Luận văn thạc sĩ tích chập của hàm suy rộng

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRl/CiNG DAI HOC SC PHAM HA NOI NGO THI HONG DIEM TfCH CHAP CUA HAM SUY RONG LUAN VAN THAC SI TOAN HOC B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGễ TH HNG DIM TCH CHP CA HM SUY RNG Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC NGI HNG DN KHOA HC TS NGUYN HU TH Li cm n Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo TS Nguyn Hu Th S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng cựng cỏc bn hc viờn ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny! H Ni, ngy 15 thỏng 10 nm 2015 rp> _ Tỏc giỏ Ngụ Th Hng Dim Li cam oan Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca TS Nguyn Hu Th Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc Tỏc giỏ H Ni, ngy 15 thỏng 10 nm 2015 rp> _ Ngụ Th Hng Dim I Mc lc Lũi m u Lý chn ti Lý thuyt v tớch chp v cỏc toỏn t chp c xõy dng u t na u ca th k 20, sau ú c phỏt trin mnh m nhng nm gn õy vỡ chỳng cú nhiu ng dng khụng ch vo nhiu lý thuyt khỏc ca toỏn hc nh: Phng trỡnh vi tớch phõn, phng trỡnh o hm riờng, i s Banach, m cũn c ng dng hiu qu nhiu lnh vc khoa hc v cụng ngh Trong hai chc nm gn õy, nhiu cụng trỡnh liờn quan n cỏc tớch chp, tớch chp suy rng ca cỏc phộp bin i tớch phõn v nhng ng dng ca nú ó c cụng b Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v tớch chp ca hm suy rng, di s hng dn ca TS Nguyn Hu Th, em chn ti cho lun ca mỡnh: Tớch chp ca hm suy rng Lun c trớch dn t Chng ca cun sỏch : Generalized Functions in Mathematical Physics ca v.s Vladimirov (Bn dch ca G Yankovsky sang Ting Anh t nguyờn gc Ting Nga) Mc ớch nghiờn cu Tỡm hiu v tớch chp ca hm suy rng: khỏi nim, cỏc cu trỳc c bn v kh nng ng dng nghiờn cu Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu v lý thuyt hm suy rng Trỡnh by mt cỏch h thng v tớch chp ca hm suy rng v ng dng ca chỳng i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: tớch chp Phm vi nghiờn cu: lp hm suy rng Phng phỏp nghiờn cu Tỡm hiu t liu sỏch, bỏo; Tng hp kin thc, dng cho mc ớch nghiờn cu ti úng gúp ca ti Trỡnh by mt cỏch h thng v tớch chp ca hm suy rng, mt s ng dng ca tớch chp Chng Kin thc chun b Khụng gian cỏc hm c bn @ { ) Theo mt ngha no ú, hm delta l mt phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn lp cỏc hm liờn tc cỏc hm, v ú hm liờn tc c coi nh hm c bn i vi hm delta Chớnh quan im ny lm c s cho vic xỏc nh mt hm suy rng tựy ý nh l mt phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn hp "tt" c gi l hm c bn Trong mc ny chỳng ta s xột khụng gian ca cỏc hm c bn 3>{yt) i vi m bt k ớỡ c_ RN Tp hp cỏc hm c bn l tt c cỏc hm kh vi vụ hn n,tci#(ới) - ^(ớ) Ta nh ngha s hi t s>{ớỡ) nh sau Mt dóy cỏc hm (pi,>2, s>{ớỡ) hi t ti hm X Khi ú ta vit: tpk f >, k f X Mt hp tuyn tớnh 3>(p,) c hang b tớnh hi t c gi l khụng gian cỏc hm c bn 3>{ớỡ) v ta cú kớ hiu sau: Rế rng, nu ớỡi Ê- ớỡ2, ú 3>{ti) S>[C2) v t s hi t S>[Cới) s suy s hi t @{l2) Mt vớ d v hm c bn khỏc khụng ú l: Cỏc hm ce s úng vai mt hm trung bỡnh, v hng s Cg cho: Ce kr ^ Ê, we(s) ce[x)dx\x\ >1,Ê.tc l CeÊn e1 Ta cú b sau B 1.1.1 Cho hp v s bt k Ê > 0, luụn tn ti hm Te Ê C' cho: Te{x) = 1, X Ê AÊ, r/e(x) = 0, xUA3e; ^ Te{x) ^ 1, \DaTe{x)\ ^ KaÊ~a Chng minh Gi s 9A2e l hm c hng ca hp A2e Thỡ hm: X OA** [y)ue{x -V y)dy ) cve{x - y)dy, ú coe l "chuụng", chớnh l iu cn tỡm Chng minh ó c hon thnh -I H qu 1.1.1 Gi s l hp m Kh ú vi bt k (Ê ớỡ luụn tn ti hm T Ê @{Ci) cho { X ) 1, X Ê ớỡ, ^ { X ) ^ iu ny c suy t b hờn A ' v Ê A(Hr, d Q ) > Gi s ớỡk, k 1, 2, , l h m c cỏc m Ta núi rng h ny to thnh ph hu hn a phng ca hp m ớỡ nu [_J , Êỡk fc^i v vi mt compact bt k K ớỡi ch giao vi mt s hu hn cỏc h [Qk\ nh lý 1.1.1 (Phõn tớch n v) Gi s (ớỡfc l ph hu hn a phng ca ớ) Khi ú tn ti dóy hm {ek \ cho: e k t @ ( Ê ỡ k ) , ^ efc(z) ^ 1, ^ e k [ x ) - 1, X t ớ) fc^i Chỳ ý 1.1.1 Mi X t ớ) l tng khỏc khụng ca mt s hu hn cỏc s hng e k { x ) Tp hp cỏc hm ek c gi l phõn tớch n v tng ng vi ph hu hn a phng ó cho ca m ớ) Chng minh Ta s chng minh rng tn ti ph hu hn a phng (T} khỏc ca ớ) cho k (Ê ớỡfc Xõy dng k v t Ki -n\ |J n fc3=2 Khi ú Ki ^ ớ) v Ki l úng ớ) Do ú Ki Ă ớli, vi ly mt m cho Ki Cc Cc Khi ú cỏc hp ớlf1; ớl2, to thnh ph hu hn a phng ca ớ) Tng t ta cng xõy dng c mt hp m (& ớỡ2, v.v Do ú ta to c ph [ớlrk\ nh mong mun Nh l h qu ca b trờn, s tn ti cỏc hm rjk cho : Tk[x)-l, xtk, ^rjk{x) ^1 t: ^J-y 2^1 Vk{x) v cn tỡm Vic chng minh ó c hon thnh J chỳng ta thu c phõn tớch n Gi s / l hm kh tng a phng l f - _?^c(D) Tớch chp ca / v "chuụng", U J Ê fe{x) - f{y)e{x - y)dy - Ue{y)f{x - y)dy (nu nú tn ti) c gi l hm trung bỡnh ca / (hay l chớnh quy hoỏ ca /) ek[x) - Tht vy, ly Ê v { k } l mt dóy cỏc hm ớ?(M2n) hi t ti R2n Khi ú Tki.x; ) < p { x ) > $>{Jn) v ú (/ * ụ , < p ) = lim f ( x ) X { y ) , T k { x ; y ) i p { x + y ) ) kryj - lim l f { x ) , k { x ] ) > { x ) ) = (/>[...]... gii thớch ca nh ngha hm suy rng (1) Mi hm suy rng / l mt phim hm trong ớ? (ớỡ), tc l vi mi Ê & (ớỡ) luụn xỏc nh mt s (s phc) Mi hm suy rng / l mt phim hm tuyn tớnh trờn & (ớ)), tc l nu Lp\> thuc & (ớ)) v A v i l cỏc s phc thỡ , + ý) - A (/, (p) + n (/, ) Mi hm suy rng / l mt phim hm liờn tc trong @{ỡ), ngha l nu tpk V khi k 30 trong & (ớ)) thỡ (/,