CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TÍNH LÃI SUẤT NGÂN HÀNG I. LÝ THUYẾT 1. Lãi đơn: Lãi được tính theo tỉ lệ phần trăm trong một khoảng thời gian cố định trước. Ví dụ: Khi ta gửi tiết kiệm 50 (triệu đồng) vào một ngân hàng với lãi suất 6,9%năm thì sau một năm ta nhận được số tiền lãi là: (triệu đồng). Số tiền lãi này như nhau được cộng vào hằng năm. Kiểu tính lãi này được gọi là lãi đơn. Sau hai năm số tiền cả gốc lẫn lãi là: (triệu đồng). Sau n năm số tiền cả gốc lẫn lãi là: (triệu đồng). 2. Lãi kép: Sau một đơn vị thời gian (kỳ hạn), tiền lãi được gộp vào vốn và được tính lãi. Loãi lãi này được gọi là lãi kép. Ví dụ: Khi ta gửi tiết kiệm 50 (triệu đồng) vào một ngân hàng với lãi suất 6,9%năm thì sau một năm, ta nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là: (triệu đồng). Toàn bộ số tiền này được gọi là gốc. Tổng số tiền cuối năm thứ hai là: II. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH 1. Bài toán 1: (Lãi kép gửi 1 lần) Một người, gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất kép hàng tháng là r% (Kỳ hạn một tháng). Tính cả vốn lẫn lãi Tn sau n tháng? Phương pháp: Gọi Tn là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng, ta có: Tháng 1 ( ): Tháng 2 ( ): …………………………………………………….. Tháng n : Vậy: (1)
CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TÍNH LÃI SUẤT NGÂN HÀNG I LÝ THUYẾT Lãi đơn: Lãi tính theo tỉ lệ phần trăm khoảng thời gian cố định trước Ví dụ: Khi ta gửi tiết kiệm 50 (triệu đồng) vào ngân hàng với lãi suất 6,9%/năm sau năm 50 × 6,9% = 3, 45 ta nhận số tiền lãi là: (triệu đồng) - Số tiền lãi cộng vào năm Kiểu tính lãi gọi lãi đơn 50 + ( 3, 45 ) = 56,9 - Sau hai năm số tiền gốc lẫn lãi là: (triệu đồng) 50 + n ( 3, 45 ) - Sau n năm số tiền gốc lẫn lãi là: (triệu đồng) Lãi kép: Sau đơn vị thời gian (kỳ hạn), tiền lãi gộp vào vốn tính lãi Loãi lãi gọi lãi kép Ví dụ: Khi ta gửi tiết kiệm 50 (triệu đồng) vào ngân hàng với lãi suất 6,9%/năm sau năm, ta nhận số tiền gốc lẫn lãi là: 50 + 3, 45 = 53, 45 (triệu đồng) - Toàn số tiền gọi gốc 53, 45 + 53, 45 × 6,9% = 53, 45 ( + 6,9% ) - Tổng số tiền cuối năm thứ hai là: II CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1: (Lãi kép gửi lần) Một người, gửi vào ngân hàng số tiền a đồng, với lãi suất kép hàng tháng r% (Kỳ hạn tháng) Tính vốn lẫn lãi Tn sau n tháng? Phương pháp: Gọi Tn tiền vốn lẫn lãi sau n tháng, ta có: n = T1 = a + ar = a ( + r ) - Tháng ( ): n = T2 = a ( + r ) + a ( + r ) r = a ( + r ) - Tháng ( ): …………………………………………………… n −1 n −1 n Tn = a ( + r ) + a ( + r ) r = a ( + r ) - Tháng n : n Tn = a ( + r ) Vậy: (1) Trong đó: a số tiền vốn có ban đầu, , r lã lãi suất (%) hàng tháng (kỳ hạn tháng), n số tháng, Tn số tiền vốn lẫn lãi sau n tháng Từ công thức (1) ta tính đại lượng khác sau: T ln n a n= ln ( + r ) 1) Chứng minh: n n n Tn = a ( + r ) ⇔ ln Tn = ln a ( + r ) ⇔ ln Tn = ln a + ln ( + r ) Tn a n= = ln Tn − ln a ⇔ n.ln ( + r ) = ln Tn − ln a ⇔ ln ( + r ) ln ⇔ ln ( + r ) r= n n Tn −1 a 2) Chứng minh: Tn = a ( + r ) a= n ⇔ ( 1+ r ) n = T T Tn 1+ r = n n r = n n −1 a ⇔ a a ⇔ Tn ( 1+ r ) n 3) Chứng minh: Tn = a ( + r ) n ⇔ a= Tn ( 1+ r ) n Ví dụ 1: Bác An muốn gửi số tiền tiết kiệm 50000000 đồng vào ngân hàng BIDV với lãi suất kép kì hạn tháng 0,35% /tháng Hỏi sau tháng số tiền gốc lẫn lãi bác An bao nhiêu, biết lãi suất hàng tháng không thay đổi? Giải T = 50000000 ( + 0,35% ) = 50881146 Số tiền gốc lẫn lãi bác An là: (đồng) Ví dụ 2: Chị Vui có số tiền 100000000 đồng, chị muốn gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng Đồng Á với lãi suất kép kỳ hạn tháng 0,36% / tháng Để 110000000 đồng chị Vui phải tháng gửi, biết lãi suất hàng tháng không thay đổi? Giải 110000000 ln n = 100000000 = 26,52267649 ln ( + 0,36% ) Số tháng tối thiểu phải gửi là: (tháng) Vậy thời gian tối thiểu chị Vui phải gửi 27 tháng Ví dụ 3: Bà Thu có số tiền 100000000 đồng gởi tiết kiệm ngân hàng vòng 13 tháng lãnh 105000000 đồng Hỏi lãi kép hàng tháng với kỳ hạn tháng ngân hàng bao nhiêu, biết lãi suất hàng tháng không thay đổi (làm tròn đến số thập phân thứ 4)? Giải 105000000 r = 15 − = 0,38% 100000000 Lãi suất hàng tháng là: Bài toán 2: (Lãi kép gửi lần) Một người, gửi vào ngân hàng số tiền a đồng, với lãi suất kép r%(Tính theo kỳ) Tính vốn lẫn lãi Tn sau n kỳ? Phương pháp: Gọi Tn tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ, ta có: n = T1 = a + ar = a ( + r ) - Kỳ ( ): n = T2 = a ( + r ) + a ( + r ) r = a ( + r ) - Kỳ ( ): …………………………………………………… Tn = a ( + r ) - n −1 + a ( 1+ r ) n −1 r = a ( 1+ r ) n Kỳ n : Tn = a ( + r ) n - Vậy: (2) Trong đó: a số tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng kỳ, n số kỳ, Tn tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ Từ công thức (2) ta tính đại lượng khác sau: T ln n Tn T a a= n= n r = n n −1 ln ( + r ) ( 1+ r ) a 1) 2) 3) Ví dụ 1: Một người gửi tiền tiết kiệm 100000000 đồng vào ngân hàng a) Hỏi sau 10 năm, người nhận tiền vốn lẫn lãi, biết người gửi theo kỳ hạn tháng, lãi suất kép 5,3%/năm người không rút lãi tất định kỳ trước b) Hỏi sau 10 năm, người nhận tiền vốn lẫn lãi, biết người gửi theo kỳ hạn tháng, lãi suất kép 4,8%/năm người không rút lãi tất định kỳ trước Giải 10.12 = 20 a) kỳ tháng, suy 10 năm kỳ 5,3 % 12 lãi suất năm 5,3%, suy lãi suất tháng là: Khi lãi suất theo định kỳ tháng 5,3 % = 2, 65% 12 là: 20 T20 = 100000000 ( + 2, 65 ) = 168724859,1 Vậy số tiền nhận sau 10 năm là: đồng 10.12 = 40 b) kỳ tháng, suy 10 năm kỳ 4,8 % 12 lãi suất năm 4,8%, suy lãi suất tháng là: Khi đó, lãi suất theo định kỳ tháng 4,8 % = 1, 2% 12 là: 40 T40 = 100000000 ( + 1, 2% ) = 161146360 Vậy số tiền nhận sau 10 năm là: đồng Ví dụ 2: Một anh sinh viên gia đình gửi vào sổ tiết kiệm ngân hàng 80000000 đồng vỡi lãi suất kép kỳ hạn năm 6,9%/năm Hỏi sau năm số tiền sổ bao nhiêu, biết suốt thời gian anh sinh viên không rút đồng vốn lẫn lãi? Giải T5 = 80000000 ( + 6,9% ) = 111680799, Số tiền sổ sau năm là: đồng Bài toán 3: (Lãi kép gửi theo định kỳ - gửi đầu tháng) Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng a đồng , với lãi suất kép hàng tháng r% Hỏi sau n tháng, người có tiền ? Phương pháp: Gọi Tn số tiền người có cuối tháng n , ta có : T1 = a + ar = a ( + r ) - Cuối tháng thứ nhất, người có số tiền : Đầu tháng thứ hai, người có số tiền : a ( + r ) − 1 = a ( + r ) − 1 a ( + r ) + a = a ( + r ) + 1 = r ( + r ) − 1 - Cuối tháng thứ hai, người có số tiền : a a a 2 T2 = ( + r ) − 1 + ( + r ) − 1 r = ( + r ) − 1 ( + r ) r r r - ……………………………………………………………… Cuối tháng thứ n , người có số tiền : a n Tn = ( + r ) − 1 ( + r ) r Tn = a n ( + r ) − 1 ( + r ) r Vậy : (3) Trong : a tiền vốn gửi vào ngân hàng hàng tháng , r lãi suất % hàng tháng , n số tháng, Tn tiền vốn lẫn lãi sau n tháng Từ công thức (2) ta tính đại lượng khác sau: Tn r a= n ( + r ) ( + r ) − 1 1) T r ln n + + r ÷ a −1 n= ln ( + r ) 2) Ví dụ : Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền 3000000 đồng với lãi suất kép 0.36%/tháng Hỏi sau năm, người có tiền, biết lãi suất hàng tháng không thay đổi ? Giải a n Tn = ( + r ) − 1 ( + r ) r = 0,36% n = 24 a = 3000000 r Áp dụng công thức : Với đồng, , tháng 3000000 24 T24 = ( + 0,36% ) − 1 ( + 0,36% ) = 75331221, 69 0,36% Ta được: đồng Ví dụ 2: Muốn có 50000000 đồng sau năm phải gửi quỹ tiết kiệm ngân hàng hàng tháng ? Biết lãi suất kép gửi hàng tháng 0,35%/tháng, lãi suất hàng tháng không thay đổi Giải Tn r a= n ( + r ) ( + r ) − 1 Tn = 50000000 r = 0,35% n = 12 Áp dụng công thức : Với đồng, , tháng 50000000.0,35% a= = 4072810, 663 12 + 0,35% + 0,3 5% − ( ) ( ) Ta được: đồng Ví dụ 3: Nếu ông A muốn có 100000000 đồng ông phải phải tháng gửi tiền tiết kiệm ngân hàng , biết lãi suất kép gửi ngân hàng hàng tháng 0,36% /tháng, số tiền ông gửi tiết kiệm hàng tháng 7000000 đồng? Giải T r ln n + + r ÷ a −1 n= ln ( + r ) Tn = 100000000 r = 0,36% a = 7000000 Áp dụng công thức: Với đồng, , đồng 100000000.0,36% ln + + 0, 36% ÷ 7000000 − = 13,90672580 n= ln ( + 0,36% ) Ta được: tháng Vậy ông A phải 14 tháng Bài toán 4: (Vay theo định kỳ - Trả cuối tháng) Một người, vay ngân hàng A đồng , với lãi suất kép hàng tháng r% Hỏi người phải trả hàng tháng tiền để sau n tháng hết nợ ? Phương pháp : Gọi a số tiền phải trả hàng tháng A( 1+ r ) - Cuối tháng thứ nhất, người nợ : A(1+ r ) − a Đã trả a đồng tiền nợ: A ( + r ) − a ( + r ) − a = A ( + r ) − a ( + r ) − a - - Cuối tháng thứ hai, người nợ: Cuối tháng thứ ba, người nợ : A ( 1+ r ) − a ( 1+ r ) − a ( 1+ r ) − a = A ( 1+ r ) − a ( 1+ r ) − a ( 1+ r ) − a ………………………………………………………………………… Cuối tháng thứ n , người nợ: n + r ) −1 ( n n −1 n− n A ( + r ) − a ( + r ) − a ( + r ) − − a = A ( + r ) − a r Vậy để người trả hết nợ sau n tháng số tiền phải trả hàng tháng là: a= A.r ( + r ) ( 1+ r ) n n −1 (4) Trong : a tiền trả ngân hàng hàng tháng , r lãi suất (%) hàng tháng , n số tháng, A số tiền vay ban đầu Ví dụ : ( Đề thi minh họa năm 2017 ) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ lần trả hết tiền nợ sau tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian ông A hoàn nợ Giải - Sau tháng ông A hoàn nợ lần 1, lần hoàn nợ sau tháng Ông A trả hết tiền nợ sau tháng, tức ông A hoàn nợ lần - Lãi suất năm 12% suy lãi suất hàng tháng : 1% - Gọi m đồng số tiền ông A hoàn nợ tháng 100 ( + 1% ) - - - Cuối tháng thứ nhất, ông A nợ: (triệu đồng) 100 ( + 1% ) − m Đã trả m đồng nên nợ: (triệu đồng) Cuối tháng thứ hai, ông A nợ: 100 ( + 1% ) − m ( + 1% ) − m = 100 ( + 1% ) − m ( + 1% ) − m (triệu đồng) Cuối tháng thứ ba, ông A nợ: 100 ( + 1% ) − m ( + 1% ) − m ( + 1% ) − m = 100 ( + 1% ) − m ( + 1% ) − m ( + 1% ) − m = 100 ( + 1% ) ( + 1% ) − m −1 1% (triệu đồng) Vậy ông A trả hết nợ sau tháng số tiền phải trả hàng tháng : 3 100.1% ( + 1% ) ( 1, 01) m= = 3 ( + 1% ) − ( 1, 01) − (triệu đồng) Ví dụ 2: Một người vay 50 triệu, trả góp theo tháng vòng 48 tháng, lãi suất kép 1,15%/tháng a) Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu? b) Nếu lãi suất kép 0,75%/tháng tháng phải trả bao nhiêu, lợi so với lãi suất kép 1,15%/tháng Giải 48 50000000.1,15% ( + 1,15% ) = 1361312,807 48 ( + 1,15% ) − a) Số tiền người phải trả hàng tháng : (đồng) b) Số tiền người phải trả hàng tháng : 48 50000000.0, 75% ( + 0, 75% ) = 1244252,119 48 ( + 0, 75% ) − (đồng) 1361312,807 − 1244252,119 = 117060 Lợi : (đồng) Ví dụ : Một người vay ngân hàng với số tiền 20000000 đồng , tháng trả góp cho ngân hàng 300000 đồng phải chịu lãi suất kép số tiền chưa trả 0,4%/tháng Hỏi sau người trả hết nợ ? Giải Gọi A số tiền vay ngân hàng, a số tiền trả nợ hàng tháng, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng trả hết nợ r = 0, 4% A = 20000000 a = 300000 Ta có: đồng, đồng, Số tiền nợ ngân hàng sau n tháng là: n a 300000 + r ) −1 ( n n = log1+ r = = 77, 69370636 Tn = A ( + r ) − a =0 a − A.r 300000 − 20000000.0, 4% ⇔ r Số tháng trả hết nợ 78 tháng Bài toán 5: Một người gửi ngân hàng với số tiền A đồng với lãi suất kép r%/tháng(kỳ hạn tháng) Mỗi tháng người rút X đồng vào ngày ngân hàng tính lãi Hỏi sau n tháng số tiền người bao nhiêu? Phương pháp: Gọi Bn số tiền lại sau tháng thứ n - Sau tháng thứ nhất, số tiền vốn lãi là: A(1+ r ) (đồng) B1 = A ( + r ) − X - Sau rút X đồng, số tiền lại là: (đồng) B1 ( + r ) = A ( + r ) − X ( + r ) = A ( + r ) − X ( + r ) - Sau tháng thứ hai, số tiền vốn lãi là: (đồng) - Sau rút X đồng, số tiền lại là: 1+ r ) −1 ( 2 B2 = A ( + r ) − X ( + r ) − X = A ( + r ) − X ( + r ) + 1 = A ( + r ) − X ( + r ) −1 (đồng) ……………………………………………………………………………………… - Bằng cách quy nạp, ta suy sau tháng thứ n , số tiền lại là: n 1+ r ) −1 ( n Bn = A ( + r ) − X r (đồng) (5) Từ công thức (5) ta tính đại lượng khác sau: A ( + r ) n − Bn r X= n ( 1+ r ) −1 1) B r − X n = log1+ r n A.r − X 2) Trong : X số tiền rút hàng tháng , r lãi suất (%) hàng tháng , n số tháng, A số tiền gửi ban đầu Ví dụ : Giả sử người gửi vào ngân hàng với số tiền 50000000 đồng theo kỳ hạn tháng với lãi suất kép 0,36%/tháng Mỗi tháng người rút 1000000 đồng vào ngày ngân hàng tính lãi Hỏi sau năm số tiền người lại ? Giải r = 0,36% X = 1000000 A = 50000000 n = 24 Áp dụng công thức (5) với: đồng, , đồng, tháng Ta có: 24 + 0,36% ) − ( 24 B24 = 50000000 ( + 0,36% ) − 1000000 = 29483326,1 0,36% (đồng) Ví dụ : Một sinh viên học gia đình cho gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền 50000000 đồng theo mức kỳ hạn tháng với lãi suất kép 0,35%/tháng Nếu tháng anh sinh viên rút số tiền vào ngày ngân hàng tính lãi hàng tháng anh rút tiền để sau năm, số tiền vừa hết ? Giải B48 = Sau năm tức sau 48 tháng, anh sinh viên rút vừa hết tiền, có nghĩa A ( + r ) n − Bn r X= n ( 1+ r ) −1 Áp dụng công thức Với: A = 50000000 r = 0, 35% Bn = n = 48 đồng, , đồng, tháng Ta có: 50000000 ( + 0,35% ) 0,35% 48 X= ( + 0,35% ) 48 −1 = 1133433, 099 (đồng) Vậy hàng tháng anh sinh viên rút số tiền : 1133433,099 (đồng) Ví dụ : Một người gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền 20000000 đồng theo mức kỳ hạn tháng với lãi suất kép 0,36%/tháng Nếu tháng người rút số tiền 300000 đồng vào ngày ngân hàng tính lãi sau số tiền gửi vừa hết ? Giải B r − X n = log1+ r n A.r − X Áp dụng công thức: r = 0, 36% Bn = A = 20000000 X = 300000 Với đồng, , đồng, đồng Ta có: −300000 n = log1+0,36% = 76,36959338 20000000.0,36% − 300000 (tháng) Vậy tối thiểu sau 76 tháng số tiền gửi hết