Mục này trình bày khái niệm, ví dụ và một số tính chất đơn giản của không gian 2-Banach.
2.2.1 Định nghĩa. Một dãy {xn} trong không gian tuyến tính 2-địnhchuẩn (X,∥., .∥) được gọi là dãy Cauchy nếu tồn tại hai điểm y, z ∈ X chuẩn (X,∥., .∥) được gọi là dãy Cauchy nếu tồn tại hai điểm y, z ∈ X
sao cho y và z độc lập tuyến tính và
lim
m,n→∞∥xm −xn, y∥= 0, lim
m,n→∞∥xm −xn, z∥ = 0.
Trong định nghĩa trên ta còn nói {xn} là dãy Cauchy đối với y và z. Ta có kết quả sau:
2.2.2 Định lý. Cho (X,∥., .∥) là một không gian tuyến tính 2-địnhchuẩn. chuẩn.
(1) Nếu dãy {xn} là dãy Cauchy trong X đối với a và b thì {∥xn, a∥} và {∥xn, b∥} là dãy các số thực Cauchy.
(2)Nếu dãy {xn} và {yn} là dãy Cauchy đối với a, b trong X và {αn} là dãy các số thực Cauchy thì {xn+yn} và {αnxn} là dãy Cauchy trong
X.
Chứng minh. (1) Từ định nghĩa 2-chuẩn, ta có
∥xn, a∥ = ∥(xn−xm) +xm, a∥ ⇔ ∥xn, a∥ 6 ∥xn−xm, a∥+∥xm, a∥,
với mọi m, n. Ta suy ra
∥xn, a∥ − ∥xm, a∥ 6 ∥xn−xm, a∥,
với mọi m, n. Tương tự ta có
∥xm, a∥ − ∥xn, a∥ 6 ∥xn−xm, a∥.
Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được
06 |∥xn, a∥ − ∥xm, a∥| 6 ∥xn−xm, a∥.
Vì lim
m,n→∞∥xn−xm, a∥= 0 và bất đẳng thức trên suy ra {∥xn, a∥} là dãy các số thực Cauchy. Chứng minh tương tự ta có {∥xn, b∥} là dãy các số thực Cauchy.
(2) Ta có đánh giá
∥(xn+yn)−(xm +ym), a∥ = ∥(xm −xn) + (yn −ym), a∥
6 ∥xm −xn, a∥+∥ym −yn, a∥.
Vì {xn},{yn} là hai dãy Cauchy trong X đối với a nên
lim
m,n→∞∥xm −xn, a∥= 0, lim
m,n→∞∥ym −yn, a∥ = 0.
Điều này kéo theo
lim
m,n→∞∥(xn+yn)−(xm +ym), a∥ = 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh tương tự ta cũng có
lim
m,n→∞∥(xn+yn)−(xm +ym), b∥ = 0.
Điều này chứng tỏ {xn+yn} là dãy Cauchy trong X.
Vì dãy {αn} và {∥xn, a∥} là dãy các số thực Cauchy nên tồn tại hằng số K1, K2 thoả mãn |αn| 6 K1, ∀n và ∥xm, a∥ 6 K2, ∀m. Do đó
∥αnxn −αmxm, a∥ = ∥(αnxn −αnxm) + (αnxm −αmxm), a∥
6 ∥αnxn −αnxm, a∥+∥αnxm −αmxm, a∥
6 |αn|∥xn −xm, a∥+|αn−αm|∥xm, a∥
6 K1∥xn−xm, a∥+K2|αn−αm|.
Điều này kéo theo
lim
m,n→∞∥αnxn−αmxm, a∥ = 0.
Tương tự
lim
m,n→∞∥αnxn−αmxm, b∥ = 0.