Tích phân của hàm suy rộng

Từ đó, trong Toán học đã xuất hiện các lý thuyết về lớp các hàm mới gọi là "Hàm suy rộng".. Lý thuyết hàm suy rộng được phát triển bởi Schwartz đã mở ra cánhcửa quan trọng cho sự phát tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN HỒNG THÁI

TÍCH PHÂN CỦA HÀM SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN HỒNG THÁI

TÍCH PHÂN CỦA HÀM SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Ngọc Trí

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí.Thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báutrong học tập cũng như nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên vàkhích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăntrong chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâusắc nhất đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng cácquý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹpchương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Hồng Thái

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Hồng Thái

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz 5

1.1 Một số khái niệm và thuật ngữ cơ bản 5

1.2 Không gian các hàm thử 6

1.3 Hàm suy rộng Schwartz 11

1.4 Đạo hàm của hàm suy rộng 14

1.5 Tích hai hàm suy rộng 15

Chương 2 Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau 23

2.1 Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau 23

2.2 Các tính chất về vi phân trong đại số G (Rn) 28

2.3 Số Colombeau 33

2.4 Giá trị tại điểm của hàm G-suy rộng 36

Chương 3 Tích phân của các hàm suy rộng và ứng dụng 39 3.1 Tích phân của một hàm suy rộng trên một tập compact 39

3.2 Sự liên hệ với tích phân cổ điển 43

3.3 Nguyên hàm 46

3.4 Tích chập 49

3.5 Biến đổi Fourier 58

Kết luận 62

Tài liệu tham khảo 63

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong toán học việc lấy đạo hàm các hàm số là việc làm thườnggặp Tuy nhiên, không phải với hàm số nào ta cũng làm được điều đó

Ví dụ như hàm số f (x) = |x| là hàm số liên tục trên toàn bộ R nhưng

nó chỉ có đạo hàm tại những điểm x 6= 0 Điều này làm nảy sinh vấn đề

là cần thiết phải mở rộng khái niệm hàm để có những lớp hàm mới luôn

có thể lấy đạo hàm đồng thời hàm đó bao hàm những hàm đã biết Từ

đó, trong Toán học đã xuất hiện các lý thuyết về lớp các hàm mới gọi

là "Hàm suy rộng" Tiêu biểu phải kể đến lý thuyết hàm suy rộng củaL.Schwartz và lý thuyết hàm suy rộng của Colombeau

Lý thuyết hàm suy rộng được phát triển bởi Schwartz đã mở ra cánhcửa quan trọng cho sự phát triển của Toán học hiện đại, đặc biệt làtrong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Với lý thuyết đó,L.Schwartz đã được nhận giải thưởng Fields vào năm 1950 Tuy nhiên,một số bài toán thực tiễn đã dẫn đến việc xem xét lấy tích hai hàm suyrộng bất kỳ Về vấn đề này L.Schwartz đã đưa ra kết luận về một "kếtquả không thể" trong việc lấy tích hai hàm suy rộng tổng quát Trongkết luận đó L.Schwartz cho rằng không thể lấy tích hai hàm suy rộngbất kỳ mà vẫn thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của một tích.Tuy nhiên, rất nhiều ứng dụng cần lấy tích hai hàm suy rộng, điều nàythu hút nhiều nhà Toán học nghiên cứu để có thể giải quyết vấn đề này

Vào năm 1980, một lý thuyết mới về hàm suy rộng đã được nhà toánhọc người Pháp là J.F.Colombeau giới thiệu Trong lý thuyết này, hàmsuy rộng Schwartz được coi như một tập con và trong đó có thể lấy tíchhai hàm suy rộng tùy ý Sau khi lý thuyết hàm suy rộng của Colombeau

ra đời, nhiều nhà toán học đã ứng dụng và có những kết quả quan trọngtrong việc giải các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Hiện nay, việcnghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết hàm suy rộng Colombeau vẫn thuhút nhiều nhà toán học trên thế giới và có những kết quả quan trọng,(tham khảo trong

Khi có giá trị điểm (suy rộng, xét trên tập số Colombeau) của hàmsuy rộng Colombeau một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: “Liệu có thể xemxét khái niệm tích phân của hàm suy rộng Colombeau? Có thể hiểu được

Rb

a δ (x)dx?” Đây cũng chính là vấn đề quan tâm của luận văn này.Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại,dưới sự định hướng và hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn

đề tài "Tích phân của hàm suy rộng" cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ củamình Trong luận văn này, ta cũng sẽ tóm tắt các kiến thức cơ bản về lý

thuyết hàm suy rộng Schwartz, hàm suy rộng Colombeau, cuối cùng luậnvăn sẽ trình bày tích phân của các hàm suy rộng và các kết quả liên quan.

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng Schwartz, hàm suy rộng Colombeau,tích phân của hàm suy rộng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng Schwartz;

• Tìm hiểu các lý thuyết hàm suy rộng Colombeau;

• Tích phân của hàm suy rộng và một số ứng dụng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau, tíchphân của hàm suy rộng

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, một số bài báo liên quan đến các

lý thuyết hàm suy rộng và tích phân của hàm suy rộng

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức, phương pháp và các công cụ của giải tíchhàm để tiếp cận vấn đề Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan,đặc biệt là các bài báo mới về ứng dụng tích phân của hàm suy rộng

6 Dự kiến đóng góp mới

Luận văn là tài liệu liên quan đến một số kết quả trên tập các sốColombeau, từ đó có thể là cơ sở cho việc phát triển những kết quả tiếptheo

Chương 1

Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz

Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản trong lýthuyết hàm suy rộng Schwartz Các kiến thức sau đây được tham khảotrong [2], [3] và [5]

1.1 Một số khái niệm và thuật ngữ cơ bản

Ta gọi mỗi phần tử α = (α1, α2, , αn) ∈ Nn là một n-chỉ số (hay đachỉ số) với bậc |α| = α1 + α2 + · · · + αn

Với mỗi đa chỉ số α, toán tử vi phân ký hiệu ∂α = ∂α1

1 ∂α2

2 ∂αn

n , ởđây ∂j = ∂

Nếu không có gì đặc biệt thì ta hiểu Ω là một tập mở trong Rn

Với mỗi 1 ≤ p ≤ ∞ ta ký hiệu Lp(Ω) =



f : Ω → C

R

Ω

|f (x)|pdx < +∞



Lp(Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn

kf kp =



Z

esssup

x∈Ω

|f (x)| < +∞

, trong đó

esssup

x∈Ω

|f (x)| = inf {M > 0 sao cho µ {x ∈ Ω ||f (x)| > M } = 0}

Khi đó chuẩn trong L∞(Ω) là

kf k∞ = esssup

x∈Ω

|f (x)|

Với mỗi α = (α1, α2, , αn) ∈ Nn, β = (β1, β2, , βn) ∈ Nn thì β ≤ αnghĩa là βj ≤ αj, j = 1, 2, , n Nếu β ≤ α ta viết

Ta ký hiệu Ck(Ω) là tập hợp các hàm khả vi liên tục tới cấp k Với

f, g ∈ Ck(Ω) thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz

Giá của hàm liên tục f : Ω → C là tập hợp, ký hiệu suppf , được xác địnhbởi suppf = cl {x ∈ Ω : f (x) 6= 0} Nếu K là một tập compact trong Rn,

ta ký hiệu DK là tập hợp {f ∈ C∞(Rn) : suppf ⊆ K} Ta thừa nhận các

bổ đề sau (chi tiết xin xem trong [5])

Định nghĩa 1.2.1 Một không gian Fréchet là một không gian vectơ lồiđịa phương, khả metric và đầy đủ.

Bổ đề 1.2.1 Cho Ω ⊂ Rn và Ω 6= ∅ Khi đó tồn tại các tập compact{Kj}, (j = 1, 2, 3, ) thỏa mãn Kj ⊂ intKj+1 và

pN (f ) = max{ |∂αf (x)| : x ∈ KN, |α| ≤ N }

có tính chất : các điểm tách thuộc C∞(Ω) và tạo một tôpô với một cơ

sở địa phương đếm được,(chi tiết xin xem trong [6]), từ đó ta có Địnhnghĩa 1.2.2 và Định lý 1.2.1

Như vậy, với mọi tập compact K ⊂ Ω thì DK(Ω) là một không gian

Fr´echet Hợp tất cả các không gian đó lại ta có không gian các hàm thử.Định nghĩa 1.2.2 Ta ký hiệu D (Ω) là tập hợp

D (Ω) = φ ∈ C∞(Ω) : suppφ là tập compact trong Ω

Khi đó ta gọi D (Ω) là không gian các hàm thử (test function)

Ta thấy D (Ω) =

∞

S

j=1

DKj (Ω), nên D (Ω) là không gian vectơ, đó còn

là không gian vectơ lồi địa phương Điều này được thể hiện qua định lýsau:

Định lý 1.2.1 Không gian các hàm thử D (Ω) là một không gian vectơtôpô lồi địa phương

Chứng minh Theo nhận xét trên ta có DK(Ω) là không gian Fr´echet

Ký hiệu τK là tôpô trên không gian DK(Ω), β là họ tất cả các hợp Wtập cân, lồi của D (Ω) sao cho DK∩W ∈ τK với mọi tập compact K ⊂ Ω

Gọi τ là họ tất cả các tập hợp có dạng φ + W với φ ∈ D (Ω) và W ∈ β.a) Ta chứng minh τ là một tôpô trên D (Ω) và β là một cơ sở lân cậncủa τ

Thật vậy, với V1, V2 ∈ τ và φ ∈ V1 ∩ V2 ta chỉ cần chứng minh tồn tại

W ∈ β sao cho φ + W ⊂ V1∩ V2 Ta có, do φ ∈ Vi, (i = 1, 2) nên tồn tại

φi ∈ D (Ω) và Wi ∈ β sao cho

φ ∈ φi + Wi, (i = 1, 2)

Chọn tập compact K ⊂ Ω sao cho φ, φi ∈ DK, (i = 1, 2) Do DK ∩ Wi

mở trong DK nên tồn tại δi > 0, i = 1, 2 sao cho

Từ đó ta chọn W = (δ1W1) ∩ (δ2W2) thì φ + W ⊂ V1 ∩ V2.

Vậy τ là một tôpô trong D (Ω)

Hiển nhiên β là một cơ sở của τ

Giả sử φ1, φ2 là hai phần tử phân biệt tùy ý của D (Ω) Với mỗi φ ∈ D (Ω)

và φ ∈ φ0 + cW

Vậy phép nhân với phần tử vô hướng là liên tục trong D (Ω) theo tôpô

τ Điều này chứng tỏ không gian các hàm thử D (Ω) là không gian vectơtôpô và hơn nữa còn là không gian lồi địa phương

Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giảitích hiện đại Nó là công cụ để xây dựng các khái niệm mới, cũng như

mở rộng các khái niệm đã có Sau đây, ta thừa nhận các tính chất của

D (Ω)

Định lý 1.2.2 Cho không gian D (Ω) với tôpô τ Ta có

1 Dãy các hàm thử {φl}∞l=1 hội tụ theo tôpô τ tới φ0 trong D (Ω) khi

và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho suppφl ⊂ Kj với mọi l ∈ N∗ và φl → φ0trong DKj (Ω), nghĩa là

sup

x∈K j

|∂αφl(x) − ∂αφ0(x)| → 0 khi l → ∞, (1.3)

với mọi đa chỉ số α

2 Tập E ⊂ D (Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho E là tập con

bị chặn trong DKj (Ω) Đặc biệt, nếu {φl}∞l=1 là dãy Cauchy trong D (Ω)thì tồn tại j ∈ N∗ sao cho φl hội tụ trong DKj(Ω) và do đó hội tụ trong

Định lý 1.2.3 Trong không gian các hàm thử

1 Phép lấy vi phân ∂α : φ 7→ ∂αφ là tuyến tính và liên tục trên D (Ω)

với mọi đa chỉ số α

2 Với mọi f ∈ C∞(Ω) thì ánh xạ Mf : φ 7→ f φ cũng là tuyến tínhliên tục trên D (Ω)

1.3 Hàm suy rộng Schwartz

Định nghĩa 1.3.1 Mỗi phiếm hàm u : D (Ω) → C tuyến tính và liêntục với tôpô trên D (Ω), được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộngSchwartz

Không gian các hàm suy rộng trên Ω được ký hiệu D0(Ω) Với mỗihàm suy rộng u, ta viết u (φ) là hu, φi, với φ ∈ D (Ω)

Như vậy D0(Ω) là không gian đối ngẫu của D (Ω) Dựa vào tính liên

tục của phiếm hàm trên D (Ω) ta có

Mệnh đề 1.3.1 Cho u là một phiếm hàm tuyến tính trên D (Ω) Cácmệnh đề sau là tương đương

với mọi φ ∈ D (Ω) và suppφ ⊂ K

iii) Mọi dãy {φj}∞j=1 hội tụ về 0 trong D (Ω) thì lim

j→0hu, φi = 0

Ta biết rằng trong (1.5) nếu ta thay N bởi N0 > N thì vẫn đúng Ta

gọi số N nhỏ nhất trong (1.5) là cấp của hàm suy rộng

Chú ý D0(Ω) là không gian vectơ với các phép toán được xây dựng trên

C như sau

• Phép cộng Với mọi u, v ∈ D0(Ω) ta định nghĩa u + v như sau:

hu + v, φi = hu, φi + hv, φi , ∀φ ∈ D (Ω) Khi đó u + v ∈ D0(Ω)

• Phép nhân với phần tử vô hướng Với mọi u ∈ D0(Ω) và mọi

số λ ta định nghĩa λu như sau: hλu, φi = λ hu, φi , ∀φ ∈ D (Ω) Khi đó

Ω

f (x)φ(x)dx

=

... số hàm suy rộng Colombeau.Mỗi phần tử thuộc G gọi hàm suy rộng Colombeau Để tiệnphân biệt với hàm suy rộng thông thường ta gọi hàm suy rộngColombeau hàm G -suy rộng

Ta thấy f hàm suy rộng. .. Vấn đề tích hai hàm suy rộng tùy ý

Ở phần trên, định nghĩa tích hàm trơn f ∈

C∞(Ω) hàm suy rộng u ∈ D0(Ω) Bây muốn định

nghĩa tích hai hàm suy rộng tùy... data-page="17">

1.3 Hàm suy rộng Schwartz

Định nghĩa 1.3.1 Mỗi phiếm hàm u : D (Ω) → C tuyến tính liêntục với tơpơ D (Ω), gọi hàm suy rộng hay hàm suy rộngSchwartz

Không gian hàm suy rộng