Sử dụng định lí Nevanlinna – Cartan p-adic thông qua tính suy biến của các đường cong chỉnh hình chúng ta sẽ chứng tỏ các siêu mặt sau là hyperbolic Brody p-adic.
2.2.4.1 Định lý
Nếu d là số nguyên chẵn d 48 và t là số hữu hạn, khác không thì
t
X là không gian hyperbolic p-adic. Trong đó Xt là siêu mặt trong P C3( p)
được xác định bởi phương trình 2 2
1 4 1 2 1 3
: d ... d ( )d ( )d 0.
X z z tz z tz z
2.2.4.2 Định lý
Giả sử X là siêu mặt trong P C3( p), bậc d, được xác định bởi phương trình 3 1 2 1 2 3 4 1 2 3 : d d d d 0, X z z z z cz z z
trong đó c0, 1 2 3 d,j 0. Nếu d15 thì X là siêu mặt hyperbolic.
2.2.4.3 Nhận xét
1. K.Masuda và J.Noguchi đã chứng minh rằng với mỗi n, tồn tại số ( )
d n sao cho với mỗi d d n( ) thì các siêu mặt bậc d trong P Cn( p) là hyperbolic. Họ đã chứng minh rằng d(3)54. M.Nadel cho ví dụ về các siêu mặt trong P C3( p) với bậc d 3e21 và Hà Huy Khoái đã chứng tỏ d(3)22. Trong trường hợp p-adic chúng ta chứng tỏ rằng d(3)15.
2. Có thể khẳng định rằng, định lí 2.2.4.2 vẫn đúng khi thay 1 2 3
1 2 3
cz z z
bởi j k i,
j k i
3. Giả thiết j 0 là cần thiết. Vì ngược lại nếu j 0 thì siêu mặt bậc 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 15 : 0, 0, d d d d i d z z z z cz z d sẽ chứa ánh xạ chỉnh hình khác hằng số f ( ,f af z1 1, ,z C) : p X, trong đó d 1, và a
là nghiệm của phương trình 2
1 1 0, 0, (0) 0. d a ca c f 2.2.4.4 Định lý
Mọi siêu mặt bậc d 15 của P C3( p), được xác định bởi phương trình
3
1 2 4
1 2 3 4 1 2 3 4
: d d d d 0
X z z z z cz z z z
là siêu mặt hyperbolic p-adic. Trong đó 4 1 j , 0
j d c
và có nhiều nhất một j 0.
2.2.4.5 Nhận xét
Trong trường hợp có hai số mũ bằng 0 thì định lí 2.2.4.4 không đúng.
2.2.4.6 Định lý
Giả sử X là siêu mặt trong 2
( p) P C xác định bởi phương trình 3 1 2 1 2 3 1 2 3 : d d d 0, X z z z cz z z
trong đó 1 2 3 d 15,i 1, thì phần bù của X trong 2
( p)
P C là hyperbolic p-adic.
2.2.4.7 Nhận xét
K.Masuda và J.Noguchi đã đưa ra thuật toán để xây dựng các đường cong bậc d 48 trong 2
( )
hiểu các ví dụ về các đường cong trong P C2( p) với bậc d 15 mà phần bù là hyperbolic.
KẾT LUẬN
Luận văn bước đầu tìm hiểu việc vận dụng lý thuyết Nevanlinna – Cartan p-adic vào việc xây dựng các không gian hyperbolic p-adic. Các kết quả chính thu được:
1.Trình bày chi tiết phép chứng minh định lý Ostrowski. Định lý này là cơ sở quan trọng trong lý thuyết mở rộng trường số (định lý 1.1.4).
2. Bước đầu tìm hiểu quá trình xây dựng lớp các không gian hyperbolic Brody p-adic và các siêu mặt hyperbolic dựa vào định lí Nevanlinna – Cartan p-adic (Định lý 2.2.1; 2.2.2.1; 2.2.2.4; 2.2.2.7).
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] W. A. Cherry (1993), Hyperbolic p-Adic Analytic Spaces, Ph. D. Thesis Yaly University.
[2] Ha Huy Khoai and My Vinh Quang (1988), p-adic Nevanlinna theory,
Lecture Notes in Math. 1351 pp: 135-152.
[3] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), p-adic Nevanlinna Cartan theorem, Inter. J. Math. Vol. 6, No. 5, pp: 719-731.
[4] S. Lang (1974), Hyperbolic and Diophantine proplems, Bull. Amer. Math. Soc. 80 pp: 779-787.
[5] Mai Van Tu (1996), A p-adic hyperbolic surfaces in 3
( p)
P C , Vietnam J. Math.
[6] Mai Van Tu (1995), A notes on p-adic hyperbolic surfaces, Vietnam J. Math. Vol. 23 S. I, pp: 179-188.