u R+ R 'X UR '.
3.3 Phương trình tắch chập Phương trình tắch chập có dạng
Phương trình tắch chập có dạng 1 ) - ỡ 1 dĩiy \ x Ồ y \n d (3.4) ắ‘i (n - 2)ơn J5 \x - y\n 2 dn u { x ) , X ẳ G , $ u { y ) d - u { y ) 1 ơriy IX \ 0 X Ẽ Ỡ. (3.5) 4 a * u Ồ f (3.6)
trong đó a và / là các hàm suy rộng cho trước trong !ẳ>' và u là hàm suy rộng cần tìm trong @r. Phương trình tắch chập bao hàm các phương trình đạo hàm riêng tuyến tắnh
hệ số hằng số :
a(a;) Ồ ^ a a D ữ ô { x ) , a * u Ồ y ^ a a D a u [ x );
phương trình sai phân tuyến tắnh:
a [ x ) Ồ ^ a a ô [ x Ồ x a ) , a * u Ồ aau{x Ồ x a ) ;
phương trình tắch phân tuyến tắnh loại một:
ỡ - -2ẳc> a * u - ị u [ y ) a [ x - y ) d y \ phương trình tắch phân tuyến tắnh loại hai
a * u Ồ u { x ) + J u { y ) J t { x Ồ
y ) d y; phương trình vi tắch phân, V.V..
Nghiệm cơ bản của toán tử tắch chập a * là một hàm suy rộng s e & thỏa mãn phương trình (3.6) với / = ỗ ,
a * ể Ồ ỗ . (3.7)
Nói chung, nghiệm cơ bản < ễ không duy nhất; nó được xác định sai khác một thừa số
ểữ. đó là nghiệm bất kỳ trong $ ) ' của phương trình thuần nhất a * ẩQ Ồ 0. Thật vậy,
ũ y ễ - ị - ( O Q ) Ồ Q , * ( ễ T ữ Ềi5 < S Q Ồ Ố .
Giả sử tồn tại nghiệm cơ bản s của toán tử ữ* trong 3 . Ký hiệu A { a , ẳ) là tập các hàm suy rộng / trong s>r sao cho các tắch chập s * f và ữ 1= ê * f tồn tại trong s>r,
Định lý 3.3.1. Giả sử Ị t A { a , ể ) . Khi đó nghiệm u của phương trình (3.6) tồn tại và được biểu diễn bằng công thức
u - ẳ * Ị. (3.8)
Kết Luận
Tắch chập là một trong những công cụ quan trọng trong những nghiên cứu về sự tồn tại, một cách biểu diễn nghiệm của các phương trình vi tắch phân, phương trình đạo hàm riêng...ngoài ra nó còn có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ. Khuôn khổ luận văn dành cho việc trình bày về
1. Một số kiến thức cơ bản về hàm suy rộng.
2. Tổng quan về tắch chập của các hàm suy rộng: định nghĩa, một số tắnh chất cơ bản.
3. Thông qua một số ứng dụng để thấy được ý nghĩa về lý thuyết cũng như thực tế của tắch chập của các hàm suy rộng.
Tuy còn hạn chế, nhưng tác giả cũng hy vọng luận văn của mình sẽ là một tài liệu tổng quan về tắch chập của lớp hàm suy rộng. Rất mong nhận được sự góp ý của quý vị để luận văn được hoàn thiện hơn.