chuẩn. Khi đó
∥x+z, y + z∥ 6 ∥x, y∥+∥y, z∥+∥z, x∥ với mọi x, y, z ∈ X.
Chứng minh. Với mọi x, y, z ∈ X ta có
∥x+z, y +z∥ 6 ∥x+z, y∥+∥x+z, z∥
6 ∥y, x+z∥+∥z, x+ z∥
6 ∥y, x∥+∥y, z∥+∥z, x∥+∥z, z∥
6 ∥y, x∥+∥y, z∥+∥z, x∥.
Định lý sau khẳng định mỗi không gian tuyến tính 2-định chuẩn là không gian 2-mêtric.
2.1.5 Định lý. Giả sử (X,∥., .∥) là không gian tuyến tính 2-địnhchuẩn. Khi đó, công thức chuẩn. Khi đó, công thức
ρ(x, y, z) = ∥x−z, y −z∥,∀x, y, z ∈ X
xác định một 2-mêtric trên X.
Chứng minh. Với mỗi x, y ∈ X, nếu x, y độc lập tuyến tính thì
ρ(x, y,0) = ∥x, y∥ ̸= 0.
Nếu x, y phụ thuộc tuyến tính thì vì chiều của X lớn hơn 1 nên tồn tại ít nhất z ∈ X độc lập tuyến tính với x, y. Ta suy ra x−z và y −z độc lập tuyến tính. Do đó
ρ(x, y, z) = ∥x−z, y −z∥ ̸= 0.
Điều kiện i) trong định nghĩa không gian 2-mêtric được thỏa mãn. Với mọi x, y, z ∈ X ta có
ρ(x, y, z) =∥x−z, y −z∥= ∥x−z, y −x+ (x−z)∥
= ∥x−z, y −x∥ = | −1|∥z −x, y −x∥ = ρ(z, y, x).
Biến đổi tương tự ta có
ρ(z, y, x) = ρ(y, x, z).
Vậy điều kiện ii) trong định nghĩa không gian 2-mêtric được thỏa mãn. Với mọi x, y, z, t ∈ X, áp dụng Mệnh đề 2.1.4 ta có
ρ(x, y, z) =∥x−z, y −z∥= ∥(x−t)−(z −t),(y −t)−(z −t)∥
6 ∥x−t, y −t∥+∥y −t, z −t∥+ ∥z −t, x−t∥
6 ρ(x, y, t) +ρ(y, z, t) + ρ(z, x, t).
Như vậy điều kiện iii) trong định nghĩa không gian 2-mêtric được chứng minh. Do đó, mỗi không gian tuyến tính 2-định chuẩn là một không gian 2-mêtric
ρ(x, y, z) =∥x−z, y −z∥,
Để mỗi không gian 2-mêtric là không gian tuyến tính 2-định chuẩn cần thêm một số điều kiện khác (xem [8]).
Như vậy sự hội tụ của dãy trong không gian tuyến tính 2-định chuẩn được xác định bởi sự hội tụ của dãy đối với 2-mêtric sinh bởi 2-chuẩn. Nói cách khác xn hội tụ tới x khi và chỉ khi
ρ(xn, x, a) = ∥xn −a, x −a∥ = ∥xn−x, a∥ → 0,
khi n → ∞, với mọi a ∈ X. Định lý sau trình bày những tính chất đơn giản của dãy hội tụ trong không gian tuyến tính 2-định chuẩn.
2.1.6 Định lý. Trong không gian tuyến tính 2-định chuẩn (X,∥., .∥),ta có các mệnh đề sau ta có các mệnh đề sau
(1) Nếu xn → x và yn → y khi n → ∞ thì xn + yn → x + y khi
n→ ∞.
(2) Nếu xn →x và αn → α khi n→ ∞ thì αnxn →αx khi n → ∞.
(3) Nếu dimX > 2, xn →x và xn →y khi n → ∞ thì x = y.
Chứng minh. (1) Theo tính chất (iv) của Định nghĩa (2.1.1), với mọi
a ∈ X ta có
∥(xn +yn)−(x+y), a∥ = ∥(xn−x) + (yn −y), a∥
6 ∥xn−x, a∥+∥yn−y, a∥.
Vì xn →x và yn → y khi n → ∞ nên ∥xn−x, a∥ → 0và ∥yn−y, a∥ → 0
khi n → ∞. Do đó khi n → ∞ ta có ∥(xn+yn)−(x+y), a∥ → 0. Ta suy ra xn+ yn → x+y khi n→ ∞.
(2) Vì dãy {αn} hội tụ thực nên tồn tại hằng số K > 0 sao cho
|αn|6 K, ∀n.
Với mọi a ∈ X, ta có
∥αnxn−αx, a∥6 ∥αnxn −αnx, a∥+∥αnx−αx, a∥
6 |αn|∥xn −x, a∥+|αn−α|∥x, a∥
Vì xn → x và αn → α khi n → ∞ nên ∥xn −x, a∥ → 0 khi n → ∞ và
|αn−α| → 0 khi n → ∞. Do đó ∥αnxn−αx, a∥ → 0 khi n → ∞. Ta suy ra αnxn →αx khi n→ ∞.
(3) Theo tính chất (iv) của Định nghĩa (2.1.1) ta có
∥x−y, a∥ 6 ∥x−xn, a∥+∥xn−y, a∥.
Vì xn → x khi n → ∞ nên ∥x−xn, a∥ → 0, ∀a ∈ X khi n → ∞. Cũng vì yn → y khi n → ∞ nên ∥y −yn, a∥ → 0, ∀a ∈ X khi n → ∞. Ta suy ra ∥x−y, a∥= 0, ∀a ∈ X. Do chiều của X lớn hơn 2 nên tồn tại a ∈ X
sao cho x −y độc lập tuyến tính với a. Do đó, từ ∥x −y, a∥ = 0 suy ra
x−y = 0, tức là x = y. 2.1.7 Định lý. Nếu lim n→∞∥xn −x, d∥= 0 thì lim n→∞∥xn, d∥ = ∥x, d∥. Chứng minh. Ta có lim n→∞|∥xn, d∥ − ∥x, d∥| 6 lim n→∞∥xn −x, d∥= 0.
Điều này kéo theo
lim
n→∞∥xn, d∥= ∥x, d∥.
Nếu d = x thì lim
n→∞∥xn, x∥ = ∥x, x∥ = 0.
Sau đây chúng tôi trình bày một ví dụ căn bản về không gian tuyến tính 2-định chuẩn.