'WWWDKEAQUYNHOXLCOZcoM
- Phân dang & phường pháp giải bài tập hình
học 11 - Phân dạng & phương
pháp giải Đại số - giải
tích 11
- Thiết kế bài giảng Hình
học 11
-Thiết kế bài giảng Đại số - Giải tích 11
- Rèn Kĩ năng giải tốn trắc nghiệm
- 0ác dạng tốn & phương pháp giải Giải tích 12
- Oác dạng tốn &
phương pháp giải Hình
hoc 12
Trang 3WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM NGA B00 COAMDAIKIALQOINHOX
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI #
16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội &
ĐT (04) 9715013; (04) 7685296 Fax: (04) 9714899
Chịu trách nhiệm xuấu bắn:
i Giám đốc PHÙNG QUỐC BẢO
Tổng biên tập NGUYEN BA THANH
j Bien tap-Aoi dung
‘MINH HAL Sita bai
HOANG NGUYEN — Chế bản CONG TI ANPHA > Trinh bay bia
SƠN KỲ
Đối tác liên kết xuất bản
CONG TI ANPHA
an SÁCH LIÊN KẾT
CÁC DẠNG TỐN & PHƯƠNG TRÌNH GIẢI HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12
Mã số: 9L-131 ĐH2008
13.000 cuốn, khể 16 x 24 em tại Cơng ty TNHH in Bao bì Hưng Phú
Số xuất bản:293-2008/CXB/41-54ĐHQG HN, ngày 08/04/2008
Quyết định xuất bản số: 131 LK/XB Th xong và nộp lưu chiểu quý EV năm 2008
Trang 4
'WWWADRAQUYNHOXCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON
LỜI NĨI ĐẦU
Nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của bộ mơn tốn tại các thường
TTHPT Cuốn sácH "Các dạng tốu ồ phương pháp giải hình học git tich
12" được biên soạn theư:chương trình phân ban năm 2008 - 2009 (Ban khoa
học tự nhiên và Bạn cơ bản),
Cuốn sách được phân theo các chủ để và các dạng toan trong các chủ dể Mỗi chủ để tác giả nêu bài lập mẫu được phân theĩ các dạng và cĩ bài
tập nâng cao giúp học sinh làm quen với phường pháp tự học, tự nghiện
cứu, chiếm lĩnh kiến thức Cuốn sách là tài liệu tham khảo giúp các em rèn
luyện kĩ năng giải tốn và đủ điều kiện hồn thành các bài thi trong cdc Ki
thi Quốc gia (Tốt nghiệp, tuyến sinh vào Đại học) do bộ Giáo dục và Đào
tạo tổ chúc Tác giả cảm ơn sự đồng gớp, nhận xét của các giảng viên, đồng
nghiệp trong quá trình biên soạn để bộ sách hồn thành
Quá trình biện soạn cĩ thể cỏ những khiếm khuyết mong sự đĩng gĩp
của bạn đọc, của đồng nghiệp, ˆ ` _
Mọi ý kiến đĩng gĩp xịn liên hệ: :
~ Tung tâm sách giáo đục Anpha ; 225C Nguyễn Tđ Phương P.9,Q5, Tp HCM ~ Cơng tỉ sách ~ thiết bị giáo dục ANPHA
50 Nguyễn Văn Sing, Quan Tan Phi, TP-HCM
DT: 08.62676463, 38547464
Email: alphabockcenter@yahoo.com “Xin tran trong cim on!
Tác giả
Trang 5Woe AIQUYNHOSC0ZcoM
| | |
Đảng gĩp POP BTCV Neu Thai Ti
Wo EAHOOK CONEMAYKEALOUYNION
Trang 6
CHUGNG 1: PHEP Dé HVA WA PREP
DONG DANG TRONG KHONG GIAN
| PHẨN 1: PHEP DOI HINH TRONG KHONG GiAN
| A Kiến thức cơ bản:
1 Phếp biến hình: oS
1 Œ) Định nghĩa 1: Phép biến hình trong khơng gian là qủy tắc ứng với | một điểm Mĩ xác định được một điểm duy "nhất MỸ Điểm M' gọi là ảnh
của M qua phép biến hình đĩ „xà _
(@Œ)Kíhi 'phép biến hình đĩ là ƒ thì:
RP RM
Mễ M'SIAD ° 7 :
(4) Néu H là hình nào đĩ thi tab hợp eu cA cái
MK£H tạo thành hình H Thì H gọi là ảnh của hình H quả 4
biến hình f và viết: H' = £H),
| 2 Tính chất của hai phép bien hình: ®
| a) Dinh nghia 2; Cho hai ›hép, biến hinh f và g trong khong gia theo
sods ý
Phép biến hình ƒ êm #M thănH MỸ và qua phép biến hình # thì
thành MM" gọi là Goh của hai phép ›biến hình.f và g theo
PDF bở
Trang 7
WWWDATREMGLYNHOXLE0ZcoM NGA B00 COAMDAIKIALQOYNHOX
MP =M Š £ƠM) thì điểm M gọi là điểm bất, động (Hay cị ‘con gọi
bất biến), Vậy phép biến bình đồng nhất mọi điểm thuộc bình HL tấu
bất động:
5: "Hình bất động: ễ
Hình đD gội là bất dong qua phép biển
6 Phép biến hình ngược:
Cho f là phếp biến hình song ánh (f gọi là song'ánh: nếu với VMII
thì cĩ duy nhất inh M’ = f(M) € H” và ngược lại 9ĩi MP € HỆ ảnh duy nhất Me H) : aS
“Thì tổn tại phép biến hình ngược (Ð'cũng song @abma We fan
= M=f"™) si abe
II Phếp dời hìn!
1 Định nghĩa 8: Phép đời hình là một xin] biến hình khơng làm:
đổi khoảng cách gi8a hai điểm bất kì nghĩa là f là phép dời bìi
ERP > R $ Với VÀ; A =>A' =f(A)
VB:B->B=fB) vố
‘Thoa man A’B’ = AB thì flà phép đời hình 2 Tỉnh chất: ©
a) Phép đời hình biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng han;
Nghĩa là V A, B, thẳng hàng — A’, B, C thẳng hàng
b) Phép đồi hình biến 3 điểm A, B, C khơng thẳng hàng thành 8 điểm
A, BY, Ơ khơng thẳng hàng
© Phép đời-hình biến một tam giác AABC thành AA'E(
AA'EƠ=`AABC pe
4) Phép đội hình biến 1 tứ điện ABCD thành tứ diện ABCD: diện A'BCD' = ABCD a ©) Phép đời hình biến một mặt cầu thành mmột mặt cầu cĩ ban kính
‘bing mat edu cho trước
&) Phép đời hình biến hai mặt phẳng song song thành hai mặt ohne
` song song, hai mặt phẳng cắt nhau thành hai mặt phẳng cất nhau: 7`
~~ b) Phép đồi hình biến hai đường thẳng sĩng song thành hai đường
thẳng sĩng sĩng, hai đường thẳng cất nhau thành hai đường
thẳng cắt nhau: ảnh f khi {G2 = H 6
Trang 8(WWWDEAQUYNHOXCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON
ảnh KẾ Và MHOẬNg bánh bia
+ Cho tứ điện ABCD chứng mình rằng f là phép đời hình biến mỗi
| điểm ABCD thành chính nĩ thì £ là phép đồng nhất &
Giải:
Giả sử phép biến hình f là phép đời hình
Í-A CÁ! =f(A) = A J BB ={(B)=B x C +C=fOC)=C 4 Mỹ
'Ta chứng minh rằng với mọi M e Rˆ thì fM) =M "Thật vậy giá sử 3 Mạ € R® sao cho f(MỤ) »: M„ | [AM, = AM,"
† Ri) ove = OM, ˆ']BM, =BM,
~~ (CM, = DM,"
ABCD thuge mit phng trang true
tứ điện Vậy khơng cĩ diém nao ma M,’
'Vậy £ là phép biến hình đồng nhất ,=ABCD
Mẹ Mỹ điều này vơ lí vì ABCD là (M,) # Mo
7
Trang 9'WWWADIREAQUYNHOXCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHOX
Baj 2: Cho tit dign ABCD vi A'B'C’D’ cĩ ¿ác cạnh tương ứng bằng nhau AB = A'B) AC = A’C;, AD = A’D’, BC 4B'C’, BD = BIC DE= DC Chứng minh rằng khơng vược qua một phép đời hình biến các điểm A,B, C, D lần lượt thành các điểm tương ứng A', B, CD <
Giâi: Ỹ
Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh Giả sử cĩ tổn tại hai
phép đời hình f, và fy vdi fy +f; sao cho:
£44) = Ar £\ T8) £(C) =C° £,(D) = D'
Vif, # ,nén tén tai mét diém M sao cho f,(M) “ £00 Giả sử f,(M) =M;
f(M) =M;
Theo bài tốn thi A’, BY, C’, D' nam trén mét mat phẳng trung trực MỊM, điều này trái với giả thiết Á'B'CT là một tứ điện, nén f, = f (Apem)
AM=A'M, (Theof,) AM=A!M, (Theof,)ˆ
Bai 3: Trong khơng gian RẺ cho hai điển A, D và phép dời hình £ biến A
thanh 4’, B thanh B’ Ching minh rang phép đời hình f biến mọi
diém nim trén AB thanh chính nĩ
cử ii Giả sử phép đời hình £ R* -š R° (AB! trung trực M,M; vì) E ‘Ta xét M 6 AB tacư eA Tu) va > M
Dang 2: Tim tn hop didm Mi thoa man mat sO điều kiện (Tim quỹ tíeh).- - a
Bài 4: Cho tứ điện ABCD phép đời hình biến ABCĐ thành chính nĩ (Tác là mỗi đỉnh của tứ diện thành một đỉnh nào đĩ của tứ điện) Tìm tập hợp các điểm M trong khơng gian sao cho [ẬM) = M
“Trong các trường hợp sau:
a) fA) = B; (C) =A; (B) = C ; £D) = D 0) fA) = B; (B) =A; fC) =D ; 4D) =C
Trang 10
2 Giải:
a)_ Gọi m trong khơng gian qua phép dời hình f@M) = M
(at BM AM=BM= x
i ÍCM=AM on
| Nên M nằm trên đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng ABC đì qua
! tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và đi qua D (Vì ABCP là tứ điện đều)
b)_ Gọi M trong khơng gian qua phép đời hình fM) = M &
j Ta cg {DM XAjSp SP DỤC VAN KH,
fAD=M
{Ko D =CM=DM @) x
Vay tir (1) và @) =M là giao tuyến hai mặt phẳng trung trực AB và mặt phẳng trung trực CD, (đường đĩ di qua trung điểm AB và trung
diém DC) as
Bài 5: Cho tam giác ABC một phép dời hình f biến tam giác ABC thành
chính nĩ: f(A) = A; f(B) = B; f(C) = Ơ: Chứng minh rang phép dời hình
._ fbiến mọi điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thành chính nĩ
Km mụn
Giả sử M e (ABC) ta cĩ JA7 MM) ~ |BM=BM' B = M'=M,
Ic
B) ‘©
| (Vì ABC khơng thẳng hàng) (đpem) | II Bai tap luyện lộp.- on tap:
| | | Giải: | | |CM=CM'
Bài 6: Trong các mệnh để sau mệnh để nào đứng:
1) Phép chiếu song song lên một mặt phẳng là phép đời hình 2) Phép đồng nhất là phép dồi hình
3) Nếu phép đời hình biến điểm A thành điểm B thì biến điểm B thành điểm A
4 Phép dời hình biến điểm A thành điểm B va biến điểm B thành
điểm A thì phép đời hình biến trung điểm AB thành trưng điểm AB
BAi 7: Cho phép dời hình f đường thẳng a và mặt phẳng p lẫn lượt cĩ ảnh qua f là a’ và p' Chứng mình rằng:
Trang 11wo TTR mm eo EACHROOK-CONEMAYKEALOUYNHON
1) Nếu a vuơng gĩc Với p thi a' vuơng gĩc với p’ 3ÿ Nếu a song song với p thì a” song say vi 8) Nếu a cất p thì 2” cất p',
4) Gĩc (a,p) = @°,Đ):
Bai 8: Tìm mọi phép dời hình biến một tam giác đều thành chính nĩ
‘Xét tich các phép đời hình đĩ, |
Bai 9: Tum moi phép ddi hinh bién mot hinh chit nhgt dA cho (khéng phải hình vuơng) thành chính nĩ Xét tích các phép dời hình đĩ
Bài 10: Chứng mình tích hai phép đời hình là phép đồi hình
Bài 11: Cho phớp đồi hình f biến hai mặt phẳng song song P và Q lần
lượt thành hai mặt phẳng P' và Q Chứng minh rằng khoảng cách
giữa P và Q bằng khoảng cách giữa P' và Q}
Ill Hưỡng dễn giỏi bời tập tự luyện phổn 1 &
Bai Mệnh để (1) sai vì nếu Ava Bượy song với phương chiếu |
thi A’= B |
* Mệnh để @) ating vi VA: A= (A) va WB: B
AB=A'R
* Ménh dé (3) sai vi chỉ đúng khi phép đĩ là phép đổi xứng tâm
* Mệnh để (4) đúng vì phép đĩ phép đối xứng tâm, trục là trung trực AB, mặt trung trực AB
Bài 7: ey alLbep ) - - [bxcep: alb a11Lbr Vì la Le =la'Le'=>a*.Lp' (đpcm) bxe ”[bxe' 3) Nếu ap=a!p' “Thật vậy a/fp=a/fbepqua fia sat ` afib=a!⁄b'=salp' (đpem) 10
Trang 12'WWWDAAQUYNHOXCOZcoM WH FAERHOOK.COMMAYEESLQUYNHON
3) Giả sử axp
Gọi b là hình chiếu của a lên mặt phẳng p Khi đĩ (a,p) = (a,b) qua
f:asa’ep' b-biep’ Vido (1)
Nếu b là bình f chiếu của a' lên mặt phang p’
(2b) = (82p) mà (a,b) = (a,b)=> (a,p) = (a`p)
Xét các phép dồi bình biến tam giác đếu ABC thành chính nĩ trong các trường hợp sau:
1) Trường hợp 1 £ AB
BoC CoA
Phép quay quanh trục viơng gĩo mặt
phẳng ÁBC đi qua tâm đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABO QẠ,120° =£
2) Trường hợp
Xét g: Đạu: A > A (Véi (ct) mat phẳng trung trực BC) Bsc G38 8) Xft A>C BoA ở CoB ~ €#= Qg, -1209) 4) XéighaA>c ` BoB => gf= CoA [AoA 5) g=14B> Coe
Bai 9: Cho hình chữ nhật ABCD, xét các phép đời hình biến ABCD -._ thành:chính nĩ Bài B- Với B mặt phẳng trung trực AC Ko Tướng dẫn giải: Xét các trường hợp sau: 1) Trường hợp 1: “RAB BoA C+D D+€C ut
Trang 13
hi đĩf= Đạ, Với a, 18 mat trung trựp AB.và CD |
2) Trường hợp 3: q ì
i ge A>D †
} BoC Kê |
| C+ B= g=Da, (a, 1a mat trung trực AD va BC,
{ 5-45 A D (— 8 Xéttg=gt{A=C a | CoA BoD lan B — Ic Khi dé fg = gf: | chữ nhật 8 Ễ 3 hà > ậ Đ gs a 4 2 5 § Ỹ E Ễ Giải: “Xét hat phép dời hình £ R? —> RẺ eR > RO
VéiVAB RAD ASE) © |
B> B=f(B) = AB-A'B' @)
A> A= (hy
B > B’=gB) SA"B'=A"B" 2) ị Điều này chứng tổ gi: AB —> A”B” thoả mãn A”B” = AB,
Nên g là phép đời hình (đpcm) j, Baill: ChoP/Q/A'e PREAH 1 Q
AeP HeQ
fASNEP HoHe@ ViAHLP va AHLQ
‘Theo bai toan 1 thi AH’ LP va A’ LQ’ : £14 phép đồi bình = AH =AH" (đpem)
12
Trang 14'WWWDEAQUYNHOXCOZcoM WWMGAB00K COADAIKIALQOANHOX
PHAN 2: CAC PHEP ĐỜI HÌNH THƯỜNG GẶP
TRONG KHONG GIAN
BAI I PHEP TINH TIEN
A Kiến thức cơ bẵn: Š
1J` Định nghĩa: & SES 4
| Trong'Rđ cho vectd Ơ Mật phép, moi‘ tiểm M thanh ‘M’ sao cho MM’
phép tịnh liến theo veets ¥!,
18
Trang 15WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM NGA B00 COAEDAVKIALQOYNHOX
Phương pháp chung: 5 Dua uào định nghĩa nà tính chất của phép tịnh tiến
Bài 12: Cho hai đường thẳng a//a' tìm rất cả các phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành a' Gi
“Trên đường thẳng a lấy điểm A
Trên đường thẳng a' lấy điểm A’ Xét phép Ty với v = ”
Khi đĩ Tý: a —> a’
Vậy với cách làm như trên cĩ vơ sé phép tinh tién nhu trén theo vects TY wi A € aA’ a’ bign
dung thang a thanh a’
Chú ý: Muốn tìm ảnh của mộ đường thẳng a qua phép biến hình £ @hép đời hình) ta thường lấy bai điểm A, B e a cĩ ảnh là Á' = f(A)
B'= f(B) đường thẳng ảnh:a"
Bài 18: Cho hai phép tịnh tiến Tụ và Ty Chứng minh rằng tích của hai phếp tịnh tiến Ty.Ty là phép tịnh tiến theo vectơ u + ÿ Tích đĩ cĩ
tính chất giao hốn (Pu Tý
Trong khơng gia lấy A bất kì
TY: A —>- À' khi đĩ ÀÂ'
Ty: A A” khi dé Aa’ Tady:A > A’ thi KAY
14
Trang 16'WWWDEAQUYNHOSCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON
Vậy Tu.Ty =Tu.v:A ->A” (đpcm)
Vi do phép cộng hai vectø cĩ tính chất giao hốn nên:
Tate = Ty FTES Tas ủ
Bài 14: Phép tịnh tiến theo vectơ v # Ũ biến đường thẳng a thành đường
thang a’ trong trường hợp nào thì: a) a’ trang a
b) a’ song song a
Oa’ cht a,
Giải:
a) a’ tringa khia// v
‘That vậy A e a thì A'= Ty (4) AA'= V c> AA'/JV => À'€ a => aỶ
b) => A'£@a=>AA/fV
Eea= BB/v
= ABUAB = ails &
©) a’ khong thé cét a (Theo chứng mình câu b}
‘Phuong phap chung:
Buée 1: Xác định phép tịnl tiến biến H thành H”
Buơn 2: Sử dụng tính chất bất biến của pháp tịnh tiến để xác đình nếu
-H cĩ tính chat A thì HT“ cĩ tính chất Ä uà ngược lại
Bai 15: Cho hinh thang ABCD Cac canh AB song song với BC Điểm M là giao điểm của phân giác gĩc A và B N là giao điểm của phân giác
gĩc C và D Chứng minh 2MN =|AB + CÐ ~ BD~ AD|
7 Giải
"Theo giả thiết m là tâm đường trịn (S) tiếp xúc với AB, AD, BƠ N 1a tain cha đường trịn (L) tiếp xúc với CD, BC, DA
‘Thyé hién phép tịnh tiến NM A Dd D
TRĐM(Œ) => (@)
DoD
coc
DIC tiếp xúc với đường tron (S)
Trang 17
'VWW GD KEAMQUYNHOXCOCOM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON
Khi đĩ tứ diện ABCD' ngoại tiếp đường trịn (8) Vậy AB + DƠ = AD' + BC” 4
D+BG- a) | Hay AB+DC x .{BC-MN=BC' @) é NH6 SNE ADI @ (8) và (3) ta cổ: BC+AD-2MN=AD'+BC’ (4) “Từ (1) và (4) ta cĩ: £ BG + AD ~ ZMN = AB + DC = |BC+AD-AB-DC|=2MN (pcm)
Bai 16: Cho tit dién ABCD nội tiếp trong mặt céiu (S) cĩ bán kính R = AB
Một điểm M thay đổi trên mặt câu Gợi Ơ, D’, M’1a các điểm sao cho: 'ØỠ' =DD'=MM' - AB ,ˆ
Chứng minh rằng BƠDM là một tứ diện thì Lâm mat tứ điện đĩ nằm trên mặt cầu (6)
ngoại tiếp Giải
Xét phép tịnh tién theo vects AB
Tip: AOB 5 -
co ?
DoD
M>M %
Vay tứ điện AƠDM -> tít diện BƠDM' Trén raat cầu (8) —> (8)-
Gọi tâm mặt cầu $14 (O) thi TAB-O> ƠŒ'
OƠ=AB =R =O'€ () @pem)
| [Datta 3: Dũng nhép shiiến Hệ uial Gao bai ấn
Phương pháp chung: *
Bude i: Tim moi lién quan giữa điển di động uà các điển cần tìm
thực hiện phép biến hình {-M —> M’
Bước 8: M © H thì M' = Ty (M) = M’ e H’= TDD
Bail: Cho tam điện vuơng Oxyz A 6 Oz cố định ĨA = 1 At là tia sơng
song cịng chiều Oy M, N là hai điểm lẫn lượt chuyển động trén Ox va At 1) Tìm quỹ tích trưng điểm I của MN khi: OM + AN = 2
3) Tìm quỹ tích Ï là trung điểm của MN khi: OM.AN
18
Trang 18
'WWNDREAQUYNHOXCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON
Giải:
Chiếu vuơng gĩc xuống mặt phẳng Oxy I > J
OA=V
2° 2
Vay xét 7,23 >I
‘Tim quf tich I thi ta tim quỹ tích điểm J ,
'Trong hai trường hợp trên: (Tìm quỹ tích trung điểm 1 của MN khi OM + AN =8 ‘That vay xét điểm Júc,y)
Đặt OM = 2x > 0 lu | on’ y>0 Í OH= 20M =x>0 “1 a 1 K = Lon’ OK= 50 y>0
OW + 0K= 30M +ON)= FOM+ AN)
xty= 2(OM+AN)= 1y x+y =1 <>x+y—1=0 là đường thẳng trong mặt phẳng J cĩ toạ độ (, y)
'TThoả mãn phương tình x + y — 1 = 0
Với > 0,y > 0iễn 0x <2,0y #2
| (G) Xét trường hợp OM.AN = 4 khi đồ Jộc v)
| xự =2 (9M ON)
xy= TOMAN= 1 với x>0, y>0
3 1
* Vay xy = 1thi J thuge nb4nh duéi của byperbol cĩ phương trình y = —
17
Trang 19
Wo TRE TON COTO = NGA B00 COAMDAIKIALQOYNHON
Bài 18: Cho một mặt phẳng a, hai duéng thang A và A' chéo nhau cất
(a) tai O va O' Gọi mặt phẳng B chứi CA) và song song với A” Một
đường thẳng đi động song song với mặt phẳng (œ) hoặc chứa trong (œ) cắt A tại Á cất Á” tại A' và điểm M nằm trên đường thẳng ấy sao cho ( là số chia trước, k # 1) Đường thẳng song song với O”
vẽ từ M cất mp tại MỸ Tìm trường hợp MỸ khi A di động trên A
Giải:
Dựng mặt phẳng B chứa A song song A’qua OXé A, i A’
=A,eB Từ A' kể AE / 00" => AK cat B tai K AKI (a) @ MA / (œ) => MMI / A'K = AMA'MK thuộc một mặt phẳng“ Py aps
Va ta thay (A) va (A J cố định, M'K I (@) véi d= (a) (8) 06 din => MK cĩ phương khơng đổi M' chứa AK theo tỉ số k #1
Vậy M” chạy đường thẳng cố định đi qua O chia AK // đ theo tỉ số M'K
MA
18
Trang 20WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON
BAI fl PHÉP ĐỐI XỨNG MAT
A Kiến thức cơ bản:
1) Định nghĩa: phép đối xứng qua mặt phẳng 3
Cho mặt phẳng P Phép đối xứng quá mặt phẳng P là phép biến hình
biến mỗi điểm M thành M sao cho mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung true cha MM :
Xí hiệu: Đụ: M ~> MỸ thoả mãn 3) Tính chất a
a) Phép đổi xứng qua mặt phẳng P là phép đời hình
‘That vay V AB RẺ De ADA
BoB : ỳ AA’, BB’ LP va P la trung true Aa’ va BB” Vivay: AA’B'B la hinh thang cân ` ¿ Vay: A’ = AB
b) Nhung diém M ¢ P thi: M'
©) Phép đối xứng qua biến đường thẳng a thanh đường thẳng trong các
trường hợp sau: vS +Nếu a L'P thì đ=a
+ Nếu a khơng vuơng gĩe với P:
—a cắt P—> a” cắt a tại M e'P :
“ — 0” sae BS asa” hình ` ' qua phép đối xứng
ˆ- Tìm ảnh ca hÍnh H ta ghi đối xúng miệt phẳng P
Tài 18: Tìm tất cả các mặt phẳng đối xứng của hình hộp lập phương
19
Trang 21Woe Dy hraMgUYNHOSC0ZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHOX
Giải
Đài tốn nêu: Tìm mặt phẳng P mà Đi) ¬đp
Ta xét các trường hợp sau:
1) Phép đối xứng, &
| a) DAA
BOB
D> B = Pla mat phng trung tryc cia BD va BD’
coe &
>») DrA SB
Doc g
a C->D = Pla mat phẳng trung trực AB và CD
k BoA Oy De AOC D+D B>B => Pla matpl CoA P d) De A>D D>A
BC = Pla mat phang trung true BC va AD
GB.”
2) Phép đối xứng Ð; biến hình vuơng ABCD thành một mặt phẳng cĩ
một canh chung
a) ABGD biến thành mặt cĩ cạnh chung AB là mặt ABH'A'
AB->ÁAB cap DA ,OA' => O mặt(Œ):(ABCD) BoC y c-œ t DoD
ing trung true AC
20
Trang 22|
Ẳ
b) Tương tự ABCD biến thành mặt cĩ chưng AD nghĩa là mặt ADIA? cĩ mặt đối phẳng xứng (ABC)
©) ABCD cĩ cạnh chung BC là mặt BCBC thì cố mặt phẳng đối xứng (—GCATD) d) (ABCD) biến thành mặt cạnh chung với mặt DCD'C?
Thì mặt phẳng đối xứng (DCEA)
3) Mặt phẳng (ABCD) biến thành mặt phẳng khơng cĩ cạnh chung: (ABCD) dé la mặt phẳng trung trực AA', BB, CƠ, DD',
Vay cĩ tất cả 9 mặt đối xứng biên (ABCD)(A'BCD) thành chính nĩ Bài 20: Cho hai đường thẳng d; và d, và mặt phẳng P Chứng minh rằng
nếu dị cất d; thì cĩ ảnh dị = Dp(d,) va dy’ = Ð;(đ,) cắt nhau
Giả sử dị cất,d, = Á => Dạ: Á —> ÁP
viAed >A’ e dy Q) Ach=>ANed (2) A x Tet (1) va @) = A'= (4y) rà (42) (đpem) Giải: ứ „7
'Tương tự bài 19 thì Lứ điện ABCD cĩ 6 mặt trung trực các cạnh của
tứ điện Mỗi mặt chứa 1 cạnh và trung trực cạnh đối diện
Ví dụ: Mặt chứa AB vuơng gĩc với DƠ (Trung trực DO) é
Phương pháp chung:
Tim méi quan hệ điểm M aay on
ái ede diém da cho, va M’ = Dp (M) nếu M e H M’
Bài 33: Cbo mặt phẳng P và 3 điểm
AB cùng phía đối với mặt phẳng P,
một điểm M sao cho tổng các khong cách AM +MB nhỏ nhất,
y Gi
Lay A’ déi xing v6i A qua P
Nối A' với l cất P tại M diém M la diém can tim
Thật vậy lấy M thuộc P ta cĩ: A
MA + MB = MA' + MB Si => MA+MB 'B MA=MaA’ i MB=MB MA+MB =MA’+ MB > AB MA +MB,
Điều này chứng tơ MA + MB bé nhất VW
21
Trang 23WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM L Đ 2) a) » e ¬)
II Phép quay quanh một trục: "7 “z7 0° 7 ne 1
22 Ding gép PDF
BÀI II PHÉP HE ƠNG TÂM,
PHÉP QUAY QUANH MỘ Kiến thức cơ bản: Phép đối xứng tâm:
Định nghĩa: Trong khơng gian cho mộ
thự hiện lũng với M cĩ tnt MP = f(M) sao cho IM + IM Phép biến hình đĩ gọi là phép đối xứng tâm 1
thiệu: Đ¿ M—> MỸ 'Thoả mãn IM + TM? “Tính chất
Phép đối xứng tâm là phép đồi bình “Thật vậy: Xét hai điểm A, B bất kĩ
Dg A A= DAA) B+ B=P@)
TẢ +1A'-B+TB)=ư = BÃ =-B!Ã'
Điều này chứng tổ |AB|=|A"B]| ,ˆ
Phép đối xứng tâm cĩ tất cả các tính chất của phép đời hình ` Didu bat biến: chỉ cĩ một điều bất biến qua phép đối xứng tam I ĐÁ Phép đối xứng tâm Ï biến đường, thẳng d thành đường thẳng đtrong các trường hợp sau: T : +Néuddiqualthid sa
+ Nếu đ khơng đi qua Lthid’ a,
Phép đối xứng tâm I biến đường trồn (O,R) thành đường trên
các trường hợp sau
+ Nếu [ = O thì Ðị(O,R) = (O,R) + Nếu I # O thì Ðị(O,R) = (O2R) “rong đĩ O'SĐ/(O): c c Định nghĩa: ậ
'Trong khơng gian cho đường thẳng d đã được định Xăng Và một dốc
a la mét g6e lượng giác (sĩc 'ơ đã được định hướng) với mỗi điểm m
trong khơng gian, một tmặt phẳng P đi qua M vuơng gĩc với d, cất đ
tại Ï, điểm MP là ảnh của M qua phép quay trong mặt phẳng P tâm I gĩc quay œ (Trong đĩ chiều dương được chọn ngược chiéu kim đồng
IM’ =IM :
M;IM)=ø
hộ thai năm |
Trang 24'WWWADRAQUYNHOSCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON
lài 28: Cho hình lập phương ABCD.A'E
qua phép quay quanh tric B'D mét géc 120° huéng duong B'D
Cho hình lập phượng ABCD.A'EFCD”
‘Truc quay HD Deyo: AC A
‘That vay: ABD = ACBD CHAB'D
| sH LBD
=> Mat phẳng (AHO) vuơng gée vei BD”
“Xét AAHC 6: AH = CH= oft (a=AB) (2)
23
Trang 25'WWWODNSEMGUYNHOXLCOZcoM WWMGAB00K COAMDALKIALQOYNHOX
=av2 = (HA,HO)=120" (2)
Từ (0D và @)
=> Dep: A> BoC
"Vay anh cia AC 1a CD"
Ề AB cĩ anh la CC’
| (Bama 2: Ti 'MụẴ day ĨC quay biến hink Witbank hinh He
| _ Bài # Cho tứ diện đều ABCD Tìm phép quay quanh một trục và gĩc
quay biến tứ điện ABƠD thành chính nĩ
Giải: ‘
+ Xét đường thẳng đi qua A và vuơng gĩo với mặt BƠD Tại O (O là
tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD)
Xét phép quay quanh true AO Chiều dương ĨA, gĩc quay 120
DEB C Đ
CoD
D-+B đ
A>A zi
Vay ABCD ~> ACDB ˆ
"Tương tự cĩ 4 trục quay và gĩc quay 120° + Nếu xét gĩc -120°, OA chiều dương thi
A> A= ABCD -> ADBC
Bai 25: Cho hình lập phương ABCD.A’C’B'D’ Tim géc quay quanh trye AC! biến ABCD.A'BCTD' thành chính nĩ
ỷ Giải
Dya vio bai 28 ta xét phép quay quanh trục AC chiềư đương ŒA gĩc quay 120° thi
Đồng Xung Bởi GV Nguyén Thanh Tit 'WNAJACEEODILCOAVOIDLONGHOAHOCQUYAHOA,
Trang 26'VWNGYkEAQUYNHOXCOZcoM NGA B00 COMM AYRES QLYNHON ĐẸT:A + A D BoD cop DA BỊ AB BoC coe DOB Bl
=° ABCD.4'BCD' biến thành ADD'ABCC'D’
"Tương tự học sinh xét phép Đzˆ” thì hình hộp lập phương ABCD.A'BCD'
biếp thành chính nĩ 4
III Bởi tập tự luyện ơn tộp:
Bài 26: Cho hình hộp ABCD.A'CBD' Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của AA', AB, AD O là giao điểm AC và A'C Tìm ảnh của tứ điện AEFG qua:
1) Phép tịnh Lign theo vects DC
3) Phép đối xứng qua tâm Ĩ
Bài #7: Cho hình lập phương ABCD.A'BCD' Gọi E, F, G theo thứ tựlà — |
trung điểm của AA', AB, AD I là giao của AC và BD T là giao điểm
cia AC va BID’ j
1) Tìm ảnh của tứ điện AEFG qua phép đối xứng trục IT'
2) Tim anh cia tit dign AEFG qua phép quay quanh trục B'D gĩc quay 190° hướng đương B7
Bài 38: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'BŒD' cĩ đáy là hai hình vuơng — Í ABCD.A'B'C'D' tam O, 0’ Tim anh cia hinh chép AA'BD' qua phép
a) DI véi I trung diém 00’ @I d6i xing tâm D)
b) TAB (Tinh tién theo vects AB) |
| 4 † ` ‡
hướng dương từ O đến O'
(o0rao®)
Bài 39: Cho hình chĩp đều SABC, đường cao SH Gọi M, N, P là trung
'điểm các cạnh BC, CA, AB, thực hiện phép Q;
Tìm ảnh của: eau (hướng đương HS)
25
Trang 27
'WWNADAAQUYNHOSLCOcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHOX
ẻ r
2) Hinh chép S.APMN qua phép uy, Ễ | Bài 30: Cho hình lập phương ABCD.A'BCD' Tìm một phép đối Ses mặt phẳng biến hình chĩp AA'B'D' thành hình chĩp CƠTE'D'
Bài 31: Chứng mình rằng phép tịnh tiến theo vectơ V cĩ thể xem như
kết quả thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua mặt phẳng
Bài 3#: Cho tong mặt phẳng (œ) một đường trịn (C) tâm O, bán kính R
'Ở ngồi mặt phẳng (œ) cho một I cố định Gọi O' là điểm đối xứng của O qua I Một điểm M tuỳ ý của (C) S
1) SABC qua phép quay Q1
Xét De M > M, x
Do: M, > M & }
Khi M vé trén (C) tim tập hợp M’ \
Bài 38: Cho hình lập phương ABCM.DEEN với AD = BE MN
Cho biết:
Đansp M > M,
Deecrs M, > Me §
Deep: Ms => Mỹ | ‘Tim phép dồi hình biến M thành Ms
Bài 84: Cho hình lập phương ÄBCD.EFGH (AE = BF = CG = DH) Goi M; N; P; Q lần lượt trung điểm của HG, HE, FG, BC Chứng mính
rằng:
1) Ba hình chĩp GABCD; GABFE; GAEHD bing nhau 2) Bốn tứ diện DHFM; CGAQ; CGEP; CGEM bằng nhau
Bài 8õ: Cho hai mặt phẳng P và Q song song với nhau Gọi Á,Blàhai — ` điểm nằm về hai phía của hai mặt phẳng P và Q Tìm trên P và Q hai điểm M, N tương ứng và MN vuơng gĩc với PQ và tổng của khoảng
cách AM + MN + NB nhỏ nhất
36
Trang 28'WWWDAQUYNHOXCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 26: 1)Tìm ảnh của AEFG qua T DỔ lấy F' đổi xứng với F qua B
Xét phép tịnh tién theo vecto ¥ = DG
TDE:A>B FOF
E + PP Trung diém BB)
G +1 Trung diém BC)
Vay AEFG —> BFPI, Ales 6"
2) Tìm ảnh của ABFG qua phép đổi xứng tâm O Xét Dy:
# -> E; Là trung điểm DC'
G — G là trung điểm BC" B —> E, là trung điểm CC"
Asoc
Vay (AEFG) > (CELF,G)
Bai 27: S ~
ABCDAB'CD’ mm
E, F, G là trung điểm cđá'.AA', AB, AD
"Tìm ảnh của AEFG qua Dị:
Gọi E? đối xứng E quá TP =BEELI nên xét trong: hình chữ nhật AA'ŒC => là đường trung bình “
=> Eula trung điểm của CƠ"
Tương tự gọi GŒ là điểm đối xứng của G qua TT thì G' trung diễm của
BC,/A và C đối xứng qua TP
Ý= AEFC biến thành tứ diện CEEG'
27
Trang 29WWNOSgUYNHOXCocow NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON Bai 28: Am aoc Ped D>B
f Nên AA'BT' biến thành CCDB b) XétTAR?A ->B
AicvB A
B > B, (BB, = AB)
Doc
Vay tit gide AA'B'D’ > BB'B,C’ x
©) Xét trong phép quay quanh tryc OO’, gĩc qúay 90°
a AB ^ ASB BoC Dos
Vậy AA'E'D' biến thành tứ diện BBƠA: Bài : Hướng dẫn dựa vào bài tập 24
"Tìm phép đổi xứng mặt Biến ABD’ > CCBD Mat déi xtmg (DBB'D) « Bài 81: Ty t Cho M mặt phẳng PL V và P'.L Khoảng L 1 | HH= Š i 3®
| Vậy là xét liên tiếp hai phép đối
xứng mặt P và PP là phép tịnh tiến H
! theo veets
i Thật vậy Ty: M —> M? MM'-W Mt
38
Trang 30Đồng gĩp PDE bởi GÌ Nguyễn Thanh Tú even =1 111
Xét liên tiếp hai phép đối xứng mặt P và P" Ds: M— M,: MH+HM, =2HM, Dp: My > M: M\H'+H'M'=24'M'
Vay MM ¥oT:M>M" (pem)
Bai 32:
Đẹ O => Ơ M>M,
‘MM’
Vay MỸ là ảnh của M qua TOO! (Phép tinh tiến theo vects OO")
=c>ơ=rừø: ,
nên Ở € mặt phẳng (B) đối xứng với () qua I Bai 38:
M, va M déi xing qua (ABDE),, => Ala trung diém cia Mva M, ‘Tuong ty M, va My nband 1a trung diém va M,M, L (BCFE)
M,M,M, nhận G làm trung
điểm và MạM; L DNFE Do vay M, M, đối xứng qua E, E là trung điển của MM:,
Dy M >, 1 Bài 34: Hướng dẫn giải:
ch :
+ Chứng mình H bằng H° cĩ phương pháp chung tìm tại phép dời hình biến hình H thành HỈ
# Thực hiện các bước chứng mình: Tìm phép đồi hình biến hình H thành hình HF
1) Chứng minh 3 hình chĩp GABCD; GABFE; GAEHD bằng nhau
29
EA EHROOK-CONEMAv KEM OUYNHON
Trang 31WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM WWMGAB00K COAEDAYKIALQOANHOX Giải: Chứng mình tứ điện GABCD bằng tứ điện GABEF 'Xết phép đối xứng mặt (ABGH) thiG > G ASA BOB roc
ED = Tédién GABCD — GABFE Nên tit dién GABCD = tit dién GABFE
“Tương tự xét phép đối xứng mặt ADGF'
thi GoG ADA BOE ‘ CoH a | D->D =>GABCD=GAEHD |
2) Chứng mình bốn tứ điện DHFM; AGEN; GECP; GCEM bằng nhau Giải:
Gọi I, J 1 à tâm của EFGH va ABCD
Xét phép quay quanh trục TJ gĩc quay 90° “Xét tứ giác DHEM biến thành tứ giác
Dus,son: DA F Hộ c F>G = DHFM > AEGN M +N => HFDM = AEGN @ Xét tứ giác GEOP Đđ3,809: G>+H { E> F = GECP > HFDM : PM => GECP = HFDM @
Xétti giac GECP
DGI,90): G > H © + D = GCEM > HDFN EOF MON | 30
Trang 32'WWWDAEAQUYNHOXLCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON Xét D(HFDB): Hou F > F=> HFDN=HFDM @) D>D : N-oM 'Từ (1), (2), (8) thì bấn tứ giác đĩ bằng nhau Bai 35: &
‘Ti bai tốn trên La cĩ thể sử dụng trong bài tốn hình học phẳng:
Cho hai đường thẳng d, // d, (song song véi nhau) Hai điểm AB nằm
về hai phía của hai đường thẳng Tìm trên dị, d, hại điểm M, N (an lượt thuộc dị, d;) và MN vuơng gĩc d,, d, sao cho'AM + MN + NB bé nhất
'Ta thấy khoảng cách MN
‘MN 1 d dùng phép tịnh tiến A -> A’ theo vecto a
Nối A’ véi B edt d, tai Nj, NM =~a thi M, N edin tim
‘That vậy giả sử cĩ MPN” Tân lượt thuộc dụ, ds M'N’ vuơng gĩc dụ, d, ‘Thi AM’ + MN + NB= AN + MN' + N'B
Mã MN =MN^ `
(AN' + N'B> A'B điều này chứng tổ
AM’ + MN’ + NB > AM +MN + ND (đpem)
“Tương tự học sinh giải bài tốn 8 đối với hình học khơng gian
31
Trang 33WWMEAkgUYNHOXLC0Zco NWMGA B00 COAEDALKIALQOYNHOX
PHAN 3: PHEP Vj TAI VA PHEP DONG DANG
TRONG KHONG GIAN ễ
A Kiến thức cơ bản:
1 - Định nghĩơ vị tính chết của 'pháp, vH
1 Định nghĩa: : ee trong khong gid cho một điểm Ova mặt, ootthué ke ý `4 0 Phép hiến
'Phép biến bình đĩ gọi là phép vị trí lâm Ở, tỉ soko ˆ tiếp
Kíhiệu: VỀM -> R thoả mãn OM' = -kOM >
2 Tính chất:
cùng hướng với MÃ HT
Nếu k< 0 thì ngược hướng với MN vài
b) Phép vi trí tâm O tỉ sốk
theo thứ tự của chúng ˆ
2) Biến một đường thẳng đ thành đ' xây ra c
- Nếu đđi qua O © 024 ˆ "` - Nếu d khơng đi qua Ị =>d1/4, Độ
(8) Biến một mặt phẳng P thành P' thoả mãn:
- Néu P chita OP = P - Néu P khong-chita 0 <> PVP
(4) Biển một gĩc thành một gốc bằng chính nĩ, (6) Biến một tử điện thành một tứ diện
(6) Biến một mật cầu bán kính lš thành mộ: mặt, cấu cĩ bán kinh |k|
Œ) Phép vị trí VỆ (O) =0._
II Định nchĩø về tính chết phép đồng dọng:
1 Định nghĩa: Ae “Phép biến hình £ trong khơng gian được gọi là phép đồng dạng nếu
hai điểm bất kì M, N eĩ ảnh MPN" = kMN Với k số đương cho trưới
+ Số k gọi là tỉ số đồng đạng của phép đồng dạng f
32
Trang 34WWNDEAQUYNHOXCOZcoM
+ Cho phép vị trí Về và hình H hãy xác định H” qua phép vị trí + Cho phép đồng dạng tỉ số k và hình H hãy xác định ảnh của H' qua phép đồng dạng
Phương pháp giải chung:
Tim anh một điểm xác định hình H suy ra 1" xác định qua các điểm
ảnh ¥
Ví dụ: Tứ diện ABCD cĩ 4 điểm xác định tứ diện ta tìm ảnh A'BCT thì
(ABCD) = f(ABCD)
Bai 36: Cho hình lập phương ABCD.A'BCD' O là giao điểm của các đường chéo Goi I, I’ 14 tam của hai hình vuơng ABCD.A'BCD' Tim
` ảnh của hình chĩp đều ABCD qua phếp,V
38
Ding gdp PDF bai GV Nguyễn Thanh Tú wes aermpog cosy
Trang 35" eeR
Gi
iua O vẽ mặt phẳng Œ) song song với Asc Vi O là trung điểm của II nên P cất
TA, IB, FC, ƯD tại E, F, L, N và E,
F, L, N la trung diém cia I'A, TB, a’
eo EAeHROOK-CONEMAvKEALOLUYNHON TƠ,TD,
Hay Vi: Yor
ACE
BOF A
CL Hay VỆ ŒABCD) =FEFN „
DON, é
Bai 87: Cho hinh hép ABCD.A’B'CD’ E, F, Œ lân lượt là trung điểm của các cạnh AA', AB và AD, O là tâm đối xứng của hình hộp
1) Hãy tìm ảnh của tứ diện AEFG qua phép đồng dạng thực liên tiếp phép vị trí tâm A tỉ số k = 2 và phếp đối xing tam O
2) Hãy tìm ảnh của tứ điện AEFG khi thực hiện liên tiếp phép đối
xứng tâm O và phếp vị trí tâm Ở tỉ số k = 2 Gidi: 1) VỆ: A —> Á E >A “ FOB GoD ` ĐA CC z aoc BoD S va DB
Vay D, Vi: (AEFG) > (C'CD'B)
2) Xét đối xúng tam O
DAS C
E -> Bla trung diém của CƠ
F > Fla trung diém cia CD’
G > G là trung điểm của C'B
Vậy Ð, (AEFG) > CFEC
34
Đảng gĩp PDF bi
Nguyễn Thanh Tả
Trang 36WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON
Xét Vệ: CƠ >Ơ tron BoC Gos
'Vậy thực hiện liên tigp Vé D,: (AEFG) > (CD'CB),
Để chững mình bình H đồng dang H’ ta cần chi ra thực hiện liên tiếp một số hữu hạn phép đơng dạng biến H thành H' Điơng thường thực hiện pháp dời, phép vi tri biến H thành H,, H biến thành HH
Bài 88: Cho tứ diện đều ABCD, gọi Ai, B,, C,, D, titeng tng là trung tâm của các tam giác BƠD, ACD, ABD, ABC Chứng mình A,, B,, Cụ, D, là tứ diện đều a Giải: ‘Theo bai ra ta thay:
AA,, BB,, CG), DD, ding quy (HS ty CM) theo hinh vé bên
GB, _GA,_BA,_1 GB GA AB 3 Xét phép Vé ta c6 (GB, 22168) 8 4 ASA ` BoB co, - Si DD M
Vậy VỆ: ARCD -> A,B,C,D, nên A,B,C,D, là tứ diện đều
Tim tap hop M thi ta tim méi quan hệ giữa M uà M' H qua phép
biến hình f: M — M’ khi đĩ M © H ma fi) = H’
36
Trang 37WWNIEAQUYNHOSLCOZcoM WH FAERHOOK-COMMAYKESQLYNHON
Bai 39: Cho mặt cầu đường kính AB, tâm O, AB = 4R, Một điểm M tuỳ ý
thuộc mặt cầu, mặt phẳng œ vuơng kỗc vái AM và đi qua O cất AM:
tại H Tìm tập hợp điểm N đối xứng của H qua A khi M vẽ trên mặt cầu:
Giải:
Thực hiện phép VỆ BOO
MoH Khi đĩ mặt cấu (S) Lâm O, bán kính 4R thành mặt cầu đường kính AO = 2R
He nmặt cầu đường kinh AO
+ Xét Dy =(O, 3R) j —> (Ø,, #R) đường kính AC x
Nên N thuộc mặt cầu đường kính ÁC Ss
Cho hai điểm AB, đường thẳng d chéo nhau với đường thẳng AH
Lay +ên đ một điểm C Dựng hình bình hành ABCD Tìm quỹ tích trung điểm M của AD khi C chạy trên đường thẳng d
Giải” Xét ABCD là hình bình hành d
=> (D=BA n
TBÄ phép tịnh tiến theo vectd BÀ TR :Ơ 3D vay ced > De TBA da
Xét VỆ: D — MvậyM e VỆ () = d”/! d” đi qua trung diém AB
Quỹ tích MỈ là đường d”
Wt BAI TAP AP DUNG VA ON TAP
(1) Để bài:
Bài 4L: Cho hai đoạn thẳng AB va CD hãy tầm phép đồng biến A va B ' thẻ thứ tự thành C và D
{ Bai 42: Cho phép VỆ (phép vị tự tâm O tỉ số k) và phép Vợ (phép vị tự f tam 0”, tỉ số k) Chứng minh rằng k.k = 1 thì phép biến hình thực Ị ˆ “hiện liên tiếp hai phép vị tự trên là phép biến hình, phép biến hình
đĩ là phép tịnh tiến
i 36 |
Trang 38WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM eo EACHOOK CONEMAv KEATON SHON
Bài 48: Chứng minh rằng hai hình lập phương bất kì luơn luơn đồng
dạng với nhau
Bài 44: Cho A'BƠ lần lượt là ảnh của ABC qua phép déng dang ti sốk khi và chỉ khi: A*B'ATC! =k*ÄB
Bài 4ð: Cho A'BC theo thứ tự lần lượt là ảnh của A, B, Ơ qua “phếp
đồng dạng Chứng minh rằng nếu AỞ=pÄB (Với p là một $ố thực)
thì ẤT
Bài 46: Cho tứ diện ABCD Tìm ảnh của tứ diện qua phép Vo,1, Trong 3 Gà trọng tâm của tứ diện
Bài 47: Cho hình chĩp cụt ABCDB.A'RCDTE Tìm Phép vị trí biến đa giác ABCDE thành tứ giác Á'B'CTTE' x
Bài 48: Cho hai hình tứ điện ABCD và A'B'CDf cĩ các cạnh tương ứng song song với nhau Chứng mình rằng cĩ một phép tịnh tiến hoặc phép vi trí biến tứ diện này thành tứ điện kĩa
Bai 49: Cho bình lập phương ABCD.A'ECT' Gọi I và P là tâm của ABCD và A'BCTY Trong mặt phẳng DBBT gọi M là giao điểm của DI và B'B Tìm phép biến hình £: B7M —› Ã'Ã
() Hướng dẫn giải: Bai 41: Trên tia CD lấy điểm A’ sao cho CA’ =
Xét bai đoạn thẳng CA' và ẤB thực hiện phép đời hình f: A => Ơ Bow
kỮA")
Vậy khi đĩ ta đã thực hiện liên tiếp hai phép dồi hình và phép vị trí biến A thành Ơ, B thành D
Bai42: VI: M&S M,
Trang 39WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM ` Vì k'k= 1 thay vào ta cố: ‘ a boot vì O và O' (9 = low a_Lye MM" 30M, + (1-7 )0"
Qua hai phép vi tri OO} c6 dinh dua (*)
Chứng tổ M' = T500", M (pcm)
Bài 48: Hướng dẫn giải cho hai hình lập phương ABCD.A'BD và
A\B,C,D, A;B,C,D, Trên các tiá A,A,,A,B,,A;D;, lấy lần lượt các điểm A,,B;,D, dựng một hình lập phương A,B,C,D,,A,B,C,D, sao
cho hình A,B,C,D,.A;B,C2D, bằng hình lập phương ABCD.A'BCD | Khi đĩ gọi f phép đời hình biến: ee
ABCD.A'B'CD’ bién thanh A,B,C,D,.A,B,C,D; |
Dang phép vị tri tam Aj tỉ sốk
« = AB un bign-ABGD,AHCDithanh hin wongABED, ABCD,
Vậy ta thực hiên liên tiếp hai phép dời hình và phép vị tri bién |
ABCD.A'B'C’D’ thanh A,B,C,D,.A\B\C\D, nên ABCD.A'BCD' đồng
dạng A,B,CID, A,B,C(D, (Đồng dạng)
Bài 44: Gọi £ là phép đồng dạng tỉ số k khi đĩ B BC | Nén ‘AG.AB ù | | | | 38
Trang 40WWWDEAQUYNHOXLCOZcoM NGA B00 COAMDALKIALQOYNHON Bài 46: Giả sử G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì:
GA+GB+GG+GB=ư «a
Gọi G, là trọng tâm tam giác BƠD, mặt đối diện với dink A &
5@
<> 4BG, +G,Ä =ư <> 4GG, LGG+GÄ is
© 30G, GAo G8, =- GA @®
Điều (3) này chứng tơ Vụ, 3 A>G, &
Tương tự G¿, Gạ, G„ là trọng tâm của các tam giác ACD, ABD, ABC
thì Vua BOG
CG,
D>G,
Vậy ảnh của tứ điện ABCD quaVo,1, là tit dién G,G,G,G, 18 trong ns tâm các mặt tứ diện
Bài 47: Giả sử hình chĩp cụt ABODE.A'BƠD'E các cạnh AA', BB’, CC’, DD’, BE’ cét nhau ở O (hại mặt (ABCD) // (A'ECD))
Vậy xét Vệ: wr ‘ Po B D = EOE
Vay Vi: A'BC’D'E’ > ABCDE
tho hai ttt dign ABCD; A'B'C’D’ cĩ các cạnh tương ứng song song
với nhau Chứng mình tốn tại phép tịnh tiến hoặc phép vị trí biến tứ diện này thành tứ diện kia
39