Ở thế kỷ XVI, các tính toán về vị trí của Mặt trăng và những thiên thực đã trở thành một ngành công nghiệp thực sự. Để đáp ứng nhu cầu của các nhà hàng hải muốn biết thật chính xác vị trí các con tàu và nhu cầu lập lịch cho các ngày lễ hội, các nhà toán học - chiêm tinh đã tính toán không mệt mỏi các bảng vị trí của Mặt trăng. Do mô hình của Ptolemy không đúng vì Trái đất không phải là trung tâm của vũ trụ, nên theo thời gian, các sai số cứ tích tụ lại. Mặt trăng càng ngày càng chệch khỏi các vị trí theo tính toán, và người ta định kỳ phải tính toán lại từ đầu để lập ra các bảng mới. Vũ trụ địa tâm đã kết thúc sự thống trị của nó vào năm 1543, khi Nicolas Copernicus (1473-1543) đã đưa Trái đất ra khỏi vị trí trung tâm và đặt Mặt trời vào đó. Sử dụng những số liệu quan sát về vị trí các hành tinh do nhà thiên văn Đan Mạch Tycho Brahe (1546 -1601) đo được với một độ chính xác cao, nhà bác học người Đức là Johannes Kepler (1571-1630) đã phá vỡ bí mật về chuyển động của các hành tinh vào năm 1609: các hành tinh chuyển động theo các quỹ đạo hình elip chứ không phải hình tròn như Aristoteles đã từng đưa ra. Mặt trời nằm ở một trong hai tiêu điểm của các elip đó, các hành tinh đều tăng tốc khi đến gần và giảm tốc khi đi ra xa Mặt trời. Kepler cũng lao vào giải quyết bài toán chuyển động của Mặt trăng. Các tính toán của ông chính xác hơn rất nhiều và các bảng biểu do ông lập ra còn được sử dụng trong nhiều thập kỷ sau khi được công bố vào năm 1627. Mặc dù Kepler đã phân tích rất tỉ mỉ chuyển động của các hành tinh, nhưng nguyên nhân của các chuyển động ấy vẫn chưa được làm sáng tỏ. Câu trả lời đã được Isaac Newton (1642-1727) đưa ra vào năm 1666 đó chính là định luật vạn vật hấp dẫn rằng các hành tinh chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo elip là bởi vì chúng chịu tác dụng từ lực hẫp dẫn của Mặt trời.
Newton cũng từng nghiên cứu vấn đề quỹ đạo Mặt trăng và ông đã đưa vào đó một điểm mới mẻ. Thay vì quy nguyên nhân chuyển động của Mặt
23
trăng chỉ do lực hấp dẫn của Trái đất, ông đã tính đến cả ảnh hưởng từ lực hấp dẫn của Mặt trời. Trong mô hình của Newton, Trái đất, Mặt trăng và Mặt trời đều hút nhau bởi lực hấp dẫn, là lực chỉ phụ thuộc vào khối lượng và khoảng cách giữa chúng. Và Newton hy vọng rằng những sự bất thường phức tạp diễn ra theo chu kỳ của Mặt trăng có thể được giải thích là do ảnh hưởng gây nhiễu loạn của Mặt trời đối với quỹ đạo elip của Mặt trăng quanh Trái đất.
Thoạt nhìn, ta có thể nghĩ rằng vấn đề quỹ đạo của một thiên thể chịu ảnh hưởng lực hấp dẫn của hai thiên thể khác hay còn gọi đó là bài toán ba vật không đặt ra những khó khăn gì to lớn cả. Hơn nữa, bài toán hai vật thể đã được phân tích bởi Johannes Kepler vào năm 1609 và Newton đã giải quyết trọn vẹn bài toán hai vật vào năm 1687. Quỹ đạo của một vật chịu tác dụng từ lực hấp dẫn của duy nhất một vật khác chỉ có thể là hình elip, parabol hoặc hyperbol. Vậy thì còn gì đơn giản hơn là chuyển từ hai sang ba vật, nhưng điều đó thực sự không chính xác bởi vì các quỹ đạo của ba vật không thể được mô tả bởi một công thức toán học đơn giản như trong trường hợp hai vật. Bài toán còn khó khăn hơn nữa khi chuyển sang bốn vật hoặc nhiều hơn. Và bài toán về hệ Trái đất – Mặt trăng – Mặt trời được coi là bài toán ba vật thể cổ điển đầu tiên được xét đến.
Do không thể tìm được nghiệm chính xác của bài toán chuyển động của Mặt trăng, Newton đã phải dùng một phương pháp gần đúng mà các nhà toán học gọi là “phương pháp nhiễu loạn" để nhận được một nghiệm gần đúng. Ý tưởng của phương pháp này là trước hết hãy tính đến hiệu ứng chủ yếu, mà trong trường hợp ta đang xét là tác dụng của lực hấp dẫn của Trái đất lên Mặt trăng. Điều này không có gì khó bởi vì ta sẽ trở lại tình huống lý tưởng hóa và giản đơn hơn nhiều: bài toán hai vật mà Newton đã giải một cách trọn vẹn. Sau đó, tác động của vật thứ ba được coi như là một nhiễu loạn của tình huống lý tưởng hóa nói trên. Tuy nhiên, sự tính toán đối với nhiễu loạn này không phải chuyện dễ dàng. Ngay cả đối với thiên tài như Newton cũng chưa
24
thực hiện được đến cùng. Sau này chính Newton đã kể lại rằng: “Chưa bao giờ tôi phải đau đầu nhiều như khi nghiên cứu bài toán Mặt trăng”. Sau cả một năm trời tính toán căng thẳng, các vị trí của Mặt trăng mà ông đã tính toán dựa vào lý thuyết của mình vẫn còn sai khác với vị trí quan sát được trên bầu trời đến 1/6 độ. Sai số này là đáng kể bởi vì kích thước góc của trăng rằm cũng chỉ là 1/2 độ. Do Mặt trăng ở rất gần chúng ta, nên một sự sai khác như thế có thể dễ dàng đo được. Newton đã coi công trình nghiên cứu của ông về Mặt trăng là một thất bại lớn. Newton đã rút khỏi chức giáo sư trường Đại học Cambridge vào năm 1696 và dành phần lớn thời gian còn lại cuối đời để làm một chức vụ hành chính tại Kho bạc Hoàng gia.
Mặt trăng chưa được tính toán chính bởi vì phương pháp nhiễu loạn mà Newton sử dụng còn chưa tương xứng với tình hình thực tế. Lực hấp dẫn do Mặt trời tác dụng lên Mặt trăng là một phần quan trọng của tổng hợp lực tác dụng lên nó, và không thể đơn giản xem như một nhiễu loạn được. Bài toán ba vật thể trở thành một vấn đề trọng tâm trong vật lý toán học, các nhà toán học lớn nhất của thế kỷ XVIII và XIX đều quan tâm nghiên cứu vấn đề này. Trong số đó có Leonhard Euler người Thụy Sĩ (1707-1783), Joseph Louis de Lagrange người Pháp (1736-1813) và Pierre Simonde Laplace (1749-1827) cũng là người Pháp. Euler đã dành cả đời mình cho việc nghiên cứu nhưng rồi cũng thú nhận thất bại. Ông viết: “Trong suốt bốn mươi năm trời, tôi đã thử xây dựng một lý thuyết về sự chuyển động của Mặt trăng, xuất phát từ nguyên lý vạn vật hấp dẫn, song tôi đã gặp không biết bao nhiêu là trở lực và cuối cùng tôi đành phải từ bỏ con đường của mình. Tôi không hiểu việc nghiên cứu Mặt trăng sẽ đi đến đâu và nó sẽ được sử dụng như thế nào vào các mục đích thực tế”. Laplace đã ít nhiều thành công trong việc làm giảm sự sai khác giữa vị trí theo tính toán và vị trí quan sát được xuống còn nhỏ hơn 1/20 độ, song ông vẫn chưa hoàn toàn chinh phục được Mặt trăng.
25
Để thoát khỏi tình hình này, cần phải có một cách tiếp cận hoàn toàn mới,cần phải có tư duy khác một cách căn bản. Người tìm ra cách tiếp cận mới này là nhà toán học trẻ tuổi người Pháp Henri Poincaré. Ông đã đưa ra một phương pháp hết sức độc đáo để giải các bài toán của cơ học thiên thể. Và trong khi làm công việc đó, ông đã hoàn toàn tình cờ chạm đến hiện tượng hỗn độn. Ông đã chứng minh được rằng trong trường hợp ba vật tương tác với nhau bởi lực hấp dẫn, các phương trình Newton chứa đựng không chỉ những yếu tố chính qui, tiên đoán được, mà còn chứa đựng cả những yếu tố không chính quy, không thể tiên đoán được. Mặt trăng không chịu thuần phục các tính toán, bởi vì trong hành trạng của nó có một phần của tính không thể tiên đoán được mà Newton và những người nối nghiệp ông tới lúc đó đã không ngờ tới. Nói tóm lại là ngay các phương trình Newton đã chứa đựng mầm mống của hỗn độn.
Là một nhà nghiên cứu xuất sắc, một bộ óc hết sức độc đáo, ở tuổi 27 Jules Henri Poincaré đã là giáo sư toán học của Trường đại học Paris. Ông bắt đầu nghiên cứu bài toán ba vật nhân dịp có cuộc thi toán học giải bài toán ba vật thể dưới dạng tổng quát do Đại học Stockholm tổ chức để chào mừng kỷ niệm sinh nhật lần thứ 60 của Oscar đệ nhị (1829 -1907), vua của Thụy Điển và Na Uy. Nhà toán học Pháp Henri Poincaré đã mất tới 3 năm trời để giải bài toán, để rồi gửi tới hội đồng giám khảo một lời giải dài dòng và phức tạp đến nỗi hội đồng này không hiểu. Họ đề nghị ông giải thích, Poincaré liền gửi tới hội đồng một bản bình luận tiếp theo dài tới 100 trang để giải thích lời giải của ông. Sau khi hiểu được lời giải, hội đồng giám khảo quyết định trao tặng giải thưởng cho Poincaré. Đó là một sự kiện khoa học gây chấn động dư luận cuối thế kỷ 19. Nhưng dư luận còn bị chấn động hơn nữa khi lời giải được công bố chính thức trên tạp chí Acta Mathematica, bởi lẽ trong lời giải mới này, Poincaré đã chỉ ra sai lầm của chính ông trong lời giải đã đoạt giải thưởng trước đó: trong số các trường hợp hình học có thể xảy ra, ông đã bỏ
26
sót một trường hợp mà ông nghĩ rằng không quan trọng. Càng nghiên cứu kỹ ông càng nhận thấy trường hợp bị bỏ sót này hoá ra lại quan trọng và thú vị hơn rất nhiều so với ông tưởng, bởi nó dẫn tới một kiểu chuyển động vô cùng phức tạp và kỳ lạ: Một trong các vật thể có xu hướng chuyển động hầu như ngẫu nhiên. Đó là điều không thể tin được và cũng không thể hiểu được, vì hệ phương trình do ông thiết lập để giải bài toán là một hệ xác định, và do đó kết quả phải xác định, không thể là ngẫu nhiên. Nhưng trước một lời giải tự nó nói lên một sự thật khác thường, Poincaré nhận thấy một điều vô cùng quan trọng mà trước đó chưa ai nhận thấy: Nếu kết quả không phải là ngẫu nhiên thì ít nhất nó cũng không có một cấu trúc rõ ràng! Poincaré dừng lại bài toán ở chỗ đó, ông nhận thấy bài toán ba vật thể đã có sự hỗn độn trong đó, và nó là hệ rất nhạy cảm với điều kiện ban đầu.
Hình 2.6. Hỗn độn trong một hệ ba vật.
Hình 2.6 cho ta thấy độ phức tạp của quỹ đạo một hành tinh được đặt trong một hệ mặt trời bị khống chế không phải bởi chỉ một mặt trời như Hệ Mặt trời của chúng ta, mà bởi hai ngôi sao có khối lượng ngang nhau. Hành tinh khi đó sẽ đi theo một quỹ đạo cực kỳ phức tạp và không thể tiên đoán được, nghĩa là hỗn độn.
27
CHƢƠNG 3
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN BA VẬT THỂ 3.1. Điểm Lagrange.
Năm 1772, nhà toán học tên tuổi người Italy - Pháp là Joseph Louis Lagrange nghiên cứu về bài toán ba vật thể nổi tiếng, ông đã khám phá ra một sự ngẫu nhiên trong các kết quả. Ban đầu, ông đã tìm ra một cách để dễ dàng tính toán sự tác động lẫn nhau về sức hút trọng lực giữa một số lượng các vật thể tùy ý trong hệ, bởi vì cơ học Newton kết luận rằng một hệ như vậy sẽ khiến cho các vật thể quay một cách hỗn loạn cho tới khi xảy ra một sự va chạm, hay một vật thể sẽ bị văng ra khỏi hệ vì thế sự cân bằng sẽ diễn ra. Kết luận này đối với hệ một vật thể thì là chính xác, vì nó chỉ có liên quan tương đối so với chính nó; một hệ với hai vật thể cũng dễ dàng giải quyết được, vì các vật thể bay trên quỹ đạo của chúng quanh một tâm trọng lực. Tuy nhiên, một khi có nhiều hơn hai vật thể trong hệ, những tính toán toán học trở nên rất phức tạp. Một tình huống xảy ra khi ta không thể tính toán mọi sự tác động lẫn nhau giữa mọi vật thể nào ở mọi điểm dọc theo quỹ đạo của nó.
Tuy nhiên, Lagrange muốn làm điều này trở nên đơn giản hơn. Ông đã làm việc đó với một kết luận đơn giản: “Quỹ đạo của một vật thể được quyết định bằng cách tìm ra một con đường làm giảm tối thiểu tác dụng theo thời gian”. Điều này được tìm ra khi ta trừ thế năng cho động năng. Theo cách suy nghĩ như vậy, Lagrange tái lập cơ học của Newton để tạo ra Cơ học Lagrange. Với hệ thống tính toán mới của mình, công trình của Lagrange đưa ông tới lý thuyết tại sao một vật thể thứ ba với một khối lượng không đáng kể sẽ bay quanh hai vật thể chính vốn đã quay quanh lẫn nhau, những điểm đặc biệt trên quỹ đạo của nó sẽ là đứng yên so với các vật thể chính. Các điểm đó được gọi là các điểm Lagrange.
28
Trong một trường hợp tổng quát hơn của các quỹ đạo hình elíp, không có các điểm đứng yên nếu xét theo cùng một nghĩa: nó trở thành một vùng Lagrange. Các điểm Lagrange tạo nên tại mỗi điểm trong thời gian cũng như trong trường hợp tròn đứng yên của các quỹ đạo elíp giống với quỹ đạo của các vật thể có khối lượng. Điều này tuân theo Định luật số hai của Newton. Khi pmv (p là động lượng, m là khối lượng, và v là tốc độ) là bất biến nếu lực và vị trí tỉ lệ với nhau theo cùng nhân tố. Một vật thể ở điểm Lagrange quay với cùng khoảng thời gian so với hai vật thể có khối lượng lớn trong trường hợp tròn, có nghĩa rằng nó có cùng tỉ lệ về lực hấp dẫn so với khoảng cách. Sự thực này là độc lập với dáng tròn của các quỹ đạo, và nó cũng có nghĩa rằng các quỹ đạo elíp được tính ra từ các điểm Lagrange cũng là những đáp án của sự cân bằng chuyển động của vật thể thứ ba.