PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LỚP 9

Dạng toỏn rỳt gọn biểu thức khụng chứa ẩn* Phương phỏp: Sử dụng cỏc cụng thức biến đổi cỏc biểu thức chứa dấu ớc 1 : Tìm ĐKXĐ của biểu thức Nếu bài toán cha choPhân tích mẫu thành nhâ

Tài liệu ôn thi vào lớp 10

MÔN TOÁN

PHẦN I: ĐẠI SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN

M A

B

A B

A

= ( víi A ≥ 0 vµ B > 0 )6) A2B = A B (víi B ≥ 0 )

7) A B = A2B ( víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0 )

A B = − A2B ( víi A < 0 vµ B ≥ 0 )9)

B

AB B

A = ( víi AB ≥ 0 vµ B ≠ 0 )

10)

B

B A B

A = ( víi B > 0 )11) C C( A B2 )

1 Dạng toỏn rỳt gọn biểu thức khụng chứa ẩn

*) Phương phỏp: Sử dụng cỏc cụng thức biến đổi cỏc biểu thức chứa dấu

ớc 1 : Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán cha cho)(Phân tích mẫu thành

nhân tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia khác 0)

* Cỏc dạng toỏn phụ:

+) Dạng 1: Tỡm giỏ trị của biến để biểu thức đạt giỏ trị cho trước.

*) Phương phỏp: Cho biểu thức đạt giỏ trị cho trước rồi giải phương trỡnh để

tỡm giỏ trị của ẩn

+) Dạng 2: Cho giỏ trị của biến Tỡm giỏ trị của biểu thức.

*) Phương phỏp: Thay giỏ trị của biến vào biểu thức.

+) Dạng 3: Tỡm giỏ trị của biến để biểu thức đạt giỏ trị nguyờn.

*) Phương phỏp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ớc của phần d (một số), chú

ý điều kiện xác định

+) Dạng 4: Tỡm giỏ trị của biến để biểu thức nhỏ hơn ( lớn hơn) giỏ trị cho trước.

*) Phương phỏp: Chuyển vế và thu gọn đa về dạng M

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của x thì A > 1

3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất

Bài 2 Cho biểu thức P 3 1 : 1

Bài 4 Cho biểu thức: P a 2 a 1 : a a 1

b) Tìm a Z∈ để P nhận giá trị nguyên.

Bài 5 Cho biểu thức B= 2( x 3 11 ) (−2 x 3 11 )

a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B

b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên

Bài 6 Cho biểu thức x2 x 2x x 2 x 1( )

Bài 11 Cho biểu thức A x 1 : 1

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

Bài 12 Cho biểu thức: P 1 1 1 1

2) Tính giá trị của biểu thức khi x= + 3 2 2

Bài

14 Cho biểu thức P =

x x

x x

a) Rút gọn P

b) Tính GT của P khi x= 4

c) Tìm GT của x để P =

3 13

x− −2 +2+1 −

1 2

2 1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của B với x = 3

x x

x

−

+ + +

2 2 1

1 (

: )

1 1

a a

2

1

a a a

a a a a

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M

b) Tìm giá trị của a để M = - 4.

CHUYấN ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRèNH ĐẠI SỐ

I Heọ phửụng trỡnh baọc nhaỏt hai aồn

Caựch giaỷi ủaừ bieỏt: Pheựp theỏ, pheựp coọng

2 Giaỷi vaứ bieọn luaọn heọ phửụng trỡnh : Quy trỡnh giaỷi vaứ bieọn luaọn

Bửụực 1: Tớnh caực ủũnh thửực :

2 2

1

b a

b a

D= = − (goùi laứ ủũnh thửực cuỷa heọ)

2 2

1

b c

b c

D x = = − (goùi laứ ủũnh thửực cuỷa x)

2 2

1

c a

c a

D y = = − (goùi laứ ủũnh thửực cuỷa y)

Bửụực 2: Bieọn luaọn

+) Neỏu D≠ 0 thỡ heọ coự nghieọm duy nhaỏt

D x

y x

+) Neỏu D = 0 vaứ D x ≠ 0 hoaởc D y ≠ 0 thỡ heọ voõ nghieọm

+) Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm

*) Ý nghĩa hình học: Giả sử (d1) là đường thẳng a1x + b1y = c1

(d2) là đường thẳng a2x + b2y = c2Khi đó:

1 Hệ (I) có nghiệm duy nhất ⇔ (d1) và (d2) cắt nhau

2 Hệ (I) vô nghiệm ⇔ (d1) và (d2) song song với nhau

3 Hệ (I) có vô số nghiệm ⇔ (d1) và (d2) trùng nhau

II Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:

1 Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn:

Ví dụ : Giải các hệ:

= +

5 2 2

5 2

2

x

y x

Cách giải: Giải bằng phép thế

2 Hệ phương trình đối xứng :

2.1 Hệ phương trình đối xứng loại I:

a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho

nhau thì hệ phương trình không thay đổi

b.Cách giải:

Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với S2 ≥ 4Pta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P

Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P Chọn S,P thoả mãn S2 ≥ 4P

Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình :

X −SX P+ = ( định lý Viét đảo )

Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ

2.2 Hệ phương trình đối xứng loại II:

a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho

nhau thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ

• Giải hệ phương trình theo tham số

• Viết x, y của hệ về dạng: n + f (m k ) với n, k nguyên

• Tìm m nguyên để f(m) là ước của k

Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

+

= +

1 2 2

1 2

m my x

m y mx

2

1 2

+

= +

m m y m mx

m y mx

2

2

2 2 4 2

) 1 2 )(

2 ( 2 3 2 )

4

m my

x

m m

m m y

m

để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 ≠0 hay m ≠ ± 2

Vậy với m ≠ ± 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất

2

1

2

3 2 2

1 2 4

) 1 2 )(

2

(

2

m m

m

x

m m

m m

m m

m m y x m

m y x m

2

1 2

) 1 (

2 2

−

= +

−

3 2 3 ) 2 (

) 1 ( 2

m ny x m

n m y m mx

HD:

Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n

b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là

(

0 )

0 3 3 18

0 3 4 8

b a

b a

Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11

d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4 Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0

HD:

2 2 4

b a

b a

= +

2

1 2

b

a

b a

Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm

= +

3 2

4 2 3

y x

y x

5 , 0

Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy

Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy

= +

8

9 4

my x

y mx

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m ≠ ±2

- Giải hệ phương trình theo m

= +

m y m mx

y mx

8

9 4

my x

m y m

9 8

2

2

m

m x m

m y

- Thay x =

4

32 9

IV Các hệ phương trình khác:

Ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

1 Đặt ẩn phụ:

Ví dụ : Giải các hệ phương trình :

− +

−

= +

36 ) 1 ( ) 1 (

12

2 2

y y x x

y x y x

3)

5 6

x 1 y(y x) 4y (x 1)(y x 2) y

2 Sử dụng phép cộng và phép thế:

Ví dụ: Giải hệ phương trình :

3 Biến đổi về tích số:

Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau:

+

= +

) ( 3

2 2

2 2

y x y

x

y y x x

= +

+

= +

2

7 7

2 2

3 3

y x y x

y y x x

1 1

3

x y

y

y x x

−

= +

4

10 4

my x

m y

mx

(m là tham số)a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ cĩ nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0

d) Với giá trị nào của m thì hệ cĩ nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương

1 3 )

1 (

m y x

m my x m

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong gĩc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy

c) Định m để hệ cĩ nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3:

m y x

y x

2

4 2 3

a) Giải hệ phương trình khi m = 5

b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1

c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng

= +

8

9 4

my x

y mx

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm

4 3

9

y mx

my x

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi md) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

=

−

5 my x

2 y mx

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức

3 m

m 1 y

−

=

−

16 2

9 3

y mx

my x

a) Giải hệ phương trình khi m = 5

b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi mc) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)

d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy

e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7

CHUYÊN ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I Các kiến thức cần nhớ.

1 Giải và biện luận pt.

Phương trình ax 2 + bx c 0(2) + =

- a 0 = : phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.

- Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X 2 − SX P 0 + =

( Điều kiện tồn tại hai số trên là S 2 − 4P 0 ≥ )

- Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức

a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.12 + b.1 + c = 0  a + b + c = 0

Như vây phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 c

b) Phương trình x2 + 5x q+ = 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.

c) Cho phương trình : x2 − 7x q+ = 0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 − +qx 50 0 = , biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

x x

x x

3.2.1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1 ; 2

Ví dụ : Cho x1 = 3; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Theo hệ thức VI-ÉT ta có 1 2

1 2

5 6

V í dụ: Cho phương trình : x2 − + = 3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1 ; 2 Không giải

phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 1 2

1/ Cho phương trình 3x2 + 5x− = 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1 ; 2 Không giải

phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1 1

3.3 TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

Vậy nếu a =− 5 thì b = − 6 ; nếu a =− 6 thì b = − 5

*) Nếu a b+ = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

1 2

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5

3.4 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

3.4.1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 +x2) và x x1 2

3.4.2 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : x2 − + = 8x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆≥ 0)

- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệ

thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

Ví dụ 1 : Cho phương trình : (m− 1)x2 − 2mx m+ − = 4 0 có 2 nghiệm x x1; 2 Lập hệ thức liên hệ giữa x x1 ; 2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

1 1

Ví dụ 2: Gọi x x1 ; 2 là nghiệm của phương trình : (m− 1)x2 − 2mx m+ − = 4 0 Chứng

minh rằng biểu thức A= 3(x1 +x2)+ 2x x1 2 − 8 không phụ thuộc giá trị của m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

1 1

1

m

x x

m m

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Bài tập áp dụng:

1 Cho phương trình : x2 −(m+ 2) (x+ 2m− = 1) 0 có 2 nghiệm x x1; 2 Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x x1 ; 2 sao cho x x1 ; 2 độc lập đối với m.

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m+ 1) 2 − 4.2(m− = 4) 16m2 + 33 0 > do đó phương trình đã

cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆≥ 0)

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số)

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Vậy min 1 2

2

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm

điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

2 2

B B

B B

Bài 2 Cho phơng trình x2 + px - 5 = 0 có nghiệm x1; x2

Hãy lập phơng trình có hai nghiệm là hai số đợc cho trong mỗi trờng hợp sau

Bài 3 Cho phơng trình : x 2 − 3y 2 + 2xy 2x 10y 4 0 (1) − − + =

a/ Tìm nghiệm (x; y) của phơng trình (1) thỏa mãn x2 + y2 = 10

b/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (1)

b/ Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c/ Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãy tính theo

m giá trị của biểu thức 2 2

b/ Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x x1 ; 2 Hãy tìm m để

b/ Hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là 1 ; 2

b/ Hãy tìm m để phơng trình (1) có một nghiệm x1= 4 2 3 + Khi đó hãy tìm nghiệm x2 của phơng trình đó

a/ Giải các phơng trình (1) và (2) trong trờng hợp a = -1

b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai phơng trình trên luôn

có ít nhất một trong hai phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Bài 5 (Bắc Ninh 2000 - 2001)

Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số) :

x + m n x+ − m +n = (1)a/ Giải phơng trình (1) khi m = n = 1

b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì phơng trình (1) luôn có nghiệm.c/ Tìm m, n để phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình 2

Cho phơng trình bậc hai :

x − m+ x m+ + m+ = (1)a/ Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b/ Tìm giá trị của m thỏa mãn 2 2

a/ Giải hai phơng trình trên với m = - 3

b/ Tìm các giá trị của m để hai phơng trình trên có nghiệm chung

c/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm

Bài 9 (Bắc Ninh 2003 - 2004)

a/ Chứng minh rằng : Nếu phơng trình bậc hai 2

0

ax + + =bx c có hai nghiệm là x x1 , 2 thì 1 2

2) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu

3) Với x1, x2 là nghiệm của (1) Tính theo m giá trị của biểu thức:

3) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm

âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng

Cho phơng trình x2 - 2x - 1 = 0 có hai nghiệm là x1, x2

Tính giá trị của biểu thức : 2 1

x x S

x x

Bài 15 (Bắc Ninh 2009 - 2010)

Cho phơng trình : (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x m+ − = 2 0 (1) (m là tham số).a/ Giải phơng trình (1) với m = 3.

b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn :

2

x + x = .