Sau đây chúng ta nghiên cứu bài toán ba vật thể: Hệ giả Mặt Trời – Trái đất – Mặt trăng. Ta có phương trình chuyển động là: 1 2 2 1 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 x t x t x t y t x t x t y t x t y t y t y t y t y t x t x t y t x t y t (3.15) Ở đâyµi là khối lượng rút gọn (Reduced Mass), x và y là các tọa độ trong hệ tọa độ quay. Vật thể có khối lượng nhỏ chịu tác dụng của cả hai lực ly tâm và lực Coriolis.
Chương trình sau đây trên mathematica có thể mô tả bài toán ba vật thể trên một mặt phẳng, giống như hệ Mặt trời – Trái đất – Mặt trăng, hoặc cũng giống như Mặt trời – Mộc tinh - các tiểu hành tinh. Ở hệ này coi một vật có khối lượng tương đối nhỏ so với hai vật thể còn lại, chương trình cũng có thể áp dụng cho một hệ mà trong đó hai vật thể có khối lượng tương đối nhỏ với vật thứ ba. Tóm lại một hệ như vậy sẽ xuất hiện sự hỗn loạn. Thay đổi các điều kiện ban đầu ở bên trái ta thu được quỹ đạo chuyển động. Các hình từ
38
(Hình 3.3 đến Hình 3.12) biểu diễn quỹ đạo của vật thể có khối lượng nhỏ so với hai vật thể còn lại, cụ thể ở đây là Mặt trăng. Hai điểm đỏ cố định tượng trưng cho Mặt Trời và Trái đất, cụ thể điểm đỏ bên trái tượng trưng cho Trái đất và điểm đỏ phía bên phải tượng trưng cho Mặt trời. Với điều kiện ban đầu
0 0
26.8, 0.006, 0.28, 0.23, x 0.57, x 1.5
t x y v v ta thu
được quỹ đạo như Hình 3.3, một quỹ đạo khá ổn định, các quỹ đạo của nó khá gần nhau và giống nhau, nếu ta tăng thời gian t lên ta vẫn thu được quỹ đạo có hình dạng như vậy.
Hình 3.3. Khi t 26.8, 0.006,x0 0.28,y0 0.23,vx 0.57,vx 1.5
Thay đổi t 100, vx 0.55 ta thu được tương tự quỹ đạo giống như ở (Hình 3.3) song chúng lại không gần nhau mà lại cách xa nhau, sắp xếp chéo lên nhau (Hình 3.4).
39
Hình 3.4. Khi t 100, 0.006,x0 0.28,y0 0.23,vx 0.55,vx 1.5
Tiếp tục ta thay đổi các thông số ban đầu có giá trị :
0 0
100, 0.994, 0.5, 0.33, x 0.5, x 0.27
t x y v v ta sẽ thu
được quỹ đạo như hình (Hình 3.5)
Hình 3.5. Khi t 100, 0.994,x0 0.5,y0 0.33,vx 0.5,vx 0.27 Thay đổi giá trị của các tham số:
40
0 0
100, 0.006, 0.36, 0.6, x 0.07, x 0.21
t x y v v ta có được
quỹ đạo như hình (Hình 3.6)
Hình 3.6. Khi t 100, 0.006,x0 0.36,y0 0.6,vx 0.07,vx 0.21 Thay đổi y0 0.6, vx 0.17 ta được quỹ đạo như hình (Hình 3.7)
Hình 3.7. Khi t 100, 0.006,x0 0.36,y0 0.6,vx 0.17,vx 0.21
41
0 0
100, 0.35, 0.88, 0.3, x 0.69, x 0.26
t x y v v ta được như
hình (Hình 3.8) Mặt trăng trong hệ này sẽ không còn quay quanh Trái đất nữa.
Hình 3.8. Khi t 100, 0.35,x0 0.88,y0 0.3,vx 0.69,vx 0.26
Thay t 100, 0.006,x0 0.78,y0 0.37,vx 0.59,vx 0.17 ta thu được hình (Hình 3.9)
42 Tiếp tục thay đổi các giá trị lần lượt là:
0 0
100, 0.018, 0.73, 0.01, x 0.08, x 0.02
t x y v v ta có hình
(Hình 3.10)
Hình 3.10. Khi t100, 0.018,x0 0.73,y0 0.01,vx 0.08,vx 0.02
Khi thay 0.6,x0 0.31, y0 0.23 ta có quỹ đạo như hình (Hình 3.11) ở đây ta thấy sự hỗn độn rõ rệt.
43
Thay t 100, 0.028,x0 1.16,y0 0.16,vx 0.02,vx 0.36 ta thu được quỹ đạo như (Hình 3.12) ở đây ta thấy được sự hỗn độn trong chuyển động của Mặt trăng, chúng ta không thể đoán được chuyển động của nó.
Hình 3.12. Khi t 100, 0.028,x0 1.16,y0 0.16,vx 0.02,vx 0.36
Như vậy qua đây ta thấy rằng đối với một hệ gồm ba vật thể, một vật thể có khối lượng rất nhỏ so với hai vật thể còn lại, có sự nhạy cảm vào điều kiện ban đầu thì trong hệ luôn xuất hiện sự hỗn độn. Cụ thể như trên khi ta thay đổi lần lượt các tham số trong phương trình chuyển động của nó ta sẽ thu được các hình dạng quỹ đạo rất khác nhau.
44
KẾT LUẬN
Với đề tài “Một số vấn đề về bài toán ba vật thể và tính hỗn độn” tôi đã hoàn thành cơ bản các nhiệm vụ nghiên cứu đề ra như sau:
1, Tìm hiểu và trình bày tóm tắt lại nội dung sơ bộ về hỗn độn và một số biểu hiện của nó.
2, Trình bày một số lý thuyết, khái niệm và một số vấn đề về bài toán ba vật thể.
3, Mô tả tính hỗn độn của bài toán ba vật thể bằng phần mềm trên máy tính.
Đây có thể coi là một kênh thông tin thêm cho những ai muốn tìm hiểu về khoa học hỗn độn, hoặc còn có thể là tài liệu cho những người phổ biến khoa học. Không những vậy nó còn giúp cho mở rộng tư duy, thay đổi cách suy nghĩ mới, vì Tự nhiên không phải là tất định mà nó luôn chứa cái hỗn độn và bất định.
Trong quá trình hoàn thành khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong quý thầy cô và quý bạn đọc đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành bài khóa luận của mình được hoàn thiện hơn.
45
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trịnh Xuân Thuận (2013), Hỗn độn và hài hòa, Nhà xuất bản Trẻ.
[2] Aarseth, S. J (2003), Gravitational n-Body Simulations, New York: Cambridge University Press.
[3] Airy, G.B (1884), Gravitation: An Elementary Explanation of the Principal Perturbations in the Solar System, McMillan, London.
[4] Albouy, A (2002), Lectures on the Two-Body Problem, in Classical and Celestial Mechanics (the Recife lectures), H. Cabral and C. Diacu ed., Princeton University Press.
[5] Bagla, J. S (2005), Cosmological N-body simulation: Techniques, scope and status, Current Science 88: 1088–1100.
[6] David Hestens (1999), New Foundations for Classical Mechanics, New York: Kluwer Academic Publishers.
[7] Goldstein Poole & Safko. (2002), Classical Mechanics, San Francisco: AddisonWesley Pub. Co.
[8] M.C. Gutzwiller (1998), Moon–Earth–Sun: the oldest three-body problem, Rev. Modern Phys.
[9] Newton, I. (1687), Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, London: Royal Society(reprinted in The Mathematical Principles of Natural Philosophy, New York:Philosophical Library, 1964).
[10] Nilsson, K., Valtonen, M. J., Jones, L. R., Saslaw, W. C. and Lehto, H. J. (1997), Optical emission in the radio lobes of Cygnus A, Astronomy and Astrophysics 324.
[11] Roy, A. E. (2005), Orbital Motion, Bristol: Inst. Physics Publ., 4th edition.
46
[12] Sidlichovsky, M. (1983), On the double averaged three-body problem, Celestial Mechanics 29.
[13] Standish, E. M. (1972), The dynamical evolution of triple star systems: a numerical study, Astronomy and Astrophysics 21.
[14] Sundman, K. F. (1912), Memoire sur le probleme des trois corps, Acta Mathematica 36.
[15] Valtonen, M. J. and Mikkola, S. (1991), The few-body problem in astrophysics, Annual Review of Astronomy and Astrophysics 29.