếu   lim n   p  lim xn p n  Ngoài ra, hàm ord p x Q p mở rộng thành: v( z )   log p z , z  C p 1.1.8 Định lý i C p trường đóng đại số đầy đủ ii iii C p Q p -không gian vectơ vô hạn chiều C p không compact địa phương 22 2.2.2.6 Hệ (n  2, s  3, M j  z j ) Giả sử f , g , h hàm chỉnh hình p-adic C p thỏa mãn phương trình f d  g d  hd Nếu d  hàm f , g , h khác nhân tử Mệnh đề tương tự đa thức hệ định lý Mason Giả sử đa tạp xạ ảnh P n (C p ) xác định phương trình X : c1M1   cs M s  a a M j  z1 zn1 đơn thức bậc d với lũy thừa nguyên không j1 jn1 âm, j  1, , s Đa tạp X gọi biến dạng siêu mặt Fermat bậc d M j  z dj , j  1, , n  Kết phần định lý sau 2.2.2.7 Định lý Giả sử X biến dạng siêu mặt Fermat bậc d d  s(s  2) đường cong chỉnh hình f : C p  X suy biến Nhận xét: Trước vào chứng minh định lý ta nói sơ qua ý nghĩa Trong trường hợp phức giả thuyết tiếng Green – Griffiths nói đường cong chỉnh hình siêu mặt kiểu tổng quát suy biến Nói riêng, đường cong chỉnh hình siêu mặt bậc đủ lớn suy biến Có thể xem định lí 2.2.2.7 câu trả lời khẳng định cho giả thuyết Green – Griffiths p-adic trường hợp riêng 23 Chứng minh định lý Giả sử f  ( f1 , f , , f n1 ) : C p  X ánh xạ chỉnh hình Chúng ta chứng tỏ hệ {f1d ( z), , f nd1 ( z), M n2 f ( z), , M s f ( z)} phụ thuộc tuyến tính Giả sử ngược lại, xét ánh xạ chỉnh hình g  ( f1d ( z), , f nd1 ( z), M n2 f ( z), , M s f ( z)) : C p  P s 2 ( C p ) Chúng ta chọn s siêu phẳng vị trí tổng quát H j  {z j =0}, j=1, ,s-1, Hs  {c1z1 + +cs 1z s 1 =0} Rõ ràng siêu phẳng H j đường cong chỉnh hình g thỏa mãn giả thiết định lí Nevanlinna – Cartan Chúng ta có s ( s  ( s  2)  1)h ( g , t )   N s 2 ( g H j , t )   j 1 ( s  1)( s  2) t  0(1) (4) Từ định nghĩa độ cao, ta có h( g , t )  h( g H j , t ) 1 j  s 1  h( M j f , t ) 1 j  s 1  min{ h( f jd , t ), h( M j f , t )} 1 j  n 1 n  2 j  s 1  min{dh( f , t ), h( M j f , t )} n  2 j  s 1 (5) 24 Do   h( M j f , t )  h( f1 j ,1 f n 1j ,n1 , t ), j n2 n 1    j , m h( f m , t ) m 1 n 1    j , m h( f , t ) m 1  6  dh( f , t ) Từ (5) (6) có h( g , t )  dh( f , t ) Do vậy: h ( g , t )  dh ( f , t ) (7) Mặt khác từ định nghĩa hàm đếm thu N s 2 ( g H j , t )  ( s  2) N1 ( g H j , t )  ( s  2) N ( g H j , t )  ( s  2)h  ( g H j , t )  0(1)  ( s  2)h  ( M j f , t )  0(1)  ( s  2)h  ( f , t )  0(1) (8) Lập luận tương tự định lí 2.2.2.4, thấy bất đẳng thức (8) với j  s Từ bất đẳng thức (4), (7) (8) thu được: dh ( f , t )  s( s  2)h ( f , t )  ( s  2)( s  1)t  0(1) (9) Rõ ràng d  s(s  2) bất đẳng thức (9) xảy t   Vậy: {f1d , , f nd1 , M n2 f , , M s f } phụ thuộc tuyến tính, nghĩa f đường cong suy biến Định lí 2.2.2.7 chứng minh 25 2.2.3 Xây dựng siêu mặt hyperbolic Brody p-adic thuật toán Việc xây dựng siêu mặt hyperbolic không gian xạ ảnh tiến hành theo hai hướng Hướng thứ vận dụng định lí Nevanlinna – Cartan p-adic thông qua bổ đề Borel kĩ thuật xây dựng Masuda – Noguchi Hướng lại, chủ yếu dựa vào định lí tính suy biến đường cong chỉnh hình Để mô tả thuật toán xây dựng siêu mặt hyperbolic, trước tiên cần thấy rõ siêu mặt hyperbolic n Giả sử siêu mặt X P xác định phương trình s X :  c j M dj  0, j 1  j1  jn1 c j  0, M j  z1 zn1 ,  jk  Z ,  jk  n 1  k 1 jk  l, j  1, , s Giả sử f  ( f1 f n1 ) : C p  P n (C p ) đường cong chỉnh hình khác số cho f (C p )  X , nghĩa s c M j 1 j d j f  Nếu X không hyperbolic, theo bổ đề Borel p-adic với d  s(s  2), tồn phân hoạch {1, , s}  (i ) # I  (ii ) M dj (iii )  f  bij M dj jI c j M dj f, I cho:   i, j  I f 0 Từ kết luận (ii) , ta có hệ phương trình tuyến tính log f j 26 ( j1  i1 )log f1   ( jn1  in1 )log f n1  log bij, i r ,jr  I Vì f khác số nên hạng ma trận hệ số hệ phương trình  n, trường hợp ngược lại f j  b j f1 , j  2, , n  1, chứng tỏ f số, điều xảy Bởi vậy, X không hyperbolic hạng ma trận hệ số hệ phương trình không cực đại Điều gợi cho xây dựng dãy đơn thức M j , j  1, , s bậc d cho hạng ma trận xây dựng tương tự cực đại Trước hết cần khái niệm kí hiệu sau   Giả sử M j  z1 zn1 ,1  j  s đơn thức phân biệt, bậc l, với j1 jn1 lũy thừa hữu tỷ không âm Nếu z  với  j  đặt M j  2.2.3.1 Định nghĩa Tập đơn thức {M j : j  1, , s} gọi chấp nhận với cách chọn tùy ý số  j  k  s,    l cho  j1  j1   jl ; {j1 , , jl , k1 , , kl }  {1, ,s} hạng ma trận  jl   kl    j11   k11        j1n 1   k1n 1  jl n 1   kl n 1  n 27 Giả sử  z  z1 , , zl z 1 , , zl  tập tập biến Ta đặt z   gọi {M } tập {M } bao gồm đơn thức khác ' j j không biến z1 , , zl Chúng ta có khái niệm k-chấp nhận sau 2.2.3.2 Định nghĩa (i ) Tập {M j : j  1, , s} gọi chấp nhận biến z1 , , zl tập {M 'j } chấp nhận với biến tương ứng (ii ) Tập đơn thức {M j : j  1, , s} gọi k–chấp nhận chấp nhận cách chọn biến ( z1 , , zl )  l  k Ta nhắc lại kết sau: 2.2.3.3 Bổ đề Giả sử M j ,  j  s đơn thức phân biệt bậc với lũy thừa hữu tỷ không âm Khi tồn đơn thức phân biệt Nk ,1  k  t , bậc với tất lũy thừa số hữu tỷ dương cho {M1 , , M s , N1 , , Nt } tập chấp nhận   Việc xây dựng đơn thức Nk  z1 k znkn11 ,  k  t tiến hành phương pháp quy nạp sau Với cách chọn tùy ý số  l j  k j  t ,  j    t , l j ,  j   phân biệt, cho 28 l   k   l11   k11   rank     l n 1   k n 1  k1n 1  l1n 1  l11   k11 l   k     rank     l n   k n  k1n  l1n cực đại 2.2.3.4 Bổ đề Giả sử {M j : j  1, , s} tập k-chấp nhận được, k  n, tồn đơn thức Nk , k  1, , t bậc với lũy thừa hữu tỷ dương cho {{M j },{Nk }} tập (k  1)  chấp nhận 2.2.3.5 Định lý Với số tự nhiên n  , tồn tập đơn thức M j , bậc gồm lũy thừa hữu tỷ, không âm cho {M j : j  1, , s} tập (n  1)  chấp nhận 2.2.3.6 Kí hiệu   Giả sử M j  z1 zn1 ,  j  s đơn thức phân biệt, bậc d với j1 jn1 j Giả sử {1, , s}= t I phân hoạch số cho  1  # I  2,  I gồm phần tử xếp theo thứ tự tăng j1   j p 29 Giả sử {jr  kr } tập tất cặp I cho j1   jl {j1 , , jl , k1 , , kl }=I Ta đặt  jl   kl    j11   k11   R({M j },{I })       j1n 1   k1n 1  jl n 1   kl n 1  Với cách chọn tùy ý  1   n'  n  1, đặt zi  i { :   1, , n '} Giả sử M jk ( z1 , , zn ' ),  k  s ' đơn thức khác không {M j } có dạng {M j (0, ,0, z ,0, ,0, z ,0, ,0)} n Giả sử thêm {1, , s}= I' phân hoạch số cho I' có hai phần tử,  Chúng ta đặt R({M j },{   1, , n '},{I' })  R({M jk },{I' }) Bây xét siêu mặt X P n , xác định phương trình X : c1M1d   cs M sd  0,   c j  0, M j  z1 j1 znjn11 ,  j  s đơn thức phân biệt bậc l d số nguyên dương Bổ đề sau cho phép loại trừ siêu mặt không hyperbolic 2.2.3.7 Bổ đề Với kí hiệu Nếu d  s(s  2) X không hyperbolic tồn số  1   n ' phân hoạch 30 {1, , s '}=   I' số đơn thức M jk  z1 jk1 znjk1n ' ,  k  s ' xác định # I'  2,  , thỏa mãn điều kiện sau: rankR({M jk },{I' })  n ' Trong trường hợp đó, tồn số Al  C  ,    n ' cho  c   jk kI'   ( A1 jk Anjk' n ' )  0, I' Giả sử  hợp tập đại số {((ci ), ( Ai ))  (C  ) s  Pn (C )}, (ci ), ( Ai ) xác định bổ đề 2.2.3.7, cách chọn biến, phân hoạch, Ai  ( Ai )  A Giả sử : (C ) tập đại số  s  P n (C )  (C  ) s phép chiếu thứ Chúng ta có       (C )  s Từ kết trên, ta có thuật toán để xây dựng siêu mặt hyperbolic Cụ thể cần chọn X   j 1 c j M j , cho thỏa mãn hai điều s kiện: (i) {M j : j  1, , s} (n  1)  chấp nhận được, nghĩa hạng ma trận xây dựng tương tự 2.2.3.1 cực đại (ii) c j , j  1, , s Nhận xét Hai điều kiện nêu hoàn toàn có tính chất đại số, không phụ thuộc vào trường sở Vì trình xây dựng siêu mặt hyperbolic dựa bổ đề Borel hai điều kiện trên, nên trường hợp p-adic, chúng 31 ta hoàn toàn có quyền sử dụng hai điều kiện với bổ đề Borel p-adic để xây dựng siêu mặt phẳng hyperbolic p-adic P n (C p ) 2.2.3.8 Các ví dụ Sử dụng bổ đề Borel p-adic thuật toán Masuda-Noguchi, xây dựng vài ví dụ siêu mặt hyperbolic p-adic không gian xạ ảnh P3 (C p ) P5 (C p ) Ví dụ X : z13d  z23d  z33d  z43d  t ( z1 z2 z3 )d  0, deg X  3d  15, t  Ví dụ X : z14d  z24d  z34d  z44d  t ( z1 z2 z3 z4 )d  0, d  4, t  C p Ví dụ X : z14d  z24d  z34d  z44d  t ( z12 z2 z3 )d  0, d  4, t  C *p Ví dụ Siêu mặt sau hyperbolic P5 (C p ) z1d   z6d  t1 ( z1 z24 ) t5 ( z5 z14 ) d t10 ( z52 z23 )  t6 ( z12 z33 ) d d 5 d  0, t j  C p , d  5e  1120  t2 ( z2 z34 ) d  t7 ( z22 z43 ) d  t3 ( z3 z44 ) d  t8 ( z32 z53 ) d  t4 ( z4 z54 ) d  t9 ( z42 z13 ) d 32 2.2.4 Sử dụng định lý Nevanlinna – Cartan p-adic Sử dụng định lí Nevanlinna – Cartan p-adic thông qua tính suy biến đường cong chỉnh hình chứng tỏ siêu mặt sau hyperbolic Brody p-adic 2.2.4.1 Định lý Nếu d số nguyên chẵn d  48 t số hữu hạn, khác không X t không gian hyperbolic p-adic Trong X t siêu mặt P3 (C p ) d xác định phương trình X : z1d   z4d  (tz1 z2 )  (tz1 z3 ) d  2.2.4.2 Định lý Giả sử X siêu mặt P3 (C p ) , bậc d , xác định phương trình X : z1d  z2d  z3d  z4d  cz11 z22 z33  0, c  0, 1    3  d ,  j  Nếu d  15 X siêu mặt hyperbolic 2.2.4.3 Nhận xét K.Masuda J.Noguchi chứng minh với n, tồn số n d (n) cho với d  d (n) siêu mặt bậc d P (C p ) hyperbolic Họ chứng minh d (3)  54 M.Nadel cho ví dụ siêu mặt P3 (C p ) với bậc d  3e  21 Hà Huy Khoái chứng tỏ d (3)  22 Trong trường hợp p-adic chứng tỏ d (3)  15    Có thể khẳng định rằng, định lí 2.2.4.2 thay cz1 z2 z3  cz j zk zi , ( z j , zk , zi ) chọn tùy ý  z1 , z2 , z3 , z4  j k i 33 Giả thiết  j  cần thiết Vì ngược lại  j  siêu mặt bậc d  15 : z1d  z2d  z3d  z4d  cz1 z2  0, i  0, 1  2  d chứa ánh xạ chỉnh hình khác số f  ( f1 , af1 , z,  z) : C p  X ,  d  1, a  d nghiệm phương trình a  ca   0, c  0, f1 (0)  2.2.4.4 Định lý Mọi siêu mặt bậc d  15 P3 (C p ), xác định phương trình X : z1d  z2d  z3d  z4d  cz11 z22 z33 z44  siêu mặt hyperbolic p-adic Trong  j 1  j  d , c  có nhiều  j  2.2.4.5 Nhận xét Trong trường hợp có hai số mũ định lí 2.2.4.4 không 2.2.4.6 Định lý Giả sử X siêu mặt P (C p ) xác định phương trình X : z1d  z2d  z3d  cz11 z22 z33  0, 1    3  d  15, i  1, phần bù X P (C p ) hyperbolic p-adic 2.2.4.7 Nhận xét K.Masuda J.Noguchi đưa thuật toán để xây dựng đường cong bậc d  48 P (C ) với phần bù hyperbolic Ở tìm 34 hiểu ví dụ đường cong P (C p ) với bậc d  15 mà phần bù hyperbolic 35 KẾT LUẬN Luận văn bước đầu tìm hiểu việc vận dụng lý thuyết Nevanlinna – Cartan p-adic vào việc xây dựng không gian hyperbolic p-adic Các kết thu được: 1.Trình bày chi tiết phép chứng minh định lý Ostrowski Định lý sở quan trọng lý thuyết mở rộng trường số (định lý 1.1.4) Bước đầu tìm hiểu trình xây dựng lớp không gian hyperbolic Brody p-adic siêu mặt hyperbolic dựa vào định lí Nevanlinna – Cartan p-adic (Định lý 2.2.1; 2.2.2.1; 2.2.2.4; 2.2.2.7) 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] W A Cherry (1993), Hyperbolic p-Adic Analytic Spaces, Ph D Thesis Yaly University [2] Ha Huy Khoai and My Vinh Quang (1988), p-adic Nevanlinna theory, Lecture Notes in Math 1351 pp: 135-152 [3] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), p-adic Nevanlinna Cartan theorem, Inter J Math Vol 6, No 5, pp: 719-731 [4] S Lang (1974), Hyperbolic and Diophantine proplems, Bull Amer Math Soc 80 pp: 779-787 [5] Mai Van Tu (1996), A p-adic hyperbolic surfaces in P3 (C p ) , Vietnam J Math [6] Mai Van Tu (1995), A notes on p-adic hyperbolic surfaces, Vietnam J Math Vol 23 S I, pp: 179-188 [...]... lý Giả sử X là không gian con của không gian Y hoặc f : X  Y là ánh xạ chỉnh hình và đơn ánh Khi đó nếu Y là không gian hyperbolic thì X cũng là không gian hyperbolic 13 2.1.9 Định lý Giả sử X là không gian phức compact, khi đó X là không gian hyperbolic Brody khi và chỉ khi X là không gian hyperbolic Kobayashi 2.2 Một số không gian hyperbolic Brody p-adic 2.2.1 Định lý (Tính Hyperbolic của phần bù... các không gian phức với hai nửa khoảng cách d X , dY tương ứng Khi đó f là hàm có tính chất giảm đối với nửa khoảng cách Kobayashi dY ( f ( x), f ( y))  d X ( x, y), x, y  X Ngoài ra d X là nửa khoảng cách lớn nhất trong X sao cho mọi ánh xạ chỉnh hình f : X  Y đều có tính chất trên 2.1.7 Hệ quả Mọi không gian hyperbolic Kobayashi đều là không gian hyperbolic Brody 2.1.8 Định lý Giả sử X là không. .. inf m d hyp (ai , bi ), i 1 trong đó cực tiểu được lấy với mọi cách chọn fi , ai , b j 2.1.3 Định nghĩa Không gian X được gọi là Hyperbolic Kobayashi nếu nửa khoảng cách d x là khoảng cách, nghĩa là d x ( x, y)  0  x  y 12 2.1.4 Định nghĩa Không gian X được gọi là hyperbolic Brody p-adic nếu không tồn tại các ánh xạ chỉnh hình khác hằng số từ C p vào X 2.1.5 Hệ quả (i) Mỗi ánh xạ chỉnh hình f :... 1  n n(n  1)   n  1  2e j   1  d 11 Chương 2 Không gian hyperbolic Brody p-adic 2.1 Các định nghĩa và tính chất 2.1.1 Định nghĩa Giả sử D là đĩa đơn vị trong C p , khoảng cách Hyperbolic giữa hai điểm a, b  D được xác định bởi hệ thức: ba 1  ab 1 d hyp (a, b)  log ba 2 1 1  ab 1 p p 2.1.2 Định nghĩa Giả sử X là không gian phức liên thông và một dãy các hàm chỉnh hình fi : D ... số không gian hyperbolic Brody p-adic 2.2.1 Định lý (Tính Hyperbolic của phần bù các siêu phẳng) Phần bù của n siêu phẳng tùy ý trong không gian xạ ảnh P n (C p ) là không hyperbolic Chứng minh Giả sử H1 , H 2 , H n là n siêu phẳng (không cần thiết ở vị trí tổng quát) Không mất tính tổng quát, chúng ta giả thiết rằng H1 , H 2 , H k (k  n) là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát Với mỗi m, k  m  n, hệ... 1)t  0(1) 2 (9) Rõ ràng khi d  s(s  2) thì bất đẳng thức (9) không thể xảy ra khi t   Vậy: {f1d , , f nd1 , M n2 f , , M s f } phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là f là đường cong suy biến Định lí 2.2.2.7 được chứng minh 25 2.2.3 Xây dựng siêu mặt hyperbolic Brody p-adic bằng thuật toán Việc xây dựng các siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh được tiến hành theo hai hướng Hướng thứ nhất là vận... Sử dụng định lí Nevanlinna – Cartan p-adic thông qua tính suy biến của các đường cong chỉnh hình chúng ta sẽ chứng tỏ các siêu mặt sau là hyperbolic Brody p-adic 2.2.4.1 Định lý Nếu d là số nguyên chẵn d  48 và t là số hữu hạn, khác không thì X t là không gian hyperbolic p-adic Trong đó X t là siêu mặt trong P3 (C p ) d được xác định bởi phương trình X : z1d   z4d  (tz1 z2 ) 2  (tz1 z3 ) d 2... 31 ta hoàn toàn có quyền sử dụng hai điều kiện này cùng với bổ đề Borel p-adic để xây dựng các siêu mặt phẳng hyperbolic p-adic trong P n (C p ) 2.2.3.8 Các ví dụ Sử dụng bổ đề Borel p-adic và thuật toán Masuda-Noguchi, chúng ta xây dựng vài ví dụ về các siêu mặt hyperbolic p-adic trong không gian xạ ảnh P3 (C p ) và P5 (C p ) Ví dụ 1 X : z13d  z23d  z33d  z43d  t ( z1 z2 z3 )d  0, deg X  3d ... i với các hằng số thích hợp, chúng ta đưa nó về phương trình Fermat thông thường Vì vậy chúng ta có thể giảm bớt số n trong định lý 2.2.2.1 về một số nhỏ hơn Và như vậy định lý 2.2.2.1 được chứng minh bằng quy nạp 19   Giả sử M j  z1 zn1 ,1  j  s là các đơn thức bậc l với các lũy thừa j1 jn1 nguyên không âm Giả sử X là siêu phẳng bậc dl của không gian xạ ảnh s P (C p ) , được xác định bởi phương... trong đó c j  0, M j  z1 j1 znjn11 , 1  j  s là các đơn thức phân biệt bậc l và d là số nguyên dương Bổ đề sau cho phép chúng ta loại trừ các siêu mặt không hyperbolic 2.2.3.7 Bổ đề Với các kí hiệu như trên Nếu d  s(s  2) thì X là không hyperbolic khi và chỉ khi tồn tại các chỉ số 1  1   n ' và một phân hoạch 30 {1, , s '}=   I' của các chỉ số của các đơn thức M jk  z1 jk1 znjk1n ... Mọi không gian hyperbolic Kobayashi không gian hyperbolic Brody 2.1.8 Định lý Giả sử X không gian không gian Y f : X  Y ánh xạ chỉnh hình đơn ánh Khi Y không gian hyperbolic X không gian hyperbolic. .. 2.1.9 Định lý Giả sử X không gian phức compact, X không gian hyperbolic Brody X không gian hyperbolic Kobayashi 2.2 Một số không gian hyperbolic Brody p-adic 2.2.1 Định lý (Tính Hyperbolic phần bù... p-adic Chương Không gian hyperbolic Brody p-adic 11 2.1 Các định nghĩa tính chất 11 2.2 Một số không gian hyperbolic Brody p-adic 13 2.2.1 Định lý (Tính Hyperbolic phần