Định nghĩa 2.1.1. Cho Ị và g là các hàm khả tổng địa phương trong M". Nếu tắch phân J
f { y ) g { x - y ) d y
tồn tại với hầu hết mọi X ẳ M" và xác định một hàm khả tổng địa phương trong M", thì nó được gọi là tắch chập của các hàm
Ị và g và được ký hiệu là f * g, tức là
{ f * 9 ) { x ) = f { y ) g { x - y ) d y
g { y ) f { x - y ) d y - { g * f ) { x ) .
Ta lưu ý hai trường hợp mà tắch chập f * g hoàn toàn xác định.
(a) Xét / ẳ J^c, g ẳ J^c, supp / - A, supp g ^ B , \ k các tập A và B thỏa mãn: với số R > 0 tập
T R - [ { x , y ) : X ẳ A , y ẳ B , \ x + y \ ^ R \
bị chặn ứong M2n . Khi đó / * g ẳ Jếf^c.
Thật vậy, sử dụng định lý Fubini, khi đó với mọi R > 0
^ I
\ f { . y ) \ \ g { € ) \ d y d ẳ < 20- Nói riêng, nếu / hoặc g hữu hạn, thì TR bị chặn.
(b) Với / t và <7 b nếu - + - ^ 1 thì / i= g Jẵ?r, trong đó p g 1 1 1 - = - + - - 1. r p q Thật vậy, ta chọn các số a ^ 0, /3 ^ 0, s ^ 1 và ắ ^ 1 thỏa mãn 111 - + - + - Ồ 1 , ar Ồ p Ồ {1 Ồ a)s, Ị3r Ồ q Ồ (1 Ồ /3)t, r s t khi đó pr qr J2? 1 ■
Như vậy ta đạt được điều mong muốn.
Tắch chập f * g xác định một phiếm hàm chắnh quy hên S>{JẰn) thông qua quy tắc
(/ * g, <p) - Jư * g ) [ x ) t p { x ) d x
-J^)J ' f ( y ) 3 ( x - y ) d y đ x = j f { y ) J g { x - y)<p{x)dxdy - j f { y ) J g { Z ) < p { y + z ) d ẳ d y.
X l { x - y ) \[ 1
Tức là
[ f * 9 , ( p ) = ị f { x ) g { y ) ( p { x + y ) d x d y, ự ) ẳ (2.2)
(Trong tắnh toán ở trên để dẫn tới công thức (2.2) chúng ta sử dụng liên tục định lý Fubini.) Ta nói rằng dãy số [ r j k \ gồm các hàm thuộc !ẳ>{Rn) hội tụ tới 1 trong M" nếu
(a) Với bất kỳ tập compact K tồn tại một số N Ồ N { K ) sao cho
ĩ } k { x ) = 1, X s K , k ^ N , và
(b) Các hàm { r j k } bị chặn đều cùng với các đạo hàm, \ Dar j k { x ) \ < C a , X t K", k Ồ 1 , 2 , . . . Lưu ý rằng luôn tồn tại các dãy như vậy, chẳng hạn
T Ị k { x ) - T f { y ) , ừong đó T Ị t T Ị { X ) - 1, |x| < 1. k Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng đẳng thức (2.2) có thể được viết lại thành
i f * 9 , < p ) - lim { f { x ) X g { y ) , r j k { x ; y ) ( p { x , y ) ) , ( p t (2.3)
k Ồ r J J
trong đó [ r Ị k ì là dãy các hàm thuộc S>{R2n) và hội tụ tới 1 trong M2n.
Thật vậy, hàm cữ\ f { x ) g { y ) i p { x -|- y)I là khả tổng trên M2n và trội hơn dãy hàm f [ x ) g [ x ) X T j k { x ] y ) y > [ x
- \ - y ) , k Ồ 1 , 2 , . . . hội tụ hầu khắp nơi trong M2n tới hàm f { x ) g { y ) i p { x T ỳ ) . Do đó, sử dụng định lý Lebesgue, ta
thu được
ỉ { ẻ ) g { y ) t p { x + y ) d x d y f { x ) g { x ) r } k { x ] y ) ắ p { x T y ) d x d y
tương đương với (2.3) thông qua công thức (2.2).
Từ các đẳng thức (2.3) và (2.2), ta đưa ra định nghĩa tắch chập hàm suy rộng như sau. Ồ lim
Giả sử / và g thuộc sao cho tắch trực tiếp của chúng f { x ) X g { y )
xác nhận một mở rộng [ f i x ) X g { y ) , i p { x + y ) ) tới các hàm có dạng i p { x + y ) , trong đó t p là hàm bất kỳ trong Ổ*(K"), theo nghĩa sau: với bất kỳ dãy { r j k \ gồm các hàm thuộc ắ?(M2n), hội tụ tới 1 trong R2 n, tồn tại giới hạn của dãy số
lim ắ/(x) X g { y ) , T Ị k i x , y ) p { x + y ) ) - i f { x ) X g { y ) , ip{x + y ) ) ,
và giới hạn này không phụ thuộc vào dãy { ĩ Ị k } '
Lưu ý rằng với mỗi k hàm r j k { x ; y ) t p { x + y ) e ắ?(M2n) luôn xác định và do vậy dãy số của chúng ta luôn xác định.
Đinh nghĩa 2.1.2. Tắch chập f * g là phiếm hàm
ư * 9 , < p ) - ự { x ) X g { y ) , i p { x + y ) )
- lim ự { x ) X g { y ) , ĩ ] k { x , y ) p { x H- y ) ) , i p t (2.4)
fc^x>
Ta sẽ chứng minh rằng phiếm hàm f r - g thuộc tức là nó là một
hàm suy rộng. Để làm được điều này, nhờ có định lý về tắnh đầy đủ của không gian & ta chỉ cần thiết lập tắnh liên tục của phiếm hàm tuyến tắnh
X g { y ) , T Ị k { x , y ) ( p { x + y ) ) , k = 1 , 2 , . . . (2.5) trên
Xét i pv Ồ > 0, V Ồ > x> trong Ỗ*(Mn). Khi đó
r } k { x - , y ) i p v { x + y ) -> 0, V - > x> trong @ { R 2 n )
vì T Ị k ^ Ỗ*(M2n). Từ đây vì phiếm hàm f [ x ) X g { y ) liên tục trên Ỗ*(M2n), ta thu được
lf { x ) X g { y )ì r j k { x , y ) i pv{ x + y ) ) - > 0, V - > 30
và điều này kết thúc chứng minh tắnh liên tục của phiếm hàm (2.5) trên
Lưu ý rằng vì i p { x + y ) không thuộc @{M.2n) (nó không hữu hạn trong M2n) nên vế phải của (2.4) không phải luôn tồn
tại với bất kỳ cặp hàm suy rộng / và g, do đó, tắch chập cũng không phải luôn tồn tại. Tắch chập của nhiều hàm suy rộng được định nghĩa tương tự.
là dãy hàm trong Ỗ*(M ) 3n hội tụ tới 1 trong M 3n . Tắch chập f * g V hlà phiếm hàm được xác định bỏi
ự * g * h ) = ự { x ) X g { y ) X h ( z ) , p [ x + y + z ) ) -
l i m I f [ x ) X g { y ) X h { z ) , ĩ } k { x ] y \ z ) < p { x + y + z ) ) , i p t D { R n ) , (2.6) nếu phiếm hàm này tồn tại.