Một số vấn đề về bài toán ba vật thể và tính hỗn độn

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 i KHOA VẬT LÝ NGUYỄN DANH TÙNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN BA VẬT THỂ VÀ TÍNH HỐN ĐỘN Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học GS.TSKH. NGUYỄN ÁI VIỆT HÀ NỘI – 2015 LỜI CẢM ƠN Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa Vật lý, các thầy cô giáo đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy – GS.TSKH. Nguyễn Ái Việt đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Danh Tùng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Khóa luận này là kết quả của bản thân tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu trên cơ sở hướng dẫn của thầy – GS.TSKH. Nguyễn Ái Việt. Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận này tôi có tham khảo một số tài liệu tham khảo và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Danh Tùng MỤC LỤC Mở đầu...................................................................................................... 1 Chƣơng 1: Một vài nét sơ bộ về hỗn độn .................................................. 3 1.1. Sơ bộ về sự phát triển của khoa học hỗn độn ...................................... 3 1.2. Lorenz và hiệu ứng con bướm............................................................ 7 1.3. Một số biểu hiện của hỗn độn .......................................................... 11 1.3.1. Tính bất định của các phép đo .................................................... 11 1.3.2. Hỗn độn trong quỹ đạo sao ........................................................ 12 1.3.3. Hỗn độn trong tự nhiên và cuộc sống hàng ngày ........................ 14 Chƣơng 2: Hỗn độn và bài toán ba vật thể ............................................. 18 2.1. Không gian pha ............................................................................... 18 2.2. Mặt phẳng Poincaré ......................................................................... 21 2.3. Lịch sử về bài toán ba vật thể ........................................................... 22 Chƣơng 3: Một số vấn đề về bài toán ba vật thể ..................................... 27 3.1. Điểm Lagrange................................................................................ 27 3.1.1. Điểm L1 .................................................................................... 28 3.1.2. Điểm L2 .................................................................................... 29 3.1.3. Điểm L3 .................................................................................... 29 3.1.4. Điểm L4 và L5 ........................................................................... 29 3.2. Một số trường hợp của bài toán ba vật thể ........................................ 30 3.3. Mô phỏng bài toán ba vật thể trên máy tính ...................................... 37 Kết luận .................................................................................................. 44 Tài liệu tham khảo .................................................................................. 45 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài “Bài toán ba vật thể” (Three body problem) do Isaac Newton nêu lên từ năm 1687 trong tác phẩm Principia (Nguyên lý) nhằm nghiên cứu chuyển động của các thiên thể trong mối quan hệ tương tác hấp dẫn giữa chúng: “Hãy xác định vị trí của 3 vật thể chuyển động trong không gian nếu biết vị trí ban đầu của chúng.” Thoạt nghe, bài toán có vẻ khá đơn giản, nhưng thực ra lại phức tạp và khó đến mức thách thức những bộ óc siêu việt nhất của nhân loại. Các nhà toán học vĩ đại như Euler, Lagrange,… đã từng lao vào giải, nhưng chỉ tìm được lời giải cho những trường hợp đặc biệt. Đến cuối thế kỷ 19 vẫn chưa có ai tìm được lời giải cho trường hợp tổng quát với n vật thể. Năm 1887, nhà toán học Poincaré đã đưa ra một phương pháp độc đáo để khảo sát hành vi chuyển trạng thái (hành trạng) của các hệ động lực, rồi xét cho một hệ quy giản từ hệ động lực nói trên; và ông đã hết sức bất ngờ phát hiện ra rằng hành vi chuyển trạng thái của hệ đó là rất bất thường, hỗn độn và có vẻ ngẫu nhiên. Henri Poincaré được coi là cha đẻ của lý thuyết hỗn độn, mặc dù mãi đến những năm 1960, lý thuyết này mới thành hình. Hiện nay, chủ đề nghiên cứu của lý thuyết hỗn độn rất được quan tâm và đang là một ngành khoa học được phát triển mạnh. Vì thế, việc tìm hiểu về bài toán ba vật thể và tính hỗn độn là một việc làm rất hợp thời đại. Với mong muốn mang lại một kênh thông tin cho bản thân và tài liệu tham khảo cho các đối tượng có sự quan tâm đến bài toán ba vật thể và tính hỗn độn nên tôi chọn đề tài: “Một số vấn đề về bài toán ba vật thể và tính hỗn độn” làm để tài khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về bài toán ba vật thể và tính hỗn độn. 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tập trung tư liệu, tìm hiểu nghiên cứu xung quanh nội dung về bài toán ba vật thể, lý thuyết hỗn độn. - Sử dụng máy tính mô phỏng về tính hỗn độn của bài toán ba vật thể. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Một số nội dung về bài toán ba vật thể, lý thuyết hỗn độn. - Trong thời gian và khả năng cho phép tôi chỉ nghiên cứu một số trường hợp đặc biệt, nội dung chủ yếu của bài toán ba vật thể và sự hỗn độn. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Đọc, tìm hiểu, tra cứu tài liệu. -Tổng hợp kiến thức, tìm hiểu và mô tả tính hỗn độn của bài toán ba vật thể. 6. Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm có ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu của đề tài. Phần nội dung gồm có ba chương: Chương 1: Giới thiệu sơ bộ về hỗn độn cũng như các biểu hiện của nó. Chương 2: Một số nội dung về hỗn độn và bài toán ba vật thể. Chương 3: Trình bày một số trường hợp đặc biệt và mô tả về tính hỗn độn của bài toán ba vật thể. 2 NỘI DUNG CHƢƠNG 1 MỘT VÀI NÉT SƠ BỘ VỀ HỖN ĐỘN 1. 1. Sơ lƣợc về sự phát triển của khoa học hỗn độn Vào năm 1905, với lý thuyết tương đối của mình Einstein đã xóa nhòa sự tin chắc của Newton về một không gian và thời gian tuyệt đối. Rồi vào những năm 1920 - 1930, cơ học lượng tử đã đập tan sự chắc chắn của khả năng hoàn toàn đo được một chính xác nhất có thể. Vận tốc và vị trí của một hạt cơ bản của vật chất không thể đồng thời đo được với độ chính xác vô hạn. Khoa học về hỗn độn đã loại bỏ sự chắc tin của Newton và Laplace vào một quyết định luận tuyệt đối của Tự nhiên. Trước khi lý thuyết hỗn độn xuất hiện, từ “trật tự” được coi là từ chủ đạo. Trái lại, từ “lộn xộn, vô trật tự” đã bị coi là cấm kỵ và từ đó bị loại ra khỏi ngôn ngữ khoa học. Tự nhiên phải vận động một cách chính quy và tất cả những gì tỏ ra thiếu chính quy hoặc lộn xộn đều bị coi là quái dị. Khoa học về hỗn độn đã làm thay đổi tất cả. Nó đã đặt cái không chính quy trong cái chính quy, cái vô trật tự trong cái trật tự. Nó đã thổi bùng lên trí tưởng tượng của các nhà khoa học và cả của công chúng, bởi vì khoa học này quan tâm đến cả những đối tượng ở thang bậc của con người và đề cập tới cả cuộc sống thường nhật. Thuyết tương đối có vị trí của mình là thế giới của những cái vô cùng lớn, thế giới của các lỗ đen, các thiên hà, của toàn thể vũ trụ. Còn cơ học lượng tử lại vận hành ở một cực khác: đó là thế giới của cái vô cùng bé, thế giới của các electron, của các nguyên tử và các phân tử. Trong khi đó, bản thân hỗn độn lại có vẻ quen thuộc, gần gũi với chúng ta trong cuộc sống hàng ngày. Chẳng hạn như: những làn khói thuốc lá, một lá cờ đang tung bay trước gió, những điểm tắc nghẽn trên xa lộ hoặc thậm chí những giọt nước rò rỉ từ 3 một chiếc vòi vặn không chặt. Với khoa học hỗn độn, các đồ vật trong đời thường cũng trở thành những đối tượng nghiên cứu thực sự. Khoa học hỗn độn còn có sức hấp dẫn bởi vì đây là một khoa học tổng thể, nó đã phá đổ các bức tường ngăn cách giữa các ngành khoa học khác nhau. Nó tập hợp các nhà nghiên cứu thuộc những lĩnh vực khác nhau và chống lại khuynh hướng chuyên môn hóa quá đáng hiện đang là đặc điểm của một số lĩnh vực nghiên cứu. Khoa học này còn hấp dẫn bởi vì nó đã làm sụp đổ những thành trì của quyết định luận và giành vị trí hàng đầu cho ý chí tự do. Hơn thế nữa, đây là một khoa học coi trọng cái toàn thể và buộc quy giản luận phải rút lui. Thế giới không chỉ được giải thích bằng các yếu tố cấu thành nên nó (các quark, các nhiễm sắc thể hay các nơron) mà nó phải được thâu tóm trong tính tổng thể của nó. Khoa học hỗn độn đang ngày càng trở nên quan trọng hơn bao giờ hết, bởi vì người ta khám phá ra rằng có rất nhiều hệ phức tạp trong tự nhiên và xã hội chịu sự tác động của hỗn độn: Từ cơ học thiên thể cho tới các chương trình máy tính, vấn đề dự báo thời tiết, vấn đề môi trường toàn cầu, hệ thống mạch điện, hiện tượng bùng nổ dịch bệnh, bùng nổ dân số, khủng hoảng kinh tế, vấn đề hoạch định chính sách,… Tuy nhiên, cho dù có những mặt hấp dẫn nói trên, khoa học hỗn độn chỉ thực sự phát triển vào những năm 1970 nhờ sự giúp đỡ của máy tính. Máy tính đã trở thành thiết yếu đối với việc nghiên cứu các hệ thống hỗn độn. Mặc dù phải mất nhiều thời gian mới có thể xuất hiện như một lĩnh vực nghiên cứu hoàn toàn riêng biệt, khoa học hỗn độn đã có những vị tiên phong thiên tài. Một trong số những người tiên phong ấy là nhà toán học Pháp Henri Poincaré (1854- 1912), người đã từng chống lại sự chuyên chế của quyết định luận Newton ngay từ cuối thế kỷ XIX. Mặc dù hàng loạt lý thuyết ra đời trong thế kỷ XX dẫn tới những cuộc cách mạng đảo lộn vũ trụ quan cổ điển, đến nay tư tưởng chủ đạo của khoa học vẫn là chủ nghĩa tất định – tư tưởng cho rằng vũ trụ vận hành theo những 4 quy luật xác định và do đó, về nguyên tắc, khoa học phải dự báo được tương lai một cách chính xác. Nhưng thực ra Tự nhiên phức tạp, hỗn độn và khó dự đoán hơn ta tưởng rất nhiều: Tính ngẫu nhiên và bất định không chỉ tác động trong thế giới lượng tử, mà ngay cả trong những hệ phức tạp của thế giới vĩ mô. Trong Tự nhiên cũng như trong đời sống hàng ngày, có rất nhiều tình huống lại phụ thuộc một cách cực kỳ nhạy cảm vào những điều kiện ban đầu. Một sự thay đổi rất nhỏ trong trạng thái ban đầu của hệ có thể dẫn đến một thay đổi rất lớn về sau, sự thay đổi đó tăng theo hàm số mũ với thời gian. Có những hệ vật lý phụ thuộc một cách rất nhạy cảm vào các điều kiện ban đầu. Một vài ví dụ của những hệ thống nhạy cảm với điều kiện ban đầu là khí quyển trái đất, hệ mặt trời, kiến tạo học, đối lưu chất lỏng, kinh tế, tăng trưởng dân số...Chỉ cần một nhiễu loạn nhỏ là kết quả sẽ hoàn toàn khác hẳn. Ví dụ như nếu ta điều chỉnh chỉ một chút ít thôi vị trí hoặc vận tốc ban đầu, thì đường đi của vật sẽ bị nhiễu loạn, lúc đầu rất gần với quỹ đạo của vật khi chưa bị nhiễu, nhưng rồi sự chệch xa của hai quỹ đạo đó sẽ tăng theo hàm số mũ cho đến khi chúng không còn liên quan gì với nhau nữa. Đó là cái mà người ta gọi là “hỗn độn”. Về mặt ngữ nghĩa, từ “hỗn độn” trong ngữ cảnh khoa học mang nghĩa khác với thông thường được sử dụng là trạng thái lộn xộn, thiếu trật tự. Thực ra, từ “hỗn độn” (chaos) theo cách hiểu của các nhà khoa học hoàn toàn không có nghĩa là “vô trật tự”, mà nó gắn với khái niệm “không thể tiên đoán”, “không thể dự báo dài hạn được”. Bởi vì trạng thái cuối cùng phụ thuộc một cách rất nhạy cảm vào trạng thái ban đầu, đến nỗi chỉ một chút rất nhỏ cũng có thể làm thay đổi tất cả, nên chúng ta bị hạn chế một cách rất cơ bản trong việc tiên đoán trạng thái cuối cùng đó. Thực vậy, sự hiểu biết của chúng ta về trạng thái ban đầu luôn luôn có một độ thiếu chính xác nhất định, dù là rất nhỏ. Trong các hệ thống được gọi là “hỗn độn”, độ thiếu chính xác 5 đó cứ được khuếch đại lên mãi theo hàm số mũ và kết quả là ta không thể biết gì vể trạng thái cuối cùng nữa. Poincaré là người đầu tiên đã suy ngẫm vấn đề về sự phụ thuộc của hành trạng một số hệ vào những điều kiện ban đầu, và ông đã thoáng nhận thấy rằng đối với các hệ đó, một sự thay đổi rất nhỏ lúc đầu cũng dẫn đến một sự thay đổi lớn của quá trình tiến hóa sau này, tới mức người ta không thể biết được tương lai của nó và mọi dự báo dài hạn đều trở nên vô ích. Chống lại tín điều mang tính quyết định luận của Laplace nói rằng: “đối với một trí tuệ có khả năng thâu tóm chuyển động của những thiên thể lớn nhất cũng như chuyển động của các nguyên tử nhẹ nhất trong cùng một công thức, thì không có gì là bất định hết, cả tương lai lẫn quá khứ đều hiện diện trước con mắt của trí tuệ ấy”, Henri Poincaré đã đưa ra một lời cảnh báo trong tác phẩm của ông mang tên Khoa học và phương pháp xuất bản năm 1908 như sau: “Một cái “nhân” cực nhỏ mà ta dễ bỏ qua đôi khi lại quyết định một cái “quả” khá lớn mà chúng ta không thể không nhìn thấy, nhưng lúc đó chúng ta lại nói rằng cái “quả” đó là do ngẫu nhiên mà có. Nếu biết một cách thật chính xác các định luật của Tự nhiên và tình trạng của vũ trụ ở thời điểm ban đầu, thì chúng ta có thể tiên đoán một cách chính xác tình trạng của chính vũ trụ đó ở thời điểm tiếp theo. Song, ngay cả khi các quy luật của Tự nhiên không còn là điều bí mật đối với chúng ta đi nữa, chúng ta cũng chỉ biết được tình trạng ban đầu của vũ trụ ấy một cách gần đúng mà thôi. Nếu điều đó cho phép chúng ta dự báo được tình trạng sau này với cùng một cỡ gần đúng như vậy, thì đó là tất cả những gì mà chúng ta cần và chúng ta sẽ nói hiện tượng này là tiên đoán được, và nó là do các quy luật chi phối. Song tình hình không phải bao giờ cũng như vậy. Có thể xảy ra trường hợp trong đó những khác biệt nhỏ trong các điều kiện ban đầu lại sinh ra những khác biệt rất lớn trong các hiện tượng cuối cùng; điều này cũng có nghĩa là một sai số nhỏ trong các điều kiện ban 6 đầu có thể dẫn đến một sai số cực lớn trong những hiện tượng sau đó. Do vậy mà sự tiên đoán, dự báo trở thành không thể thực hiện được”. Mặc dù có lời báo động đó, nhưng khoa học về hỗn độn vẫn chưa thể cất cánh được. Poincaré đã vượt quá xa thời đại của mình. Hơn nữa, thời đó máy tính lại chưa xuất hiện để cho phép nhà toán học có thể ngoại suy xa hơn nữa hành trạng của các hệ rất nhạy cảm với những điều kiện ban đầu này và để kiểm chứng trực giác thiên tài của ông. Mọi chuyện cứ dậm chân tại chỗ như thế trong hơn một nửa thế kỷ. Và ngọn đuốc chỉ được nhen lại, gần như tình cờ, vào năm 1961 bởi nhà khí tượng học người Mỹ Edward Lorenz. 1.2. Lorenz và hiệu ứng con bƣớm Lorenz làm việc tại Học viện Công nghệ Massachusetts (MIT) nổi tiếng, ông thường xuyên được sử dụng một máy tính để tính toán khí tượng. Vào đầu những năm 1960, các máy tính còn rất cồng kềnh và chẳng có chút mỹ quan nào với một mớ bòng bong những dây điện và các đèn điện tử. Chúng rất hay trục trặc và sẽ là một điều thần kỳ nếu như chúng có thể chạy đều trong vòng hơn một tuần mà không có hỏng hóc gì. Thậm chí, chiếc máy mà Lorenz sử dụng chiếm cả một phòng, nhưng nó không có được tốc độ và bộ nhớ cần thiết để tái tạo một cách hiện thực bầu khí quyển và các đại dương của Trái đất. Năm 1961, Edward Lorenz đã thiết lập một hệ phương trình toán học để mô tả một dòng không khí chuyển động, lúc dâng cao, lúc hạ thấp tuỳ theo mức độ bị đốt nóng bởi ánh nắng mặt trời. Sau đó ông mã hoá hệ phương trình này để tạo ra một chương trình chạy trên máy tính, nhằm nghiên cứu một mô hình dự báo thời tiết. Để lấy tin từ máy tính, Lorenz cho máy in ra những đường lượn sóng, cho biết sự biến thiên của một hiện tượng vật lý, ví dụ như tốc độ của gió Bắc biến thiên theo thời gian chẳng hạn. Như vậy, 7 những khi thời tiết yên ả, đường cong sẽ vẽ nên hình những thung lũng, còn những khi gió thổi mạnh theo từng cơn thì nó sẽ vẽ nên hình những quả đồi. Một ngày mùa đông năm 1961, Lorenz muốn tiếp tục thực hiện tính toán một bản tin thời tiết bị ngắt giữa chừng. Song, để tranh thủ thời gian ông không làm lại từ đầu mà cho máy bắt đầu tính từ chỗ vừa bị ngắt. Lorenz cho chạy chương trình, rồi đi uống cà phê. Khi ông quay trở lại, một kết quả hết sức bất ngờ đang chờ đợi ông. Và chính điều bất ngờ này đã cho ra đời một khóa học mới khoa học về hỗn độn. Lorenz đã kỳ vọng rằng đường biểu diễn mới được bắt đầu từ chỗ bị ngắt quãng của đường cong cũ sẽ ăn khớp với đường cong cũ và sự sai khác nếu có cũng chỉ cỡ milimét là cùng. Nhưng ông đã rất kinh ngạc khi thấy kết quả lại không phải như vậy. Hai đường biểu diễn chỉ đi sát với nhau ở đoạn đầu, rồi chúng tách xa nhau rất nhanh, khiến cho trong vòng vài tháng của mô hình, vẻ gần gũi của chúng hoàn toàn không còn nữa. Điều đó làm cho không thể dự báo thời tiết dài hạn được (Hình 1.1). Hình 1.1 Lúc đầu Lorenz tưởng rằng máy tính bị trục trặc, nhưng sau một lát suy ngẫm, ông thấy rằng sự thực không phải vậy. Nguyên nhân gây ra sự khác biệt giữa hai đường biểu diễn nằm ngay ở chính các con số mà ông đưa vào máy tính như những điều kiện ban đầu của lần tính mới. Máy đã đưa ra con số 0,145237 vào lúc chương trình b ị ngắt, bộ nhớ của máy chỉ có thể lưu trữ 6 8 con số lẻ sau dấu phẩy. Nhưng khi đưa trở lại vào máy con số đó với tư cách là điều kiện ban đầu của lần tính mới, do lười nên ông đã làm tròn số, và chỉ gõ vào máy 0,145 chứ không gõ cả 6 số lẻ vào. Theo quán tính tư duy khoa học trước đó, một sai lệch vô cùng nhỏ ở đầu vào sẽ không có ảnh hưởng gì đáng kể ở đầu ra. Quán tính tư duy này sẽ đúng nếu đối tượng khảo sát chưa đạt tới mức độ đủ phức tạp. Ông nghĩ rằng một sự khác biệt dưới một phần nghìn chắc sẽ không gây ra chuyện gì nghiêm trọng lắm. Nhưng ông đã lầm: một sự thay đổi rất nhỏ lúc ban đầu thực sự đã dẫn đến những thay đổi cuối cùng rất to lớn. Hệ thống dự báo thời tiết là một hệ thống phức tạp, nên quán tính tư duy nói trên không còn đúng nữa. Ngoài ra, khi biểu diễn trạng thái của hệ bằng một điểm di chuyển trong không gian hay được gọi là không gian pha, Lorenz còn thấy rằng, theo thời gian, điểm này vẽ nên một đường cong dường như tự cuộn lại xung quanh một vật có cấu trúc phức tạp, có tên là nhân hút lạ và ngày nay gọi là nhân hút Lorenz. Lorenz nghiên cứu hiện tượng này, cuối cùng công bố kết quả của mình. Trong ấn phẩm của ông, ông đã trình bày một tập hợp đơn giản của phương trình vi phân đã mô tả hiệu ứng này. Với các phương trình vi phân (1.1): dx    y  x, dt dy  x    z   y, dt dz  xy   z. dt (1.1) Với các giá trị của σ = 10, ρ = 28, và β = (8/3), lặp lại với thời gian t với số gia 0,01. (Hình 1.2) 9 Hình 1.2. Nhân hút Lorenz Như vậy là hỗn độn đã quy định một giới hạn cơ bản đối với khả năng dự báo thời tiết của chúng ta. Song điều đó không có nghĩa là chúng ta không nên nghe các bản tin dự báo thời tiết trước hoặc sau chương trình Thời sự. Những dự báo thời tiết ngắn hạn, một hoặc hai ngày, trên một diện tích hẹp như một nước hay một thành phố, vẫn rất đáng tin cậy. Nhờ có những hình ảnh chụp Trái đất từ vệ tinh và những hiểu biết về hướng gió, nhà khí tượng có thể dự báo tương đối dễ dàng thời tiết trong vòng 24 hoặc 48 giờ. Đối với những dự báo dài ngày hợn, sự hỗ trợ của các máy tính là rất cần thiết để dựng nên các mô hình lưu chuyển tổng quát của các khối không khí trong bầu khí quyển Trái đất. Người ta truyền cho các máy tính những dữ liệu khí tượng như áp suất, nhiệt độ và độ ẩm thu thập được từ các trạm khí tượng đặt rải rác khắp nơi trên địa cầu, những dữ liệu địa lý như vị trí các dãy núi và các đại dương hay cùng với các định luật vật lý mô tả hành trạng của các khối không khí. Sau đó, người ta yêu cầu máy tính dự báo xem trong vòng một hay hai tuần tới thời tiết sẽ như thế nào. Và kết quả: người ta sẽ thấy rằng trong vòng vài ngày đầu, thời tiết được dự báo và thời tiết thực tế không khác nhau là mấy. Ngược lại, nếu sau 6 hoặc 7 ngày lại là chuyện khác, những dự báo sẽ trở thành không chính xác, thậm chí rất sai. Cái giới hạn của sự hiểu biết đó là không thể đảo ngược. Và những mầm mống của nó không thể tách rời khỏi sự vận động của Tự nhiên. Để hiểu biết được khí hậu, chúng ta có thể phủ kín 10 mặt đất cả một hệ thống các trạm khí tượng chằng chịt, cái nọ sát cạnh cái kia, mặc dù vậy vẫn luôn có những thăng giáng nhỏ trong bầu khí quyển, nhỏ đến mức không thể phát hiện được, song chúng vẫn có thể được khuếch đại để tạo ra những cơn gió nhẹ hay những luồng gió xoáy gây tàn phá, và làm biến đổi khí hậu trên toàn hành tinh. Chính vì vậy mà hỗn độn thường vẫn được giải thích bằng cái mà người ta gọi là hiệu ứng con bướm: “một cái đập cánh của con bướm ở Braxin có thể gây ra bão tố ở Texas”, hay là khi có sự phụ thuộc cực kỳ nhạy cảm vào điều kiện ban đầu. Sự hiểu biết của chúng ta không chỉ bị giới hạn bởi sự vận động của Tự nhiên, mà còn bởi công cụ tính toán chúng ta sử dụng để phá vỡ các bức màn bí mật của tạo hóa. Các máy tính không có những bộ nhớ vô hạn để lưu trữ những con số kéo dài vô tận. Cũng giống như Lorenz, chúng ta luôn vấp phải vấn để phải làm tròn các con số. Vì vậy, chúng ta không thể dự báo thời tiết dài hạn được, việc đó chỉ là ảo tưởng mà thôi. 1.3. Một số biểu hiện của hỗn độn. 1.3.1. Tính bất định của các phép đo. Một trong những nguyên lý cơ bản của khoa học thực nghiệm là ở chỗ không có một phép đo nào trong thực tế có thể đạt tới độ chính xác tuyệt đối. Điều đó có nghĩa là các phép đo phải chấp nhận một mức độ bất định nào đó. Dù cho công cụ đo lường có hoàn hảo đến mấy thì mức độ chính xác cũng chỉ đạt tới một giới hạn nhất định. Về lý thuyết, muốn đạt tới độ chính xác tuyệt đối thì công cụ đo lường phải đưa ra những con số có vô hạn chữ số nhưng điều này là không thể được. Nhưng người ta cho rằng sử dụng những công cụ đo lường hoàn hảo hơn, có thể giảm thiểu tính bất định xuống tới một mức độ nào đó có thể chấp nhận được, tùy theo mục tiêu của bài toán, mặc dù về nguyên tắc, không bao giờ triệt tiêu được tính bất định đó. Khi nghiên cứu chuyển động của các vật thể dựa trên các định luật của Newton, tính bất định trong các dữ kiện ban đầu 11 được coi là khá nhỏ, không ảnh hưởng tới kết quả dự đoán xảy ra trong tương lai hoặc quá khứ. Quả thật, dựa trên các định luật của Newton, Urbain Le Verrier đã tiên đoán chính xác sự tồn tại của hành tinh Neptune (Hải vương tinh). Những sự kiện tương tự như thế đã làm củng cố niềm tin vào Chủ nghĩa tất định rằng Vũ trụ vận hành giống như một chiếc đồng hồ Newton và do đó có thể dự báo tương lai một cách chính xác. Nếu xuất hiện kết quả bất định trong các hệ động lực học, thì chắc chắn nguyên nhân xuất phát từ tính bất định trong các phép đo dữ kiện ban đầu, thay vì các phương trình chuyển động, bởi vì các phương trình này là hoàn toàn xác định. Và từ lâu người ta đã cho rằng nếu giảm thiểu đến mức tối đa tính bất định trong các phép đo thì con người sẽ có thể đưa ra những dự báo chính xác đến mức tối đa. Nhưng chủ nghĩa tất định đã lầm: Những hệ động lực phức tạp mang tính bất ổn định ngay từ trong bản chất của chúng. 1.3.2. Hỗn độn trong quỹ đạo sao. Một nhà khoa học người Pháp tên là Michel Hénon làm việc ở Đài thiên văn Nice muốn đi tìm sự hỗn độn trong các quỹ đạo của các vì sao. Để làm hiển thị chuyển động của các vì sao trong đĩa Thiên hà, ông đã phải sử dụng tới phương pháp mặt phẳng Poincaré. Sự đi qua mặt phẳng Poincaré của mỗi ngôi sao tương ứng với một điểm trên mặt phẳng ấy. Nếu quỹ đạo của ngôi sao được lặp đi lặp lại đúng như cũ, thì điểm tương ứng trên mặt phẳng Poincaré vẫn là điểm ấy. Còn nếu nó không lặp lại, tức là nếu vòng quay không tự khép kín, quỹ đạo của ngôi sao sẽ cắt mặt phẳng Poincaré ở một chỗ khác và điểm tương ứng sẽ đổi chỗ. Chính nhờ theo dõi sự di chuyển liên tục của các điểm tương ứng đó mà Hénon đã phát hiện thấy hỗn độn cũng xuất hiện trong thế giới các vì sao. Tuy nhiên, hỗn độn đó không biểu hiện ngay lập tức. Những quỹ đạo đầu tiên được tính toán cho các ngôi sao có năng 12 lượng chuyển động trung bình khá là ổn định. Mặc dù chúng chưa thật ổn định và cũng không bao giờ lặp lại một cách hoàn toàn, song hành trạng của chúng vẫn còn tiên đoán được. Các điểm tương ứng không phân bố một cách tán loạn và ngẫu nhiên trên mặt phẳng Poincaré, mà vạch nên một đường cong có dạng xác định, trông giống như hình một quả trứng (Hình 1.3b). Điều này nói lên rằng trong lòng đĩa thiên hà, các vì sao di chuyển bên trong một thể tích có dạng được gọi là hình xuyến (Hình 1.3a). Hình 1.3. Quỹ đạo các sao và hỗn độn. 13 Hénon muốn gia tăng năng lượng chuyển động của các vì sao để quan sát xem chúng chuyển động như thế nào. Đường cong hình quả trứng liền biến dạng thành một hình phức tạp hơn với những hình số 8 hoặc chia nhỏ ra thành các vòng kín riêng rẽ, giao điểm của các đường cong này và mặt phẳng Poincaré tạo nên một đường liên tục khép kín chừng nào năng lượng chuyển động của các sao còn chưa vượt qua một giá trị tới hạn, vậy các quỹ đạo vẫn ổn định và hỗn độn vẫn chưa xuất hiện (Hình 1.3c). Hénon tiếp tục gia tăng năng lượng của các vì sao lên cao nữa, và rồi khi năng lựợng chuyển động của các sao vượt quá giá trị tới hạn, quỹ đạo của chúng trở nên hỗn độn và những đường cong vẽ ra trên mặt phẳng Poincaré những hình trong đó các vùng ổn định nằm xen kẽ với những vùng hỗn độn (Hình 1.3d). Các quỹ đạo sao trở thành không ổn định nữa và hỗn độn đã xuất hiện trong thiên hà. Hai điểm ở cạnh nhau trên mặt phẳng Poincaré có thể thuộc về các quỹ đạo hoàn toàn khác nhau. Đó chính là dấu hiệu của hỗn độn. Chỉ cần thay đổi năng lượng của vì sao thêm chút nữa là quỹ đạo của nó trở nên không thể tiên đoán được. 1.3.3. Hỗn độn trong tự nhiên và cuộc sống hàng ngày. Hệ thống thời tiết là một hệ phức tạp điển hình, ở đó bộc lộ rất rõ đặc trưng hỗn độn, như chúng ta đã thấy phần nào qua câu chuyện về khám phá của Edward Lorenz. Thuật ngữ Hiệu ứng con bướm ra đời chính từ khoa học dự báo thời tiết: Một cái vỗ cánh của một con bướm ở một nơi nào đó trên trái đất có thể dẫn tới một cơn bão ở một nơi nào khác trên thế giới một năm sau đó. Với hiệu ứng đó, hiện nay người ta buộc phải chấp nhận rằng việc dự báo thời tiết chỉ đạt được mức độ chính xác tương đối và ngắn hạn. Dù cho được trang bị những máy tính thông minh bậc nhất, khoa học dự báo thời tiết vẫn luôn luôn không tốt gì hơn những phỏng đoán. 14 Hỗn độn không chỉ tồn tại trong thời tiết ở trên Trái đất, trong quỹ đạo của các hành tinh thuộc Hệ Mặt trời hay của các ngôi sao trong dải Ngân Hà. Nó còn biểu hiện ở mọi góc phố, trong những sự kiện diễn ra hằng ngày. Chúng ta ai cũng từng sống qua những sự kiện xem ra rất nhỏ nhặt không có chút quan trọng nào, thế mà sau đó, chính những sự kiện ấy lại làm thay đổi hẳn cuộc sống của chúng ta. Một người dậy muộn một chút vì đồng hồ báo thức không đổ chuông, anh ta phải lỡ hẹn, thế là mất một việc làm đã dành cho anh ta, để rồi phải làm một công việc khác hẳn với những gì anh ta đã dự kiến. Một người bị chậm vài giây vì thang máy của ngôi nhà bị trục trặc. Do chậm lại một chút đó mà chậu hoa từ tầng thứ 10 rơi xuống đã không rơi trúng đầu người đó, mà chỉ sượt qua vài xentimet...Đó là những tình huống rất đặc trưng cho hỗn độn: những thay đổi nhỏ nhặt nhất trong cuộc sống có thể làm cho nó đảo lộn hoàn toàn. Những sự kiện thoạt đầu chẳng quan trọng gì lại quyết định toàn bộ chiều hướng của cả một đời người. Chỉ cẩn thay đổi một chút những điều kiện ban đầu là số phận của bạn sẽ hoàn toàn thay đổi. Hỗn độn thậm chí cũng có tác động đến sự tiến hóa của các loài. Chẳng hạn như một đàn thỏ sống trong một khu rừng. Điều gì sẽ xảy ra nếu như các nguồn thức ăn trong khu rừng đó đang cạn kiệt dần hoặc đã hết hẳn? Và điều gì sẽ xảy ra nếu một con sói săn mồi đột ngột xuất hiện, chắc nó sẽ hài lòng khi được ăn mỗi bữa một con thỏ? Rồi chuyện gì sẽ sẽ xảy ra đối với một cụm dân cư nếu một bệnh dịch xảy ra và một loại virút mới xuất hiện? Để trả lời cho những câu hỏi đó, một ngành khoa học mới đã ra đời, ngành sinh thái học. Các nhà sinh học đã bắt đầu bằng việc tạo ra những mô hình đơn giản để nghiên cứu sự tiến hóa của các quần thể sinh vật. Trong lĩnh vực nghiên cứu quần thể sinh học có những thí dụ phức tạp rắm rối. Chẳng hạn những thí dụ về quần thể ruồi dấm hoặc quần thể bọ chét dưới nước mà ta nuôi dưỡng chúng trong phòng thí nghiệm. Chúng ta không thể nào tiên đoán được mức độ tăng trưởng của chúng trong một số tình huống nhất định. Dưới điều kiện 15 nhiệt độ và sinh trưởng nào đó, chúng phát triển đều đặn và hoàn toàn có thể tiên đoán được, giống như động lực học Newton cổ điển vậy. Nhưng dưới điều kiện nhiệt độ hoặc môi trường khác, chúng trở nên vô cùng hỗn độn, và mặc dù những phương trình dùng để mô tả sự tăng trưởng của chúng rất đơn giản, mức tăng trưởng của chúng là không thể dự đoán được. Sự sinh trưởng của chúng tăng hay giảm thất thường tuỳ theo từng môi trường,.. Một vài nhà sinh lý học thậm chí còn cho rằng một liều lượng nhất định của hỗn độn là cần thiết cho sự hoạt động của cơ thể. Do đó một số nhà nghiên cứu đã thử ứng dụng “hỗn độn” để làm giảm cơn của các bệnh nhân động kinh. Ở các bệnh nhân này, các cơn động kinh dường như có liên quan với các xung điện mạnh trong não, tựa như một số lượng lớn các nơron phóng điện cùng một lúc vậy. Bằng cách tránh các cú phóng điện lớn ấy, tức là tạo cho các nơron một hành trạng có tính hỗn độn và ngẫu nhiên hơn người ta có thể loại trừ được các cơn động kinh. Ý tưởng ở đây là xoa dịu não bằng cách đặt vào nó những xung điện nhỏ nhằm khởi phát một hành trạng hỗn độn hơn của các nơron. Thật nghịch lý là khi đó hỗn độn lại thực hiện chức năng điều tiết và kiểm soát. Ngoài ra lý thuyết hỗn độn đã sử dụng để nghiên cứu tính hỗn độn trong các mạch điện, chùm lasers, các hiện tượng dao động, các phản ứng hoá học, động học chất lỏng, các máy móc cơ học và máy cơ học từ tính. Khoa học cũng đã quan sát những biểu hiện hỗn độn trong chuyển động của vệ tinh trong hệ mặt trời, sự tiến hoá của thời gian trong từ trường của các thiên thể, sự tăng trưởng số lượng của các quần thể sinh học, tiềm năng tác động trong các nơron thần kinh, và các dao động của phân tử. Hàng ngày chúng ta có thể chứng kiến tính hỗn độn của thời tiết và khí hậu, hiện nay người ta còn đang tranh luận về tính hỗn độn trong hiện tượng kiến tạo bề mặt trái đất cũng như trong hệ thống kinh tế. 16 Tóm lại, hỗn độn đã trở thành một đề tài hàng đầu. Nó xuất hiện trên trang nhất các tờ báo, các cuộc hội thảo quốc tế về nó diễn ra khắp nơi trên thế giới. Hỗn độn đã được đề cao là đối tượng của các khoa học và nhiều viện nghiên cứu đã được thành lập trên khắp thế giới để nghiên cứu nó. Nó cũng đã vượt ra ngoài phạm vi của các khoa học tự nhiên và chiếm lĩnh nhiều ngành hoặc nhiều chuyên ngành rất khác nhau và đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực: toán học, nhân chủng học, địa chất học, lịch sử, kiến trúc hồi giáo, chữ tượng hình Nhật Bản, ngôn ngữ học, âm nhạc, viễn thông, sinh học, khoa học máy tính, kinh tế học, công nghệ học, hệ thống tài chính, triết học, vật lý, chính trị, động học về mức tăng trưởng của các quần thể, tâm lý học và khoa học robots. Một trong những ứng dụng thành công nhất của lý thuyết hỗn độn là trong sinh thái học, trong đó mô hình của Ricker đã được sử dụng để chỉ rõ các quần thể sinh học tăng trưởng như thế nào,… và vô số ứng dụng khác nữa. 17 CHƢƠNG 2 HỖN ĐỘN VÀ BÀI TOÁN BA VẬT THỂ 2.1. Không gian pha Chúng ta đang sống trong không gian ba chiều, trong không gian đó, tại thời điểm nhất định, ta có thể biết được vị trí của một vật thể xác định bởi ba tọa độ không gian. Để có cái nhìn toàn thể, Poincaré đã phải từ bỏ cái không gian quen thuộc trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Bằng trí tưởng tượng mạnh mẽ của mình, ông đã đưa mình vào một không gian trừu tượng nhiều chiều, được gọi là không gian pha. Trong không gian trừu tượng này, vị trí của một vật được xác định không chỉ bởi ba tọa độ không gian mà còn bởi cả ba tọa độ vận tốc: vận tốc từ cao xuống thấp, từ phải sang trái và từ trước ra sau. Như vậy đối với bài toán ba vật cũng như vậy: cần phải có 6 chiều để mô tả Mặt trăng, 6 chiều khác để mô tả Trái đất và 6 chiều khác nữa để mô tả Mặt trời. Do vậy để có một cái nhìn tổng thể về ba vật, cần thiết phải có một không gian 18 chiều. Trong không gian nhiều chiều này, Hệ Mặt trời hoàn toàn được biểu diễn chỉ bởi một điểm duy nhất, thay vì 10 điểm như trong không gian ba chiều thông thường. Đó chính là cái đã làm nên sức mạnh cho cấu trúc toán học có tên là không gian pha này. Cho dù hệ thống được nghiên cứu có phức tạp đến đâu, thì chỉ cần một điểm trong không gian trừu tượng đó thôi là đủ để biểu diễn tổng thể của một hệ thống. Chẳng hạn, các trục trên hình (Hình 2.1) biểu diễn các tọa độ không gian cũng như tọa độ vận tốc. Trong quá trình hệ tiến triển cùng với sự thay đổi vị trí và vận tốc của nó, điểm biểu diễn hệ vạch nên một đường cong trong không gian pha. 18 Hình 2.1. Không gian pha. Nhưng cái làm cho Poincaré quan tâm không phải là khía cạnh tĩnh và đông cứng của hệ mà là khía cạnh động lực và tiến hóa của nó. Ông không muốn nghiên cứu Mặt trăng bất động trên quỹ đạo của nó, mà muốn tìm hiểu xem nó sẽ chuyển động như thế nào, quỹ đạo của nó thay đổi ra sao trong suốt thời gian dài hàng tỷ năm. Khi hệ thống thay đổi và tiến hóa, điểm biểu diễn hệ trong không gian pha cũng dịch chuyển và vẽ nên trong đó một đường cong. Và nếu ta thay đổi các điều kiện ban đầu, thì điểm biểu diễn hệ lại vẽ nên một quỹ đạo khác. Tập hợp các nghiệm của những phương trình vi phân mô tả hệ khi đó sẽ tương ứng với rất nhiều đường cong trong không gian pha. Chẳng hạn, để kiểm chứng sự tiến hóa của một hệ trong không gian thực có phụ thuộc một cách nhạy cảm vào các điều kiện ban đầu hay không, ta chỉ cần nghiên cứu chuyển động của 2 đối tượng với các quỹ đạo ban đầu rất gần nhau. Nếu quỹ đạo của chúng tách dần ra xa nhau, thì hệ là rất nhạy với các điều kiện ban đầu. Trái lại, nếu các quỹ đạo luôn ở gần nhau và giống nhau thì hệ không có sự nhạy cảm đó. 19 Một số ví dụ một số hệ trong không gian pha: Hành trạng động lực học của một hệ có thể được biểu diễn bằng hai cách khác nhau. Cách cổ điển là biểu diễn sự tiến hóa của hệ như một hàm số của thời gian hình (Hình 2.2) với các hệ lần lượt a,b,c,d. Hình 2.2. Biểu diễn của hệ theo cách cổ điển Cách hiện đại là nghiên cứu các quỹ đạo của điểm biểu diễn trạng thái động lực học của hệ trong không gian pha hình (Hình 2.3) Hình 2.3. Biểu diễn của hình theo cách hiện đại Ví dụ, ở hệ (a) hội tụ tới một trạng thái cân bằng sau rất nhiều dao động. Điều này tương ứng với những vòng lồng vào nhau, hội tụ dẫn tới một điểm trong không gian pha. Hệ (b) lặp lại một cách tuần hoàn và điều này tương ứng với một quỹ đạo tuần hoàn (cyclic) trong không gian pha. Hệ (c) cũng có chuyển động tuần hoàn, nhưng phức tạp hơn. Nó chỉ lặp lại sau ba dao động khác nhau: người ta nói rằng nó có vòng chu kỳ (cycle of period) bằng 3, điều này ứng với các vòng phức tạp hơn trong không gian pha. Hệ (d) là hỗn độn và trong không gian pha nó có dạng cánh bướm và có tên là nhân hút Lorenz. 20 2.2. Mặt phẳng Poincaré. Để khảo sát quỹ đạo của một điểm trong không gian pha, nhà toán học Henri Poincaré đã tưởng tượng cắt quỹ đạo này bằng một mặt phẳng thẳng đứng mà ngày nay gọi là mặt phẳng Poincaré. Các giao điểm của quỹ đạo nói trên với mặt phẳng Poincaré vẽ nên ở đó những hình ảnh cho phép chúng ta phân biệt được những hành trạng khác nhau của hệ. Chẳng hạn một elip trong không gian thực tương ứng với một vòng kín trong không gian toán học này. Nếu một hành tinh không ngừng vạch ra cùng một quỹ đạo trên trời như Newton hằng tin tưởng, thì chính vòng kín đó cũng sẽ được đi qua không ngừng trong không gian pha. Vòng kín này sẽ xuyên qua màn ảnh, chỉ ở một điểm duy nhất (Hình 2.4). Như vậy, một chuyển động tuần hoàn trong không gian thực tương ứng với một điểm trên mặt phẳng Poincaré. Một chuyển động phức tạp hơn, nhưng sẽ được lặp lại sau bốn lần đi qua, sẽ được thể hiện bằng bốn điểm trên mặt phẳng đó (Hình 2.5). Một chuyển động không bao giờ lặp lại sẽ được biểu thị bằng vô số điểm. Hình 2.4. Biểu diễn của một chuyển động tuần hoàn. Hình 2.5. Biểu diễn của một chuyển động tuần hoàn, lặp lại sau bốn lần. 21 2.3. Lịch sử về bài toán ba vật thể. Ở thế kỷ XVI, các tính toán về vị trí của Mặt trăng và những thiên thực đã trở thành một ngành công nghiệp thực sự. Để đáp ứng nhu cầu của các nhà hàng hải muốn biết thật chính xác vị trí các con tàu và nhu cầu lập lịch cho các ngày lễ hội, các nhà toán học - chiêm tinh đã tính toán không mệt mỏi các bảng vị trí của Mặt trăng. Do mô hình của Ptolemy không đúng vì Trái đất không phải là trung tâm của vũ trụ, nên theo thời gian, các sai số cứ tích tụ lại. Mặt trăng càng ngày càng chệch khỏi các vị trí theo tính toán, và người ta định kỳ phải tính toán lại từ đầu để lập ra các bảng mới. Vũ trụ địa tâm đã kết thúc sự thống trị của nó vào năm 1543, khi Nicolas Copernicus (1473-1543) đã đưa Trái đất ra khỏi vị trí trung tâm và đặt Mặt trời vào đó. Sử dụng những số liệu quan sát về vị trí các hành tinh do nhà thiên văn Đan Mạch Tycho Brahe (1546 -1601) đo được với một độ chính xác cao, nhà bác học người Đức là Johannes Kepler (1571-1630) đã phá vỡ bí mật về chuyển động của các hành tinh vào năm 1609: các hành tinh chuyển động theo các quỹ đạo hình elip chứ không phải hình tròn như Aristoteles đã từng đưa ra. Mặt trời nằm ở một trong hai tiêu điểm của các elip đó, các hành tinh đều tăng tốc khi đến gần và giảm tốc khi đi ra xa Mặt trời. Kepler cũng lao vào giải quyết bài toán chuyển động của Mặt trăng. Các tính toán của ông chính xác hơn rất nhiều và các bảng biểu do ông lập ra còn được sử dụng trong nhiều thập kỷ sau khi được công bố vào năm 1627. Mặc dù Kepler đã phân tích rất tỉ mỉ chuyển động của các hành tinh, nhưng nguyên nhân của các chuyển động ấy vẫn chưa được làm sáng tỏ. Câu trả lời đã được Isaac Newton (1642-1727) đưa ra vào năm 1666 đó chính là định luật vạn vật hấp dẫn rằng các hành tinh chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo elip là bởi vì chúng chịu tác dụng từ lực hẫp dẫn của Mặt trời. Newton cũng từng nghiên cứu vấn đề quỹ đạo Mặt trăng và ông đã đưa vào đó một điểm mới mẻ. Thay vì quy nguyên nhân chuyển động của Mặt 22 trăng chỉ do lực hấp dẫn của Trái đất, ông đã tính đến cả ảnh hưởng từ lực hấp dẫn của Mặt trời. Trong mô hình của Newton, Trái đất, Mặt trăng và Mặt trời đều hút nhau bởi lực hấp dẫn, là lực chỉ phụ thuộc vào khối lượng và khoảng cách giữa chúng. Và Newton hy vọng rằng những sự bất thường phức tạp diễn ra theo chu kỳ của Mặt trăng có thể được giải thích là do ảnh hưởng gây nhiễu loạn của Mặt trời đối với quỹ đạo elip của Mặt trăng quanh Trái đất. Thoạt nhìn, ta có thể nghĩ rằng vấn đề quỹ đạo của một thiên thể chịu ảnh hưởng lực hấp dẫn của hai thiên thể khác hay còn gọi đó là bài toán ba vật không đặt ra những khó khăn gì to lớn cả. Hơn nữa, bài toán hai vật thể đã được phân tích bởi Johannes Kepler vào năm 1609 và Newton đã giải quyết trọn vẹn bài toán hai vật vào năm 1687. Quỹ đạo của một vật chịu tác dụng từ lực hấp dẫn của duy nhất một vật khác chỉ có thể là hình elip, parabol hoặc hyperbol. Vậy thì còn gì đơn giản hơn là chuyển từ hai sang ba vật, nhưng điều đó thực sự không chính xác bởi vì các quỹ đạo của ba vật không thể được mô tả bởi một công thức toán học đơn giản như trong trường hợp hai vật. Bài toán còn khó khăn hơn nữa khi chuyển sang bốn vật hoặc nhiều hơn. Và bài toán về hệ Trái đất – Mặt trăng – Mặt trời được coi là bài toán ba vật thể cổ điển đầu tiên được xét đến. Do không thể tìm được nghiệm chính xác của bài toán chuyển động của Mặt trăng, Newton đã phải dùng một phương pháp gần đúng mà các nhà toán học gọi là “phương pháp nhiễu loạn" để nhận được một nghiệm gần đúng. Ý tưởng của phương pháp này là trước hết hãy tính đến hiệu ứng chủ yếu, mà trong trường hợp ta đang xét là tác dụng của lực hấp dẫn của Trái đất lên Mặt trăng. Điều này không có gì khó bởi vì ta sẽ trở lại tình huống lý tưởng hóa và giản đơn hơn nhiều: bài toán hai vật mà Newton đã giải một cách trọn vẹn. Sau đó, tác động của vật thứ ba được coi như là một nhiễu loạn của tình huống lý tưởng hóa nói trên. Tuy nhiên, sự tính toán đối với nhiễu loạn này không phải chuyện dễ dàng. Ngay cả đối với thiên tài như Newton cũng chưa 23 thực hiện được đến cùng. Sau này chính Newton đã kể lại rằng: “Chưa bao giờ tôi phải đau đầu nhiều như khi nghiên cứu bài toán Mặt trăng”. Sau cả một năm trời tính toán căng thẳng, các vị trí của Mặt trăng mà ông đã tính toán dựa vào lý thuyết của mình vẫn còn sai khác với vị trí quan sát được trên bầu trời đến 1/6 độ. Sai số này là đáng kể bởi vì kích thước góc của trăng rằm cũng chỉ là 1/2 độ. Do Mặt trăng ở rất gần chúng ta, nên một sự sai khác như thế có thể dễ dàng đo được. Newton đã coi công trình nghiên cứu của ông về Mặt trăng là một thất bại lớn. Newton đã rút khỏi chức giáo sư trường Đại học Cambridge vào năm 1696 và dành phần lớn thời gian còn lại cuối đời để làm một chức vụ hành chính tại Kho bạc Hoàng gia. Mặt trăng chưa được tính toán chính bởi vì phương pháp nhiễu loạn mà Newton sử dụng còn chưa tương xứng với tình hình thực tế. Lực hấp dẫn do Mặt trời tác dụng lên Mặt trăng là một phần quan trọng của tổng hợp lực tác dụng lên nó, và không thể đơn giản xem như một nhiễu loạn được. Bài toán ba vật thể trở thành một vấn đề trọng tâm trong vật lý toán học, các nhà toán học lớn nhất của thế kỷ XVIII và XIX đều quan tâm nghiên cứu vấn đề này. Trong số đó có Leonhard Euler người Thụy Sĩ (1707-1783), Joseph Louis de Lagrange người Pháp (1736-1813) và Pierre Simonde Laplace (1749-1827) cũng là người Pháp. Euler đã dành cả đời mình cho việc nghiên cứu nhưng rồi cũng thú nhận thất bại. Ông viết: “Trong suốt bốn mươi năm trời, tôi đã thử xây dựng một lý thuyết về sự chuyển động của Mặt trăng, xuất phát từ nguyên lý vạn vật hấp dẫn, song tôi đã gặp không biết bao nhiêu là trở lực và cuối cùng tôi đành phải từ bỏ con đường của mình. Tôi không hiểu việc nghiên cứu Mặt trăng sẽ đi đến đâu và nó sẽ được sử dụng như thế nào vào các mục đích thực tế”. Laplace đã ít nhiều thành công trong việc làm giảm sự sai khác giữa vị trí theo tính toán và vị trí quan sát được xuống còn nhỏ hơn 1/20 độ, song ông vẫn chưa hoàn toàn chinh phục được Mặt trăng. 24 Để thoát khỏi tình hình này, cần phải có một cách tiếp cận hoàn toàn mới,cần phải có tư duy khác một cách căn bản. Người tìm ra cách tiếp cận mới này là nhà toán học trẻ tuổi người Pháp Henri Poincaré. Ông đã đưa ra một phương pháp hết sức độc đáo để giải các bài toán của cơ học thiên thể. Và trong khi làm công việc đó, ông đã hoàn toàn tình cờ chạm đến hiện tượng hỗn độn. Ông đã chứng minh được rằng trong trường hợp ba vật tương tác với nhau bởi lực hấp dẫn, các phương trình Newton chứa đựng không chỉ những yếu tố chính qui, tiên đoán được, mà còn chứa đựng cả những yếu tố không chính quy, không thể tiên đoán được. Mặt trăng không chịu thuần phục các tính toán, bởi vì trong hành trạng của nó có một phần của tính không thể tiên đoán được mà Newton và những người nối nghiệp ông tới lúc đó đã không ngờ tới. Nói tóm lại là ngay các phương trình Newton đã chứa đựng mầm mống của hỗn độn. Là một nhà nghiên cứu xuất sắc, một bộ óc hết sức độc đáo, ở tuổi 27 Jules Henri Poincaré đã là giáo sư toán học của Trường đại học Paris. Ông bắt đầu nghiên cứu bài toán ba vật nhân dịp có cuộc thi toán học giải bài toán ba vật thể dưới dạng tổng quát do Đại học Stockholm tổ chức để chào mừng kỷ niệm sinh nhật lần thứ 60 của Oscar đệ nhị (1829 -1907), vua của Thụy Điển và Na Uy. Nhà toán học Pháp Henri Poincaré đã mất tới 3 năm trời để giải bài toán, để rồi gửi tới hội đồng giám khảo một lời giải dài dòng và phức tạp đến nỗi hội đồng này không hiểu. Họ đề nghị ông giải thích, Poincaré liền gửi tới hội đồng một bản bình luận tiếp theo dài tới 100 trang để giải thích lời giải của ông. Sau khi hiểu được lời giải, hội đồng giám khảo quyết định trao tặng giải thưởng cho Poincaré. Đó là một sự kiện khoa học gây chấn động dư luận cuối thế kỷ 19. Nhưng dư luận còn bị chấn động hơn nữa khi lời giải được công bố chính thức trên tạp chí Acta Mathematica, bởi lẽ trong lời giải mới này, Poincaré đã chỉ ra sai lầm của chính ông trong lời giải đã đoạt giải thưởng trước đó: trong số các trường hợp hình học có thể xảy ra, ông đã bỏ 25 sót một trường hợp mà ông nghĩ rằng không quan trọng. Càng nghiên cứu kỹ ông càng nhận thấy trường hợp bị bỏ sót này hoá ra lại quan trọng và thú vị hơn rất nhiều so với ông tưởng, bởi nó dẫn tới một kiểu chuyển động vô cùng phức tạp và kỳ lạ: Một trong các vật thể có xu hướng chuyển động hầu như ngẫu nhiên. Đó là điều không thể tin được và cũng không thể hiểu được, vì hệ phương trình do ông thiết lập để giải bài toán là một hệ xác định, và do đó kết quả phải xác định, không thể là ngẫu nhiên. Nhưng trước một lời giải tự nó nói lên một sự thật khác thường, Poincaré nhận thấy một điều vô cùng quan trọng mà trước đó chưa ai nhận thấy: Nếu kết quả không phải là ngẫu nhiên thì ít nhất nó cũng không có một cấu trúc rõ ràng! Poincaré dừng lại bài toán ở chỗ đó, ông nhận thấy bài toán ba vật thể đã có sự hỗn độn trong đó, và nó là hệ rất nhạy cảm với điều kiện ban đầu. Hình 2.6. Hỗn độn trong một hệ ba vật. Hình 2.6 cho ta thấy độ phức tạp của quỹ đạo một hành tinh được đặt trong một hệ mặt trời bị khống chế không phải bởi chỉ một mặt trời như Hệ Mặt trời của chúng ta, mà bởi hai ngôi sao có khối lượng ngang nhau. Hành tinh khi đó sẽ đi theo một quỹ đạo cực kỳ phức tạp và không thể tiên đoán được, nghĩa là hỗn độn. 26 CHƢƠNG 3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN BA VẬT THỂ 3.1. Điểm Lagrange. Năm 1772, nhà toán học tên tuổi người Italy - Pháp là Joseph Louis Lagrange nghiên cứu về bài toán ba vật thể nổi tiếng, ông đã khám phá ra một sự ngẫu nhiên trong các kết quả. Ban đầu, ông đã tìm ra một cách để dễ dàng tính toán sự tác động lẫn nhau về sức hút trọng lực giữa một số lượng các vật thể tùy ý trong hệ, bởi vì cơ học Newton kết luận rằng một hệ như vậy sẽ khiến cho các vật thể quay một cách hỗn loạn cho tới khi xảy ra một sự va chạm, hay một vật thể sẽ bị văng ra khỏi hệ vì thế sự cân bằng sẽ diễn ra. Kết luận này đối với hệ một vật thể thì là chính xác, vì nó chỉ có liên quan tương đối so với chính nó; một hệ với hai vật thể cũng dễ dàng giải quyết được, vì các vật thể bay trên quỹ đạo của chúng quanh một tâm trọng lực. Tuy nhiên, một khi có nhiều hơn hai vật thể trong hệ, những tính toán toán học trở nên rất phức tạp. Một tình huống xảy ra khi ta không thể tính toán mọi sự tác động lẫn nhau giữa mọi vật thể nào ở mọi điểm dọc theo quỹ đạo của nó. Tuy nhiên, Lagrange muốn làm điều này trở nên đơn giản hơn. Ông đã làm việc đó với một kết luận đơn giản: “Quỹ đạo của một vật thể được quyết định bằng cách tìm ra một con đường làm giảm tối thiểu tác dụng theo thời gian”. Điều này được tìm ra khi ta trừ thế năng cho động năng. Theo cách suy nghĩ như vậy, Lagrange tái lập cơ học của Newton để tạo ra Cơ học Lagrange. Với hệ thống tính toán mới của mình, công trình của Lagrange đưa ông tới lý thuyết tại sao một vật thể thứ ba với một khối lượng không đáng kể sẽ bay quanh hai vật thể chính vốn đã quay quanh lẫn nhau, những điểm đặc biệt trên quỹ đạo của nó sẽ là đứng yên so với các vật thể chính. Các điểm đó được gọi là các điểm Lagrange. 27 Trong một trường hợp tổng quát hơn của các quỹ đạo hình elíp, không có các điểm đứng yên nếu xét theo cùng một nghĩa: nó trở thành một vùng Lagrange. Các điểm Lagrange tạo nên tại mỗi điểm trong thời gian cũng như trong trường hợp tròn đứng yên của các quỹ đạo elíp giống với quỹ đạo của các vật thể có khối lượng. Điều này tuân theo Định luật số hai của Newton. Khi p  mv (p là động lượng, m là khối lượng, và v là tốc độ) là bất biến nếu lực và vị trí tỉ lệ với nhau theo cùng nhân tố. Một vật thể ở điểm Lagrange quay với cùng khoảng thời gian so với hai vật thể có khối lượng lớn trong trường hợp tròn, có nghĩa rằng nó có cùng tỉ lệ về lực hấp dẫn so với khoảng cách. Sự thực này là độc lập với dáng tròn của các quỹ đạo, và nó cũng có nghĩa rằng các quỹ đạo elíp được tính ra từ các điểm Lagrange cũng là những đáp án của sự cân bằng chuyển động của vật thể thứ ba. Hình 3.1. Điểm Lagrange của hệ hai vật thể (ví dụ Mặt trời và Trái Đất) 3.1.1. Điểm L1 Điểm L1 nằm trên đường được xác định bởi hai vật có khối lượng lớn M1 và M2, và nằm ở giữa chúng. Ví dụ: Một vật thể quay quanh Mặt trời ở khoảng cách gần hơn so với Trái Đất sẽ có chu kỳ quỹ đạo ngắn hơn Trái Đất, và không bị ảnh hưởng bởi lực hấp dẫn của Trái Đất. Nếu vật thể nằm chính giữa Trái Đất và Mặt 28 trời, thì hiệu ứng do lực hấp dẫn của Trái Đất sẽ làm yếu lực hút vật thể đó bay quanh Mặt trời, và vì thế làm tăng chu kỳ quỹ đạo của nó. Vật thể càng ở gần Trái Đất, hiệu ứng này càng lớn. Tại điểm L1, chu kỳ quỹ đạo của vật thể trở thành tương đương với chu kỳ quỹ đạo của Trái Đất. 3.1.2. Điểm L2 Điểm L2 nằm trên đường thẳng được xác định bởi hai vật thể, gần phía vật thể nhỏ hơn. Ví dụ: Ở phía Trái Đất đối diện với Mặt trời, chu kỳ quỹ đạo của một vật thể sẽ dài hơn chu kỳ quỹ đạo của Trái Đất. Lực hấp dẫn bù thêm của Trái Đất sẽ làm giảm chu kỳ quỹ đạo của vật thể đó, và tại điểm L2 chu kỳ quỹ đạo của vật thể đó sẽ tương đương chu kỳ quỹ đạo của Trái Đất. Nếu M2 nhỏ hơn M1, thì L1 và L2 ở những khoảng cách r gần bằng nhau từ M2, tương đương bán kính của Hill sphere, được tính theo công thức (3.1): r  R3 M2 3M1 (3.1) với R là khoảng cách giữa hai vật thể. 3.1.3. Điểm L3 Điểm L3 nằm trên đường thẳng được xác định bởi hai vật thể lớn, gần hơn về phía vật thể lớn hơn của hệ. Ví dụ: Điểm L3 trong hệ Mặt trời – Trái Đất nằm ở phía đối diện của Mặt trời, hơi xa hơn so với khoảng cách của Trái Đất, nơi tổng hợp lực hút của cả Trái Đất và Mặt Trời khiến vật thể bay trên quỹ đạo có cùng chu kỳ quỹ đạo với Trái Đất. 3.1.4. Điểm L4 và L5 Các điểm L4 và L5 nằm tại điểm thứ ba của một tam giác đều với cạnh được xác định bởi hai vật thể, như các điểm phía trước, hay phía sau, vật thể 29 nhỏ hơn trên quỹ đạo của nó quanh vật thể lớn. Các điểm L4 và L5 còn được gọi là các điểm Lagrange tam giác hay các điểm Trojan. Ví dụ: Điểm L4 và L5 của Mặt trời – Trái Đất là các điểm nằm 60° phía trước và 60° phía sau Trái Đất trên quỹ đạo của nó quanh Mặt trời. Các điểm này có chứa bụi liên hành tinh. Các điểm L4 và L5 của Mặt trời – Sao Mộc là nơi có các tiểu hành tinh trojan. 3.2. Một số trƣờng hợp của bài toán ba vật thể. Sau bài toán hai vật thể, các hệ phức tạp hơn tiếp theo là bài toán gồm ba vật thể. Bài toán ba vật thể với ba vật thể có khối lượng khác nhau, vị trí ban đầu khác nhau, chúng sẽ di chuyển như thế nào dưới tác dụng của các lực vật lý, chẳng hạn như trọng lực, lực Coulomb,... Một ví dụ đơn giản nhất và điển hình nhất của bài toán ba vật thể là các chuyển động của Mặt trời, Trái đất và Mặt trăng trong hệ mặt trời. So với Hệ mặt trời khổng lồ thì kích thước của các thiên thể rất nhỏ bé nên ta có thể bỏ qua và có thể coi như một chất điểm. Nếu không tính đến ảnh hưởng của các thiên thể khác, các chuyển động của Mặt trời, Trái đất và Mặt trăng dưới tác dụng của lực vạn vật hấp dẫn là một bài toán ba vật thể. Nói chung, với ba chất điểm trong đó có ngẫu nhiên khối lượng, vị trí ban đầu và vận tốc, di chuyển dưới tác dụng của lực hấp dẫn, ta sẽ thu được mười tám phương trình vi phân thường cấp một. Khi chuyển động của mỗi thiên thể chịu tác dụng của lực hấp dẫn của hai thiên thể còn lại có thể được xác định bởi ba phương trình vi phân thường cấp 2 hay sáu phương trình vi phân thường cấp 1. Vì chúng ta không có phương pháp giải một cách chính xác bài toán ba vật thể nên cách duy nhất là giải những bài toán có kết quả xấp xỉ đối với một số trường hợp đặc biệt. Có rất nhiều cách để nghiên cứu bài toán ba vật thể, và nói chung là tất cả các cách đều có trong danh mục được liệt kê dưới đây: 30 1. Phương pháp phân tích: Triệt tiêu các vị trí và vận tốc của các thiên thể theo thời gian hoặc các tham số nhỏ khác, để có được các biểu thức gần đúng. Và sau đó biện luận các chuyển động của các thiên thể phụ thuộc vào thời gian. 2. Phương pháp định tính: Sử dụng các lý thuyết định tính của các phương trình vi phân để nghiên cứu các tính chất trong không gian rộng và trong thời gian dài. 3. Phương pháp số học: Tính toán phương trình vi phân trực tiếp để có được vị trí và vận tốc trong thời điểm nhất định. Tất cả ba phương pháp đều có những ưu và nhược điểm của nó một cách riêng biệt. Cải tiến phương pháp và khám phá các tích phân mới là những vấn đề quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán ba vật thể Bài toán giới hạn ba vật thể giả định rằng khối lượng của một trong các vật thể là không đáng kể, cũng như các lực tương tác giữa nó với hai vật thể khác, các quỹ đạo của nó là mặt cắt hình nón với khối tâm là một tiêu điểm của nó. Vì có bốn loại mặt cắt hình nón nên chúng ta có bốn loại bài toán ba vật thể giới hạn tương ứng: bài toán ba vật thể giới hạn quỹ đạo tròn (the circular restricted three-body problem), bài toán ba vật thể giới hạn quỹ đạo hình elip (the elliptical restricted three-body problem), bài toán ba vật thể giới hạn quỹ đạo hình parabol (the parabolic restricted three-body problem), và bài toán ba vật thể giới hạn quỹ đạo hình hyperbolic (the hyperbolic restricted three-body problem). Từ giới hạn (restricted) ở đây có nghĩa là khối lượng của vật thể nhẹ nhất là rất nhỏ đến nỗi nó không ảnh hưởng đáng kể đến chuyển động của hai vật thể còn lại. Bài toán ba vật thể giới hạn quỹ đạo hình tròn là trường hợp đặc biệt, trong đó hai vật thể trong những quỹ đạo tròn xung quanh khối tâm chung của chúng và khối lượng vật thể thứ ba là rất nhỏ và di chuyển trong cùng một mặt phẳng (gần giống hệ Mặt trời – Trái đất – Mặt trăng và rất nhiều hệ 31 khác). Các nhiễu loạn do vật thể thứ ba có thể được bỏ qua và vị trí của hai vật thể nặng hơn còn lại có thể được tính toán phân tích trong các trường hợp, vấn đề ở đây là phải tìm quỹ đạo của vật thể có khối lượng nhẹ nhất. Giả thiết về khối lượng của vật thể nhẹ có một vấn đề nhỏ, nếu hai vật thể lớn hơn tác dụng lực lên vật thể nhẹ, nó phải ảnh hưởng đến chuyển động của chúng theo định luật ba Newton. Muốn có độ chính xác cao thì cần vật thể thứ ba có khối lượng rất nhỏ, có thể coi như không có khối lượng, loại bỏ định luật ba Newton khi đó tổng năng lượng sẽ không được bảo toàn. Tuy nhiên định luật bảo toàn khối lượng có thể được thay thế bằng một định luật khác tương tự. Các bài toán giới hạn (cả hai hình tròn và ellipse) được rất nhiều nhà toán học nổi tiếng và các nhà vật lý nghiên cứu. Trong bài toán ba vật thể giới hạn hình tròn, đối với một hệ quy chiếu quay, ta có hai vật khối lượng lớn, và một vật khối lượng nhỏ hơn hẳn hai vật đó, trong không gian sẽ tồn tại năm điểm mà ở đó vật khối lượng nhỏ sẽ luôn duy trì vị trí tương đối so với hai vật khối lượng lớn. Các điểm cân bằng đó được gọi là các điểm Lagrange. Để nghiên cứu bài toán ba vật thể giới hạn, chúng ta xây dựng trên các hệ tọa độ: Hình 3.2. Bài toán ba vật trên hệ tọa độ quán tính và hệ tọa độ quay. 32 Trên mặt phẳng, bài toán ba vật thể giới hạn tròn trên hệ tọa độ quán tính (x,y) và trên hệ tọa độ quay (x’, y’). Trên hệ tọa độ quay thì vị trí hai vật thể lớn là cố định. (Hình 3.2) Bài toán ba vật thể được viết dưới dạng các phương trình vi phân bậc 2: d 2 r1 dt 2 d 2 r2 dt 2 d 2 r3 dt 2  Gm2  Gm3  Gm1 r1  r2 3 r1  r2 r2  r3 r2  r3 3 r3  r1 r3  r1 3  Gm3  Gm1  Gm2 r1  r3 r1  r3 3 , r2  r1 r2  r1 r3  r2 r3  r2 , 3 3 (3.2) . Đặt m3  0 (vật có khối lượng nhỏ không đáng kể so với hai vật kia) thay vào (3.2) ta được: r1  r2   Gm , 2 3 dt 2 r1  r2 d 2 r1 r2  r1   Gm , 1 3 dt 2 r2  r1 d 2 r2 r3  r1   Gm  Gm2 1 2 3 dt r3  r1 d 2 r3 (3.3) r3  r2 r3  r2 3 . Sử dụng phương pháp đặc biệt của phương trình hai vật thể Kepler với quỹ đạo tròn trong hệ quy chiếu khối tâm của chúng. Để rút gọn các phương trình hơn nữa, đặt độ dài theo bán kính của quỹ đạo tròn, và thời gian được tính bằng nghịch đảo tốc độ góc của chuyển động tròn. Và viết tất cả các hằng số chứa trong các phương trình về một tham số duy nhất. 33 Đặt r1  r2  1,  G  m1  m2  2   1, 3 T r1  r2 (3.4) G  m1  m2   1. và  m2 , m1  m2 Gm2  Gm2  , G  m1  m2  (3.5) Gm1  1   . Như chúng ta đã xét bài toán ba vật thể giới hạn quỹ đạo tròn, có các quỹ đạo là hình tròn và có bán kính là hằng số. Nếu vị trí và vận tốc ban đầu của vật thể nhẹ nhất nằm trên mặt phẳng quỹ đạo của hai vật lớn hơn thì vật thể nhẹ nhất sẽ di chuyển mãi mãi trên mặt phẳng đó. Vì vậy chúng ta giả sử vật có khối lượng nhỏ nhất di chuyển trên mặt phẳng quỹ đạo của hai vật thể còn lại, như vậy bài toán sẽ đơn giản hóa hơn nữa. Trong hệ quy chiếu quán tính, hai vật thể nặng xoay quanh như hai quả tạ. Nhưng trong hệ quy chiếu quay, chúng được cố định, định luật 2 Newton không đúng nữa. Hệ quy chiếu quay là hệ quy chiếu phi quán tính, và các vật thể lớn không chuyển động ở trong hệ quy chiếu này, mặc dù chúng chịu tác dụng củalực hấp dẫn. Giả sử ở hệ quy chiếu quán tính và hệ quy chiếu quay đều có thời điểm giống nhau t  0 , thì ta có tọa độ của vật thể có khối lượng nhẹ nhất ở trong hệ tọa độ có biểu thức như sau: x  t   x  t  cos t  y  t  sin t y  t   x  t  sin t  y  t  cos t. 34 (3.6) Lấy đạo hàm bậc hai của phương trình trên, ta được:  x   x cos t  2 x  sin t  x cos t   y sin t  2 y  cos t  y sin t ,  y   x sin t  2 x  cos t  x sin t   y cos t  2 y  sin t  y cos t. (3.7) Trong hệ tọa độ quay, ta có được:  x cos t   y sin t   x  x  2 y ,   x sin t   y cos t   y  y  2 x . (3.8) Các chuyển động của vật thể có khối lượng nhẹ nhất trong hệ tọa độ quay có thể thu được bằng cách thay các giá trị của gia tốc trọng trường trong hệ quy chiếu quán tính. Ta có được:  x    y  1    x      x    2  y 2 1    y   x    2 y 2   32 32     x  1      x  1    2  y 2  y   x  1    2 y 2  32  32  x  2 y  (3.9)  y  2 x  Hai số hạng đầu tiên bên của vế phải là gia tốc trọng trường gây ra bởi hai vật thể có khối lượng lớn. Số hạng thứ ba là gia tốc hướng tâm, nó tỉ lệ thuận với khoảng cách giữa vật thể có khối lượng nhỏ với điểm ban đầu, số hạng thứ tư là gia tốc Coriolis. Chúng ta biết rằng đối với bài toán ba vật thể giới hạn tròn có năm điểm Lagrange. Trong hệ quy chiếu quay, ông tìm ra 5 điểm đặc biệt mà ở đó không có lực tổng hợp tác dụng lên vật thể nhẹ nhất. Khi Lagrange nghiên cứu hệ Mặt trời – Trái đất – Mặt trăng, ông đã sử dụng các hệ quy chiếu quay (hay khung quay) và một thế năng hiệu dụng trong khung này có chứa tác dụng của lực hướng tâm để tìm được năm điểm Lagrange. x 2  y 2 (3.10) V  x, y       2 2 2 2 2  x     y   x  1     y  1  35 Giải các phương trình chuyển động bằng phương pháp số, chúng ta sẽ thu được rất nhiều quỹ đạo ở gần vị trí các điểm Lagrange, và các quỹ đạo di chuyển giữa hai điểm, hoặc đi tới vô cùng. Khi vật thể nhỏ nhất bị giới hạn trong mặt phẳng quỹ đạo hai chiều của hai vật nặng thì bài toán trở thành giống như bài toán Kepler trong hệ quy chiếu khối tâm. Có hai đại lượng được bảo toàn trong bài toán của Kepler. Thứ nhất là năng lượng, một đại lượng khác là xung lượng góc. Đối với bài toán ba vật thể giới hạn hình tròn hai chiều, năng lượng của vật thể nhẹ không được bảo toàn vì vận tốc phụ thuộc vào gia tốc Coriolis. Ngoài ra xung lượng góc của vật thể nhẹ nhất cũng không được bảo toàn. Tuy nhiên có 1 số đại lượng được bảo toàn được gọi là tích phân Jacobi. C  x 2  y 2  2 1     x     2  y 2  2  x  1    2  y 2  x 2  y 2 (3.11) Vì không có các đại lượng không phụ thuộc bảo toàn khác ngoài tích phân Jacobi nên bài toán không khả tích. Các quỹ đạo phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu khá nhiều. Để tìm điều kiện cho tích phân Jacobi, thực tế chúng ta sử dụng động năng là luôn dương. Với hằng số bảo toàn C bất kì, theo các điều kiện ban đầu vật thể nhẹ nhất phải thỏa điều kiện (3.12) x 2  y 2  2 1     x     2  y 2  2  x  1    2  y 2  C  x 2  y 2 (3.12) Vấn đề còn lại là việc tính các phương trình vi phân thường. Phương pháp euler là một phương pháp số học hàng đầu để giải các phương trình vi phân thường với một giá trị ban đầu. Phương pháp này khá nhẹ nhàng trong toán học và khoa học máy tính. Đây là một loại cơ bản nhất của phương pháp Runge-Kutta. Một ví dụ đơn giản của một phương trình vi phân thường cấp 1 là phương trình phân ra theo hàm số mũ: 36 dx   x t  , dt x  t   x  0  e t . (3.13) Áp dụng phương pháp Euler để giải phương trình phân rã gần đúng, sử dụng hai số hạng đầu tiên trong chuỗi khai triển Taylor để giải ở hai thời có giá trị khác nhau: x  t2   x  t1   t   x  t1   dx  t  x  t1   x  t1   t (3.14) dt t t1 3.3. Mô phỏng bài toán ba vật thể trên máy tính. Sau đây chúng ta nghiên cứu bài toán ba vật thể: Hệ giả Mặt Trời – Trái đất – Mặt trăng. Ta có phương trình chuyển động là: x  t   2 y   t   x  t   y  t   y  t   2 x  t   1  2  x  t     2  x  t  2  y  t    32 2 1 y  t   2  x  t    y  t  2   32 2 2  x  t   1   x t   1 2  y t 2    32 2 y  t   x  t   1   y  t  2 2  32 (3.15) Ở đây µi là khối lượng rút gọn (Reduced Mass), x và y là các tọa độ trong hệ tọa độ quay. Vật thể có khối lượng nhỏ chịu tác dụng của cả hai lực ly tâm và lực Coriolis. Chương trình sau đây trên mathematica có thể mô tả bài toán ba vật thể trên một mặt phẳng, giống như hệ Mặt trời – Trái đất – Mặt trăng, hoặc cũng giống như Mặt trời – Mộc tinh - các tiểu hành tinh. Ở hệ này coi một vật có khối lượng tương đối nhỏ so với hai vật thể còn lại, chương trình cũng có thể áp dụng cho một hệ mà trong đó hai vật thể có khối lượng tương đối nhỏ với vật thứ ba. Tóm lại một hệ như vậy sẽ xuất hiện sự hỗn loạn. Thay đổi các điều kiện ban đầu ở bên trái ta thu được quỹ đạo chuyển động. Các hình từ 37 (Hình 3.3 đến Hình 3.12) biểu diễn quỹ đạo của vật thể có khối lượng nhỏ so với hai vật thể còn lại, cụ thể ở đây là Mặt trăng. Hai điểm đỏ cố định tượng trưng cho Mặt Trời và Trái đất, cụ thể điểm đỏ bên trái tượng trưng cho Trái đất và điểm đỏ phía bên phải tượng trưng cho Mặt trời. Với điều kiện ban đầu t  26.8,   0.006, x0  0.28, y0  0.23, vx  0.57, vx  1.5 ta thu được quỹ đạo như Hình 3.3, một quỹ đạo khá ổn định, các quỹ đạo của nó khá gần nhau và giống nhau, nếu ta tăng thời gian t lên ta vẫn thu được quỹ đạo có hình dạng như vậy. Hình 3.3. Khi t  26.8,   0.006, x0  0.28, y0  0.23, vx  0.57, vx  1.5 Thay đổi t  100, vx 0.55 ta thu được tương tự quỹ đạo giống như ở (Hình 3.3) song chúng lại không gần nhau mà lại cách xa nhau, sắp xếp chéo lên nhau (Hình 3.4). 38 Hình 3.4. Khi t  100,   0.006, x0  0.28, y0  0.23, vx  0.55, vx  1.5 Tiếp tục ta thay đổi các thông số ban đầu có giá trị : t  100,   0.994, x0  0.5, y0  0.33, vx  0.5, v x  0.27 ta sẽ thu được quỹ đạo như hình (Hình 3.5) Hình 3.5. Khi t  100,   0.994, x0  0.5, y0  0.33, vx  0.5, v x  0.27 Thay đổi giá trị của các tham số: 39 t  100,   0.006, x0  0.36, y0  0.6, vx  0.07, vx  0.21 ta có được quỹ đạo như hình (Hình 3.6) Hình 3.6. Khi t  100,   0.006, x0  0.36, y0  0.6, vx  0.07, vx  0.21 Thay đổi y0  0.6, vx  0.17 ta được quỹ đạo như hình (Hình 3.7) Hình 3.7. Khi t  100,   0.006, x0  0.36, y0  0.6, vx  0.17, vx  0.21 Thay các giá trị 40 t  100,   0.35, x0  0.88, y0  0.3, vx  0.69, vx  0.26 ta được như hình (Hình 3.8) Mặt trăng trong hệ này sẽ không còn quay quanh Trái đất nữa. Hình 3.8. Khi t  100,   0.35, x0  0.88, y0  0.3, vx  0.69, vx  0.26 Thay t  100,   0.006, x0  0.78, y0  0.37, vx  0.59, vx  0.17 ta thu được hình (Hình 3.9) Hình 3.9. Khi t  100,   0.006, x0  0.78, y0  0.37, vx  0.59, vx  0.17 41 Tiếp tục thay đổi các giá trị lần lượt là: t  100,   0.018, x0  0.73, y0  0.01, vx  0.08, vx  0.02 ta có hình (Hình 3.10) Hình 3.10. Khi t  100,   0.018, x0  0.73, y0  0.01, vx  0.08, vx  0.02 Khi thay   0.6, x0  0.31, y0  0.23 ta có quỹ đạo như hình (Hình 3.11) ở đây ta thấy sự hỗn độn rõ rệt. Hình 3.11. Khi t  100,   0.6, x0  0.31, y0  0.23, vx  0.08, vx  0.02 42 Thay t  100,   0.028, x0  1.16, y0  0.16, vx  0.02, vx  0.36 ta thu được quỹ đạo như (Hình 3.12) ở đây ta thấy được sự hỗn độn trong chuyển động của Mặt trăng, chúng ta không thể đoán được chuyển động của nó. Hình 3.12. Khi t  100,   0.028, x0  1.16, y0  0.16, vx  0.02, vx  0.36 Như vậy qua đây ta thấy rằng đối với một hệ gồm ba vật thể, một vật thể có khối lượng rất nhỏ so với hai vật thể còn lại, có sự nhạy cảm vào điều kiện ban đầu thì trong hệ luôn xuất hiện sự hỗn độn. Cụ thể như trên khi ta thay đổi lần lượt các tham số trong phương trình chuyển động của nó ta sẽ thu được các hình dạng quỹ đạo rất khác nhau. 43 KẾT LUẬN Với đề tài “Một số vấn đề về bài toán ba vật thể và tính hỗn độn” tôi đã hoàn thành cơ bản các nhiệm vụ nghiên cứu đề ra như sau: 1, Tìm hiểu và trình bày tóm tắt lại nội dung sơ bộ về hỗn độn và một số biểu hiện của nó. 2, Trình bày một số lý thuyết, khái niệm và một số vấn đề về bài toán ba vật thể. 3, Mô tả tính hỗn độn của bài toán ba vật thể bằng phần mềm trên máy tính. Đây có thể coi là một kênh thông tin thêm cho những ai muốn tìm hiểu về khoa học hỗn độn, hoặc còn có thể là tài liệu cho những người phổ biến khoa học. Không những vậy nó còn giúp cho mở rộng tư duy, thay đổi cách suy nghĩ mới, vì Tự nhiên không phải là tất định mà nó luôn chứa cái hỗn độn và bất định. Trong quá trình hoàn thành khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong quý thầy cô và quý bạn đọc đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành bài khóa luận của mình được hoàn thiện hơn. 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trịnh Xuân Thuận (2013), Hỗn độn và hài hòa, Nhà xuất bản Trẻ. [2] Aarseth, S. J (2003), Gravitational n-Body Simulations, New York: Cambridge University Press. [3] Airy, G.B (1884), Gravitation: An Elementary Explanation of the Principal Perturbations in the Solar System, McMillan, London. [4] Albouy, A (2002), Lectures on the Two-Body Problem, in Classical and Celestial Mechanics (the Recife lectures), H. Cabral and C. Diacu ed., Princeton University Press . [5] Bagla, J. S (2005), Cosmological N-body simulation: Techniques, scope and status, Current Science 88: 1088–1100. [6] David Hestens (1999), New Foundations for Classical Mechanics, New York: Kluwer Academic Publishers. [7] Goldstein Poole & Safko. (2002), Classical Mechanics, San Francisco: AddisonWesley Pub. Co. [8] M.C. Gutzwiller (1998), Moon–Earth–Sun: the oldest three-body problem, Rev. Modern Phys. [9] Newton, I. (1687), Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, London: Royal Society(reprinted in The Mathematical Principles of Natural Philosophy, New York:Philosophical Library, 1964). [10] Nilsson, K., Valtonen, M. J., Jones, L. R., Saslaw, W. C. and Lehto, H. J. (1997), Optical emission in the radio lobes of Cygnus A, Astronomy and Astrophysics 324. [11] Roy, A. E. (2005), Orbital Motion, Bristol: Inst. Physics Publ., 4th edition. 45 [12] Sidlichovsky, M. (1983), On the double averaged three-body problem, Celestial Mechanics 29. [13] Standish, E. M. (1972), The dynamical evolution of triple star systems: a numerical study, Astronomy and Astrophysics 21. [14] Sundman, K. F. (1912), Memoire sur le probleme des trois corps, Acta Mathematica 36. [15] Valtonen, M. J. and Mikkola, S. (1991), The few-body problem in astrophysics, Annual Review of Astronomy and Astrophysics 29. 46 [...]... không thể tiên đoán được, nghĩa là hỗn độn 26 CHƢƠNG 3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN BA VẬT THỂ 3.1 Điểm Lagrange Năm 1772, nhà toán học tên tuổi người Italy - Pháp là Joseph Louis Lagrange nghiên cứu về bài toán ba vật thể nổi tiếng, ông đã khám phá ra một sự ngẫu nhiên trong các kết quả Ban đầu, ông đã tìm ra một cách để dễ dàng tính toán sự tác động lẫn nhau về sức hút trọng lực giữa một số lượng các vật. .. điểm L4 và L5 của Mặt trời – Sao Mộc là nơi có các tiểu hành tinh trojan 3.2 Một số trƣờng hợp của bài toán ba vật thể Sau bài toán hai vật thể, các hệ phức tạp hơn tiếp theo là bài toán gồm ba vật thể Bài toán ba vật thể với ba vật thể có khối lượng khác nhau, vị trí ban đầu khác nhau, chúng sẽ di chuyển như thế nào dưới tác dụng của các lực vật lý, chẳng hạn như trọng lực, lực Coulomb, Một ví dụ... hình nón nên chúng ta có bốn loại bài toán ba vật thể giới hạn tương ứng: bài toán ba vật thể giới hạn quỹ đạo tròn (the circular restricted three-body problem), bài toán ba vật thể giới hạn quỹ đạo hình elip (the elliptical restricted three-body problem), bài toán ba vật thể giới hạn quỹ đạo hình parabol (the parabolic restricted three-body problem), và bài toán ba vật thể giới hạn quỹ đạo hình hyperbolic... Các nhiễu loạn do vật thể thứ ba có thể được bỏ qua và vị trí của hai vật thể nặng hơn còn lại có thể được tính toán phân tích trong các trường hợp, vấn đề ở đây là phải tìm quỹ đạo của vật thể có khối lượng nhẹ nhất Giả thiết về khối lượng của vật thể nhẹ có một vấn đề nhỏ, nếu hai vật thể lớn hơn tác dụng lực lên vật thể nhẹ, nó phải ảnh hưởng đến chuyển động của chúng theo định luật ba Newton Muốn... ba vật, nhưng điều đó thực sự không chính xác bởi vì các quỹ đạo của ba vật không thể được mô tả bởi một công thức toán học đơn giản như trong trường hợp hai vật Bài toán còn khó khăn hơn nữa khi chuyển sang bốn vật hoặc nhiều hơn Và bài toán về hệ Trái đất – Mặt trăng – Mặt trời được coi là bài toán ba vật thể cổ điển đầu tiên được xét đến Do không thể tìm được nghiệm chính xác của bài toán chuyển động... nhất và điển hình nhất của bài toán ba vật thể là các chuyển động của Mặt trời, Trái đất và Mặt trăng trong hệ mặt trời So với Hệ mặt trời khổng lồ thì kích thước của các thiên thể rất nhỏ bé nên ta có thể bỏ qua và có thể coi như một chất điểm Nếu không tính đến ảnh hưởng của các thiên thể khác, các chuyển động của Mặt trời, Trái đất và Mặt trăng dưới tác dụng của lực vạn vật hấp dẫn là một bài toán ba. .. thể khác hay còn gọi đó là bài toán ba vật không đặt ra những khó khăn gì to lớn cả Hơn nữa, bài toán hai vật thể đã được phân tích bởi Johannes Kepler vào năm 1609 và Newton đã giải quyết trọn vẹn bài toán hai vật vào năm 1687 Quỹ đạo của một vật chịu tác dụng từ lực hấp dẫn của duy nhất một vật khác chỉ có thể là hình elip, parabol hoặc hyperbol Vậy thì còn gì đơn giản hơn là chuyển từ hai sang ba. .. phương pháp giải một cách chính xác bài toán ba vật thể nên cách duy nhất là giải những bài toán có kết quả xấp xỉ đối với một số trường hợp đặc biệt Có rất nhiều cách để nghiên cứu bài toán ba vật thể, và nói chung là tất cả các cách đều có trong danh mục được liệt kê dưới đây: 30 1 Phương pháp phân tích: Triệt tiêu các vị trí và vận tốc của các thiên thể theo thời gian hoặc các tham số nhỏ khác, để... những ưu và nhược điểm của nó một cách riêng biệt Cải tiến phương pháp và khám phá các tích phân mới là những vấn đề quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán ba vật thể Bài toán giới hạn ba vật thể giả định rằng khối lượng của một trong các vật thể là không đáng kể, cũng như các lực tương tác giữa nó với hai vật thể khác, các quỹ đạo của nó là mặt cắt hình nón với khối tâm là một tiêu điểm của nó Vì có... thấy bài toán ba vật thể đã có sự hỗn độn trong đó, và nó là hệ rất nhạy cảm với điều kiện ban đầu Hình 2.6 Hỗn độn trong một hệ ba vật Hình 2.6 cho ta thấy độ phức tạp của quỹ đạo một hành tinh được đặt trong một hệ mặt trời bị khống chế không phải bởi chỉ một mặt trời như Hệ Mặt trời của chúng ta, mà bởi hai ngôi sao có khối lượng ngang nhau Hành tinh khi đó sẽ đi theo một quỹ đạo cực kỳ phức tạp và ... tâm đến toán ba vật thể tính hỗn độn nên chọn đề tài: Một số vấn đề toán ba vật thể tính hỗn độn làm để tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu toán ba vật thể tính hỗn độn Nhiệm... quanh nội dung toán ba vật thể, lý thuyết hỗn độn - Sử dụng máy tính mô tính hỗn độn toán ba vật thể Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Một số nội dung toán ba vật thể, lý thuyết hỗn độn - Trong thời... hành tinh trojan 3.2 Một số trƣờng hợp toán ba vật thể Sau toán hai vật thể, hệ phức tạp toán gồm ba vật thể Bài toán ba vật thể với ba vật thể có khối lượng khác nhau, vị trí ban đầu khác nhau,