Về không gian tuyến tính 2định chuẩn

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Không gian 2-mêtric định lý điểm bất động 1.1 Không gian 2-mêtric 1.2 Một số định lý điểm bất động lớp ánh xạ co suy rộng không gia 11 Không gian tuyến tính 2-định chuẩn số tính chất hình học c 2.1 Không gian tuyến tính 2-định chuẩn 24 2.2 Không gian 2-Banach 30 2.3 Một số tính chất hình học không gian tuyến tính 2-định chuẩn 38 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 MỞ ĐẦU Năm 1963, S G¨ahler (xem [7]) đưa lớp không gian có cấu trúc kiểu không gian mêtric không gian 2-mêtric Sau đó, nhiều nghiên cứu tính chất giải tích thực lớp không gian Cụ thể, vấn đề hội tụ, liên tục ánh xạ, tồn điểm bất động cho ánh xạ co, lớp không gian nghiên cứu số nhà toán học khác (xem [7], [9], ) Một tự nhiên từ đời không gian 2-mêtric người ta xây dựng lớp không gian tốt không gian tuyến tính 2-định chuẩn Từ đó, việc nghiên cứu tính chất hình học không gian tuyến tính 2-định chuẩn mở rộng các định lý điểm bất động cổ điển lớp không gian thu hút số nhà toán học làm việc lĩnh vực giải tích hàm quan tâm giải (xem [10], ) Với mục đích tìm hiểu cách chi tiết có hệ thống không gian 2-mêtric, không gian tuyến tính 2-định chuẩn, số tính chất hình học chúng vài định lý điểm bất động số lớp ánh xạ co suy rộng không gian 2-mêtric, lựa chọn đề tài cho luận văn là: Về không gian tuyến tính 2-định chuẩn Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương trình bày kết không gian 2-mêtric đưa kết mở rộng Lai S N and Singh A K định lý điểm bất động lớp ánh xạ co suy rộng không gian 2-mêtric đầy đủ Chương nghiên cứu số kết mở đầu không gian tuyến tính 2-định chuẩn, không gian 2-Banach số tính chất hình học không gian tuyến tính 2-định chuẩn Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn chu đáo, tận tình Thầy giáo T.S Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, quí Thầy Cô tổ Giải tích khoa Toán-trường Đại học Vinh giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, tổ Toán-Tin trường THPT Hậu Lộc 4-Thanh Hoá, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt học viên cao học khóa 18 Toán-Giải tích Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng lực hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2012 Hoàng Thị Thuỷ CHƯƠNG KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chương trình bày kết không gian 2-mêtric đưa kết mở rộng Lai S N and Singh A K (xem [9]) định lý điểm bất động lớp ánh xạ co suy rộng không gian 2-mêtric đầy đủ 1.1 Không gian 2-mêtric Mục trình bày kiến thức sở không gian 2-mêtric 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp gồm điểm Một 2-mêtric X ánh xạ : ρ:X ×X ×X →R thoả mãn điều kiện sau: i) Với cặp điểm a, b ∈ X mà a ̸= b, tồn điểm c thuộc X thoả mãn ρ(a, b, c) ̸= Nếu có điểm ρ(a, b, c) = ii) ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b), ∀a, b, c ∈ X iii) ρ(a, b, c) ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(d, b, c), ∀a, b, c, d ∈ X Khi đó, (X, ρ) gọi không gian 2-mêtric 1.1.2 Chú ý Dễ dàng thấy ρ không âm Thật vậy, iii) cho a = c ta ρ(a, b, a) ρ(a, b, d) + ρ(a, a, d) + ρ(d, b, a), ∀a, b, d ∈ X ⇔ 2ρ(a, b, d), ∀a, b, d ∈ X ⇔ ρ(a, b, d), ∀a, b, d ∈ X 1.1.3 Ví dụ Cho X = (a, b, c, d) Ta xác định ánh xạ ρ : X ×X ×X → R sau ρ(a, b, c) = 2, ρ(a, c, d) = 3, ρ(b, c, d) = 5, ρ(a, b, d) = 6, ρ(x, y, z) = x, y, z có phần tử Khi đó, (X, ρ) không gian 2-mêtric Thật vậy, X tập hợp nhiều điểm thoả mãn: i) Với cặp điểm (x, y) ∈ X mà x ̸= y , tồn điểm z thuộc X thoả mãn: ρ(x, y, z) ̸= Mặt khác ρ(x, y, z) ̸= 0, ∀x, y, z ∈ X; x, y, z phân biệt ii) ρ(x, y, z) = ρ(y, z, x) = ρ(z, x, y), ∀x, y, z ∈ X iii) Bất đẳng thức ρ(x, y, z) ρ(x, y, t)+ρ(x, z, t)+ρ(t, y, z) với ∀x, y, x, t ∈ X 1.1.4 Ví dụ Trên tập số tự nhiên N ta xét 2-mêtric: { a, b, c khác đôi ρ(a, b, c) = có điểm i) Lấy a, b ∈ N ; a ̸= b tồn c ∈ N, c ̸= a, c ̸= b cho: ρ(a, b, c) = ̸= Nếu có điểm ρ(a, b, c) = ii) Với a, b, c ∈ N ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b) iii) Lấy a, b, c, d ∈ X - Nếu có điểm a, b, c hiển nhiên = ρ(a, b, c) = ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(b, c, d) - Nếu a, b, c khác đôi ρ(a, b, c) = ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(b, c, d), ∀a, b, c, d ∈ N, (do (a, b, d), (a, c, d), hoặc(b, c, d) khác đôi một) Vậy (N, ρ) không gian 2-mêtric 1.1.5 Ví dụ (R2 , ρ) không gian 2-mêtric, với ρ(x, y, z) diện tích tam giác tạo đỉnh x, y, z ∈ R2 Thật vậy, xét ánh xạ: ρ : R2 × R2 × R2 → R (A, B, C) → SABC i) Lấy (A, B) ∈ R2 × R2 hai điểm phân biệt Khi đó: ∃C ∈ R2 cho A, B, C không thẳng hàng thì: ρ(A, B, C) = SABC > Khi có điểm điểm A, B, C trùng △ABC suy biến nên SABC = Tức ρ(A, B, C) = ii) Rõ ràng ta có: SABC = SBCA = SCAB , ∀(A, B, C) ∈ R2 × R2 × R2 iii) Lấy (A, B, C) ∈ R2 × R2 × R2 Trường hợp 1: Nếu SABC = hiển nhiên = SABC SABD + SACD + SBCD , ∀D ∈ R2 Trường hợp 2: Nếu SABC > : LấyD bất kỳ, D ∈ R2 , có khả sau xảy ra: KN1: D không nằm miền tam giác ABC (D nằm miền nằm cạnh, Hình 1) SABC = SABD + SACD + SBCD KN2: D nằm miền (1),(3),(5) Hình Không tính tổng quát, giả sử D ∈ miền (1) Khi SABC = SBCD − SACD − SABD < SABD + SACD + SBCD KN3: D nằm miền (2),(4),(6) biên Hình Không tính tổng quát, giả sử D ∈ miền (4) Khi SABC = SABD + SACD − SBCD < SABD + SACD + SBCD Vậy (R2 , ρ) không gian 2-mêtric D (1) A A (2) (6) A D B B C Hình (3) C (5) B C Hình (4) Hình D 1.1.6 Định nghĩa Cho (X, ρ) không gian 2-mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ đến x ∈ X lim ρ(xn , x, a) = 0, với a ∈ X n→∞ 1.1.7 Mệnh đề Cho (X, ρ) không gian 2-mêtric Khi 1)Nếu dãy {xn } ⊂ X hội tụ tới x ∈ X {xn } ⊂ X hội tụ tới y x = y 2) Nếu dãy {xn } hội tụ tới x dãy hội tụ tới x Chứng minh 1) Giả sử x ̸= y Khi đó, tồn z ∈ X cho ρ(x, y, z) ̸= Mặt khác, ta có ρ(x, y, z) ρ(xn , x, z) + ρ(xn , y, z) + ρ(xn , x, y), với n = 0, 1, Vì xn hội tụ tới x xn hội tụ tới y nên lim ρ(xn , x, z) = lim ρ(xn , y, z) = lim ρ(xn , x, y) = n→∞ n→∞ n→∞ Do ρ(x, y, z) = Ta nhận mâu thuẫn Từ suy điều phải chứng minh 2) Giả sử dãy {xn } hội tụ tới x không gian 2-mêtric (X, ρ) {xnk } ⊂ {xn } Ta chứng minh xnk → x k → ∞ Thật vậy, {xnk } dãy {xn } nên ta chọn cách đánh số cho nk > k, ∀k ∈ N Vì xn → x nên: ∀ε > 0, ∃ no ∈ N : ρ(xk , x, a) < ε, ∀ k > no , ∀a ∈ X Khi đó, với nk > k, ∀ k ∈ N ta có ρ(xnk , x, a) < ε, ∀ k > no , ∀ a ∈ X Từ suy lim ρ(xnk , x, a) = 0, ∀ a ∈ X n→∞ Tức ta có xn k → x ∈ X Như vậy, không gian mêtric, giới hạn dãy không gian 2-mêtric có 1.1.8 Mệnh đề Cho (X, ρ) không gian 2-mêtric Nếu {xn } ⊂ X hội tụ tới x ρ(xn , a, b) → ρ(x, a, b) n → ∞, với a, b ∈ X Chứng minh Giả sử xn hội tụ tới x Khi ρ(xn , x, a) → n → ∞ với a ∈ X Với a, b ∈ X ta có ρ(xn , a, b) ρ(xn , x, a) + ρ(xn , x, b) + ρ(x, a, b) ⇔ ρ(xn , a, b) − ρ(x, a, b) ρ(xn , x, a) + ρ(xn , x, b) (1.1) Tương tự, ta có ρ(x, a, b) ρ(xn , x, a) + ρ(xn , x, b) + ρ(xn , a, b) ⇔ −ρ(xn , x, a) − ρ(xn , x, b) ρ(xn , a, b) − ρ(x, a, b) (1.2) Từ (1.1) (1.2) ta suy |ρ(xn , a, b) − ρ(x, a, b)| ρ(xn , x, a) + ρ(xn , x, b) Cho n → ∞ ta nhận điều cần chứng minh 1.1.9 Định nghĩa Cho (X, ρ) không gian 2-mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy lim ρ(xm , xn , a) = 0, với a ∈ X m,n→∞ 1.1.10 Nhận xét Sử dụng Mệnh đề 1.1.8 ta dễ dàng chứng minh dãy hội tụ không gian 2-mêtric dãy Cauchy Thật vậy, giả sử xn hội tụ tới x ∈ X , ta có lim ρ(xn , x, a) = 0, ∀a ∈ X n→∞ Khi theo tính chất không gian 2-mêtric ta có ρ(xm , xn , a) ρ(xn , x, a) + ρ(xm , x, a) + ρ(xm , xn , x), ∀a ∈ X Lấy giới hạn hai vế bất đẳng thức m, n → ∞ ta lim ρ(xm , xn , a) = m,n→∞ Do đó, {xn } dãy Cauchy không gian 2-mêtric X 1.1.11 Định nghĩa Không gian 2-mêtric (X, ρ) gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ 10 1.1.12 Định nghĩa Cho (X, ρ), (Y, d) không gian 2-mêtric 1)ánh xạ f : X → Y gọi liên tục x ∈ X dãy {xn } ⊂ X hội tụ tới x dãy f (xn ) hội tụ tới f (x) Y 2)ánh xạ f : X → Y gọi liên tục f liên tục x ∈ X Trong định nghĩa ta thay (Y, d) không gian mêtric 1.1.13 Định nghĩa Không gian 2-mêtric (X, ρ) gọi compact theo dãy dãy {xn } ⊂ X chứa dãy hội tụ X 1.1.14 Ví dụ Cho X = (a, b, c, d) Ta xác định ánh xạ ρ : X ×X ×X → R sau ρ(a, b, c) = 2, ρ(a, c, d) = 3, ρ(b, c, d) = 5, ρ(a, b, d) = 6, ρ(x, y, z) = x, y, z có phần tử Khi đó, dễ dàng chứng minh (X, ρ) không gian 2-mêtric đầy đủ Ngoài ra, X compact theo dãy Tổng quát, X hữu hạn (X, ρ) compact theo dãy với 2-mêtric ρ 1.1.15 Định lý Mọi ánh xạ liên tục từ không gian 2-mêtric compact theo dãy (X, ρ) vào R (với mêtric thông thường) có giá trị lớn giá trị nhỏ Chứng minh Giả sử (X, ρ) không gian 2-mêtric compact theo dãy f : X → R ánh xạ liên tục Đầu tiên, ta chứng minh f (X) tập bị chặn Giả sử ngược lại f (X) không bị chặn Khi đó, tồn dãy {xn } ⊂ X cho yn = f (xn ) → ∞.Vì X compact theo dãy nên tồn dãy {xnk } {xn } cho xnk hội tụ tới x ∈ X Vì f liên tục nên f (xnk ) → f (x) Từ suy ra: f (x) = ∞.Ta nhận mâu thuẫn Vậy f (X) tập bị chặn Gọi m = inf f (X) M = sup f (X) Khi tồn dãy 30 Cho (L, ∥., ∥) không gian tuyến tính 2-định chuẩn c ∈ L \ {0} Gọi V (c) không gian L sinh c Lc = L/V (c) không gian vectơ thương sinh quan hệ tương đương a + V (c) = b + V (c) a − b ∈ V (c) Lớp tương đương a + V (c) ký hiệu ac Nếu ac = bc a − b ∈ V (c) suy |∥a, c∥ − ∥b, c∥| ∥a − b, c∥ = Do ∥a, c∥ = ∥b, c∥ Do đó, Lc ta xét hàm ∥.∥c : Lc → R xác định ∥ac ∥c = ∥a, c∥ với ac ∈ Lc Ta có kết sau: 2.1.9 Định lý ∥.∥c chuẩn Lc Chứng minh 1) Rõ ràng ∥.∥c hàm không âm Giả sử ∥ac ∥c = 0, ∥a, c∥ = 0, a ∈ V (c) Ta suy ac = 0c Rõ ràng, ∥0c ∥c = 2) Với a ∈ L α ∈ K ta có ∥αac ∥c = ∥(αa)c ∥c = ∥αa, c∥ = |α| ∥a, c∥ = |α|∥ac ∥c 3) Với a, b ∈ L ta có ∥ac + bc ∥c = ∥(a + b)c ∥c = ∥a + b, c∥ ∥a, c∥ + ∥b, c∥ = ∥ac ∥c + ∥bc ∥c Vậy ∥.∥c chuẩn Lc 2.2 Không gian 2-Banach Mục trình bày khái niệm, ví dụ số tính chất đơn giản không gian 2-Banach 2.2.1 Định nghĩa Một dãy {xn } không gian tuyến tính 2-định chuẩn (X, ∥., ∥) gọi dãy Cauchy tồn hai điểm y, z ∈ X 31 cho y z độc lập tuyến tính lim ∥xm − xn , y∥ = 0, m,n→∞ lim ∥xm − xn , z∥ = m,n→∞ Trong định nghĩa ta nói {xn } dãy Cauchy y z Ta có kết sau: 2.2.2 Định lý Cho (X, ∥., ∥) không gian tuyến tính 2-định chuẩn (1) Nếu dãy {xn } dãy Cauchy X a b {∥xn , a∥} {∥xn , b∥} dãy số thực Cauchy (2)Nếu dãy {xn } {yn } dãy Cauchy a, b X {αn } dãy số thực Cauchy {xn +yn } {αn xn } dãy Cauchy X Chứng minh (1) Từ định nghĩa 2-chuẩn, ta có ∥xn , a∥ = ∥(xn − xm ) + xm , a∥ ⇔ ∥xn , a∥ ∥xn − xm , a∥ + ∥xm , a∥, với m, n Ta suy ∥xn , a∥ − ∥xm , a∥ ∥xn − xm , a∥, với m, n Tương tự ta có ∥xm , a∥ − ∥xn , a∥ ∥xn − xm , a∥ Kết hợp hai bất đẳng thức ta |∥xn , a∥ − ∥xm , a∥| ∥xn − xm , a∥ Vì lim ∥xn − xm , a∥ = bất đẳng thức suy {∥xn , a∥} dãy m,n→∞ số thực Cauchy Chứng minh tương tự ta có {∥xn , b∥} dãy số thực Cauchy 32 (2) Ta có đánh giá ∥(xn + yn ) − (xm + ym ), a∥ = ∥(xm − xn ) + (yn − ym ), a∥ ∥xm − xn , a∥ + ∥ym − yn , a∥ Vì {xn }, {yn } hai dãy Cauchy X a nên lim ∥xm − xn , a∥ = 0, m,n→∞ lim ∥ym − yn, a∥ = m,n→∞ Điều kéo theo lim ∥(xn + yn ) − (xm + ym ), a∥ = m,n→∞ Chứng minh tương tự ta có lim ∥(xn + yn ) − (xm + ym ), b∥ = m,n→∞ Điều chứng tỏ {xn + yn } dãy Cauchy X Vì dãy {αn } {∥xn , a∥} dãy số thực Cauchy nên tồn số K1 , K2 thoả mãn |αn | K1 , ∀n ∥xm , a∥ K2 , ∀m Do ∥αn xn − αm xm , a∥ = ∥(αn xn − αn xm ) + (αn xm − αm xm ), a∥ ∥αn xn − αn xm , a∥ + ∥αn xm − αm xm , a∥ |αn |∥xn − xm , a∥ + |αn − αm |∥xm , a∥ K1 ∥xn − xm , a∥ + K2 |αn − αm | Điều kéo theo lim ∥αn xn − αm xm , a∥ = m,n→∞ Tương tự lim ∥αn xn − αm xm , b∥ = m,n→∞ Do {αn xn } dãy Cauchy X 33 2.2.3 Mệnh đề Mọi dãy hội tụ không gian tuyến tính 2-định chuẩn dãy Cauchy Chứng minh Giả sử {xn } dãy hội tụ tới x không gian tuyến tính 2-định chuẩn X Khi đó, với a ∈ X ta có lim ∥xn − x, a∥ = n→∞ Vì chiều X lớn nên ta lấy a, b ∈ X độc lập tuyến tính cho lim ∥xn − x, a∥ = n→∞ lim ∥xn − x, b∥ = n→∞ Do đó, từ bất đẳng thức ∥xm − xn , a∥ = ∥xm − x + x − xn , a∥ ∥xm − x, a∥ + ∥xn − x, a∥ suy lim ∥xn − xm , a∥ = n→∞ Tương tự lim ∥xn − xm , b∥ = n→∞ Vậy {xn } dãy Cauchy 2.2.4 Định nghĩa Giả sử (X, ∥., ∥) không gian tuyến tính 2định chuẩn Nếu dãy Cauchy X hội tụ (X, ∥., ∥) gọi không gian 2-Banach Sau ví dụ không gian 2-Banach 2.2.5 Ví dụ Xét R3 không gian tuyến tính 2-định chuẩn Ví dụ 2.1.8 Giả sử xn = (an , bn , cn ) dãy Cauchy R3 Khi tồn 34 hai véctơ độc lập tuyến tính y = (d, e, f ) z = (p, q, r) R3 thoả mãn lim ρ((xn − xm ) × y) = m,n→∞ lim ρ((xn − xm ) × z) = m,n→∞ Ta chứng minh {an }, {bn }, {cn } dãy số thực Cauchy Ta có Do đó, ρ((xn − xm ) × y) = ( [f (bn − bm ) − e(cn − cm )]2 + [d(cn − cm ) − f (an − am )]2 )1 2 + [e(an − am ) − d(bn − bm )] ( ) lim ρ (xn − xm ) × y = m,n→∞ (α) : (β) : (γ) : lim [f (bn − bm ) − e(cn − cm )] = 0, m,n→∞ lim [d(cn − cm ) − f (an − am )] = 0, m,n→∞ lim [e(an − am ) − d(bn − bm )] = m,n→∞ Chứng minh tương tự ta có (δ) : (ε) : (ζ) : lim ρ((xn − xm ) × z) = m,n→∞ lim [r(bn − bm ) − q(cn − cm )] = 0, m,n→∞ lim [p(cn − cm ) − r(an − am )] = 0, m,n→∞ lim [q(an − am ) − p(bn − bm )] = m,n→∞ Sử dụng (δ) (α) ta có lim [−rf (bn − bm ) + qf (cn − cm )] = 0, m,n→∞ lim [rf (bn − bm ) − re(cn − cm )] = m,n→∞ 35 Cộng vế với vế hai giới hạn ta có lim (qf − re)(cn − cm ) = m,n→∞ (2.1) Tương tự, sử dụng (β) (ε) ta có lim [rd(cn − cm ) − rf (an − am )] = 0, m,n→∞ lim [−pf (cn − cm ) + rf (an − am )] = m,n→∞ Cộng vế với vế hai giới hạn ta có lim (rd − pf )(cn − cm ) = m,n→∞ (2.2) Giả sử {cn } dãy số thực Cauchy Khi đó, từ (2.1) (2.2) ta có qf = re rd = pf Ta suy r q p = = , f e d tức x, y phụ thuộc tuyến tính Ta nhận đươc mâu thuẫn với giả thiết y z độc lập tuyến tính Vậy {cn } dãy số thực Cauchy Tương tự, {an }, {bn } dãy số thực Cauchy Do R đầy đủ nên tồn số thực a, b, c cho lim an = a, lim bn = b, lim cn = c n→∞ n→∞ n→∞ Đặt x = (a, b, c) Ta chứng minh xn → x n → ∞ Giả sử w = (s, t, u) ∈ R3 Vì lim an = a, lim bn = b, lim cn = c nên n→∞ n→∞ n→∞ lim ∥xn − x, w∥ = lim ρ((xn − x) × w) = n→∞ ( = lim [u(bn − b) − t(cn − c)]2 + n→∞ n→∞ + [s(cn − c) − u(an − a)] + [t(an − a) − s(bn − b)] Do đó, xn hội tụ tới x, hay R3 không gian 2-Banach ) 21 = 36 Giả sử (X, ∥., ∥) không gian tuyến tính 2-định chuẩn 2-chiều Khi đó, giả sử {e1 , e2 } sở X Khi đó, với a, b ∈ X ta có a = α1 e1 + α2 e2 b = β1 e1 + β2 e2 , αi , bi,(i=1,2) thuộc vào trường sở K X Ta có ∥a, b∥ = |α1 β2 − β1 α2 |.∥e1 , e2 ∥ Ta có kết quan trọng sau: 2.2.6 Định lý Mỗi không gian tuyến tính 2-định chuẩn (X, ∥., ∥) 2-chiều không gian 2-Banach trường sở đầy đủ Chứng minh Giả sử (X, ∥., ∥) không gian tuyến tính 2-định chuẩn với sở {e1 , e2 } Gọi {xn } dãy Cauchy X Khi tồn véctơ a b độc lập tuyến tính thoả mãn lim ∥xn − xm , a∥ = 0, lim ∥xm − xn , b∥ = m,n→∞ m,n→∞ Giả sử xn = x1n e1 + x2n e2 , a = a1 e1 + a2 e2 , b = b1 e1 + b2 e2 , x1n , x2n , , bi thuộc vào trường sở K Ta có ∥xn − xm , a∥ = ∥(x1n − x1m )e1 + (x2n − x2m )e2 , a1 e1 + a2 e2 ∥ = |a2 (x1n − x1m ) − a1 (x2n − x2m )| · ∥e1 , e2 ∥ Tương tự ta có ∥xn − xm , b∥ = |b2 (x1n − x1m ) − b1 (x2n − x2m )| · ∥e1 , e2 ∥ Vì {e1 , e2 } độc lập tuyến tính, ∥e1 , e2 ∥ ̸= nên lim |a2 (x1n − x1m ) − a1 (x2n − x2m )| = 0, m,n→∞ 37 lim |b2 (x1n − x1m ) − b1 (x2n − x2m )| = m,n→∞ Do ta có lim [a2 b2 (x1n − x1m ) − a1 b2 (x2n − x2m )] = 0, m,n→∞ lim [−a2 b2 (x1n − x1m ) + a2 b1 (x2n − x2m )] = m,n→∞ Cộng vế với vế ta lim (a2 b1 − a1 b2 )(x2n − x2m ) = m,n→∞ Nếu a2 b1 − a1 b2 = kéo theo a1 b1 = Điều xảy a a2 b2 b độc lập tuyến tính Do lim |x2n − x2m | = m,n→∞ Ta kết luận {x2n } dãy Cauchy Mặt khác, lim [a2 b1 (x1n − x1m ) − a1 b1 (x2n − x2m )] = 0, m,n→∞ lim [−a1 b2 (x1n − x1m ) + a1 b1 (x2n − x2m )] = m,n→∞ Cộng vế với vế ta lim (a2 b1 − a1 b2 )(x1n − x1m ) = m,n→∞ Vì a2 b1 − a1 b2 ̸= 0, lim |x1n − x1m | = nên {x1n } dãy Cauchy m,n→∞ Vì trường sở K X đầy đủ {x1n } {x2n } dãy Cauchy nên tồn số thực y1 y2 cho lim x1n = y1 , n→∞ lim x2n = y2 n→∞ Giả sử x = y1 e1 + y2 e2 Ta chứng minh xn → x n → ∞ Gọi c = c1 e1 + c2 e2 phần tử X Khi lim x1n = y1 , lim x2n = y2 n→∞ n→∞ 38 nên ta có lim ∥xn − x, c∥ n→∞ = lim ∥(x1n − y1 )e1 + (x2n − y2 )e2 , c1 e1 + c2 e2 ∥ n→∞ = lim |c2 (x1n − y1 ) − c1 (x2n − y2 )|∥e1 , e2 ∥ = n→∞ Do đó, xn → x n → ∞ Vậy,(X, ∥., ∥) không gian 2-Banach 2.3 Một số tính chất hình học không gian tuyến tính 2-định chuẩn Mục nghiên cứu khái niệm tính chất tính lồi chặt tính 2-lồi chặt không gian 2-Banach Trước hết ta nhắc lại khái niệm không gian định chuẩn lồi chặt 2.3.1 Định nghĩa Không gian định chuẩn (X, ∥.∥) gọi lồi chặt từ ∥x + y∥ = ∥x∥ + ∥y∥, x, y ̸= kéo theo y = αx với α > Với véctơ x, y X, x ̸= 0, y ̸= 0, kí hiệu V (x, y) không gian X sinh x y 2.3.2 Định nghĩa ([5]) Một không gian tuyến tính 2-định chuẩn (X, ∥., ∥) gọi lồi chặt từ ∥x + y, z∥ = ∥x, z∥ = ∥y, z∥ = z ∈ / V (x, y) suy x = y Định lý sau đặc trưng không gian lồi chặt 2.3.3 Định lý Cho L không gian tuyến tính 2-định chuẩn Khi đó, mệnh đề sau tương đương: 1) L lồi chặt 2) Với c ∈ L \ {0}, không gian thương Lc lồi chặt 39 3) Nếu a, b, c ∈ L thỏa mãn ∥a, c∥ + ∥b, c∥ = ∥a + b, c∥ c ∈ / V (a, b) a = αb 4) Nếu a, b, c, d ∈ L thỏa mãn ∥a − d, c∥ = α∥a − b, c∥, ∥b − d, c∥ = (1 − α)∥a − b, c∥, α ∈ (0, 1) c ∈ / V (a − d, b − d) d = (1 − α)a + αb Chứng minh 1) ⇒ 2) Giả sử L lồi chặt c phần tử khác không L Nếu ∥ac + bc ∥c = ∥ac ∥c + ∥bc ∥ ∥ac ∥ = ∥bc ∥c = ∥a, c∥ = ∥b, c∥ = ∥a + b, c∥ Nếu c ∈ / V (a, b) từ L lồi chặt suy a = b Do ac = bc Nếu c ∈ V (a, b) c = αa + βb với vô hướng α, β Khi 0c = cc = αac + βbc Suy αac = −βbc Từ ∥bc ∥ = ∥ac ∥ = suy α = ±β Nếu α = β c = α(a + b) suy ∥a + b, c∥ = 0, mâu thuẫn với ∥a + b∥c = ∥a + b, c∥ = Do β = −α, tức ac = bc Vì vậy, không gian Lc lồi chặt 2) ⇒ 3) Giả sử 2) Với c ∈ / V (a, b) cho ∥a + b, c∥ = ∥a, b∥ + ∥a, c∥, tức ∥a + b∥c = ∥a∥c + ∥b∥c 40 Vì Lc lồi chặt nên bc = αac , với α > Từ c ∈ / V (a, b) suy b = αa 3) ⇒ 4) Từ ∥a − d, c∥ = α∥a − b, c∥, ∥b − d, c∥ = (1 − α)∥a − b, c∥, α ∈ (0, 1) c ∈ / V (a − d, b − d) suy d − b = β(a − d) với β > Mặt khác, từ (1 − α)∥a − b, c∥ = ∥b − d, c∥ = β∥a − d, c∥ = αβ∥a − b, c∥ suy d = (1 − α)a + αb Ta nhận 4) 4) ⇒ 1) Giả sử có 4) ∥ac + bc ∥c = ∥ac ∥c + ∥bc ∥ ∥ac ∥ = ∥bc ∥c = 1, với c ∈ / V (a, b) Khi 1 = a − b, 2 tức a = b Định lý chứng minh Sử dụng điều kiện 3) định lý ta có hệ sau: 2.3.4 Hệ Mọi không gian tuyến tính 2-định chuẩn 2-chiều lồi chặt 2.3.5 Định nghĩa ([5]) Một không gian tuyến tính 2-định chuẩn (X, ∥., ∥) gọi 2-lồi chặt từ ∥x, y∥ = ∥x, z∥ = ∥y, z∥ = ∥x + z, y + z∥ = suy z = x + y 2.3.6 Mệnh đề Nếu X không gian tuyến tính 2-định chuẩn thực lồi chặt không gian 2-tuyến tính định chuẩn thực 2-lồi chặt 41 Chứng minh Giả sử x, y, z ∈ X cho ∥x, y∥ = ∥x, z∥ = ∥y, z∥ = ∥x + z, y + z∥ = Khi đó, ta có ∥x, y + z∥ ∥x, y∥ + ∥x, z∥ = + = Mặt khác = ∥x + z, y + z∥ ∥x, y + z∥ + ∥z, y + z∥ ∥x, y + z∥ + ∥y, z∥ + ∥z, z∥ = ∥x, y + z∥ + Ta suy ∥x, y + z∥ Vì vậy, ∥x, y + z∥ = Do ∥x, y + z∥ = ∥x, y∥ + ∥x, z∥ Do đó, z ∈ / V (x, y) tính lồi chặt suy y = αx Mâu thuẫn với ∥x, y∥ = Ta suy z ∈ V (x, y) Vì vậy, tồn α, β ∈ R cho z = αx + βy Thay z = αx + βy vào phương trình ∥x, y∥ = ∥y, z∥ = ta nhận ∥x, y∥ = ∥y, αx + βy∥ = |α|∥x, y∥ Ta suy |α| = Tiếp tục thay z = αx + βy vào phương trình ∥x, y∥ = ∥x, z∥ = 1, ta nhận |β| = Thay z = αx + βy vào phương trình ∥x + z, y + z∥ = 1, ta nhận ∥(α + 1)x + βy, αx + (β + 1)y∥ = 42 Do đó, α = −1 ∥βy, αx + (β + 1)y∥ = ∥βy, x∥ = |β|∥x, y∥ = |β| = Mâu thuẫn với |β| = Tương tự, β = −1 |α| = Do α, β ̸= −1 Ta suy α = β = Vì z = x + y , tức X 2-lồi chặt Một không gian tuyến tính 2-định chuẩn 2-lồi chặt không lồi chặt Ví dụ minh họa Diminie xây dựng công phu [5] Sau đặc trưng không gian tuyến tính 2-định chuẩn 2-lồi chặt 2.3.7 Định lý ([5]) Giả sử L không gian tuyến tính 2-định chuẩn Khi mệnh đề sau tương đương: 1) L 2-lồi chặt 2) Nếu a, b, c ∈ L thỏa mãn ∥a + c, b + c∥ = ∥b, c∥ + ∥a, c∥ + ∥a, b∥ ∥b, c∥∥a, c∥∥a, b∥ = ̸ thì c = αa + βb với α, β > 43 Kết luận Luận văn thu kết sau đây: 1) Trình bày hệ thống kiến thức sở không gian 2-mêtric, không gian tuyến tính 2-định chuẩn, không gian 2-Banach 2) Đưa mở rộng kết Lai S N and Singh A K (Định lý 1.2.6) định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian 2-mêtric đầy đủ số ví dụ minh họa 3) Trình bày số vấn đề sở tính lồi chặt, tính 2-lồi chặt không gian tuyến tính 2-định chuẩn 4) Chứng minh số kết mà tài liệu không chứng minh chứng minh vắn tắt như: Định lý 2.1.5, Định lý 2.2.6, Định lý 2.3.3, Mệnh đề 2.3.6, 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I Tập II, NXB Giáo Dục [2] Chi K P and Thuy H T (2010), A fixed point theorem in 2metric spaces for a class of maps that satisfy a contractive condition dependent on an another function, Lobachevskii J Math., 31, 338346 [3] C’iri’c L B (1971), Generalized contractions and fixed poit theorems, Publ Inst Math.12, 26, 19-26 [4] Diminnie C (1976), Non-expansive mappings in linear 2-normed spaces, Math Japon., 21, 197-200 [5] Diminnie C (1979), Remarks on strictly and strictly 2-convex 2normed spaces, Math Narch., 88, 363-372 [6] Diminnie C and White A (1978), Some geometric remarks concerning strictly 2-convex 2-normed spaces, Math Seminar Notes, Kobe Univ., (1978), 245-253 [7] G¨ahler S (1963), 2-metrische R¨aume und ihre topologische Struktur, Math Nachr., 26, 115-148 [8] G¨ahler S (1965), Liear 2-normierte R¨aume, Math Nachr., 28, 1-45 [9] Lai S N and Singh A K (1978), An analogue of Banach’s contraction principle for 2-metric spaces, Bull Austral Math Soc., 18, 137-143 [10] Raymond W.F and Yeol J C (2001), Geometry of linear 2-normed spaces, Nova Science Publishers, Inc [...]... ρ(x×y+x×z) ρ(x×y)+ρ(x×z) = ∥x, y∥+∥x, z∥ Vậy (R3 , ∥., ∥) là không gian tuyến tính 2-định chuẩn Sau đây ta sẽ thấy không gian thương của không gian tuyến tính 2-định chuẩn có thể là không gian định chuẩn 30 Cho (L, ∥., ∥) là không gian tuyến tính 2-định chuẩn và c ∈ L \ {0} Gọi V (c) là không gian con của L sinh bởi c và Lc = L/V (c) là không gian vectơ thương sinh bởi quan hệ tương đương a + V (c) =... các số thực không âm thoả mãn 5 ∑ ai < 1 và (a1 − a2 )(a3 − a4 ) 0 Khi đó, Φ1 và Φ2 có duy nhất một i=1 điểm bất động 24 CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH 2-ĐỊNH CHUẨN VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CHÚNG Chương này nghiên cứu một số kết quả mở đầu về không gian tuyến tính 2-định chuẩn, không gian 2-Banach và một số tính chất hình học của không gian 2-Banach 2.1 Không gian tuyến tính 2-định chuẩn Mục này... nghĩa không gian 2-mêtric được chứng minh Do đó, mỗi không gian tuyến tính 2-định chuẩn là một không gian 2-mêtric ρ(x, y, z) = ∥x − z, y − z∥, với mọi x, y, z ∈ X 27 Để mỗi không gian 2-mêtric là không gian tuyến tính 2-định chuẩn cần thêm một số điều kiện khác (xem [8]) Như vậy sự hội tụ của dãy trong không gian tuyến tính 2-định chuẩn được xác định bởi sự hội tụ của dãy đối với 2-mêtric sinh bởi 2 -chuẩn. .. Định nghĩa Giả sử (X, ∥., ∥) là một không gian tuyến tính 2định chuẩn Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì (X, ∥., ∥) được gọi là không gian 2-Banach Sau đây là một ví dụ về không gian 2-Banach 2.2.5 Ví dụ Xét R3 là không gian tuyến tính 2-định chuẩn như trong Ví dụ 2.1.8 Giả sử xn = (an , bn , cn ) là dãy Cauchy trong R3 Khi đó tồn 34 tại hai véctơ độc lập tuyến tính y = (d, e, f ) và z = (p, q,... là không gian tuyến tính 2-định chuẩn Khi đó ∥x + z, y + z∥ ∥x, y∥ + ∥y, z∥ + ∥z, x∥ với mọi x, y, z ∈ X Chứng minh Với mọi x, y, z ∈ X ta có ∥x + z, y + z∥ ∥x + z, y∥ + ∥x + z, z∥ ∥y, x + z∥ + ∥z, x + z∥ ∥y, x∥ + ∥y, z∥ + ∥z, x∥ + ∥z, z∥ ∥y, x∥ + ∥y, z∥ + ∥z, x∥ Định lý sau khẳng định mỗi không gian tuyến tính 2-định chuẩn là không gian 2-mêtric 26 2.1.5 Định lý Giả sử (X, ∥., ∥) là không gian tuyến. .. một ví dụ căn bản về không gian tuyến tính 2-định chuẩn 2.1.8 Ví dụ Giả sử R3 là không gian Ơclit tuyến tính 3-chiều với cơ sở trực chuẩn i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) Với mỗi x = ai + bj + ck = (a, b, c) và y = di + ej + f k = (d, e, f ), ta xét tích có hướng thông thường x×y = ( b c c a a b e f , f d , d e ) 29 Ta đã biết x × y = 0 khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính Trên R3 ta... sau trình bày những tính chất đơn giản của dãy hội tụ trong không gian tuyến tính 2-định chuẩn 2.1.6 Định lý Trong không gian tuyến tính 2-định chuẩn (X, ∥., ∥), ta có các mệnh đề sau (1) Nếu xn → x và yn → y khi n → ∞ thì xn + yn → x + y khi n → ∞ (2) Nếu xn → x và αn → α khi n → ∞ thì αn xn → αx khi n → ∞ (3) Nếu dimX 2, xn → x và xn → y khi n → ∞ thì x = y Chứng minh (1) Theo tính chất (iv) của... đó {αn xn } là dãy Cauchy trong X 33 2.2.3 Mệnh đề Mọi dãy hội tụ trong không gian tuyến tính 2-định chuẩn là dãy Cauchy Chứng minh Giả sử {xn } là dãy hội tụ tới x trong không gian tuyến tính 2-định chuẩn X Khi đó, với mọi a ∈ X ta đều có lim ∥xn − x, a∥ = 0 n→∞ Vì chiều của X lớn hơn 1 nên ta lấy được a, b ∈ X độc lập tuyến tính sao cho lim ∥xn − x, a∥ = 0 n→∞ và lim ∥xn − x, b∥ = 0 n→∞ Do đó, từ... Không gian tuyến tính 2-định chuẩn Mục này trình bày khái niệm và những kết quả mở đầu về không gian tuyến tính 2-định chuẩn 2.1.1 Định nghĩa Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K, có số chiều lớn hơn 1 và ánh xạ ∥., ∥ : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau i)∥x, y∥ = 0 nếu và chỉ nếu x và y phụ thuộc tuyến tính ii)∥x, y∥ = ∥y, x∥, với mọi x, y ∈ X iii)∥αx, y∥ = |α|.∥x, y∥, với mọi x, y ∈... là một không gian 2-Banach 2 ) 21 = 0 36 Giả sử (X, ∥., ∥) là không gian tuyến tính 2-định chuẩn 2-chiều Khi đó, giả sử {e1 , e2 } là cơ sở của X Khi đó, với mọi a, b ∈ X ta có a = α1 e1 + α2 e2 và b = β1 e1 + β2 e2 , trong đó αi , bi,(i=1,2) thuộc vào trường cơ sở K của X Ta có ∥a, b∥ = |α1 β2 − β1 α2 |.∥e1 , e2 ∥ Ta có kết quả quan trọng sau: 2.2.6 Định lý Mỗi không gian tuyến tính 2-định chuẩn ... (R3 , ∥., ∥) không gian tuyến tính 2-định chuẩn Sau ta thấy không gian thương không gian tuyến tính 2-định chuẩn không gian định chuẩn 30 Cho (L, ∥., ∥) không gian tuyến tính 2-định chuẩn c ∈ L... đầu không gian tuyến tính 2-định chuẩn, không gian 2-Banach số tính chất hình học không gian 2-Banach 2.1 Không gian tuyến tính 2-định chuẩn Mục trình bày khái niệm kết mở đầu không gian tuyến tính. .. nghĩa không gian 2-mêtric chứng minh Do đó, không gian tuyến tính 2-định chuẩn không gian 2-mêtric ρ(x, y, z) = ∥x − z, y − z∥, với x, y, z ∈ X 27 Để không gian 2-mêtric không gian tuyến tính