1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. a. Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông. b. Tính thể tích hình chóp 2. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. (TNPHƯƠNG TRÌNH 2009)
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRÀ VINH TRƯỜNG THPT PHẠM THÁI BƯỜNG Chun đề: HÌNH HỌC TRONG ƠN THI TỐT NGHIỆP ĐỐI VỚI HỌC SINH TRUNG BÌNH, YẾU 2013 - 2014 LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Hình học kỳ thi tốt nghiệp khơng phải q khó học sinh trung bình, học sinh yếu Nhưng để làm tốt phần hình học địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học khơng gian: hình chóp, lăng trụ, nón, trụ, cấu, mối quan hệ đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu Sau nắm vững vấn đề tổng hợp số kỹ giải hình học kỳ thi tốt nghiệp, em tự tin trước dạng có đề thi Hình học ơn thi tốt nghiệp, khơng gian toạ độ có nhiều dạng tốn, nhớ nhiều dạng đòi hỏi học sinh tốn nhiều thời gian PHẦN I - THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN NHỮNG U CẦU CHUNG: - Thuộc lịng cơng thức liên quan như: tỉ số lượng giác, công thức tam giác vuông Tam giác : − Diện tích tam giác A * SΔABC = AB AC.sin A * SΔABC = BC AH B C H − Các tam giác đặc biệt : o Tam giác vuông : + Định lý pitago: BC = AB + AC A + Tỷ số lượng giác tam giác vuông sin B = C H cos B = Keà c = Huyền a tan B = B Đối b = Huyền a Đối b = Kề c + Diện tích tam giác vuông: S ΔABC = AB AC o Tam giác cân: A + Đường cao AH đường trung tuyến + Tính đường cao diện tích C B H AH = BH tan B S ΔABC = BC AH o Tam giác A + Đường cao tam giác h = AH = AB ( đường cao h = cạnh x C B H + Diện tích : SΔABC = ( AB) ) a Tứ giác − Hình vng A + Diện tích hình vng : D S ABCD = ( AB) ( Diện tích cạnh bình phương) + Đường chéo hình vng AC = BD = AB C B ( đường chéo hình vng cạnh x ) + OA = OB = OC = OD − Hình chữ nhật + Diện tích hình chữ nhật : D A S ABCD = AB AD ( Diện tích dài nhân rộng) B C + Đường chéo hình chữa nhật OA = OB = OC = OD 2/ Thể Tích Khối Chóp: S + Thể tích khối chóp h C A V = B.h Trong : B diện tích đa giác đáy h : đường cao hình chóp H B Các khối chóp đặc biệt : − Khối tứ diện đều: + Tất cạnh A + Tất mặt tam giác + O trọng tâm tam giác đáy D O Và AO ⊥ (BCD) S M C Khối chóp tứ giác + Tất cạnh bên + Đa giác đáy hình vuông tâm O A + SO ⊥ (ABCD) B O D C - Vẽ hình: kích thước hình phải cân đối, không lớn không nhỏ Thường tập cho cạnh dài hình bình hành, ô cho cạnh ngắn ô cho chiều cao SA (hoặc SO hình chóp đều) Vẽ hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy A S D B C A S B A B D C D C S C A A S C A B C B B Vẽ hình chóp S A A D D O O B B C C S S K I A A D O B D O C B C S K I A C A C A O C O B O B B 3/ Cách xác định góc − Góc đường thẳng mặt phẳng hình chóp, lăng trụ: o Tìm hình chiếu d/ d lên mặt phẳng (P) o Khi góc d (P) góc d d/ S S A A D D B B C Góc SC đáy O Góc SC đáy C S S K Góc SC đáy I A A C C Góc SA đáy B O B S Góc SC (SAB) A C B Góc hai mặt phẳng hình chóp, lăng trụ : o Xác định giao tuyến d (P) (Q) o Tìm (P) đường thẳng a ⊥ (d) , mặt phẳng (Q) đường thẳng b ⊥ (d) o Khi góc (P) (Q) góc hai đường thẳng a b S Góc (SBC) đáy S A A D D O B B C S C S Góc mặt bên đáy S I A C A C A C O Góc (SBC) đáy B B Góc mặt bên đáy B Góc (SBC) đáy Mặt cầu ngoại tiếp S S S c A O A A C D C I B B C B Hình chóp S S K K I I A D A C O O B B C - Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: + SO trục đường trịn ngoại tiếp hình vng đáy + Mặt phẳng trung trực đoạn SA (hoặc cạnh bên khác) cắt SO I ⇒ I tâm mặt cầu cần tìm + Bán kính mặt cầu: R = SI = SK SA SO - Trình bày: thường có câu thể tích + Ghi cơng thức thể tích + Tính diện tích đáy + Tính chiều cao tính diện tích, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (cùng khối chóp BÀI TẬP Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o a Chứng minh mặt bên tam giác vuông b Tính thể tích hình chóp Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc BAC = 1200, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a (TNPHƯƠNG TRÌNH 2009) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o a Tính thể tích hình chóp SABCD b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o a Chứng minh mặt bên tam giác vng b Tính thể tích hình chóp Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA=BC=a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với (SAB) góc 30o Tính thể tích hình chóp Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A với BC = 2a, góc o BAC = 120 , biết SA ⊥ ( ABC ) mặt (SBC) hợp với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp SABC Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết SA ⊥ (ABCD), SC hợp với đáy góc 45o AB = 3a, BC = 4a Tính thể tích khối chóp 10 Khối lăng trụ - hộp 30 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên AA’= a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 31 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ΔABC vng A, AC = a, góc ACB 600 Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ cho 32 Đáy ABC hình lăng trụ ABC.A'B'C' tam giác cạnh a Góc cạnh bên hình lăng trụ mặt đáy 300 Hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Tính thể tích hình lăng trụ 33 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vng C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a 34 cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, điểm A’ cách điểm A,B,C cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy góc 600 a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b Tính thể tích khối chóp A.BCC’B’ khoảng cách từ A đấn mặt phẳng (BCC’B’) c Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ ABC.A’B’C’ 35 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC tam giác vng cân A có cạnh BC = a biết A ' B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Cho hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A ' B 'C ' D ' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ 36 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC tam giác vng A , góc ACB = 300 , AA ' = 3a , AC = 2a a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' b/ Mặt phẳng (A ' BC ) chia khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' thành hai khối đa diện Tính thể tích khối đa diện 13 3- HÌNH NĨN, TRỤ, CẦU Các cơng thức hình nón Sxq = πRl Stp = πRl + πR Vnon = πR h Các công thức hình trụ Sxq = 2πRl Stp = 2πRl + 2πR Vnon = πR h Các dạng tập hình nón 1- Hình nón sinh quay tam giác vng 2- Hình nón có thiết diện qua trục: tam giác đều, tam giác vng cân 3- Hình nón có góc đỉnh BÀI TẬP MẶT NĨN Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB O có OA = 4, OB = Khi quay tam giác vng OAB quanh cạnh góc vng OA đường gấp khúc OAB tạo thành hình nón trịn xoay a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b/ Tính thể tích khối nón Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón Bài 3: Một hình nón có chiều cao a thiết diện qua trục tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón Bài 4: Một hình nón có đường sinh l thiết diện qua trục tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón 14 b) Tính thể tích khối nón Bài 5: Một hình nón có đường cao a, thiết diện qua trục có góc đỉnh 1200 a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh l góc đường sinh mặt đáy α a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón Bài 7: Một hình nón có đường sinh 2a diện tích xung quanh mặt nón π a2 Tính thể tích hình nón Bài 8: Một hình nón có góc đỉnh 600 diện tích đáy π Tính thể tích hình nón Bài 9: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện Bài 10: Cho hình nón trịn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón c) Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12cm Tính diện tích thiết diện Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón c) Cho dây cung BC đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC 15 BÀI TẬP MẶT TRỤ Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy R thiết diện qua trục hình vng a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm khoảng cách hai đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên Bài 3: Một hình trụ có bán kính r chiều cao h = r a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho c) Cho hai điểm A B nằm hai đường trịn đáy cho góc đường thẳng AB trục hình trụ 300 Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ Bài 4: Cho hình trụ có hai đáy hai đường trịn tâm O O’, bán kính R, chiều cao hình trụ R a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy 50cm có chiều cao h = 50cm a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đến trục hình trụ Bài tập Mặt cầu Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a vng góc với mặt phẳng (ABC), Δ ABC vng B AB = 3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D 16 b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hính vng cạnh a SA = 2a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) SA = a Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh 2a, tam giác SAD vng cân S nằm mặt phẳng vng góc mặt đáy (ABCD) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc, SA = SB = 2a, SC = 2a Xác định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân AB = AC = a, mặt bên SBC tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABC) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 17 PHẦN II – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I- VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG a- Công thức nắm vững khái niệm: - Véctơ: uuu r AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A ) uuu r 2 AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) - Vectơ phương: song song nằm (chữ nghiêng cách nói để học sinh dễ nhớ) - Véctơ pháp tuyến: vng góc ⎧ ⎪ M ( x0 , y0 , z0 ) ⇒ A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = ⎪n = ( A, B, C ) ⎩ - Phương trình mặt phẳng ⎨ r - - ⎧ x = x0 + at ⎧ M ( x0 , y0 , z0 ) ⎪ ⎪ Phương trình đường thẳng ⎨ r ⇒ ⎨ y = y0 + bt ⎪u = (a, b, c) ⎩ ⎪ ⎩ z = z0 + ct r r ⎛a ⎡a, b ⎤ = ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ b2 a3 a3 , b3 b3 a1 a1 , b1 b1 a2 ⎞ ⎟ b2 ⎠ b- Một số kỹ quan trọng: r r r r ⎧ u1 ⎪ r cặp véctơ phương => n = ⎡ u1 , u ⎤ véctơ pháp tuyến ⎨ ⎣ ⎦ ⎪u ⎩ r r r r ⎧ n1 ⎪ ⎨ r cặp véctơ pháp tuyến => u = ⎡ n1 , n ⎤ véctơ phương ⎣ ⎦ ⎪n ⎩ Chỉ phương Pháp tuyến Song song Chỉ phương Pháp tuyến Giải thích: đối tượng (đường, mặt) đề cho song song, pháp tuyến đối tượng pháp tuyến đối tượng kia, phương đối tượng phương đối tượng Chỉ phương Pháp tuyến Vng góc Pháp tuyến Chỉ phương 18 Giải thích: đối tượng (đường, mặt) đề cho vng góc, pháp tuyến đối tượng phương đối tượng kia, phương đối tượng pháp tuyến đối tượng Nếu học sinh không nắm vững nội dung trên, khó giải tập, thơng thường để giải tập phương trình đường mặt học sinh thường phải nhớ dạng: Như hoc sinh nắm vững kỹ khơng cần phải nhớ nhiều dạng tập mà giải Dạng VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG - ⎧ x = x0 + at ⎧Qua M ( x0 , y0 , z0 ) ⎪ ⎪ r ⇒ ⎨ y = y0 + bt Phương trình đường thẳng ⎨ ⎪vecto cp: u = (a, b, c) ⎪ ⎩ ⎩ z = z0 + ct CÁC DẠNG PHỔ BIẾN Trở Quan hệ thành với Véctơ cần có véctơ để viết đường đường thẳng cần phương trình thẳng cần tìm tìm Bài tốn viết phương trình đường thẳng Có vectơ cho trước Song song đường thẳng (d) r u Song song r u r u Vng góc với mặt phẳng cho trước (α ) r n Vng góc r u r u Vng góc ur n1 uu r n2 r ur uu r u = ⎡ n1 , n2 ⎤ ⎣ ⎦ ur n1 uu r n2 r ur uu r u = ⎡ n1 , n2 ⎤ ⎣ ⎦ Vng góc với đường thẳng cho trước (d1); (d2) (nếu đường thẳng song ur song thay u1 uuuuuur uu r u M 1M ) Song song với mặt phẳng cho trước (α ) ; (α ) uu r u2 ( ur u1 uuuuuur M 1M ur n1 uu r n2 ) Vng góc Song song Song song 19 r u r n Vng góc với đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (α ) Vng góc Song song ur n1 uu r n2 r ur uu r ⎡ n1 , n2 ⎤ u=⎣ ⎦ Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng Δ Qua M(2; 0; –3) song song với đường thẳng d: ⎧x = + 2t ⎪ ⎨y = −3 + 3t ⎪z = t ⎩ Véctơ đối tượng cho trước Quan hệ với đối tượng cần tìm Trở thành véctơ đối tượng cần tìm Véctơ cần có để viết phương trình r u = (2,3, 4) Song song r u = (2,3, 4) r u = (2,3, 4) Bài 2: Viết phương trình tham số đường thẳng Δ Qua M(2 ; –1; 3) vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – x + = Véctơ đối tượng cho trước Quan hệ với đối tượng cần tìm Trở thành véctơ đối tượng cần tìm Véctơ cần có để viết phương trình r n = (1,1, −1) Vng góc r u = (1,1, −1) r u = (1,1, −1) Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) qua ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) C(1; 1; 3) Viết phương trình tham số đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC vng góc (α) Véctơ đối tượng cho trước Quan hệ với đối tượng cần tìm Trở thành véctơ đối tượng cần tìm uuu r AB = (0, −1, −1) Vng góc r n = (0, −1, −1) Vng góc r n = (0, −2,1) uuu r AC = (0, −2,1) Véctơ cần có để viết phương trình r u = (−3,0,0) Bài 4:Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm M(1; 4; –2) song song với mặt phẳng (α): 6x + 2y + 2x + = (β): 3x – 5y – 2z – = Véctơ đối tượng cho trước Quan hệ với đối tượng cần tìm Trở thành véctơ đối tượng cần tìm Véctơ cần có để viết phương trình 20 uu r n1 = (6, 2, 2) Song song uu r n1 = (6, 2, 2) uu r n = (3, −5, −2) Song song uu r n = (3, −5, −2) Bài 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d: r u = (6,18, −36) x +1 y −1 x − = = mặt phẳng (P): x – y – z – = Tìm phương trình tắc đường thẳng Δ qua điểm A(1; 1; – 2), song song với (P) vng góc với d Véctơ đối tượng cho trước Quan hệ với đối tượng cần tìm Trở thành véctơ đối tượng cần tìm r u = (2,1,3) Vng góc uu r n1 = (2,1,3) r n = (1, −1, −1) Song song uu r n = (1, −1, −1) Véctơ cần có để viết phương trình r u = (2,5, −3) Dạng VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG - Phương trình mặt phẳng ⎧Qua M ( x0 , y0 , z0 ) ⎪ r ⇒ A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = ⎨ ⎪co vecto pt n = ( A, B, C ) ⎩ CÁC DẠNG PHỔ BIẾN Trở Quan hệ thành với Véctơ cần có véctơ đường để viết đường thẳng cần phương trình thẳng cần tìm tìm Bài tốn viết phương trình mặt phẳng Có vectơ cho trước Song song mặt phẳng (α ) r n Song song r n r n Vng góc với đường thẳng cho trước (d) r u Vng góc r n r u Vng góc với mặt phẳng cắt cho trước (α ) ; (α ) ur n1 uu r n2 Vuông góc ur u1 uu r u2 r ur uu r n = ⎡ u1 , u ⎤ ⎣ ⎦ Vng góc 21 Song song với đường thẳng cho trước (d1); (d2) (nếu đường thẳng song ur song thay u1 uu r uuuuuur u M 1M ) ur u1 uu r u2 Song song với đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (α ) r u r n Song song Song song Vng góc Song song ur u1 uu r u2 r ur uu r n = ⎡ u1 , u ⎤ ⎣ ⎦ ur u1 uu r u2 r ur uu r n = ⎡ u1 , u ⎤ ⎣ ⎦ Bài 1: Cho điểm M(2; –1; 3) mặt phẳng (α) có p.trình 2x –y + 3z –1 = Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (β) qua M song song với mặt phẳng (α) Véctơ đối tượng cho trước Quan hệ với mặt phẳng cần tìm Trở thành véctơ mặt phẳng cần tìm Véctơ cần có để viết phương trình mặt phẳng r n = (2, −1,3) Song song r n = (2, −1,3) r n = (2, −1,3) Bài 2: Cho điểm M(0; –1;2) đường thẳng (d) có phương trình ⎧x = + t ⎪ ⎨ y = −1 − t ⎪z = 3t ⎩ Lập phương trình mặt phẳng (β) qua M vng góc với (d) Véctơ đối tượng cho trước Quan hệ với mặt phẳng cần tìm Trở thành véctơ mặt phẳng cần tìm Véctơ cần có để viết phương trình mặt phẳng r u = (1, −1,3) Vng góc r n = (1, −1,3) r n = (1, −1,3) Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M(2; –1; 2) vng góc với mặt phẳng : 2x – z + = y = Véctơ đối tượng cho trước Quan hệ với mặt phẳng cần tìm Trở thành véctơ mặt phẳng cần tìm uu r n1 = (2,0, −1) Vng góc uu r u1 = (2,0, −1) uu r n = (0,1,0) Vng góc uu r u = (0,1,0) Véctơ cần có để viết phương trình mặt phẳng r uu uu r r n = ⎡ u1 , u ⎤ = (1,0, 2) ⎣ ⎦ 22 Bài 4: Hãy lập phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) song song vơi trục Oz Véctơ đối tượng cho trước Quan hệ với mặt phẳng cần tìm Trở thành véctơ mặt phẳng cần tìm uuuu r MN = (−2, 4, −1) Chứa uu r u1 = (−2, 4, −1) r k = (0,0,1) Song song uu r u1 = (0,0,1) Bài 5: ViếT phương trình mặt phẳng (α) chứa (d): Véctơ cần có để viết phương trình mặt phẳng r uu uu r r n = ⎡ u1 , u ⎤ = (4, −2,0) ⎣ ⎦ ⎧ x = + 2t ⎪ ⎨y = −1 − t ⎪z = ⎩ vng góc (β): x + y + 2z –10 = Véctơ đối tượng cho trước Quan hệ với mặt phẳng cần tìm Trở thành véctơ mặt phẳng cần tìm uu r u1 = (2, −1,0) Chứa uu r u1 = (2, −1,0) r n = (1,1, 2) Vng góc uu r u2 = (1,1, 2) Véctơ cần có để viết phương trình mặt phẳng r uu uu r r n = ⎡ u1 , u ⎤ = (−2, −4, 3) ⎣ ⎦ II- HÌNH CHIẾU – ĐIỂM ĐỐI XỨNG 1- Hình chiếu điểm lên mặt phẳng – Điểm đối xứng a/ Hình chiếu điểm lên trục toạ độ, lên mặt phẳng toạ độ Hình chiếu M(a,b,c) lên: - Trục Ox: M’(a,0,0) - Trục Oy: M’’(0,b,0) - Trục Oz: M’’’(0,0,c) Ghi chú: thấy “chữ gì” ghi lại vị trí đó, cịn lại ghi 0” - Mặt Oxy: M’(a,b,0) - Mặt Oxz: M’(a,0,c) - Mặt Oyz: M’(0,b,c) a/ Điểm đối xứng qua trục toa độ, mặt phẳng toạ độ Điểm đối xứng M(a,b,c) qua: - Trục Ox: M’(a,-b,-c) 23 - Trục Oy: M’’(-a,b,-c) - Trục Oz: M’’’(-a,-b,c) Ghi chú: thấy “chữ gì” ghi lại vị trí đó, cịn lại đổi dấu” - Mặt Oxy: M’(a,b,-c) - Mặt Oxz: M’(a,-b,c) - Mặt Oyz: M’(-a,b,c) 2/ Hình chiếu điểm lên mặt phẳng, đường thẳng - Điểm đối xứng a/ Hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) – Điểm đối xứng Cách giải: - Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc (P) - Tìm toạ độ giao điểm (d) (P), suy hình chiếu cần tìm - Dùng cơng thức trung điểm để tìm toạ độ điểm đối xứng ứng dụng: - Tìm hình chiếu điểm lên mặt - Xác định tâm đường tròn giao (mặt phẳng mặt cầu) - Tìm toạ độ tiếp điểm b/ Hình chiếu điểm M lên đường thẳng (d) – Điểm đối xứng Cách giải: - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc (d) - Tìm toạ độ giao điểm (P) (d), suy hình chiếu cần tìm - Dùng cơng thức trung điểm để tìm toạ độ điểm đối xứng ứng dụng: - Tìm hình chiếu điểm lên đường thẳng - Toạ độ chân đường cao tam giác III- MẶT CẦU 1- Phương trình mặt cầu - Mặt cầu có tâm bán kính Xác định tâm I(a;b;c) bán kính R mặt cầu Khi phương trình là: (x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 =R2 - Mặt cầu qua nhiều điểm 24 Viết phương trình mặt cầu (S) dạng : x2 +y2 +z2-2ax-2by-2cz+d=0,Tìm hệ số a,b,c,d BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Lập phương trình mặt cầu (S) trường hợp sau : a/ (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R=5 b/ (S) có tâm I(-1;2;3) qua điểm M(1;0;1) c/ Có đường kính AB với A(6;2;-5),B(-4;0;7) d/ Có tâm I(3;-5;-2) tiếp xúc với mp(P):2x-y-3z+11=0 Bài 2: Trong không gian cho tứ diện ABCD biết A(1;1;1),B(1;2;1),C(1;1;2),D(2;2;1) a/ Hãy lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD b/ Tìm tâm bán kính Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ dộ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) mạt phẳng (P): x+y+z-2=0.Viết phương trìnhy mặt cầu qua điểm A,B,C có tâm thuộc mp (P) Bài 4: Trong không gian cho mặt phẳng (P):x+y+z-1=0 đường thẳng (d ) : x y z −1 = = 1 −1 1/ Viết phương trình tắc đường thẳng giao tuyến mp (P) với mặt phẳng toạ độ Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết A,B,C giao điểm tương ứng (P) với trúc Ox,Oy,Oz ,D giao điểm (d)với mặt phẳng Oxy 2/ Viết phương trình mặt cầu (S) qau điểm A,B,C,D Xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD) Bài 5: Trong không gian cho bốn điểm A(1;-1;2),B(1;3;2),C(4;3;2),D(4;-1;2) 1/ Chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng 2/ Gọi A’ hình chiếu vng góc A mặt phẳng Oxy Hãy viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A’,B,C,D 3/ Víêt phương trình tiếp diện (P) (S) A’ Bài 6: Trong không gian cho điểm A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1) mặt phẳng (P):x+y+z-2=0 Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A,B,C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Bài 9:Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1;0),B(0; 2; 0),C(0; 0; 2) 25 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O vng góc với BC.Tìm Tìm toạ độ giao điểm AC với mặt phẳng (P) b) Chứng minh tam giác ABC tam giác vng Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC 1- Mặt cầu đường thẳng Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R, H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng (d) * (d) cắt (S) IHR BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho mặt cầu (S): x2 +y2 +z2-2x-4y+6z-2=0.Xét vị trí tương đối (S) đường thẳng (d) khi: a/ (d): (x=1-2t;y=2+t;z=3+t) b/(d)(x=1-t;y=2-t;z=4) c/(d)(x=1+2t;y=2-2t;z=3) Bài 2: Tìm vị trí tương đối : x a/ Đường thẳng (d ) : = y −1 z − = với mặt cầu (S):x2 +y2 +z2-2x+4z+1=0 −1 ⎧2 x + y − z − = với mặt cầu (S):(x-1)2 +(y-2)2 +z2 =16 ⎩x − 2z − = b/ Đường thẳng (d ) : ⎨ 3- Mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P).Gọi Ilà tâm R bán kính (S) ,H hình chiếu I lên mặt phẳng (P) * IH>R mặt phẳng (P) (S) khơng có điểm chung * IH=R mặt phẳng (P) (S) có điểm chung H,mp(p)gọi mặt phẳng tiếp diện, H tiếp điểm *IH n = ⎡ u1 , u ⎤ véctơ pháp tuyến ⎨ ⎣ ⎦ ⎪u ⎩ r r r r ⎧ n1 ⎪ ⎨ r cặp véctơ pháp tuyến => u = ⎡ n1 , n ⎤ véctơ phương ⎣ ⎦ ⎪n ⎩ Chỉ phương Pháp tuyến Song song Chỉ phương Pháp tuyến Giải