II. Gúc trong đường trũn:
1. Xột tứ giỏc CEHD ta cú: ã
ã
CEH= 900 ( Vỡ BE là đường cao) ã
CDH= 900 ( Vỡ AD là đường cao) => CEHã + CDHã = 1800
Mà CEHã và CDHã là hai gúc đối của tứ giỏc CEHD, Do đú CEHD là tứ giỏc nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ⊥ AC => BECã = 900.CF là đường cao => CF ⊥ AB => BFCã = 900. CF là đường cao => CF ⊥ AB => BFCã = 900.
Như vậy E và F cựng nhỡn BC dưới một gúc 900 => E và F cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cựng nằm trờn một đường trũn.
3. Xột hai tam giỏc AEH và ADC ta cú: AEHã = ADCã = 900 ; Â là gúc chung => ∆ AEH ∼∆ADC =>
ACAH AH AD
AE = => AE.AC = AH.AD.
* Xột hai tam giỏc BEC và ADC ta cú: BECã = ADCã = 900 ; Cà là gúc chung => ∆ BEC ∼∆ADC => AC BC AD BE = => AD.BC = BE.AC. 4. Ta cú ảC1= ảA1(vỡ cựng phụ với gúc ABC) ả 2
C = ảA2 (vỡ là hai gúc nội tiếp cựng chắn cung BM)
=> ảC1= ảC2=> CB là tia phõn giỏc của gúc HCM; lại cú CB ⊥ HM => ∆ CHM cõn tại C => CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trờn bốn điểm B,C,E,F cựng nằm trờn một đường trũn => ảC1= ảE1(vỡ là hai gúc nội tiếp cựng chắn cung BF) => ảC1= ảE1(vỡ là hai gúc nội tiếp cựng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trờn CEHD là tứ giỏc nội tiếp
ảC1 = ảE2 (vỡ là hai gúc nội tiếp cựng chắn cung HD)
ảE1= ảE2=> EB là tia phõn giỏc của gúc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng cú FC là tia phõn giỏc của gúc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đú H là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc DEF.
Bài 2. Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), cỏc đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AHE.
1. Chứng minh tứ giỏc CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cựng nằm trờn một đường trũn. 3. Chứng minh ED =
21 1
BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường trũn (O). 5. Tớnh độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lời giải:
1. Xột tứ giỏc CEHD ta cú:ãCEH= 900 ( Vỡ BE là đường cao)