Đang tải... (xem toàn văn)
IKIẾN THỨC CẦN NHỚ I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos2a – sin2a cos(a b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos2a –1 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin2a sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa tan(a + b) = tana + tanb1 tana.tanb tan2a = 2.tana1 tan2a tan(a b) = tana tanb1 + tana.tanb 3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos2a = sin2a = 1 cos2a2
Lý thuyết Tốn 11 I/KIẾN THỨC CẦN NHỚ I./CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos2a – sin2a cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos2a –1 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = – 2sin2a sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa tan(a + b) = tan2a = tan(a - b) = + cos 2a 3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos2a = sin2a = 4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = 2.cos cos cosa - cosb = -2.sin sin sina + sinb = 2.sin cos sina - sinb = 2.cos sin tan a + tan b = sin(a + b) cosacosb sin(a − b) cosacosb 5.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)] sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)] tan a − tan b = sin acosb= cosasinb= [ sin(a + b) + sin(a − b) ] [ sin(a + b) − sin(a − b) ] II/Các đẳng thức lượng giác : • sin α + cos α = • cot α = • • cos α ( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z ) sin α cot α + = ( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z ) sin α kπ tan α cot α = ( với ∀α ≠ ,k ∈ Z ) Cung k2π kπ : • sin ( x + k 2π ) = sin x • tan ( x + kπ ) = tan x • Cung đối : • sin ( − x ) = − sin x GV : Phạm Hồng Phượng sin α π ( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z ) cos α π * tan α + = ( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z ) cos α * tan α = cos ( x + k 2π ) = cos x cot ( x + kπ ) = cot x cos ( − x ) = cos x ĐT : 0976.580.880 (- -) Lý thuyết Toán 11 • tan ( − x ) = − tan x Cung bù : • sin ( π − x ) = sin x • tan ( π − x ) = − tan x cot ( − x ) = − cot x cos ( π − x ) = − cos x cot ( π − x ) = − cot x Cung phụ : • π sin x ữ = cos x ã π tan − x ÷ = cot x 2 Cung π/2 : π • • sin + x ÷ = cos x 2 π tan + x ÷ = − cot x 2 Cung π : • sin ( π + x ) = − sin x tan ( π + x ) = tan x • π cos − x ÷ = sin x 2 π cot − x ÷ = tan x 2 π cos + x ÷ = − sin x 2 π cot + x ÷ = − tan x 2 cos ( π + x ) = − cos x cot ( π + x ) = cot x Công thức chia đơi : • • x − cos x =± 2 x − cos x − cos x tan = ± = + cos x sin x sin cos x + cos x =± 2 Cơng thức nhân ba : • • • • sin x = 3sin x − 4sin x cos3 x = 4cos x − 3cos x 3tan x − tan x π tan x = ∀x,3 x ≠ + kπ ÷ − 3tan x cot x − 3cot x cot x = ( ∀x,3 x ≠ kπ ) 3cot x − Cơng thức hạ bậc : • sin x = ( − cos x ) GV : Phạm Hồng Phượng cos x = ( + cos x ) ĐT : 0976.580.880 (- -) Lý thuyết Tốn 11 • tan x = − cos x π ∀x ≠ + kπ ÷ + cos x • sin x = 3sin x − sin x Công thức theo t = tan • sin x = 6.BẢNG r a -π d đ -180o ộ x + cos x ( ∀x ≠ kπ ) − sin x 3cos x + cos3 x cos3 x = cot x = x : 2t 1+ t2 cos x = 1− t2 1+ t2 tan x = 2t x π ∀x, ≠ + kπ ÷ 1− t 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT - - - - - - -150o -135o -120o -90o -60o - -45o -30o π sin - - - -1 - - - -1 || - 1 - || - -1 -1 - || 45o 60o 90o cos tan cot 30o 120o 135o || 1 Tập xác định Taäp y = cosx D=R T = [– ; ] D=R\{ D=R T = [– ; ] y = tanx GV : Phạm Hồng Phượng π + kπ} R ĐT : 0976.580.880 180o -1 -1 - KIẾN THỨC CƠ BẢN y = sinx 150o y = cotx D = R \ {kπ} R (- -) - -1 || Lý thuyết Toán 11 giá trị Chu kỳ Tính chẵn lẻ Sự biến thiên T = 2π T = 2π T=π T=π Lẻ Chẵn Lẻ Lẻ Đồng biến trên: π π − + k2π ; + k2π ÷ Đồng biến trên: ( −π + k2π ; k2π ) Đồng biến khoảng: π π − + kπ ; + kπ ÷ Nghịch biến khoảng: ( kπ ; π + kπ ) Nghịch biến trên: π 3π + k2π ÷ + k2π ; 2 x Bảng biến thiên y = sinx –π − π Nghịch biến trên: ( k2π ; π + k2π ) π π 0 x –1 x –π π π +∞ y = tanx − –∞ π x y =cosx +∞ π y = cotx –1 –1 –∞ a Đồ thị a y = sinx ……………………………………………………………………………… y = cosx y = tanx …………………………………………………………………………………… y = cotx II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình sinx=a.( -1≤ a ≤ 1) x = arcsina+k2π sinx = a ⇔ ;k∈Z x = π − arcsina+k2π sinx = ⇔ x = kπ; k ∈ Z sinx = ⇔ x = + k2π; k ∈ Z GV : Phạm Hồng Phượng x = α +k2π +sinx = sinα ⇔ ; k ∈ Z ( a = sinα) x = π − α +k2π ĐT : 0976.580.880 (- -) Lý thuyết Toán 11 sinx = -1 ⇔ x = -+ k2π; k ∈ Z 2.Phương trình cosx=a.( -1≤ a ≤ 1) x = arccosa+k2π x = α +k2π cosx = a ⇔ ; k ∈ Z +cosx = cosα ⇔ ; k ∈ Z ( a = cosα) x = −arccosa+k2π x = −α +k2π cosx = ⇔ x = + kπ; k ∈ Z cosx = ⇔ x = k2π; k ∈ Z cosx = -1 ⇔ x = π+ k2π; k ∈ Z 3.Phương trình tanx=a π TXĐ: ¡ \ + kπ , k ∈ ¢ 2 + t anx=a ⇔ x=arctana+kπ ,k ∈ ¢ π tanx=1 ⇔ x= + kπ , k ∈ ¢ π tanx=-1 ⇔ x=- + kπ , k ∈ ¢ t anx=0 ⇔ x=kπ , k ∈ ¢ 4.Phương trình cotx=a TXĐ: ¡ \ { kπ , k ∈ ¢ } + tanx=tanα ⇔ x=α +kπ ,k ∈ ¢ + co t x=a ⇔ x=arccota+kπ ,k ∈ ¢ π cotx=1 ⇔ x= + kπ , k ∈ ¢ π cotx=-1 ⇔ x=- + kπ , k ∈ ¢ π co t x=0 ⇔ x= + kπ , k ∈ ¢ + cotx=cotα ⇔ x=α +kπ ,k ∈ ¢ III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình a.sinx+bcosx=c ( a + b ≠ ) ⇔ đặt: a s inx+ a + b2 a cosα = a + b2 b sin α = a + b2 b a + b2 cosx= phương trình trở thành: s inxcosα + cosx sin α = ⇔ sin( x + α ) = c a + b2 c a + b2 c a + b2 *Chú ý +Phương trình có nghiệm c ≤ a + b +Nếu a.b ≠ 0, c = thì: a sin x + b cos x = ⇔ tan x = − b a 2.Phương trình : asin x + b s inxcosx+ccos x = (1) +Nếu a = 0: b s inxcosx+ccos x = GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- -) Lý thuyết Toán 11 cosx=0 ⇔ cosx(bsinx+ccosx)=0 ⇔ bsinx+ccosx=0 +Nếu c = 0: asin x + b s inxcosx=0 sinx=0 ⇔ sinx(asinx+bcosx)=0 ⇔ asinx+bcosx=0 sin x s inxcosx cos x +b +c =0 cos x cos x cos x ⇔ a tan x + b t anx+c=0 +Nếu a ≠ 0, c ≠ 0, cos x ≠ : (1) ⇔ a IV /Các kết thường dùng : • • • • • • • • • π π sin x + cos x = sin x + ÷ = cos x − ÷ 4 4 π π sin x − cos x = sin x − ÷ = − cos x + ÷ 4 4 π tan x + cot x = −2cot x ∀x ≠ k ÷ 2 π tan x − cot x = ∀x ≠ k ÷ sin x 2 sin x + cos x = + cos x 4 sin x + cos x = + cos x 8 π x + sin x = 2cos − ÷ 2 π x − sin x = 2sin − ÷ 2 π cos x − ÷ 4 + tan x = cos x π sin − x ÷ 4 − tan x = cos x V/ Các đẳng thức tam giác : • • • • • • • • A B C cos cos 2 A B C cos A + cos B + cos C = + 4sin sin sin 2 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = cos A + cos B + cos C = − 2cos A cos B cos C sin A + sin B + sin C = + 2cos A cos B cos C sin A + sin B + sin 2C = 4sin A sin B sin C cos A + cos B + cos 2C = −1 − 4cos A cos B cos C sin A + sin B + sin C = 4cos GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- -) Lý thuyết Toán 11 • • A B C A B C + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 cot VI/Các phương trình lượng giác thường gặp : Các họ nghiệm : • • u = v + k 2π sin u = sin v ⇔ u = π − v + k 2π π v ≠ + lπ tan u = tan v ⇔ ( ∀k , l ∈ ¢ u = v + kπ u = v + k 2π cos u = cos v ⇔ ( ∀k ∈ ¢ u = −v + k 2π v ≠ lπ cot u = cot v ⇔ ( ∀k , l ∈ ¢ u = v + kπ ) 1/Phương trình bậc theo hàm số lượng giác u : −b ( 1) a a sin u + b = −b cos u = ( 2) a cos u + b = a ;a ≠ → Có dạng: a tan u + b = −b tan u = ( 3) a a cot u + b = −b cot u = ( 4) a sin u = Đối với phương trình (1) (2) cần có thêm điều kiện − b π − π ; α ∈ ; a 2 − b cos α = ; α ∈[ 0; π ] a − b π − π tan α = ; α ∈ ; a 2 − b cot α = ; α ∈[ 0; π] a −b ≤1 a sin α = Chọn α cho ⇒ đưa họ nghiệm để giải Phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác u : sin u = t t ≤1 cos u = t a sin u + b sin u + c = Có dạng: a cos u + b cos u + c = a tan u + b tan u + c = a cot u + b tan u + c = ; a ≠ Đặt tan u = t cot u = t ⇒ Phương trình bậc hai at2 + bt + c = Giải phương trình tìm t (xét điều kiện có) ⇒ họ nghiệm bản, giải tìm x Các dạng khác : Dạng phương trình GV : Phạm Hồng Phượng Phương pháp giải ĐT : 0976.580.880 (- -) ) ) Lý thuyết Toán 11 Dạng : Phương trình bậc bậc hai f(x),trong f(x) biểu thức lượng giác Đặt ẩn phụ t = f(x) Cách : Biến đổi vế trái dạng C sin ( x + α ) với C = a + b ,α số thực cho Dạng : Phương trình bậc sin x cos x cos α = a a +b 2 sin α = b a + b2 Cách : • Tìm nghiệm thỏa cos • x =0 Với cos x x ≠ đặt t = tan ta có: 2 2t 1− t sin x = ; Đưa cos x = 1+ t 1+ t2 phương trình cho thành phương trình bậc hai theo ẩn t Dạng : Phương trình đối xứng với sin x cos x : • • a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = a ( sin x − cos x ) + b sin x cos x + c = Đặt π t = sin x ± cos x = sin x ± ÷∈ − 2; 4 t2 −1 sin x cos x = ± ÷ Cách : • Tìm nghiệm thỏa cos x = • Với cos x ≠ chia hai vế Dạng : Phương trình bậc hai phương trình cho cos x dể đưa sin x cos x : phương trình cho dạng phương 2 trình bậc hai theo ẩn tan x a sin x + b sin x cos x + c cos x = Cách : • Tìm nghiệm thỏa sin x = • Với sin x ≠ chia hai vế phương trình cho sin x dể đưa phương trình cho dạng phương trình bậc hai theo ẩn cot x Dạng : Phương trình bậc ba Cách giải tương tự phương trình bậc hai chia hai vế cho cos3 x sin x cos x : a sin x + b cos3 x + c sin x cos x + d sin x cos x +hoặc sin x ý áp dụng đẳng thức lượng giác + e sin x + f cos x = Kết hợp công thức nghiệm : Kết hợp công thức nghiệm các PTLG chẳng những giúp cho ta có thể loại được nghiệm ngoại lai mà còn có thể có được một công thức nghiệm đơn giản hơn, từ đó việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản (giớng tốn mà ta vừa xét ở trên) Đôi lúc việc kết hợp công thức nghiệm cũng tương tự GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- -) Lý thuyết Toán 11 việc giải một hệ phương trình lượng giác bản bằng phương pháp thế Ở ta không đề cặp đến phương pháp này mà ta chỉ nói đến hai phương pháp chủ yếu sau : a) Đường tròn lượng giác * Các khái niệm bản : • Đường tròn lượng giác: là đường tròn có bán kính đơn vị R = và đó ta đã chọn một chiều • dương ( + ) (thông thường chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) Cung lượng giác: » (với A, B là điểm đường tròn lượng giác) là cung vạch bởi điểm M AB • di chuyển đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến B Góc lượng giác: khác với góc bình thường góc lượng giác có một chiều nhất định *Phương pháp biểu diễn góc và cung lượng giác : • Biểu diễn các điểm ngọn của cung lượng giác biết số đo có dạng α + kπ : 2π m Một số công thức chính được dùng nhiều ở phương pháp này : cot gx − tgx = cot g 2x Ta đưa số đo về dạng α + k cot gx + tgx = sin x − cot gx = − cot g 2x sin x TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Bài QUI TẮC ĐẾM 1/ QUY TẮC CỘNG QUY TẮC Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m+n cách thực Chú ý Quy tắc cộng mở rộng cho nhiều trường hợp 2/ QUY TẮC NHÂN QUY TẮC Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc Chú ý Quy tắc nhân mở rộng cho nhiều trường hợp Bài 2.HOÁN VỊ - CHỈNH HP - TỔ HP HOÁN VỊ Định nghóa : Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi kết thứ tự n phần tử tập hợp GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- -) Lý thuyết Tốn 11 A gọi hoán vị n phần tử Giai thừa: n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = n! = (n–1)!n n! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) p! n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) (n − p)! Hoán vị (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! = 1.2.3………(n-1).n Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử gồm n phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự gọi hoán vị lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử Số hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử laø: n! Pn(n1, n2, …, nk) = n1 ! n2 ! nk ! Hoán vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hoán vị vòng quanh n phần tử Số hoán vị vòng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! CHỈNH HP Định nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử( n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử cuûa tập hợp A thứ tự chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử đcho Số chỉnh hợp chập k n phần tử : Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử k A n k A n = n! (n − k )! Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 ≤ k ≤ n) theo thứ tự đóđược gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A n! k Số chỉnh hợp chập k n phần tử: An = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = (n − k )! • Công thức cho trường hợp k = k = n n • Khi k = n An = Pn = n! GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- 10 -) Lý thuyết Tốn 11 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp: Có thể sử dụng cách sau: Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …) Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba Áp dụng định lí giao tuyến song song VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp: • Tìm điểm chung hai mặt phẳng • Áp dụng định lí giao tuyến để tìm phương giao tuyến Giao tuyến đường thẳng qua điểm chung song song với đường thẳng III ĐƯỜNG THẲNG MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghóa d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅ Tính chất • Nếu đường thẳng d không nằm mặt phẳng (P) d song song với đường thẳng d′ nằm (P) d song song với (P) • Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) cắt theo giao tuyến song song với d • Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng • Nếu hai đường thẳng a b chéo có mặt phẳng chứa a song song với b VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d′ nằm (P) VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp: Tìm phương giao tuyến Từ xác định thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng song song với hai đường thẳng cho trước IV HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghóa P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ Tính chất • Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) song song với (Q) GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- 35 -) Lý thuyết Tốn 11 • Nếu đường thẳng d song song với mp(P) có mp(Q) chứa d song song với (P) • Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với • Cho điểm A ∉ (P) đường thẳng qua A song song với (P) nằm mp(Q) qua A song song với (P) • Nếu mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng giao tuyến chúng song song với • Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng • Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ • Định lí Thales đảo: Giả sử hai đường thẳng d d′ lấy điểm A, B, C vaø A′, B′, C′ cho: AB BC CA = = A ' B ' B 'C ' C ' A ' Khi đó, ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ nằm ba mặt phẳng song song, tức chúng song với mặt phẳng VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp: • Tìm phương giao tuyến cách sử dụng định lí: Nếu mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ ba giao tuyến song song • Sử dụng định lí để xác định thiết diện hình chóp bị cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghóa phép toán • Định nghóa, tính chất, phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng • Lưu ý: uuu uuu uuu r r r + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC r uuu uuu uuu r r + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:r AB + AD = AC r uuu uuu uuur uuuu r + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: AB + AD + AA ' = AC ' GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- 36 -) Lý thuyết Toán 11 + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý uuu uuu r r uu r uu uu r r r Ta coù: IA + IB = ; OA + OB = 2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu r r r uuu r r GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có: uuu uuu uuu uuu r r r r uuu uuu uuu uuu r r r r uuu r r GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG r r r r r r + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a ≠ 0) ⇔ ∃! k ∈ R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ sốrk (k ≠ 1), O tuỳ ý Ta có: uuu uuu r uuu r uuur MA = k MB; uuur OA − kOB u OM = 1− k Sự đồng phẳng ba vectơ • Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng r r r rr • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , a b không r rr r r r phương Khi đó: a, b , c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c = ma + nb r rrr • Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý r r r r Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc Tích vô hướng hai vectơ • Góc hai vectơ không gian: uuu r uuu r r r rr · · AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (00 ≤ BAC ≤ 180 ) • Tích vô hướng hai vectơ không gian: rr r r rr rr r + Cho u , v ≠ Khi đó: u.v = u v cos(u , v ) rr r r r r + Với u = v = Qui ước: u.v = r r rr + u ⊥ v ⇔ u.v = II HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC r r r Vectơ phương đường thẳng: a ≠ VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai ủửụứng thaỳng: ả à ã a//a, b//b ( a, b ) = ( a ', b ' ) rr r r • Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u, v ) = α Khi đó: ¶ ( a, b ) = α neáu 00 ≤ α ≤ 1800 neáu 900 < α ≤ 1800 180 − α ¶ • Nếu a//b a ≡ b ( a, b ) = 00 ¶ Chú ý: 00 ≤ ( a, b ) ≤ 900 GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- 37 -) Lý thuyết Toỏn 11 Hai ủửụứng thaỳng vuoõng goực: ả ã a ⊥ b ⇔ ( a, b ) = 900 r r rr • Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ⊥ b ⇔ u.v = • Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo III ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Định nghóa d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a, b ⊂ (P ), a ∩ b = O ⇒ d ⊥ (P ) d ⊥ a, d ⊥ b Tính chất • Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng a ⁄⁄b a ≠ b • (P ) ⊥ a ⇒ (P ) ⊥ b • a ⊥ (P ), b ⊥ (P ) ⇒ a ⁄⁄b ( P ) ⁄⁄ (Q) • a ⊥ (P ) ⇒ a ⊥ (Q) • (P ) ⊥ a,(Q) ⊥ a ⇒ (P) ⁄⁄(Q) a ⁄⁄ (P ) • b ⊥ (P ) ⇒ b ⊥ a ( P ) ≠ (Q) a ⊄ (P) • a ⊥ b,(P ) ⊥ b ⇒ a ⁄⁄( P ) Định lí ba đường vuông góc Cho a ⊥ (P ), b ⊂ (P) , a′ hình chiếu a (P) Khi b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ Góc đường thẳng mặt phẳng · • Nếu d ⊥ (P) ( d ,(P) ) = 900 · · • Nếu d ⊥ (P ) ( d ,(P) ) = ( d , d ' ) với d′ hình chiếu d (P) · Chú ý: 00 ≤ ( d ,(P) ) ≤ 900 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) • Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P) • Chứng minh d // a a ⊥ (P) * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d ⊥ a, ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a • Sử dụng định lí ba đường vuông góc GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- 38 -) Lý thuyết Tốn 11 • Sử dụng cách chứng minh biết phần trước IV HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Góc hai maởt phaỳng a (P ) à ả ã b ⊥ (Q) ⇒ ( (P ),(Q) ) = ( a, b ) a ⊂ ( P ), a c à ả ã Giaỷ sửỷ (P) (Q) = c Từ I ∈ c, dựng b ⊂ (Q), b ⊥ c ⇒ ( (P ),(Q) ) = ( a, b ) · Chú ý: 00 ≤ ( (P),(Q)) ≤ 900 Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S′ · diện tích hình chiếu (H′) (H) (Q), ϕ = ( (P ),(Q) ) Khi đó: S′ = S.cosϕ Hai mặt phẳng vuông góc · • (P) ⊥ (Q) ⇔ ( (P ),(Q) ) = 90 ( P ) ⊃ a • Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: a ⊥ (Q) ⇒ (P ) ⊥ (Q) ( P ) ⊥ (Q),( P ) ∩ (Q) = c ⇒ a ⊥ (Q ) Tính chất• a ⊂ ( P), a ⊥ c ( P ) ⊥ (Q) ⇒ a ⊂ (P ) • A ∈ (P ) a ∋ A, a ⊥ (Q) ( P ) ∩ (Q) = a • (P ) ⊥ ( R) ⇒ a ⊥ ( R) (Q) ⊥ ( R) VẤN ĐỀ 1: Góc hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta sử dụng cách sau: · ¶ • Tìm hai đường thẳng a, b: a ⊥ (P), b ⊥ (Q) Khi đó: ( (P ),(Q) ) = ( a, b ) a ⊂ ( P ), a c à ả ã Giaỷ sửỷ (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng b ⊂ (Q), b ⊥ c ⇒ ( (P ),(Q) ) = ( a, b ) VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a ⊥ (Q) · • Chứng minh ( (P ),(Q) ) = 900 * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q) • Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) (R) ⊥ (P) GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- 39 -) Lý thuyết Tốn 11 • Sử dụng cách chứng minh biết phần trước VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu đa giác Phương pháp: Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S′ diện tích hình chiếu · (H′) (H) (Q), ϕ = ( (P ),(Q) ) Khi đó: S′ = S.cosϕ IV KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng d ( M , a) = MH d ( M ,( P )) = MH H hình chiếu M a (P) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) Khoảng cách hai đường thẳng chéo • Đường thẳng ∆ cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung a, b • Nếu ∆ cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vuông góc chung a, b • Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b • Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với • Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng VẤN ĐỀ 1: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách 1: Giả sử a ⊥ b: • Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a A • Dựng AB ⊥ b B ⇒ AB đoạn vuông góc chung a b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song • Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a • Chọn M ∈ a, dựng MH ⊥ (P) H • Từ H dựng đường thẳng a′ // a, cắt b B • Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A ⇒ AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)) Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc • Dựng mặt phẳng (P) ⊥ a O • Dựng hình chiếu b′ b (P) • Dựng OH ⊥ b′ taïi H GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- 40 -) Lý thuyết Tốn 11 • Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B • Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A ⇒ AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH § VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN Dạng XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ VỀ VECTƠ I)CÁC ĐỊNH NGHĨA 1)Vec tơ , giá, độ dài vec tơ •Vec tơ khơng gian đoạn thẳng có hướng •Giá vec tơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vec tơ Hai vec tơ gọi phương giá chúng song song trùng Hai vec tơ phương hướng ngược hướng •Độ dài vec tơ độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối vec tơ 2)Hai vec tơ nhau, vec tơ -khơng rr r r • a, b chúng có độ dài hướng kí hiệu a = b •Ve tơ- khơng vec tơ có điểm đầu điểm cuối trùng II)PHÉP CỘNG VÀ TRỪ VEC TƠ 1)Định nghĩa r r uuu r uuu r r r •Cho hai vectơ a b Trong không gian lấy điểm A tùy ý, vẽ AB = a , BC = b Vec tơ uuu r r r uuu uuu uuu r r r r r AC gọi tổng hai vec tơ a b , kí hiệu AC = AB + BC = a + b r r r r r r r r •Vec tơ b vec tơ đối a b = a a , b ngược hướng kí hiệu a = - b r r r r • a - b = a + (- b ) 2)Tính chất r r r r r r r r r r •a + b= b+a •( a + b )+ c = a +( b + c ) r r r r r r r r r r r a + −a = −a + a = •a + a + = 0+ a = a • ( ) 3)Các quy tắc a)Quy tắc điểm Với ba điểmuuu uuu uuu r r A,B,C ta có r AB + BCr= AC uuu uuu uuu r r BC = AC − AB B A C GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- 41 -) Lý thuyết Toán 11 b)Quy tắc hình bình hành uuu uuu uuu r r r Với hình bình hành ABCD ta có AB + AD = AC B C A D c)Quy tắc hình hộp uuuu r uuu uuu uuur u r r AC / = AB + AD + AA/ B C A D C' B' A' D' III)TÍCH CỦA VEC TƠ VỚI MỘT SỐ 1)Định nghĩa r r r r Cho số k≠0 vec tơ a ≠ Tích vec tơ a với số k vec tơ, kí hiệu k a , r r r hướng với a k > 0, ngược hướng với a k 90 góc (α) (β) 1800 - xOy Cách 2.Nếu (α) (β) chứa hai tam giác ACD, BCD có cạnh đáy CD gọi I trung điểm CD ,ta có AI ⊥ CD, BI ⊥ CD Từ tính góc AIB Cách Diện tích hình chiếu : S/=S cosα II/ HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC 1/ Định nghĩa Hai mặt phẳng (α) (β) gọi vuông góc với góc hai mặt phẳng góc vng 2/ Tính chất a/ Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng b/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng c/ Cho hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng (β) đường thẳng nằm mặt phẳng (α) d/ Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- 46 -) Lý thuyết Tốn 11 III/ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật Hình lập phương hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng IV/ HÌNH CHĨP ĐỀU VÀ HÌNH CHĨP CỤT ĐỀU Hình chóp hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt tất cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng với Dạng ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc (P) cắt (Q) theo giao tuyến d ( α ) ⊥ ( β) ( α ) ∩ ( β) = d 1/ ⇒ a ⊥ ( α) a ⊂ ( β) a ⊥ d ( β) ∩ ( γ ) = a / ( β) ⊥ ( α ) ⇒ a ⊥ ( α) ( γ ) ⊥ ( α ) § KHOẢNG CÁCH I/ KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG 1/ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng a Trong mặt phẳng (O,a) gọi H hình chiếu O a Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O,a) 2/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) khoảng cách hai điểm O H, với H hình chiếu vng góc O (α), kí hiệu d(O,(α)) II/ KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1/ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- 47 -) Lý thuyết Toán 11 Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách điểm thuộc a tới mặt phẳng (α), kí hiệu d(a,(α)) 2/ Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song (α) (β) khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng kia, kí hiệu d((α),(β)) III/ ĐƯỜNG VNG GĨC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 1/ Định nghĩa a/ Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo a, b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b b/ Nếu đường vng góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo a b M,N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b 2/ Cách tìm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a b Gọi (β) mặt phẳng chứa b song song với a, a/ hình chiếu vng góc a mặt phẳng (β) Vì a// (β) nên a//a/ Do a/ b cắt điểm Gọi điểm N Gọi (α) mặt phẳng chứa a a/ ∆ đường thẳng qua N vng góc với (β) Khi (α) vng góc vơi (β) Vậy ∆ nằm (α) nên cắt đường thẳng b N, đồng thời ∆ vuông góc với a b Do ∆ đường vng góc chung củ a b 3/ Nhận xét a/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng b/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Dạng KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P), ta làm sau: - Dựng đoạn OH vng góc với (P) - Tính đoạn OH Dạng KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT MẶT PHẲNG SONG SONG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1/ Để tính khoảng cách từ đường thẳng a đến mp(P) song song với a : - Ta lấy điểm M a - Tính khoảng cách từ điểm M đến (P) 2/ Để tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) : GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- 48 -) z Lý thuyết Toán 11 - Ta lấy điểm M tùy ý (P) - Tính khoảng cách từ M đến (Q) Dạng KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG NẰM TRONG MỘT MẶT PHẲNG Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a nằm mp(P): - Vẽ OI vng góc với (P) IH vng góc a - Tính OI ,IH suy OH Dạng 4.KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Cách tìm đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách Dùng mặt phẳng song song - Dựng mp(P) qua b song song với a - Lấy điểm M thuộc a, chiếu xuống (P) thành N - Từ N dựng đường thẳng b // a , b cắt a I - Từ I dựng đường thẳng song song với MN cắt a J IJ đoạn vng góc chung a b Cách Dùng mặt phẳng vng góc - Dựng mp(P) vng góc với a O - Chiếu b xuống (P) thành b/ - Dựng OH vng góc b/ - Từ H dựng đường thẳng song song với a, cắt b J - Từ J dựng đường thẳng song song với OH, cắt a I IJ đoạn vng góc chung a b Cách 3.Nếu biết a vng góc với b - Dựng mp(P) qua b vng góc với a I - Trong (P) , dựng IJ vng góc với b IJ đoạn vng góc chung Cách 4.Nếu tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối ( AD=BC, AC=BD) đoạn vng góc chung cặp cạnh thứ ba ( AB CD) đoạn thẳng nối trung điểm I, J chúng Cách 5.Nếu có đường thẳng d vng góc với a b d // IJ Dựa vào mp(IJ,d) ta xác định vị trí I J TRUNG TÂM DẠY KÈM VÀ LUYỆN THI THANH PHƯƠNG GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- 49 -) ... A + cos B + cos C = + 4sin sin sin 2 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = cos A + cos B + cos C = − 2cos A cos B cos C sin A + sin B + sin C = +. .. + b) n k n −1 n = C na n + C na n −1b + C na n− 2b + + C na n − k b k + + C n a.b n −1 + C nb n (1) GV : Phạm Hồng Phượng ĐT : 0976.580.880 (- 11 -) Lý thuyết Toán 11 n = ∑C a k =0 k n n−k... công thức đặc biệt Chẳng hạn: n (1+x)n = Cn x n + Cn x n −1 + + Cn ⇒ n Cn + Cn + + Cn = n n (x–1)n = Cn x n − Cn x n −1 + + (−1)n Cn ⇒ n Cn − Cn + + (−1)n Cn = Bài PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ GV : Phạm