Tài liệu ôn thi lớp 10 có đáp án

Ôn tập toán lớp NTVKN T1-9 CĂN BẬC HAI A. Kiến thức: 1. Định nghĩa bậc hai: - CBH số a không âm số x cho x2 = a - Số dương a có hai CBH hai số đối nhau: + Số dương : a ; + Số âm: − a - Số có CBH số 0, = 2. Định nghĩa bậc hai số học. - Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a. - Số gọi bậc hai số học 0. x ≥ x= a ⇔ x = a 3. So sánh bậc hai số học. Với a > b > 0: a > b ⇔ a > b B. Ví dụ: I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH X2 = A. X ≥ Phương pháp: X = A ⇔  X = A Ví dụ 1: Tìm x biết x2 = 8. Giải : x = ± = ±2 II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH X = A VỚI X ≥ Phương pháp: X = A ⇔ X = A ⇔ X = A Ví dụ : Tìm số x không âm : a) x = ⇔ x = 25 ⇔ x = 25 b) 2x > ⇔ 2x > 36 ⇔ 2x > 36 ⇔ x > 18 III. SO SÁNH: Phương pháp so sánh : Với a > b > a > b ⇔ > Ví dụ 3: So sánh: a) 15 4; b) c) d) -2 Giải: = 12   = 18 b) Ta có:  ⇒ 15 c) ta có: = 2.3 = > (vì > ) d) = – = 16 - > -2 (vì 16 > ) C. Bài tập. Bài 1: Tính a) 0,25. b) −1 100 . + 16 + + Bài 2: Tìm số x không âm, biết: a) x = b) 3x = f) x +9=7 ( ) c) x ≤4 g) x − − x = d) 5x > h) x + 3− x > ( ) e) x +1= Ôn tập toán lớp NTVKN Bài 3: SO SÁNH giá trị chứa thức ( Không dùng máy tính ) a) 12 147 b) – − 67 c) + + d) 11 120 e) 17 + 10 f) 26 + 17 g) + 24 65 h) 117 − i) 12 k) 34 − l) -3 -9 m) -2 -6 Bài 4: So sánh hai số sau: a. 3 b. 41 c. 47 d. 3 + Bài 5: So sánh: a. 2 + b. - Bài 6: So sánh: a. 2004 - 2003 2006 - 2005 b. - - 2 ……………………………………………………………… CĂN THỨC BẬC HAI A. Kiến thức : 1. Căn thức bậc hai : A biểu thức, ta gọi A thức bậc hai. A có nghĩa A (xác định) A ≥ . 2. 3. Hằng đẳng thức: A nêu A ≥ A2 = A =  . −A nêu A < B. Ví dụ: I. DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH Phương pháp tìm điều kiện: xác định A ≥ Cần lưu ý xác định B ≠ 0. - Nếu A nhị thức bậc ta phải giải bất phương trình bậc ẩn. - Nếu A đa thức bậc hai, Ta phải giải bất phương trình bậc hai. + Nếu A phân tích thành nhân tử ta giải bất phương trình xét dấu nhị thức bậc nhất. . Trường hợp bất phương trình có dạng: x2 ≤ a , x2 ≥ a a số dương, ta giải thích cách: x ≥ a x2 ≥ a ⇔ x ≥ a ⇔  x2 ≤ a ⇔ x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a  x ≤ − a + Nếu A không phân tích thành nhân tử, ta chứng tỏ A: . Luôn có giá trị dương (khi A có nghĩa với x). . Hoặc có giá trị âm (khi A nghĩa với x) Ví dụ : Xác định giá trị biến để biểu thức sau xác định: a) x − có nghĩa ?. Giải : Ta có x − có nghĩa x − ≥ ⇔ x ≥ b) x + có nghĩa? Giải : Ta thấy x ≥ 0∀x nên x + có nghĩa với x. 5 có nghĩa? Giải: có nghĩa : x – > ⇔ x > x −3 x −3 d) − 4x có nghĩa – 4x ≥ 1 Cách 1: Ta có: – 4x ≥ ⇔ ( − 2x ) ( + 2x ) ≥ ⇔ − ≤ x ≤ 2 1 1 Cách 2: − 4x ≥ ⇔ x ≤ ⇔ x ≤ ⇔ − ≤ x ≤ 2 II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH = B c) Ôn tập toán lớp Phương pháp giải phương trình Ví dụ: Tìm x biết x − = NTVKN =B⇔ x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔ x=5 x − = x = Giải : Ta có  III. RÚT GỌN CĂN BẬC HAI THEO HẰNG ĐẲNG THỨC Phương pháp rút gọn đưa dạng : =|A| B1: Xác định 2ab thuộc biểu thức A B2: phân tích thành đẳng thức với a + b = hệ số lại B3: đưa dạng = | A | B4: so sánh số a b bỏ trị tuyệt đối cho biểu thức A > Ví dụ: Tính ( ) 1− ; Giải : Ta có : (1− 3) 4−2 = 1− = −1 4−2 = ( ) −1 = −1 = −1 IV. PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ Phương pháp: Áp dụng: A = Ví dụ: Phân tích thành nhân tử: a) x2 – 5; b) x – Giải: a) x2 – = x2 - x − ( A ) với A ≥ d) x2 - x + c) x + x + ( 5) = ( x − 5) ( x + 5) ; b) x + x + = ( x) + x.1 + 12 = ( C. Bài tập. Bài 1: Tìm ĐKXĐ biểu thức sau: a) g) m) s) b) h) t) r) - c) i) o) u) d) j) p) v) e) w) f) l) Bài 2: Tìm ĐKXĐ biểu thức: a) − − 16x b) 8x − x − 15 c) x − x + d) x − 1 1 e) f) g) h) − x-1 − x2 − x − 8x + 15 9x − 6x + 1 16 − x i) k) l) m) − x − x2 x − 2x − 2x − 4x − x − 8x + 14 Bài 3: Với giá trị x thức sau có nghĩa ? a, 3x ; b, − x + ; x + ; −5x x + 10 −3x ; c, x2 − ; ; x−2 x2 + ; ( x − 3)( x + 2) ) x +1 Ôn tập toán lớp Bài :Giải phương trình : a) = g) = 12 l) = x b) = h) = 21 m) = c) = 10 i) = o) = d) = 12 j) - = p) = e) = k) = q) = f) + x = 11 y) = - 2x Bài : Giải phương trình : a) 4x − 20x + 25 = b) Bài : Rút gọn bậc hai : a) 6+2 b) NTVKN s) = t) = x v) = 25x − 30x + 29 = x + c) 12 − 11 7−2 d) 24 + 23 e) f) 18 + g) 14 − h) 155 + 24 11 7−4 Bài : Cho biểu thức : A = 3x − − 4x + − 12x a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị x để A = Bài 8: Cho biểu thức: B = x − 6x + − x + 6x + a) Rút gọn B. b) Tìm giá trị x để A = 1. Bài : Phân tích thành nhân tử : a) x – ; b) 2x – c) x2 - x −2 5x + d) x − 7x + Bài 10 : Rút gọn biểu thức : x − 25 3− x − 6x + x − 8x + 16 a) b) c) d) x +5 2x − 12 − 3x Bài 11: Rút gọn a, (3 − 2) b, (1 + 5) c, (1 − 3) d, (4 − 2) Bài 12: Rút gọn: a, A = 3. (a − 3) + (a − 1) với 10 = B B Ôn tập toán lớp NTVKN Phương pháp rút gọn đưa dạng : sử dụng A.B = A. B với A ≥ 0, B ≥ 0; B1: Xác định 2ab thuộc biểu thức A B2: phân tích thành đẳng thức với a + b = hệ số lại B3: đưa dạng = | A | B4: so sánh số a b bỏ trị tuyệt đối cho biểu thức A > Ví dụ : Rút gọn biểu thức : a) − b) + 20 c) 0,09x với x < Giải: a) − = − 3. + = b) + 20 = + 4. + = ( 3− ( ) 4+ = ) = A 3− = 3− = 2+ =2+ c) 0,09x = 0,09. x = 0,3x II. RÚT GỌN CĂN BẬC HAI  A. B Neu A ≥ A 2B = A . B = A B =  VỚI B ≥ − A. B Neu A <   Lưu ý: Để tạo nên A ta lấy biểu thức chia cho số phương : 2= 4,3= 9, 4= 16, = 25, 6= 36, = 49, . Ví dụ 1: M = - + N=2- +3P= - Giải: Phương pháp khai phương: M = 20 − 10 + 45 = 4.5 − 2. + 9.5 ( = − 2. + = 5 − 2. = 5 − 2 ) N = 12 − 48 + 27 − 108 = 4.3 − 16.3 + 9.3 − 36.3 =4 −4 +9 −6 =3 P = 343 − 112 − 63 = 492 − 16.7 − 9.7 = 49 − − = 49 − 7 Ví dụ 2: rút gọn biểu thức: A = x + x − − x − với x > A = x + x − − x − = (x − 1) + x − + − x − = ( ) x −1 +1 − x −1 = x −1 +1 − x −1 = x −1 +1 − x −1 = Bài tập: Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a) 1222 − 222 b) 682 − 32 3+ − 14 f) 3+ 7− Bài 2: Rút gọn biểu thức e) c) 1162 − 84 ( )( d) 25,6.250 g) + + + )( − + ) Ôn tập toán lớp a) b) c) d) e) i) j) k) l) m) p) q) r) s) t) u) v) w) x) y) f') g') z) .( + ) a') ( +7 ). b') 2.( - ). h') (4 + )( - ) i') ( + ). Bài 3: Rút gọn biểu thức: A = - - 14 B = 3( - ) + 3( - 2) C= 2+5 -3 D= + -4 E = ( - 2) + 12 F = - + 12 G=2-2+2 H= -4+7 I= - +2 J= - +3 K= -2+5 L=5-3+2Bài 4: Rút gọn biểu thức:nhiều thức: A=4B= +1 C= D= + E= IV = H= F= + -2 G= J= + K= L = (3 + ). M= N= O= + R= S= + P= T= + U= V= + W= + Y= Z= + II = Bài : Rút gọn biểu thức : a) A = − − + c) ( + 3) b) 4+2 − 5+2 + d) e) + 17 − + Bài : Rút gọn biểu thức : )( ) ( g) h) o) d') e') n) c') I= - d) D = − − + 7−4 ( f) b) B = − − + c) C = + − − Bài : Rút gọn biểu thức : a) NTVKN g) ) A = − −2 + 3 + ( 5−2 + ) 3+ 2 + 6−4 2 + + 18 − B= C = 3−2 − 6+ Bài : Rút gọn biểu thức : 3+ 2+ + − 2+ 3 +1 D= 2+ + 2− a) A = 2x + 4x − − 2x − 4x − với x > ( ) Ôn tập toán lớp NTVKN b) A = 2x + 2x − − 2x − 2x − Với x ≥ , HD: A2 = 2, mà A> nên A = 2 Bài 9: So sánh a) b) -3 - c) 21, , 15 , - (tăng dần) d) e) - f) g) h) - - i) - j) - k) l) , , - , , (Sx giảm dần) m) - n) - o) 28, , 2, 36 (sắp xếp tăng dần) q) r) - p) - 27, 4, 16 , 21 (sắp xếp giảm dần ) ……………………………………………………………………………. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG A. Kiến thức. A A với A ≥ 0, B >0 ; Với A ≥ ta có: A = A = A = B B B. Ví dụ : 68 68 = = = Ví dụ : Tính :a) 153 153 ( ) b) ( ) 32 − 50 + : = ( ) ( ) 16.2 − 25.2 + 4.2 : = − + 2 : = : =1 Ví dụ : Rút gọn biểu thức : A= 2− 2− 4−2 = = = ( ) −1 = −1 C. Bài tập : Bài : Tính giá trị biểu thức : ( ) a) 48 − 27 + 12 :   + − b)  ÷: 2   6+2 9−6 − d) e) − : f) 27 + : 1+ Bài : Rút gọn biểu thức : x − 2x − x − 2x − với ≤ x < với a) x ≥ b) ≤ x < A= B= 2 ……………………………………………………………… T2-10 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN A. Kiến thức : 1. Đưa thừa số dấu : A. B Neu A ≥ A2B = A B =  với B ≥ − A. B Neu A <  c) Ôn tập toán lớp 2. Đưa thừa số vào dấu căn: A B = A B với A ≥ 0, B ≥ 0; NTVKN A B = − A B với A < 0, B ≥ A AB = với A ≥ 0, B ≥ , B ≠ B B 3. Khử mẫu biểu thức lấy căn: 4. Trục thức mẫu A A B = B B a) Với biểu thức A, B > ta có: ( C A mB C = A − B2 A ±B b) Với biểu thức A, B, C mà A ≥ A ≠ B2 ta có: ) c) Với biểu thức A, B, C, mà A ≥ 0, B ≥ , A ≠ B ta có: ( C Am B C = A−B A± B ) B. Ví dụ: I. RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN CÓ PHÂN SỐ Ở DẠNG SỐ Phương pháp rút gọn: sử dụng phương pháp liên hợp ( A + B A – B hai biểu thức lien hợp nhau) (A + B)(A – B) = A2 – B2 để trục mẫu . C A mB C Am B C C → Nghĩa ; = = A−B A − B2 A± B A ±B Lưu ý : Trong toán rút gọn có PHÂN SỐ chia làm hai dạng : CHỮ SỐ. + Để có kỹ rút gọn ta cần nhắc lại số kiến thức toán - - để giải toán cụ thể ta cần trả lời số kiến thức trước giải: → Thừa số chung không? ( xem lại cách thừa chung lớp ) → Có đẳng thức không? ( xem lại hẳng đẳng thức đáng nhớ lớp ) → Liên hợp không? ( xem lại phương pháp rút gọn toán lớp ) → Quy đồng không? ( xem lại giải pt có Ẩn mẫu lớp 8) Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau: ( A= = 3 − = 5− 5+ ) ( ( ( 5+ 5− )( ) 5+ − ) ( ( ) 5− 5+ )( ) 5− ) +3 −3 − = +3 −3 +3 = 5−4 5−4 ( ) ( ) +1 +1 2 3+ 6 : 6= : 6= : 6= ÷: = 2 2+2 2( + 1)  8+2  B=  C= 2 + 3+ = (2 ( 2 − 3+ + 3+ )( ) − 3+ ) Ôn tập toán lớp = ( 2 − 3+ ( 2) − ( 3+ ) NTVKN ) = 8− 6+2 = 8−3− (1+ 5) 8− −1− = 5− ( ) −1 7− = ( ) −1 Bài tập: Rút gọn biểu thức: 3+ 3− a) 6− c) −1 − 10 − 15 f) e) + : g) 60 − 15 6− b/ + ( − 1− + 3+ − 13 3+4  14 − 15 −  + : ÷ 1− ÷  1−  7− d)  3+ 33 10 +7 − + 11 − 3− ) 3− 3− h) 7+ 35 + − +1 II.RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN CÓ PHÂN SỐ Ở DẠNG CHỨA CHỮ Phương pháp rút gọn: sử dụng phương pháp liên hợp ( A + B A – B hai biểu thức lien hợp nhau) (A + B)(A – B) = A2 – B2 để trục mẫu . → Nghĩa ( ) C A mB C ; = A−B A ±B ( C Am B C = A−B A± B ) Lưu ý : Trong toán rút gọn có PHÂN SỐ chia làm hai dạng : CHỮ SỐ. + Để có kỹ rút gọn ta cần nhắc lại số kiến thức toán - - để giải toán cụ thể ta cần trả lời số kiến thức trước giải: → Thừa số chung không? ( xem lại cách thừa chung lớp ) → Có đẳng thức không? ( xem lại hẳng đẳng thức đáng nhớ lớp ) → Liên hợp không? ( xem lại phương pháp rút gọn toán lớp ) → Quy đồng không? ( xem lại giải pt có Ẩn mẫu lớp 8) Lưu ý: Tìm tập xác định cách tìm giá trị ẩn x thay biểu thức giá trị xác định Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: x+ x  x − x  x + x + x +1 x − x − x +1 A= + 1÷ − 1÷ = × x + x − x + x −1    ( ) ( x +1 ) x −1 x + x +1 x − x +1 × = × = x +1 x +1 x −1 x +1 x −1 ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ ±1 x2 + x 2x + x Ví dụ 2: Cho biểu thức y = +1− x − x +1 x a) Rút gọn y. b) Tìm x để y = 2. = ( )( ) x −1 = x −1 Ôn tập toán lớp NTVKN c) Cho x > 1. Chứng minh y − y = d) Tìm giá trị nhỏ y Giải x  x + 1 x x +1   a) y = +1− = x x +1 +1− x −1 = x − x x − x +1 x y = ⇔ x − x = ⇔ x − x − = ⇔ x +1 x − = b) ⇔ x −2=0⇔ x =2⇔x =4 (Ở ta áp dụng giải phương trình bậc hai cách đặt ẩn phụ) c) Có y − y = x − x − x − x ( ) ( ) ( ) ( )( ) Do x > ⇒ x > x ⇒ x − x > ⇒ x − x = x − x ⇒ y − y = ( ) ( ) 1  1 1 d) Có: y = x − x = x − x = x − 2. x. + − =  x + ÷ − ≥ − 4  2 4 1 1 Vậy Min y = − x = ⇔ x = ⇔ x = 2 III. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp: + Thu gọn biểu thức (nếu có thể). + Thu gọn giá trị biến (nếu có thể). + Thay giá trị thu gọn biến vào biểu thức thu gọn. 1 ; y= Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: A = x − 3x y + 2y x = 5−2 9+4 Giải: Ta có: A = x − 3x y + 2y = x − x y − 2x y + 2y∞ ( ) ( ) ( )( =x x− y −2 y x− y = x− y x−2 y Ta có: x = y= = 5−2 5+2 ( 5−2 )( 5+2 ) = ( 5+2 5−4 )= )( 5+2 5.2 + ( = 9−4 5 − 2. = = 81 − 16.5 9+4 9+4 9−4 ( ) ) 5−2 ) = ( 5−2 ) ⇒ y = 5−2 Thay: x = + ; A= ( y = − vào A ta có: ) +2− +2  +2−2  ( ) 5−2 =4  Bài tập: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: A= B= - 10 ( ) ( +2−2 +4 =4 6− ) Ôn tập toán lớp NTVKN AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20 − 12 = 16 ( cm) CH 12 = CH = AH.OH => OH = = (cm) AH 16 OC = OH + HC = + 12 = 225 = 15 (cm) Bài Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chứng minh OAHB hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6. Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Lời giải: 1. (HS tự làm). 2. Vì K trung điểm NP nên OK ⊥ NP ( quan hệ đường kính Và dây cung) => ·OKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có ·OAM = 900; ·OBM = 900. K, A, B nhìn OM góc 90 nên nằm đường tròn đường kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn. 3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM trung trực AB => OM ⊥ AB I . Theo tính chất tiếp tuyến ta có ·OAM = 900 nên ∆OAM vuông A có AI đường cao. Áp dụng hệ thức cạnh đường cao => OI.OM = OA hay OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Ta có OB ⊥ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA ⊥ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tứ giác OAHB hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB hình thoi. 5. Theo OAHB hình thoi. => OH ⊥ AB; theo OM ⊥ AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đường thẳng vuông góc với AB). 6. (HD) Theo OAHB hình thoi. => AH = AO = R. Vậy M di động d H di động cách A cố định khoảng R. Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài Cho ∆ ABC vuông A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD đường kính đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E. 1. Chứng minh tam giác BEC cân. 97 Ôn tập toán lớp NTVKN 2. Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH. 3. Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn (A; AH). 4. Chứng minh BE = BH + DE. Lời giải: (HD) 1. ∆ AHC = ∆ADE (g.c.g) => ED = HC (1) AE = AC (2). Vì AB ⊥CE (gt), AB vừa đường cao vừa đường trung tuyến ∆BEC => BEC tam giác cân. => ¶B1 = ¶B2 2. Hai tam giác vuông ABI ABH có: cạnh huyền AB chung, ¶B1 = ¶B2 => ∆ AHB = ∆AIB => AI = AH. 3. AI = AH BE ⊥ AI I => BE tiếp tuyến (A; AH) I. 4. DE = IE BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M. 1. Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh BM // OP. 3. Đường thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N. C/m tứ giác OBNP hình bình hành. 4. Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Lời giải: 1. (HS tự làm). 2.Ta có ·ABM nội tiếp chắn cung AM; ·AOM góc tâm chắn cung AM ·AOM => ·ABM = (1) OP tia phân giác ·AOM (t/c hai tiếp tuyến cắt ) ·AOM => ·AOP = (2) Từ (1) (2) => ·ABM = ·AOP (3) Mà ·ABM ·AOP hai góc đồng vị nên suy BM // OP. (4) 3.Xét hai tam giác AOP OBN ta có : ·PAO =900 (vì PA tiếp tuyến ); ·NOB = 900 (gt NO⊥AB). => ·PAO = ·NOB = 900; OA = OB = R; ·AOP = ·OPN (theo (3)) => ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5) Từ (4) (5) => OBNP hình bình hành ( có hai cạnh đối song song nhau). 4. Tứ giác OBNP hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ⊥ AB => ON ⊥ PJ Ta có PM ⊥ OJ ( PM tiếp tuyến ), mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ. (6) Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật có ·PAO = ·AON = ·ONP = 900 => K trung điểm PO (t/c đường chéo hình chữ nhật). (6) 98 Ôn tập toán lớp NTVKN AONP hình chữ nhật => ·APO = ·NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt Ta có PO tia phân giác ·APM => ·APO = ·MPO (8). Từ (7) (8) => ∆IPO cân I có IK trung tuyến đông thời đường cao => IK ⊥ PO. (9) Từ (6) (9) => I, J, K thẳng hàng. Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn ( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K. 1) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. 3) Chứng minh BAF tam giác cân. 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi. 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn. Lời giải: 1. Ta có : ·AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ·KMF = 900 (vì hai góc kề bù). ·AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ·KEF = 900 (vì hai góc kề bù). => ·KMF + ·KEF = 1800 . Mà ·KMF ·KEF hai góc đối tứ giác EFMK EFMK tứ giác nội tiếp. 2. Ta có ·IAB = 900 ( AI tiếp tuyến ) => ∆AIB vuông A có AM ⊥ IB ( theo trên). Áp dụng hệ thức cạnh đường cao => AI2 = IM . IB. » = ME ¼ (lí …) 3. Theo giả thiết AE tia phân giác góc IAM => ·IAE = ·MAE => AE => ·ABE = ·MBE (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) => BE tia phân giác góc ABF (1) Theo ta có ·AEB = 900 => BE ⊥ AF hay BE đường cao ∆ ABF (2). Từ (1) (2) => BAF tam giác cân. B . 3. BAF tam giác cân. B có BE đường cao nên đồng thời đương trung tuyến => E trung điểm AF. (3) Từ BE ⊥ AF=>AF⊥ HK(4),theo AE tia phân giác góc IAM hay AE tia phân giác ·HAK (5) Từ (4) (5) => HAK tam giác cân. A có AE đường cao nên đồng thời đương trung tuyến => E trung điểm HK. (6). Từ (3) , (4) (6) => AKFH hình thoi ( có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường). 4. (HD). Theo AKFH hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI hình thang. Để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn AKFI phải hình thang cân. AKFI hình thang cân M trung điểm cung AB. Thật vậy: M trung điểm cung AB => ·ABM = ·MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ). (7) 99 Ôn tập toán lớp NTVKN Tam giác ABI vuông A có ·ABI = 450 => ·AIB = 450 .(8) Từ (7) (8) => ·IAK = ·AIF = 450 => AKFI hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau). Vậy M trung điểm cung AB tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn. Bài Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC AD cắt Bx E, F (F B E). 1. Chứng minh AC. AE không đổi. 2. Chứng minh ·ABD = ·DFB . 3. Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp. Lời giải: 1. C thuộc nửa đường tròn nên ∠ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BC ⊥ AE. ·ABE = 900 ( Bx tiếp tuyến ) => ∆ ABE vuông B có BC đường cao => AC. AE = AB (hệ thức cạnh đường cao), mà AB đường kính nên AB = 2R không đổi AC. AE không đổi. 2. ∆ ADB có ·ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ). => ·ABD + ·BAD = 900 (vì tổng ba góc tam giác 180 0)(1) ∆ ABF có ·ABF = 900 ( BF tiếp tuyến ). => ·AFB + ·BAF = 900 (vì tổng ba góc tam giác 180 0) (2) Từ (1) (2) => ·ABD = ·DFB (cùng phụ với ·BAD ) 3. Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => ·ABD + ·ACD = 1800 . ·ECD + ·ACD = 1800 ( Vì hai góc kề bù) => ·ECD = ·ABD (cùng bù với ·ACD ). Theo ·ABD = ·DFB => ·ECD = ·DFB . Mà ·EFD + ·DFB = 1800 (Vì hai góc kề bù) nên suy ·ECD + ·EFD = 1800, mặt khác ·ECD ·EFD hai góc đối tứ giác CDFE tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp. Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn cho AM < MB. Gọi M’ điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, M’A. Gọi P chân đường vuông góc từ S đến AB. 1.Gọi S’ giao điểm MA SP. Chứng minh ∆ PS’M cân. 2.Chứng minh PM tiếp tuyến đường tròn . Lời giải: 1. Ta có SP ⊥ AB (gt) => ·SPA = 900; ·AMB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ·AMS = 900 Như P M nhìn AS góc 90 nên nằm đường tròn đường kính AS. Vậy bốn điểm A, M, S, P nằm đường tròn. 2. Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm đường tròn nên M’ nằm đường tròn => hai cung AM AM’ có số đo 100 Ôn tập toán lớp NTVKN => ·AMM ' = ·AM 'M (Hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) (1) Cũng M’đối xứng M qua AB nên MM’ ⊥ AB H => MM’// SS’ (cùng vuông góc với AB) => ·AMM ' = ·AS'S ; ·AM 'M = ·ASS' (vì so le trong) (2). => Từ (1) (2) => ·AS'S = ·ASS' . Theo bốn điểm A, M, S, P nằm đ/ tròn => ·ASP = ·AMP (nội tiếp chắn » ) AP => ·AS'P = ·AMP => ∆ PMS’ cân P. 3. ∆ SPB vuông P; ∆ SMS’ vuông M => ¶B1 = ¶S'1 (cùng phụ với µS ) (3) Tam giác PMS’ cân P => ¶S' = ¶M (4) Tam giác OBM cân O ( có OM = OB =R) => ¶B1 = ¶M (5). Từ (3), (4) (5) => ¶M1 = ¶M => ¶M1 + ¶M = ¶M + ¶M mà ¶M + ¶M = ·AMB = 900 nên suy ¶M + ¶M = ·PMO = 900 => PM ⊥ OM M => PM tiếp tuyến đường tròn M Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) điểm D, E, F . BF cắt (O) I , DI cắt BC M. Chứng minh : 1. ∆ DEF có ba góc nhọn. 2. DF // BC. 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4. BD BM = CB CF Lời giải: 1. (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt ta có AD = AF => tam giác ADF cân A => ·ADF = ·AFD < 900 => sđ cung DF < 1800 => ·DEF < 900 ( góc DEF nội tiếp chắn cung DE). Chứng minh tương tự ta có ·DFE < 900; ·EDF < 900. Như ∆ DEF có ba góc nhọn. 2. Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) => AD AF = => DF // BC. AB AC 3. DF // BC => BDFC hình thang lại có µB = µ C (vì tam giác ABC cân) => BDFC hình thang cân BDFC nội tiếp đường tròn . 101 Ôn tập toán lớp NTVKN 4. Xét hai tam giác BDM CBF Ta có ·DBM = ·BCF (hai góc đáy tam giác cân). ·BDM = ·BFD (nội tiếp chắn cung DI); ·CBF = ·BFD (vì so le) => ·BDM = ·CBF => ∆BDM ∼∆CBF => BD BM = CB CF Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) N. Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P. Chứng minh : 1. Tứ giác OMNP nội tiếp. 2. Tứ giác CMPO hình bình hành. 3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 4. Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định nào. Lời giải: 1. Ta có ·OMP = 900 ( PM ⊥ AB ); ·ONP = 900 (vì NP tiếp tuyến ). Như M N nhìn OP góc 900 => M N nằm đường tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp. 2. Tứ giác OMNP nội tiếp => ·OPM = ·ONM (nội tiếp chắn cung OM). ∆ ONC cân O có ON = OC = R => ·ONC = ·OCN => ·OPM = ·OCM . Xét hai tam giác OMC MOP ta có ·MOC = ·OMP = 900; ·OPM = ·OCM => ·CMO = ·POM lại có MO cạnh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP. (1) Theo giả thiết Ta có CD ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2). Từ (1) (2) => Tứ giác CMPO hình bình hành. 3. Xét hai tam giác OMC NDC ta có ·MOC = 900 ( gt CD ⊥ AB); ·DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ∠MOC =∠DNC = 900 lại có ∠C góc chung => ∆OMC ∼∆NDC => CM CO = => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CD CN CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 4. ( HD) Dễ thấy ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 900 => P chạy đường thẳng cố định vuông góc với CD D. Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A’ B’ song song AB. Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F. Chứng minh AFHE hình chữ nhật. 1. BEFC tứ giác nội tiếp. 102 Ôn tập toán lớp NTVKN 2. AE. AB = AF. AC. 3. Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn . Lời giải: 1. Ta có : ·BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) => ·AEH = 900 (vì hai góc kề bù). (1) ·CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) => ·AFH = 900 (vì hai góc kề bù).(2) ·EAF = 900 ( Vì ∆ ABC vuông A) (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE hình chữ nhật ( có ba góc vuông). 2. Tứ giác AFHE hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn => µF1 = ¶H1 (nội tiếp chắn cung AE). Theo giả thiết AH ⊥BC nên AH tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (O1) (O2) => ¶B1 = ¶H1 (hai góc nội tiếp chắn cung HE) => ¶B1 = µF1 => ·EBC + ·EFC = ·AFE + ·EFC mà ·AFE + ·EFC = 1800 (vì hai góc kề bù) => ·EBC + ·EFC = 1800 mặt khác ·EBC ·EFC hai góc đối tứ giác BEFC BEFC tứ giác nội tiếp. 3. Xét ∆AEF ∆ACB ta có ¶A = 900 góc chung; ·AFE = ·ABC (theo Chứng minh trên) => ∆AEF ∼∆ACB => AE AF = => AE. AB = AF. AC. AC AB * HD cách 2: Tam giác AHB vuông H có HE ⊥ AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông H có HF ⊥ AC => AH2 = AF.AC (**) Từ (*) (**) => AE. AB = AF. AC 4. Tứ giác AFHE hình chữ nhật => IE = EH => ∆IEH cân I => ¶E1 = ¶H1 . ∆O1EH cân O1 (vì có O1E vàO1H bán kính) => ∠E2 = ∠H2. => ¶E1 + ¶E = ¶H1 + ¶H mà ¶H1 + ¶H = ·AHB = 900 => ¶E1 + ¶E = ·O1EF = 900 => O1E ⊥ EF . Chứng minh tương tự ta có O2F ⊥ EF. Vậy EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ phía AB nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K. Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E. Gọi M. N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đường tròn (I), (K). 1.Chứng minh EC = MN. 2.Ch/minh MN tiếp tuyến chung nửa đ/tròn (I), (K). 3.Tính MN. 4.Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn Lời giải: 1. Ta có: ∠BNC= 900( nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm K) => ∠ENC = 900 (vì hai góc kề bù). (1) ∠AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm I) => ∠EMC = 900 (vì hai góc kề bù).(2) ∠AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay ∠MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN hình chữ nhật=> EC = MN (t/c đường chéo hình chữ nhật) 103 Ôn tập toán lớp NTVKN 2. Theo giả thiết EC ⊥AB C nên EC tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (I) (K) =>∠B1=∠C1 (hai góc nội tiếp chắn cung CN). Tứ giác CMEN hình chữ nhật nên =>∠C1=∠N3 => ∠B1 = ∠N3.(4) Lại có KB = KN (cùng bán kính) => ∆ KBN cân K => ∠B1 = ∠N1 (5) Từ (4) (5) => ∠N1 = ∠N3 mà ∠N1 + ∠N2 = ∠CNB = 900 => ∠N3 + ∠N2 = ∠MNK = 900 hay MN ⊥ KN N => MN tiếp tuyến (K) N. Chứng minh tương tự ta có MN tiếp tuyến (I) M, Vậy MN tiếp tuyến chung nửa đường tròn (I), (K). 3. Ta có ∠AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm O) => ∆AEB vuông A có EC ⊥ AB (gt) => EC2 = AC. BC ó EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta có S(o) = π .OA2 = π 252 = 625 π ; S(I) = π . IA2 = π .52 = 25 π ; S(k) = π .KB2 = π . 202 = 400 π . Ta có diện tích phần hình giới hạn ba nửa đường tròn S = S= ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 ( 625 π - 25 π - 400 π ) = .200 π = 100 π ≈ 314 (cm2) 2 Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S. 1. Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp . 2. Chứng minh CA tia phân giác góc SCB. 3. Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O). Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. 4. Chứng minh DM tia phân giác góc ADE. 5. Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. Lời giải: 1. Ta có ∠CAB = 900 ( ∆ ABC vuông A); ∠MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ∠CDB = 900 D A nhìn BC góc 90 nên A D nằm đường tròn đường kính BC => ABCD tứ giác nội tiếp. 2. ABCD tứ giác nội tiếp => ∠D1= ∠C3( nội tiếp chắn cung AB). ¼ = EM ¼ => ∠C2 = ∠C3 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung ∠D1= ∠C3 => SM nhau) => CA tia phân giác góc SCB. 104 Ôn tập toán lớp NTVKN 3. Xét ∆CMB Ta có BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC BA, EM, CD ba đường cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy. ¼ = EM ¼ => ∠D1= ∠D2 => DM tia phân giác góc ADE.(1) 4. Theo Ta có SM 5. Ta có ∠MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => ∠MEB = 900. Tứ giác AMEB có ∠MAB = 900 ; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 mà hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đường tròn => ∠A2 = ∠B2 . Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp => ∠A1= ∠B2( nội tiếp chắn cung CD) => ∠A1= ∠A2 => AM tia phân giác góc DAE (2) Từ (1) (2) Ta có M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (Hình b) Câu : ∠ABC = ∠CME (cùng phụ ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cùng bù ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS » = CS » => SM ¼ = EM ¼ => ∠SCM = ∠ECM => CA tia phân giác góc SCB. => CE Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B. Đường tròn đường kính BD cắt BC E. Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G. Chứng minh : 1. ∆ ABC ∽ ∆ EBD. 2. Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp . 3. AC // FG. 4. Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy. Lời giải: 1. Xét hai tam giác ABC EDB Ta có ∠BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A); ∠DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ∠DEB = ∠BAC = 900 ; lại có ∠ABC góc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB 2. Theo ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (vì hai góc kề bù); ∠BAC = 900 ( ∆ABC vuông A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 mà hai góc đối nên ADEC tứ giác nội tiếp . * ∠BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A); ∠DFB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay ∠BFC = 900 F A nhìn BC góc 90 nên A F nằm đường tròn đường kính BC => AFBC tứ giác nội tiếp. 3. Theo ADEC tứ giác nội tiếp => ∠E1 = ∠C1 lại có ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 mà hai góc so le nên suy AC // FG. 4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF ba đường cao ∆DBC nên CA, DE, BF đồng quy S. Bài 17. Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M ( M không trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với cạnh AB. AC. 1. Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. 2. Chứng minh MP + MQ = AH. 105 Ôn tập toán lớp NTVKN 3. Chứng minh OH ⊥ PQ. Lời giải: 1. Ta có MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 900; MQ ⊥ AC (gt) => ∠AQM = 900 P Q nhìn BC góc 90 nên P Q nằm đường tròn đường kính AM => APMQ tứ giác nội tiếp. * Vì AM đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ trung điểm AM. 2. Tam giác ABC có AH đường cao => SABC = BC.AH. AB.MP Tam giác ACM có MQ đường cao => SACM = AC.MQ Tam giác ABM có MP đường cao => SABM = Ta có SABM + SACM = SABC => 1 AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH. 3. Tam giác ABC có AH đường cao nên đường phân giác => ∠HAP = ∠HAQ => » = HQ ¼ ( tính chất góc nội tiếp ) => ∠HOP = ∠HOQ (t/c góc tâm) => OH tia phân giác HP góc POQ. Mà tam giác POQ cân O ( OP OQ bán kính) nên suy OH đường cao => OH ⊥ PQ Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H không trùng O, B) ; đường thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M đường tròn ; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D. Gọi I giao điểm AD BC. 1. Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp . 2. Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I. 3. Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội Lời giải: 1. ∠BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ∠BID = 900 (vì hai góc kề bù); DE ⊥ AB M => ∠BMD = 900 =>∠BID +∠BMD = 1800 mà hai góc đối tứ giác MBID nên MBID tứ giác nội tiếp. 2. Theo giả thiết M trung điểm AB; DE ⊥ AB M nên M trung điểm DE (quan hệ đường kính dây cung) => Tứ giác ADBE hình thoi có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường . 106 Ôn tập toán lớp NTVKN 3. ∠ADC = 90 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) => AD ⊥ DC; theo BI ⊥ DC => BI // AD. (1) 4. Theo giả thiết ADBE hình thoi => EB // AD (2). Từ (1) (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B có đường thẳng song song với AD mà thôi) 5. I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông I => IM trung tuyến ( M trung điểm DE) =>MI = ME => ∆MIE cân M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC cân O’ ( O’C O’I bán kính ) => ∠I3 = ∠C1 mà ∠C1 = ∠E1 ( Cùng phụ với góc EDC ) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 = ∠I3 + ∠I2 . Mà ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I I => MI tiếp tuyến (O) Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình. Bài 1:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. D E điểm cung AB AC. DE cắt AB I cắt AC L. a) Chứng minh DI = IL = LE. b) Chứng minh tứ giác BCED hình chữ nhật. c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình này. Bài 2:Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có đường chéo vuông góc với I. a) Chứng minh từ I ta hạ đường vuông góc xuống cạnh tứ giác đường vuông góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh đó. b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác cho. Chứng minh MNRS hình chữ nhật. c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác. Bài 3:Cho ∆ ABC ( ∠A = 1v) có AH đường cao. Hai đường tròn đường kính AB AC có tâm O1 O2. Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đường tròn (O 1) (O2) M N. a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông. b) Tứ giác MBCN hình gì? c) Gọi F, E, G trung điểm O1O2, MN, BC. Chứng minh F cách điểm E, G, A, H. d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đường nào? Bài 4:Cho hình vuông ABCD. Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường tròn phía hình vuông.Lấy AB làm đường kính , vẽ 1/2 đường tròn phía hình vuông. Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C). H K hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đường tròn I M. a) Chứng minh I trung điểm AP. b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui. c) Chứng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang cân. đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB đều. Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn. Bài 1:Cho hai đường tròn (O), (O') cắt A, B. Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) điểm E, F. Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF. a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI. b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đường tròn. c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB. Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp. Bài 2:Cho tam giác ABC. Hai đường cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC. 107 Ôn tập toán lớp NTVKN a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn.Xác định tâm O đường tròn đó. b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) điểm thứ I. Chứng minh điểm A, I, F, H, E nằm đường tròn. Bài 3:Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B. Tia OA cắt đường tròn (O') C, tia O'A cắt đường tròn (O) D. Chứng minh rằng: a) Tứ giác OO'CD nội tiếp. b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đường tròn. Bài 4:Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC BD cắt E. Vẽ EF vuông góc AD. Gọi M trung điểm DE. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp được. b) Tia CA tia phân giác góc BCF. c)* Tứ giác BCMF nội tiếp được. Bài 5:Từ điểm M bên đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C. Vẽ CD ⊥ AB, CE ⊥ MA, CF ⊥ MB. Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp được. b) CD2 = CE. CF c)* IK // AB Bài 6:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn. Vẽ hai đường cao BD CE. a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đường tròn. b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA ⊥ DE. Bài 7:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy điểm M. Đường thẳng qua A song song với BM cắt CM N. a) Chứng minh tam giác AMN tam giác đều. b) Chứng minh MA + MB = MC. c)* Gọi D giao điểm AB CM. Chứng minh rằng: 1 + = AM MB MD Bài 8:Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C. Một đường tròn (O) thay đổi qua B C. Vẽ đường kính MN vuông góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đường tròn (O) Tại điểm thứ hai F. Hai dây BC MF cắt E. Chứng minh rằng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp được. b) AD. AE = AF. AN c) Đường thẳng MF qua điểm cố định. Bài 9:Từ điểm A bên đường tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Gọi M trung điểm AB. Tia CM cắt đường tròn điểm N. Tia AN cắt đường tròn điểm D. a) Chứng minh MB2 = MC. MN b) Chứng minh AB// CD c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi. Tính diện tích cử hình thoi đó. Bài 10:Cho đường tròn (O) dây AB. Gọi M điểm cung nhỏ AB. Vẽ đường kính MN Cắt AB I. Gọi D điểm thuộc dây AB. Tia MD cắt đường tròn (O) C. a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp b) Chứng minh tích MC. MD có giá trị không đổi D di động dây AB. c) Gọi O' tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Chứng minh ∠MAB = ∠ AO'D. 108 Ôn tập toán lớp NTVKN d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Bài 11:Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB. Vẽ CE vuông góc với AD ( E ∈ AD). a) Chứng minh AHEC tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC. c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE. d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA. CH cung nhỏ AH đường tròn nói biết AC= 6cm, ∠ACB = 300. Bài 12:Cho đường tròn tâm O có đường kính BC. Gọi A Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D điểm thuộc bán kính OC. Đường vuông góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F. a) Chứng minh ADCF tứ giác nội tiếp. b) Gọi M trung điểm EF. Chứng minh ∠AME = ∠ACB. c) Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn (O). d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đường tròn (O) biết BC= 8cm, ∠ABC = 600. Bài 13:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Điểm M thuộc nửa đường tròn. Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm). Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đường tròn (M) ( C, D tiếp điểm). a) Chứng minh C, M, D thẳng hàng b) Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn (O). c) Tính tổng AC + BD theo R. d) Tính diện tích tứ giác ABDC biết ∠AOM = 600. Bài 14:Cho ∆ vuông cân ABC (∠A = 900), trung điểm I cạnh BC. Xét điểm D tia AC. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tương ứng M, N, P. a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đường tròn. b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng. c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP H, K. Tam giác HNK tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC. Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy. Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O') cắt hai điểm A B. Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) (O') C C'. Đường thẳng AO' cắt đường tròn (O) (O') D D'. a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đường thẳng CD đường thẳng D'C' cắt M. Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp. Bài 2:Từ điểm C đường tròn ( O) kể cát tuyến CBA. Gọi IJ đường kính vuông góc với AB. Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) M, N. a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D. b) Chứng minh tiếp tuyến đường tròn (O) M, N qua trung điểm E CD. Bài 3:Cho hai đường tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ). Đường nối tâm OO' cắt đường tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A). EF dây cung đường tròn (O) vuông góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đường tròn (O') D. a) Tứ giác BEFC hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng. c) CF cắt đường tròn (O’) G. Chứng minh ba đường EG, DF CI đồng quy. d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’). 109 Ôn tập toán lớp NTVKN Bài 4:Cho đường tròn (O) (O’) tiếp xúc C. AC BC đường kính (O) (O’), DE tiếp tuyến chung (D ∈ (O), E ∈ (O’)). AD cắt BE M. a) Tam giác MAB tam giác gì? b) Chứng minh MC tiếp tuyến chung (O) (O’). c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB. Ex cắt By N. Chứng minh D, N, C thẳng hàng. d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB OO’. Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tòn I, K. Chứng minh OI // AK. Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định. Bài 1:Cho đường tròn (O ; R). Đường thẳng d cắt (O) A, B. C thuộc d (O). Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB D. CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K. a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp. b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD. c) Chứng minh IC phân giác tam giác AIB. d) A, B, C cố định, (O) thay đổi qua A, B. C/m IQ qua điểm cố định. Bài 2:Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R). M di động AB. N di động tia đối tia CA cho BM = CN. a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D. Chứng minh D cố định. b) Tính góc MDN. c) MN cắt BC K. Chứng minh DK vuông góc với MN. d) Đặt AM = x. Tính x để diện tích tam giác AMN lớn nhất. Bài 3:Cho (O ; R). Điểm M cố định (O). Cát tuyến qua M cắt (O) A B. Tiếp tuyến (O) A B cắt C. a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K. b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M. c) CH cắt AB N, I trung điểm AB. Chứng minh MA.MB = MI.MN. d) Chứng minh: IM.IN = IA2. Bài 4:Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O. C điểm cung AB. M di động cung nhỏ AC. Lấy N thuộc BM cho AM = BN. a) So sánh tam giác AMC BCN. b) Tam giác CMN tam giác gì? c) Kẻ dây AE//MC. Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành. d) Đường thẳng d qua N vuông góc với BM. Chứng minh d qua điểm cố định. Bài 5:Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) hai điểm C D. Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB. I trung điểm CD. a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đường tròn. b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d. Chứng minh AB qua điểm cố định. d) Đường thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD E K. Chứng minh EC = EK Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học. Bài 1:Cho đường tròn (O) dây AB. M điểm cung AB. C thuộc AB, dây MD qua C. a) Chứng minh MA2 = MC.MD. b) Chứng minh MB.BD = BC.MD. c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B. d) Gọi R1, R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD. Chứng minh R + R2 không đổi C di động AB. Bài 2:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R điểm M nửa đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt tiếp tuyến A, B C E. 110 Ôn tập toán lớp NTVKN a) Chứng minh CE = AC + BE. b) Chứng minh AC.BE = R2. c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE. d) Xét trường hợp hai đường thẳng AB CE cắt F. Gọi H hình chiếu vuông góc M AB. + Chứng minh rằng: HA FA = . HB FB + Chứng minh tích OH.OF không đổi M di động nửa đường tròn. Bài 3:Trên cung BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P bất kì. Các đường thẳng AP BC cắt Q. Chứng minh rằng: 1 = + . PQ PB PC Bài 4:Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox đặt đoạn OA = a. Dựng đường tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C. Chứng minh hệ thức: a) 1 + = 2. 2 AB AC a b) AB2 + AC2 = 4R2. Chủ đề 6: Các toán tính số đo góc số đo diện tích. Bài 1:Cho hai đường tròn (O; 3cm) (O’;1 cm) tiếp xúc A. Vẽ tiếp tuyến chung BC (B ∈ (O); C ∈ (O’)). a) Chứng minh góc O’OB 600. b) Tính độ dài BC. c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đường tròn. Bài 2:Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. Vẽ phía AB nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K. Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E. Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đường tròn (I), (K). a) Chứng ming EC = MN. b) Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đường tròn (I), (K). c) Tính độ dài MN. d) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn. Bài 3:Từ điểm A bên đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn. Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q. a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động cung BC nhỏ chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi. b) Cho biết BAC = 600 bán kính đường tròn (O) cm. Tính độ dài tiếp tuyến AB diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC cung nhỏ BC. Bài 4:Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp , K tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK. a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K thuộc đường tròn. b) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đường tròn (O). c) Tính bán kính đường tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm. Bài 5: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. E điểm đường tròn mà AE > EB. M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB. a) Chứng minh ∆AOM vuông O. b) OM cắt đường tròn C D. Điểm C điểm E phía AB. Chứng minh ∆ACM đồng dạng với ∆AEC. c) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM. d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm AEC 111 . Tính AC, AE, AM, CM theo R. Ôn tập toán lớp NTVKN Chủ đề 7: Toán quỹ tích. Bài 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) M điểm di động đường tròn đó. Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM. a) Chứng minh ∆BPM cân. b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đường tròn (O). Bài 2: Đường tròn (O ; R) cắt đường thẳng d hai điểm A, B. Từ điểm M d đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ. a) Chứng minh góc QMO góc QPO đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động d. b) Xác định vị trí M để MQOP hình vuông? c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn nội tiếp tam giác MPQ M di động d. Bài 3: Hai đường tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B. Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) (I) P, Q. Gọi C giao điểm hai đường thẳng PO QI. a) Chứng minh tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp. b) Gọi E, F trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF. Khi đường thẳng d quay quanh A K chuyển động đường nào? c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất. 112 [...]... cỏc s ab = 10a + b ; abc = 100 a + 10b + c iu kin: 0 < a 9; 0 b, c 9 (a, b, c Z ) Dng 3: Toỏn lm chung, lm riờng, nng sut * Bi toỏn lm chung, lm riờng: + Qui c: C cụng vic l 1 n v + Tỡm trong 1 v thi gian i tng tham gia bi toỏn thc hin c bao nhiờu phn cụng vic 1 + Cụng thc: Phn cụng vic = Thời gian + S lng cụng vic = Thi gian Nng sut * Bi toỏn nng sut: + Gm ba i lng: Tng sn phm ; nng sut; thi gian... 2 21 9 5 2 2 Bi 9: Cho A = 11 + 96 v B = Khụng dựng bng s, mỏy tớnh, hóy so sỏnh A v B 1+ 2 3 a/ 3 + 5 v 2 2 + 6 ; b/ Bi 10: Chng minh cỏc ng thc sau: a/ ( 2 2 ) ( 5 2 ) ( 3 2 5 ) = 20 2 33 ; 2 c/ b/ 8 + 2 10 + 2 5 + 8 2 10 + 2 5 = 2 + 10 1 1 1 + + + =9 1+ 2 2+ 3 99 + 100 Bi 11: Tỡm x, bit x 2 x1 = 2 a/ b) ( 4 x) 2 81 = 36 c) x + x +1 =3 x Bi 12: Gii cỏc phng trỡnh sau: a, 3x + 9 + x 4 =... thẳng trên với trục tung và trục hoành Hớng dẫn : 1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b 2 = a + b a = 3 4 = a + b b = 1 Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt : Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x 1 2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 3 Vớ d 2: Cho hm s y = (m 2)x + m + 3 1) Tỡm iu kin ca m ... 3 x +2 x +3 x +2 x Bài 54: Cho biểu thức : P = ữ: 2 ữ x 5 x +6 2 x x 3 ữ x +1 ữ 1 5 a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm x để P 2 2x 5 x +1 x + 10 Bài 55: Cho A = với x 0 Chứng minh rằng giá trị của + + x+3 x +2 x+4 x +3 x+5 x +6 A không phụ thuộc vào biến số x a +1 a +1 ab + a ab + a Bài 56: Cho biểu thức: M = ab + 1 + ab 1 1 : ab + 1 ab 1 + 1 a) Rút gọn M B) Tính giá... 3 x 2 : Bài 84: Cho các biểu thức B = 1 x + x 6 2 x x +3 x9 b) Rút gn B b) Tim x để B > 0 c) Vi x > 4; x 9 , Tim GTNN B( x + 1) 2x 5 x +1 x + 10 Bài 85: Cho A = với x 0 Chứng minh rằng giá trị của + + x+3 x +2 x+4 x +3 x+5 x +6 A không phụ thuộc vào biến số x T3-11,12 HM S BC NHT A Kin thc I Khỏi nim chung 1 Khỏi nim v hm s (khỏi nim chung) Nu i lng y ph thuc vo i lng thay... ) 2 6 = 9 2 4 c/ ( 2 5) 2 4 ( 2 + 5) 2 b/ 2 + 3 + 2 3 = 6 =8 75 + 48 300 d/ Bi 5: So sỏnh ( khụng dựng bng s hay mỏy tớnh b tỳi ) a/ 2 + 3 v 10 b/ 2003 + 2005 v 2 2004 Bi 6: Thc hin phộp tớnh: a/ ( ( ) c/ 2 8 + 3 5 7 2 12 + 75 + 27 : 15 b/ 252 700 + 100 8 448 Bi 7: Rỳt gn cỏc biu thc sau: a/ d/ 2 3 1 3 + ; 2 2 2+ 2 3 3 : 2 +1 3 1 b/ 3 + 2 2 + 6 4 2 ; c/ 5 3 v 3 5 )( 72 5 20 2 2 2+ 3 2+ 3... ca m ng thng y = (m 2 3m)x + m2 2m + 2 song song vi ng thng AB ng thi i qua im C(0 ; 2) Hng dn : 1) Gi pt ng thng AB cú dng : y = ax + b 1 = a + b a = 2 1 = 2 a + b b = 3 Do ng thng i qua hai im (1 ; 1) v (2 ;-1) ta cú h pt : Vy pt ng thng cn tỡm l y = - 2x + 3 2) ng thng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song vi ng thng AB ng thi i qua im C(0 ; 2) ta cn : 2 m 3m = 2 m = 2 2 m 2 m + 2 = 2... 3 x + y = 7 5 x + 2 y = 6 3x 4 y = 2 4 x + y = 2 3 x + y = 3 5) 2 x y = 7 4 x + 3 y = 6 6) 2 x + y = 4 ; x y = 1 ; 3x + 2 y = 3 9) ; x + 2 y = 5 ; 3 x y = 1 3x 2 y = 10 7) 2 1 x 3 y = 3 3 3 x y 5 = 0 ; x + y 3 = 0 10) 11) y x = 5 2 15) ; 2 x y = 6 x = 3 2y 13) ; 2 x + 4 y = 2007 3 x y = 2 14) ; 3 y + 9 x = 6 2 x + y = 5 17) 3 3 15 ; 2 x + 4 y = 2 ( x + 5)( y 2) = ( x... 3) = 4 ; ( x 3)( y + 1) ( x 3)( y 5) = 1 20) x y 3x y = 5 =1 ; 24) 2 3 5 x + 2 y = 23 5x 8 y = 3 ; 7x 3y = 5 ; 4x + y = 2 21) x 2 = 25) y 3 ; x + y 10 = 0 33 2 x + y = 4 3 x y = 1 8) 0, 2 x 3 y = 2 x 15 y = 10 12) 2 x + 3 y = 6 16) 5 5 x+ y =5 3 2 x + 3 y = 2 5 x 4 y = 11 19) 3x 2 y = 11 22) 23) 4 x 5 y = 3 3 x + 5 y = 1 26) ; 27) 2 x y = 8 ễn tp toỏn lp 9 5x... nghim 2 m x + (3m -1)y = 2 Bi 7: Xỏc nh giỏ tr ca a cỏc ng thng sau ng quy: y = ax, y = 3x 10 v 2x + 3y = -8 Bi 8 : Cho ba im A(3 ; 5), B(3 ; 2), C(2 ; -1) Chng minh rng ba im A, B, C thng hng Bi 9: Lp phng trỡnh ng thng i qua giao im ca hai ng thng 2x 3y = 8v 5x + 4y = -3 v song song vi ng thng y = 2x 1 Bi 10: Tỡm giỏ tr ca m cỏc ng thng: (d1): mx + (m 1)y = 3m + 4 v (d2): 2mx + (m + 1)y = m 4 . Luôn có giá trị dương (khi đó A có nghĩa với mọi x). . Hoặc luôn có giá trị âm (khi đó A không có nghĩa với mọi x) Ví dụ : Xác định giá trị của biến để biểu thức sau xác định: a) 42 −x có. không? ( xem lại các cách thừa chung của lớp 8 ) → Có hằng đẳng thức không? ( xem lại 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ của lớp 8 ) → Liên hợp được không? ( xem lại phương pháp rút gọn trong bài toán. không? ( xem lại các cách thừa chung của lớp 8 ) → Có hằng đẳng thức không? ( xem lại 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ của lớp 8 ) → Liên hợp được không? ( xem lại phương pháp rút gọn trong bài toán