lý thuyết phóng xạ dịch chuyển gamma

Để mô tả đầy đủ về phóng thích hay hấp thu photon của nhân nguyên tử đòi hỏi đến lý thuyết lượng tử của sự phát bức xạ. Lý thuyết bức xạ lượng tử vay mượn một số biểu diễn cổ điển bằng cách xem nguồn bức xạ như là một dao động momen điện hoặc từ với sự phân bố điện tích và dòng thay đổi theo thời gian. Chúng ta sẽ dựa trên quy tắc của Fermi để tính xác suất chuyển biến trong đơn vị thời gian từ trạng thái đầu i đến trạng thái cuối f.

LÝ THUYẾT PHÓNG XẠ GAMMA

Để mô tả đầy đủ về phóng thích hay hấp thu photon của nhân nguyên tử đòi hỏi

đến lý thuyết lượng tử của sự phát bức xạ Lý thuyết bức xạ lượng tử vay mượn một

số biểu diễn cổ điển bằng cách xem nguồn bức xạ như là một dao động momen điện

hoặc từ với sự phân bố điện tích và dòng thay đổi theo thời gian

Chúng ta sẽ dựa trên quy tắc của Fermi để tính xác suất chuyển biến trong đơn

vị thời gian λfi từ trạng thái đầu i đến trạng thái cuối f

f

2 fi

Vấn đề khó khăn là chọn toán tử tương tác, trạng thái đầu và cuối mà chúng có

liên quan đến cấu trúc hạt nhân Ta nhận thấy:

- Trạng thái đầu i chỉ bao gồm trạng thái kích thích

- Trạng thái cuối f bao gồm trạng thái kích thích hoặc cơ bản và photon γ

Theo cổ điển, thế năng tương tác có dạng:

1(

j

1(m

p)A

j

1()rA.rd

rd

rd

3 j

3 1

3 j

là hàm sóng trạng thái của hệ ở trạng thái đầu và cuối

Mà phần không gian trong (2.5) là

r k i

0 e A ) r (

Với A0 là hằng số chuẩn hoá; εr là véc tơ đơn vị định hướng sự phân cực của

photon

Điều kiện (2.3) cho thấy tính sóng ngang của bức xạ γ Thật vậy (2.3) suy ra:

0 k k

x + ε + ε = ε

Vậy véc tơ phân cực εr vuông góc với phương truyền của Do đó trong mặt sóng

phẳng chỉ có hai phương độc lập tuyến tính mà ta chọn vuông góc với nhau

lượng của photon Thật vậy từ

0

A

0A

= ω

t

AE)t,r

1 E

( 2

0

2 o

r r

Nếu ta chuẩn hoá hàm sóng photon sao cho năng lượng điện từ chứa trong thể

tích chuẩn V đúng bằng năng lượng hω thì ta tìm được:

V ω ε

Trạng thái đầu được tạo bởi nhân hiện hữu ở trong những trạng thái kích thích

năng lượng và không có photon Năng lượng toàn phần không nhiễu loạn của hệ

năng lượng Ef và một photon năng lượng hω, véc tơ sóng kr

Năng lượng toàn phần không nhiễu loạn của hệ là

(bỏ qua năng lượng nhân giật lùi)

Sự bảo toàn năng lượng cho: Ef=Ei (2.12)

Đo năng lượng của photon sẽ biết được năng lượng kích thích của nhân Số

trạng thái cuối là số trạng thái của photon

ω h

f

n

Nếu giả sử photon có một sự phân cực xác định, theo véc tơ sóng ta có:

VV

Ωπ

=

ππ

Ωπ

=

π

=

d)2(

dkk

)2(

.4

dkdk4

)2(

kddn

3 2

3 2

3

3 f

1)2(d

3 f

f f

C Gần đúng đối với photon bước sóng dài:

Do tính chất phân bố mật độ của hạch tử trong nhân phần chính yếu đóng góp

vào (2.5) là những giá trị của rrj ≤R (bán kính nhân nguyên tử) và nếu photon được

phóng thích ra có bước sóng λ đủ lớn sao cho:

Sự gần đúng càng tốt khi nhân càng nhỏ và năng lượng photon càng nhỏ

1 Gần đúng cấp 1:

Lấy e− rikrrj ≈ 1 Suy ra A r*( r rj) = A0ε r (2.21)

Và

) A ,

j , , 1 ( m

p e

A

) A

j , , 1 ( m

p ) A ,

j , 1 ( r d

r d

r d

e A V

i z

1 j

j f

0

i Z

1 j

j A

3 j

3 1

3 0

ε

−

=

Φ Φ

r r

(2.22)

Và đã tính toán được:

i f

Để tính (2.23), ta phải biết Φi, Φf dựa vào lý thuyết mẫu hạt nhân Ở đây dùng

mẫu lớp đơn hạt

Vì đây không phải là trung bình của momen lưỡng cực điện của nhân, Φi ≠ Φf

nên phần tử ma trận không nhất thiết phải triệt tiêu Vậy khi (2.23) khác không, nó là

yếu tố quan trọng thúc đẩy cho dịch chuyển của photon từ i → f

j, ,1(pˆrˆ)A,

j, ,1(f

*m

erd

rd

rd

kiA

1 j j A

3 j

3 1 3 ,

∑

Trong đó số hạng có thể phân tích thành hai tenxơ phản xứng và đối

xứng đối với

β

= α

∑ j Z 1 j

j p rβ

α, : Tenxơ phản xứng:

) p r p r 2

1

1 j j )

a (

α β β

α β β

β β

orb j Z

1 j

, j j

j j Z

1 j j )

a

m2

e)prprm2

eOˆ

0 ( u x ) ˆ c

iA V

fi

M ) 2

Các dịch chuyển tương ứng với phần tử ma trận này gọi là chuyển biến lưỡng

cực từ Và bức xạ γ được phóng thích ra được gọi là bức xạ lưỡng cực từ

Một cách tổng quát, momen từ của nhân là

∑

=

μρ+ρ

=

μ Z

1 j

N j j S j

ljˆl Sˆ )(

(2.28)

Với μN là magneton nhân,

⎩

⎨

⎧

= ρ

neutron 0

proton 1

với đối

1fi

E)2(

β

α α

Trong đĩ: Φf Qˆαβ Φi là phần tử của ma trận của tốn tử momen tứ cực điện

giữa trạng thái đầu và cuối Nĩ là một tenxơ hạng 2 đối xứng:

(2.31) )

r r

r 3 ( q

Qˆ Z

1 j

j j

Các chuyển biến liên kết với tốn tử này gọi là chuyển biến tứ cực điện Và bức

xạ γ được phĩng thích ra được gọi là bức xạ tứ cực điện

Nếu các phần tử ma trận chuyển tương ứng với 2 gần đúng đầu tiên triệt tiêu , ta

sẽ xét số hạng gần đúng bậc 3 kế tiếp

D Xác suất biến chuyển:

1 Tính xác suất biến chuyển của lưỡng cực điện:

=

0 0

1)2(d

3 f

f f

hV

iA ˆ

iA

Vfi(1) = 0ε r ω Φf D Φi = 0ε r ω Φf D Φi

Z 1 j j f i

f

e

1 ˆ

ω πε

=

λ

2

d / d / c

) c 4

e

fi 2

e(

0

2

hπε

=

α là hằng số cấu trúc thanh

Biểu thức (2.33) cho biết xác suất biến chuyển từ trạng thái đầu i sang trạng thái

cuối f của nhân và một trạng thái của photon ( được xác định bởi vec tơ kr

r

và hướng phân cực ) Nếu ta khơng biê`t hướng phân cực thì phải lấy tổng xác suất (2.33)

theo 2 phương phân cực độc lập tuyến tính

ε

Nếu ta khơng phát hiện cả phương truyền của photon và nếu ta lấy tổng xác suất

theo mọi phương truyền thì ta sẽ được xác suất tồn phần λ-xác suất biến chuyển từ

trạng thái đầu sang trạng thái cuối của nhân do bức xạ lưỡng cực điện

∫

= λ

0

2 2

fi 2

3

d sin sin

/ d / c

dphâncực

3

/ d / c 3

của lưỡng cực từ và tứ cực điện…

2 Áp dụng tính toán các xác suất biến chuyển:

Về phương diện hạt nhân, các xác suất biến chuyển lưỡng cực điện, lưỡng cực từ

và tứ cực điện lần lượt được xác định bởi các phần tử ma trận:

i f

fi = Φ D ˆ Φ

(2.37)

i f

Các phần tử ma trận có thể được tính từ các hàm sóng cho bởi các mẫu hạt nhân

Đặc biệt đối với mẫu hạt độc lập:

) A ( )

2 ( ).

1 ( )

A , , 2 , 1

Với jm l m nlml r ) ( s ) ( t )

l m

l 2

1

σ

θ χ ϕ

ΨTrong đó là hàm sóng nội tại riêng tượng trưng chuyển động nội tại

của vi hạt ở toạ độ

)'z,'y,'x(

int

ϕ

z,'y,'x( ')

‰ Biến chuyển lưỡng cực điện E1:

Với nhân A lẻ trong khuôn khổ mẫu tầng, khi đó trạng thái đầu và cuối của nhân

chỉ khác nhau do trạng thái của chỉ một nucleon lẻ đôi chịu sự biến chuyển Suy ra

phần tử ma trận hạt nhân thu về phần tử ma trận liên quan đến chỉ một nucleon với

hàm sóng thuộc dạng

) (

l ) , ( Y ) (

n l

l m l

z r

) y i x ( 2

1 r

) y i x ( 2

1 r

0

Các thành phần của rr tỉ lệ với hàm liện hợp cầu , phần góc của phần tử ma

trận là tích phân của tích 3 hàm liên hợp cầu:

)1l2)(

1l

2

(

d),(Y),(Y),(Ym

lY

m

l

1 3 2 1 1 3 2 3 2 1

3 2

3 3 1

1

3 l 3 m 2

l 2 m 1

l

* 1 m 2

l 2 m

+

++

=

Ωϕθϕ

θϕ

)

(

i n

i f

n f l

R R

Với giả thiết đơn giản hoá rằng hàm sóng không khác nhau nhiều và

một cách gần đúng được xem như không thay đổi ở trong nhân và triệt tiêu ở ngoài

nhân, người ta tính được:

i n

i , f n f l

R R

R 4

3 ) ( r

)

(

i n

i f

n f

Với 1 / 3 là bán kính nhân

0Ar

c)

R(3

) 1 E ( ≈ α

Ví dụ với nhân A trung bình vào khoảng 100, suy ra R ≈ 5 fm và năng lượng biến

chuyển hω = 100 Kev Ta tính được

1 13 )

1 E (

s

≈ λ

Hay thời gian sống trung bình

(2.44) s

13 )

1 E ( ≈ 10−τ

Ta cũng nhận thấy xác suất biến chuyển:

) 1 E (

Trong phạm vi mẫu tầng

) 1 E (

‰ Biến chuyển lưỡng cực từ M1

So sánh (2.23) với (2.27) ta thấy với sai biệt một thừa số nhân, giả sử cở đơn vị,

ta có thể lấy độ lớn của xác suất biến chuyển M1 như sau

2 fi 2 3 )

1 M (

c

1 ) c

α

≈

với μfi cho bởi (2.38)

Trong phạm vi mẫu tầng ta chấp nhận độ lớn của μfi là:

) (

) ( c 2 )

1 M ( ≈ α

fm10x1.2mc

1

là bước sóng Compton của photon γ

Nếu năng lượng biến chuyển h ω = 100 keV ta có:

1 10 )

1 M ( ≈ 10 s−λ

Cũng giống như đối với phóng thích bức xạ lưỡng cực điện, ta có

tỉ lệ thuận với

) 1 M (

‰ Biến chuyển tứ cực điện E2

Để đánh giá sự tham gia quan trọng của tứ cực điện ta cần phải có ý niệm về độ

lớn của phần tử ma trận Giả sử ta cũng dùng mẫu tầng và cũng giống trường

hợp của phần tử ma trận

fi

)Q( αβ

fi

dr

ta để những hằng số qua một bên và khi đó ta tìm được:

2 2

5

3)Q

Do đó xác suất liên quan đến biến chuyển tứ cực điện là:

D D

c )

R ( R

c

4 4

4

5 )

2 E

2 E ( ≈ 10 s−

Các xác suất đối với biến chuyển có độ lớn xấp xỉ xác suất đối với biến

chuyển và trở thành cạnh tranh nhau khi cả hai đều có thể xảy ra

2

E

1

M

Ngoài ra sự phụ thuộc của vào năng lượng biến chuyển lại độc lập đối

với mẫu và đều là

) 2 E (

tỉ lệ với (2.60)

) 2 E (

Xem hình 2.4

Hình 4 Xác suất biến chuyển tính từ mẫu tầng với A=100 Phân tích các kết quả có được ở trên cho phép ta suy ra các tính chất:

• Toán tử của biến chuyển E1 là Dˆ r

biến đổi như hàm sóng momen động lượng lượng L=1 trong phép quay và có tính lẽ

• Toán tử của biến chuyển M1 là μˆr biến đổi như hàm sóng momen động

lượng lượng L=1 trong phép quay và có tính chẳn

• Toán tử của biến chuyển E2 là Qˆαβ biến đổi như hàm sóng momen

động lượng lượng L=2 trong phép quay và có tính chẳn

• Các biến chuyển và các bức xạ liên kết là những bức xạ 2L điện hoặc từ

• Những kết quả (2.45), (2.52), (2.60) được suy rộng tổng quát

) L E (

) L ( ) 1 L (

(2.63)

) L ( ) L M ( < λ λ

• Trong khuôn khổ của mẫu tầng với nucleon đơn lẻ, sự phụ thuộc của xác

suất biến chuyển vào bán kính hạt nhân được tổng quát hóa thành

3 / L 2 L 2 ) L ( ∝R ≈ Aλ

(2.64)

3 / 1 L ( 2 ) 1 L ( 2 ) L M

i L

f ( E ) Φ

Φ O

i L

f ˆ(M )Φ

Φ O

Gọi và là spin và tính chẳn lẽ của trạng thái đầu

i

i

Jπ

f f

L f

i

L

L f

i

M bc )

1 (

E bc )

1 (

Những trường hợp không thoả thì bị cấm Vì đây là sóng ngang , nên không

có biến chuyển tức không phóng thích Tuy nhiên các biến chuyển điện từ

có thể xảy ra để tạo hiện tượng biến đổi nội tại hay nếu năng lượng đủ lớn thì tạo hiệu ứng tạo cặp nội tại

0

L ≠)

00

Trạng thái kích thích của hạch tử lẻ đôi đầu tiên với dự đoán L=4 có thể là 1 hoặc

Mẫu tấng thích hợp cho những nhân lẻ , A lớn, và chuyển biến lớn Ví dụ đặc trưng trên minh họa một cách khá hệ thống các xác suất biến chuyển trùng hợp với những suy đoán về mẫu tầng đối với những nhân có số hạch tử lẻ trong khoảng

39 49 (số magic 50) hay từ 65 81 (trước số magic 82) hay 115 125 (trước số magic 126) Sự trùng hợp này là một xác nhận đối với sự vững chắc của mẫu tầng vì

nó bao hàm hai mức hạch tử gần nhau, có tính chẵn lẻ đối nhau và j rất khác nhau, có thể phóng thích photon cấp đa cực cao và do đó tương ứng với thời gian sống dài

Sự trùng hợp của những giá trị xác suất biến chuyển đo được với trị suy đoán từ mẫu tầng ít khi được tốt như trong ví dụ trên Ví dụ biến chuyển bao hàm thay đổi tính chẵn lẻ nên ít nhất phải thay đổi tầng đối với 1 hạch tử đơn lẻ Sự hiện hữu các trạng thái có tính chẵn lẻ đối nhau không làm giảm bớt khó khăn này, vì các trị của j rất khác xa nhau và không phù hợp với L=1, ngoại trừ trong trường hợp của những nhân rất nhẹ, những biến chuyển của trạng thái kích thích không thể chỉ là biến chuyển của một hạch tử

Tương tự đối với biến chuyển , sự trùng hợp của giá trị tính toán đơn giản hóa

54 của mẫu tầng và thực nghiệm chỉ là bán định lượng ở lân cận ở tầng magic Xác suất của biến chuyển theo mẫu tầng luôn luôn thấp hơn giá trị thực nghiệm thừa

số xấp xỉ giá trị F (ở phần c biến chuyển tứ cực điện)

Những khó khăn để có được sự trùng hợp định lượng giữa giá trị thực nghiệm và trị suy đoán lý thuyết đối với các xác suất phóng thích với những mẫu đơn giản chứng

tỏ các giá trị lý thuyết bị chi phối quan trọng bởi hàm sóng hạt nhân

IV HIỆN TƯỢNG BIẾN ĐỔI NỘI TẠI

Đó là hiện tượng truyền năng lượng trực tiếp của nhân do trạng thái điện từ cho một trong các electron nguyên tử (tầng, K, L, M,…)

Gọi , là năng lượng trạng thái đầu và cuối

, T là năng lượng buộc của ở trạng thái đầu và động năng của ở trạng thái cuối Nếu bỏ qua năng lượng giật lùi

Nếu thiết bị phát hiện electron có độ phân giải năng lượng cao, ta có thể phân biệt nguồn gốc electron bằng cách đo T Sự bức e tầng K chẳng hạn thường kích ion tương ứng, tiếp theo là sự khữ kích thích hay xếp đặt lại của electron làm phát ra bức

xạ điện từ X mà năng lượng sẽ đặc trưng cho lỗ hỏng tạo ra bởi bức xạ điện từ trong hiện tượng biến đổi nội tại Vậy ta có những biện pháp tốt để xác định trạng thái đầu của electron

a) Các hệ số biến đổi nội tại:

Gọi λγ, λe là xác suất khử kích thích của nhân với phóng thích γ và biến đổi nội tại Để nhân từ trạng thài đầu sang trạng thái cuối, xác suất chung để khử kích thích của nhân là:

: số electron và số phóng thích trong 1 đv tg của bức xạ hạt nhận

Nếu ta phân biệt electron của các tầng khác nhau K,L,M ta có xác suất riêng phần tương ứng và khi đó ta có các hệ số biến đổi nội tại

b) Tính chất của các hệ số biến đổi nội tại:

Thế năng nhiễu loạn V gây ra các biến chuyển thông thường là thế năng tương tác Coulomb giữa những proton và electron phóng thích ra

Trong đó:

Suy ra:

2 2

Trong điều kiện như vậy, một cách trung bình ta có rj < r, ∀jdo đó ta có thể áp dụng khai triển gần đúng trên:

Nếu sự tham gia của số hạng lưỡng cực trong (73) triệt tiêu, ta phải tính đến

sự tham gia của số hạng kế tiếp

Phần tử ma trận được viết dưới dạng tích để làm xuất hiện dưới dạng thừa số ma trận hạt nhân ( ˆ )

fi

Oαβ của biến chuyển E2 (40)

Để có những biến chuyển từ, cần phải thêm vào trong (71) tương tác giữa dòng e- với thế vector tạo nên bởi các nucleon Các thừa số tìm thấy trong (74) được tổng quát hóa và dẫn đến nhiều tính chất của biến đổi nội tại như:

-Phần tử ma trận biến chuyển ở cấp cho sẵn tỷ lệ thuận với phương trình ma trận hạt nhân biến chuyển gamma, các quy tắc chọn lựa của biến đổi nội tại cũng giống hệt của các quy tắc lọc lựa của biến đổi hạt nhân trừ trường hợp biến đổi nội tại đơn cực Điều này dẫn tới cách sắp xếp các hệ số biến đổi nội tại theo các cấp của đa cực điện

và từ

- Các hệ số biến đổi nội tại không phụ thuộc vào các phần tử biến đổi nội tại của nhân và có thể tính được độc lập với cấu trúc hạt nhân với độ chính xác cao Đây là một bài toán nguyên tử hơn là một bài toán hạt nhân Để có được độ chính xác cao cần phải tính các phương trình ma trận electron với các hàm sóng có kể đến trạng

thái xoắn Coulomb trên trạng thái cuối của electron cũng như hiệu ứng tương đối đối với Z lớn

Giá trị của hệ số biến đổi nội tại được tính và cho trong phụ lục của các tài liệu về gamma Từ đó khảo sát sự biến thiên của αK theo năng lượng biến chuyển Ei − Ef , theo Z và theo cấp đa cực của bức xạ (xem hình 6, 7)

Từ kết quả khảo sát nhận thấy hệ số biến đổi nội tại (75)

+ Tăng theo Z

+ Tăng theo cấp đa cực L

+ Giảm khi ΔE tăng

+ Có giá trị lớn hơn đối với một biến chuyển từ so với biến chuyển điện cùng cấp + Có trị α thỏa αK > αL > αM

Hình 6: Sự phụ thuộc theo đối với biến chuyển đa cực điện

Hình 7: Sự phụ thuộc theo đối với biến chuyển lưỡng cực từ

thích, trái lại với nhân , khi khử kích thích do biến chuyển M4, năng lượng

biến chuyển khoảng 104 keV, hệ số biến đổi nội tại vào khoảng α= 270 Do đó thời

gian sống kích thích trung bình của mức

91

Nb

41

9 2

+

là 62 ngày sẽ là 46 năm nếu trong cùng trạng thái kích thích đó với cùng loại biến chuyển và nếu chỉ có phóng thích γ là khả

hữu

C/ Biến đổi nội tại đơn cực:

Ta đã thấy không có biến chuyển Ji= 0 → Jf= 0 đối với phóng thích photon γ Tuy

nhiên các biến chuyển Ji= 0 → Jf= 0 vẫn có thể xảy ra với e- được phóng thích ra dù

rằng không có số hạng đơn cực trong khai triển (71)

Chính sự gần đúng rj < r đã dẫn đến trường hợp này và chỉ xét đến những tham gia

vào phương trình ma trận (72) sự hiện hữu của e- trong nhân khi r < rj Khi tính

những giá trị tham gia này, người ta tìm thấy đối với L ≥ 1, chúng không đáng kể so

với trị tương ứng khi e- ở ngoài nhân và những giá trị sau này triệt tiêu khi r= 0