II. Gúc trong đường trũn:
3. Tứ giỏc ACDB nội tiếp (O) => ã ABD + ãAC D= 180 0.
ãECD+ ãACD= 1800 ( Vỡ là hai gúc kề bự) => ãECD= ãABD (cựng bự với ãACD).
Theo trờn ãABD= ãDFB=> ãECD= ãDFB. Mà ãEFD+ ãDFB= 1800 (Vỡ là hai gúc kề bự) nờn suy ra ãECD+ ãEFD= 1800, mặt khỏc ãECD và ãEFDlà hai gúc đối của tứ giỏc CDFE do đú tứ giỏc CEFD là tứ giỏc nội tiếp.
Bài 10 Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB và điểm M bất kỡ trờn nửa đường trũn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chõn đường vuụng gúc từ S đến AB.
1.Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng ∆ PS’M cõn. 2.Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường trũn .
Lời giải:
1. Ta cú SP ⊥ AB (gt) =>ãSPA= 900; ãAMB= 900 (nội tiếp chắn nửa đường trũn) =>ãAMS= 900 Như vậy P và M cựng nhỡn AS dưới một gúc bằng 900 nờn cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh AS.
Vậy bốn điểm A, M, S, P cựng nằm trờn một đường trũn.
2. Vỡ M’đối xứng M qua AB mà M nằm trờn đường trũn nờn M’ cũng nằm trờn đường trũn => hai cung AM và AM’ cú số đo bằng nhau
=> ãAMM '= ãAM'M (Hai gúc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1)
Cũng vỡ M’đối xứng M qua AB nờn MM’ ⊥ AB tại H => MM’// SS’ (cựng vuụng gúc với AB) => ãAMM '= ãAS'S; ãAM'M= ãASS' (vỡ so le trong) (2).
=> Từ (1) và (2) => ãAS'S= ãASS'.
Theo trờn bốn điểm A, M, S, P cựng nằm trờn một đ/ trũn => ãASP=ãAMP (nội tiếp cựng chắn
ằ
AP)
=> ãAS'P= ãAMP => ∆ PMS’ cõn tại P.
3. ∆ SPB vuụng tại P; ∆ SMS’ vuụng tại M => ảB1= ảS'1(cựng phụ với àS) (3)Tam giỏc PMS’ cõn tại P => ảS'1= ảM1 (4) Tam giỏc PMS’ cõn tại P => ảS'1= ảM1 (4)
Tam giỏc OBM cõn tại O ( vỡ cú OM = OB =R) => ảB1= ảM3 (5).
Từ (3), (4) và (5) =>ảM1 =ảM3 =>ảM1+ảM2=ảM3 +ảM2mà ảM3+ảM2 =ãAMB= 900 nờn suy ra
ả
1
M +ảM2=ãPMO= 900 => PM ⊥ OM tại M => PM là tiếp tuyến của đường trũn tại M
Bài 11. Cho tam giỏc ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xỳc với đường trũn (O) tại cỏc điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh :
1. ∆ DEF cú ba gúc nhọn. 2. DF // BC. 3. Tứ giỏc BDFC nội tiếp. 4.
CFBM BM CB BD = Lời giải:
1. (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta cú AD = AF => tam giỏc ADF cõn tại A => ãADF = ãAFD < 900 => sđ cung DF < 1800 => ãDEF < 900 ( vỡ gúc DEF nội tiếp chắn cung DE). ãAFD < 900 => sđ cung DF < 1800 => ãDEF < 900 ( vỡ gúc DEF nội tiếp chắn cung DE).
Chứng minh tương tự ta cú ãDFE < 900; ãEDF< 900. Như vậy ∆ DEF cú ba gúc nhọn.
2. Ta cú AB = AC (gt); AD = AF (theo trờn) => AD AF
AB= AC => DF // BC.
3. DF // BC => BDFC là hỡnh thang lại cú àB = àC (vỡ tam giỏc ABC cõn) => BDFC là hỡnh thang cõn do đú BDFC nội tiếp được một đường trũn . => BDFC là hỡnh thang cõn do đú BDFC nội tiếp được một đường trũn .
4. Xột hai tam giỏc BDM và CBF Ta cú ãDBM= ãBCF (hai gúc đỏy của tam giỏc cõn).ãBDM= ãBFD(nội tiếp cựng chắn cung DI); ãCBF= ãBFD(vỡ so le) =>ãBDM= ãCBF ãBDM= ãBFD(nội tiếp cựng chắn cung DI); ãCBF= ãBFD(vỡ so le) =>ãBDM= ãCBF => ∆BDM ∼∆CBF =>
CFBM BM CB BD=
Bài 12 Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R cú hai đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau. Trờn đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khỏc O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng vuụng gúc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường trũn ở P. Chứng minh :
1. Tứ giỏc OMNP nội tiếp. 2. Tứ giỏc CMPO là hỡnh bỡnh hành. 3. CM. CN khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm M.
4. Khi M di chuyển trờn đoạn thẳng AB thỡ P chạy trờn đoạn thẳng cố định nào.
Lời giải:
1. Ta cú ãOMP= 900 ( vỡ PM ⊥ AB ); ãONP= 900 (vỡ NP là tiếp tuyến ). Như vậy M và N cựng nhỡn OP dưới một gúc bằng 900
=> M và N cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh OP => Tứ giỏc OMNP nội tiếp.