Tài liệu Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải toán lớp 12

Bài toán 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểuAx B có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt khi đó hiển nhiên y’ đổi dấu hai

SỐ 10 CHUYÊN BÀI GIẢNG

TĨM TẮT LÍ THUYẾT &

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

GV: Nguyễn Hoàng Khanh

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

Chương I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 3

Bài 1: Sự đồng biến – nghịch biến của hàm số 3

Bài 2: Cực trị của hàm số 3

Bài 3: Giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số 7

Bài 4: Tiệm cận 8

Bài 5: Khảo sát hàm số 9

Bài 6: Một số bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị 10

Chương II HÀM SỐ LŨY THỪA, HS MŨ VÀ HS LOGARIT 17

Bài 1: Mũ, lũy thừa và logarit 17

Bài 2: Phương trình mũ 20

Bài 3: Phương trình logarit 20

Bài 4: Bất phương trình mũ, lôgarit 21

Chương III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 22

Bài 1: Nguyên hàm 22

Bài 2: Tích phân 24

Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân 26

Chương IV SỐ PHỨC 28

Chương I-II: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRÒN XOAY 30

Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 31

Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian 31

Bài 2: Phương trình mặt cầu 34

Bài 3: Phương trình mặt phẳng 36

Bài 4: Phương trình đường thẳng 40

Bài 5: Vị trí tương đối 45

Bài 6: Tìm một số điểm đặc biệt 47

MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN ÔN LẠI 49

Bài 1: Tam thức bậc hai, phương trình, bất phương trình bậc 2 49

Bài 2: Công thức lượng giác và phương trình lượng giác 52

Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác 58

Bài 4: Đạo hàm 60

Phụ lục 62

Ch ương I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ng I NG D NG Đ O HÀM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ỤC LỤC ẠO HÀM Bài 1: S Đ NG BI N – NGH CH BI N C A HÀM S Ự ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ỦA HÀM SỐ Ố

* Định nghĩa: Cho hàm số y f x liên tục trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn)  

a) Nếu f x' 0 với mọi xa b thì hàm số ;  f x đồng biến trên khoảng   a b; 

b) Nếu f x' 0 với mọi xa b thì hàm số ;  f x nghịch biến trên khoảng   a b; 

Chú ý: f x' 0chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng a b thì hàm số cũng đồng biến; (nghịch biến) trên khoảng đó

Bài toán 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh f x g x , x a b ta qua các bước sau:; 

1 Biến đổi: f x g x , x a b,  f x  g x  0, x a b, 

2 Đặt h x  f x  g x 

3 Tính h x và lập bảng biến thiên của '  h x Từ đó suy ra kết quả. 

Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số y f x luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên miền xác  

Ax B luôn luôn tăng (hoặc luôn

luôn giảm) trên miền xác định của nó khi và chỉ khi y' 0 (hoặc y' 0 )  x D Nếu a có chứa

tham số thì xét thêm trường hợp a=0 (đối với hàm bậc 3)  

 

 '

00

cx d luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên từng khoảng xác định của nó khi

và chỉ khi y' 0 (hoặc y' 0 )  x D



Bài 2: C C TR C A HÀM S Ự ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ỦA HÀM SỐ Ố

Bài toán 1: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số

1 Tìm miền xác định

2 Tìm f x' 

3 Tìm các điểm tại đó f x' 0hoặc f x không xác định (gọi chung là điểm tới hạn).' 

4 Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu đạo hàm

5 Nêu kết luận về cực trị

Bảng tóm tắt:

CĐ

+

a

f(x)f'(x)x

CT

+-

a

f(x)f'(x)x

Bài toán 2: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số

a) Nếu f x" o 0thì x là điểm cực tiểu o

b) Nếu f x" o 0thì x là điểm cực đại o

Bài toán 3: Tìm điều kiện của m để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho trước

Cách 1: Áp dụng định lí Fec-ma:

Giả sử y f x có đạo hàm tại điểm    x x o

Khi đó nếu y f x đạt cực trị tại điểm    x x thì o f x' o 0

Chú ý: Nếu f x' o 0thì chưa chắc hàm số đạt cực trị tại điểm x x Do đó khi tìm được m thì o

phải thử lại

Cách 2: Dùng đạo hàm cấp 2.

Bài toán 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu

Ax B có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ

khi phương trình y' 0 có hai nghiệm phân biệt (khi đó hiển nhiên y’ đổi dấu hai lần khi qua cácnghiệm) Nếu hàm hữu tỉ thì phải khác nghiệm mẫu

Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

- Nếu (C) có hai điểm cực trị

- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là  

- Nếu (C) có hai điểm cực trị và chia y cho y’ ta được y y A x '  x

- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là yx

Bài toán 6: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x :0

x x

a

với x x là nghiệm của 1, 2 y' 0

Bài toán 10: Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT và hai giá trị cực trị cùng dấu:

Chú ý: Hàm số viết thành: y P x y mx n (lấy hàm số chia cho đạo hàm)   ' 

Bài tốn 11: Điều kiện để hàm số bậc 3 cĩ CĐ,CT nằm về hai phía đối với trục tung:

Điều kiện để ycbt được thỏa mãn là y' 0 cĩ hai nghiệm trái dấu Khi đĩ  P c 0

* Tìm các điểm cực trị của hàm số (nghiệm của phương trình y’=0)

đạohàm củaMS

ax b y

m rồi thay x cực trị vào phân số này ta cĩ ycựctrịtương ứng, và

cách tính trên chỉ áp dụng cho hàm hữu tỉ

Bài tốn 13: Tìm m để hàm trùng phương  y ax4bx2c cĩ 3 điểm cực trị lập thành một tam

00

y

Bài tốn 15: Hàm trùng phương cĩ 3 điểm cực trị lập thành một tam giác Tính diện tích tam giác đĩ:

* Tính 'y , tìm 3 điểm tới hạn, suy ra 3 điểm cực trị A, B, C.

* Tính diện tích tam giac ABC theo cơng thức: 1 | ' ' |

x b

a

* Điều kiện để ycbt được thỏa là phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Khi đó:

b

a b

Bài toán 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số trên một khoảng

Để tìm GTNN và GTLN của hàm số y f x trên khảng    a b ta lập bảng biến thiên của hàm số; trên khoảng a b rồi dựa vào đó mà kết luận.; 

Bài toán 2: Tìm GTNN, GTLN của hàm số liên tục trên đoạn a b; 

Cách 1: Có thể lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó mà kết luận.

Bài toán 3: Tìm m để phương trình f x m có nghiệm trên D:

Xét hàm số y f x trên D, tìm maxy, miny hoặc tìm tập giá trị của y từ đó kết luận được m.  



x y y thì đường thẳng  y y là tiệm cận ngang.0

* Nếu hàm số viết thành thöông   Soá dö

đường thẳng y ax b là tiệm cận xiên.

* Đường thẳng y ax b gọi là TCX của hàm số 

x

x

f x a

d x c a y c

3 Cho M thuộc (C) Tính tích các khoảng cách từ 1 điểm trên (C) đến 2 tiệm cận:

* Gọi M x f x 0;  0  C Tìm TCĐ, TCX (hoặc TCN)

* d=d(M,TCĐ).d(M,TCN) là một hằng số

- Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Suy ra chiều biến thiên của hàm số

b) Tìm cực trị

c) Tìm các giới hạn và tìm tiệm cận (nếu có)

d) Lập bảng biến thiên

* Chú ý: Kết luận về tính đồng biến, nghịch biến phải ở trước BBT

3 Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị

Bài toán 1: Sự tương giao của các đồ thị (bằng phương trình hoành độ giao điểm)

Cho hai đường cong  C1 :y f x C    , 2 :y g x   

Để xét sự tương giao giữa    C1 , C ta lập phương trình hoành độ giao điểm 2 f x  g x (1) 

1  C không có điểm chung với 1  C  pt (1) vô nghiệm.2

2  C cắt 1  C tại n điểm phân biệt  pt (1) có n nghiệm phân biệt Đồng thời nghiệm của pt (1)2

là hoành độ giao điểm của  C và 1  C 2

+   0 : có hai giao điểm.

* Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng ax3bx2cx d 0

Đưa phương trình này về dạng:

Biện luận theo phương trình (1) ta suy ra được số giao điểm

Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình F x m , 0(1)

3 Dựa vào đồ thị để biện luận các trường hợp

Chú ý: y g m là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bẳng  

 

g m

x y

O

y=g(m) y=f(x)

g(m)

1

Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến – Điều kiện tiếp xúc

Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị:

Phương trình tiếp tuyến của (C): y f x tại điểm    M x y o; o   C là:

 0  ' 0  0

Trong đó: + M x y gọi là tiếp điểm. 0; 0

+ k f x là hệ số góc của tiếp tuyến. ' 0

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k:

- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax b thì  k a

- Nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y ax b thì  1 k

a

- Tiếp tuyến hợp với chiều dương của trục hoành một góc  thì ktan

1 Giải phương trình f x' k tìm x là hoành độ tiếp điểm.0

2 Tính y0f x  0

3 Phương trình tiếp tuyến là y k x x   0y0

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (  ): y=ax+b một góc bằng  (090 ):

1 Gọi  , lần lượt là góc hợp bởi tiếp tuyến (d), đường thẳng (  ) với chiều dương trụchoành Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, khi đó ta có:   suy ra:

2 Giải phương trình (1) tìm được hệ số góc k của tiếp tuyến

3 Làm tương tự như dạng 2 ta có được phương trình tiếp tuyến

Bài toán 4: Điều kiện để hàm bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt:

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

Bài toán 5: Điều kiện để hàm trùng phương  y ax4bx2c cắt Ox tại 4 điểm phân biệt:

* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

P S

Bài toán 6: Điều kiện để hàm trùng phương cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành CSC:

* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

P S

(*)

* Với điều kiện (*) được thỏa ta có 4 điểm có hoành độ lập thành CSC nên (1) phải có hainghiệm dương phân biệt thỏa t2 9t (2).1

t t

a c

t t a

* Từ (2), (3), (4) ta giải ra tham số, chỉ nhận tham số khi m thỏa điều kiện (*)

Bài toán 7: Tìm m để d:  y m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=l:

* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d Biến đổi phương trình này về dạng

thỏa điều kiện (*)

Bài toán 8: Tìm m để d:  y m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất:

* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d Biến đổi phương trình này về dạng

A

(*)

* Gọi A x m B x m là hai giao điểm của (C) và d;  1;  , 2;  x x là nghiệm của (1) Ta có1, 2



OA OB nên ta có OA OB  . 0 Từ đây tìm được m, chỉ nhận những m thỏa (*)

Bài toán 10: Tìm m để d:  y ax b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng một nhánh của (C):

* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d Biến đổi phương trình này về dạng

Bài tốn 11: Tìm m để d:  y ax b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng hai nhánh khác nhau 

f x a Từ đây tìm được x và cĩ được 0 M 0

Bài tốn 13: CMR mọi tiếp tuyến của (C): y f x đều khơng qua giao điểm hai tiệm cận:  

* Tọa độ giao điểm I hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình:







Tiệm cận đứng

Tiệm cận xiên (hay TCN)

* Lập phương trình tiếp tuyến qua I, kết quả là khơng cĩ tiếp tuyến Từ đĩ ta cĩ điều phải chứng minh

Bài tốn 14: Cho M C , tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B, gọi I là giao điểm hai

tiệm cận CMR M là trung điểm của AB Tính diện tích tam giác IAB:

* Gọi M x f x 0;  0  C Phương trình tiếp tuyến tại M là

 0 ' 0  0   ' 0  0  0

* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A

* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B

* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận

* Kiểm tra cơng thức M là trung điểm AB, từ đĩ ta cĩ điều phải chứng minh

* Tính vectơ  IA IB Từ đĩ tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một hằng số.,

Bài tốn 15: CMR tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất (hoặc lớn nhất):

* Tìm hệ số gĩc của tiếp tuyến tại điểm uốn I x y là  0; 0 f x ' 0

* Gọi hệ số gĩc của tiếp tuyến bất kì là f x Ta chứng minh '  f x' f x (trong trường ' 0hợp lớn nhất ta làm ngược lại)

Bài tốn 16:Tìm những điểm trên đường thẳng  :  y y mà từ đĩ cĩ thể kẻ được 2, 3 tiếp tuyến0

* Điều kiện để d là tiếp tuyến của (C)    

f x k Muốn từ M vẽ được 2,3 tiếp

tuyến thì (1) có 2,3 nghiệm

Bài toán 17: CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận 1 tam giác có diện tích không đổi:

* Gọi M x f x 0;  0  C Phương trình tiếp tuyến tại M là

 0 ' 0  0   ' 0  0  0

* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A

* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B

* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận

* Kiểm tra công thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng minh

* Tính vectơ  IA IB Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một hằng số.,

Bài toán 18:Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các số nguyên:

* Hàm số viết thành  Soá dö

Thöông+

Maãusoá

* Do x, y nguyên nên Mẫu số = ước của Số dư

Bài toán 19: Tìm những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ:

* Những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ là nghiệm của hệ phương trình    

Bài toán 20: Tìm những điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ:

* Gọi A x y B x 0; 0 ,  0;y là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.0

* Thay tọa độ A, B vào phương trình của hàm số ta được hệ phương trình Giải hệ này ta đượctọa độ điểm cần tìm

Bài toán 21: Tìm những điểm trên đồ thị hàm nhất biến sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt GTNN:

Bài toán 22: Tìm những điểm trên (C) đối xứng qua d:  y ax b

* Gọi   d Vậy phương trình  : y 1x m

a Tìm tọa độ giao điểm I của d và 

* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và  Biến đổi phương trình này về dạng

x x x Từ đây tìm được m Thay vào (1) tìm A và B.

Bài toán 23: Tìm những điểm trên (C) mà khoảng cách từ đó đến Ox bằng k lần khoảng cách từ

đó đến Oy:

* Gọi M x f x 0;  0  C Tính dM Ox, ,dM Oy, 

* Giải phương trình: dM Ox,  k d M Oy, 

Bài toán 24: CMR đồ thị (C) nhận điểm I x y làm tâm đối xứng: 0; 0

* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ 

OI với I x y , hệ trục Oxy thành hệ trục IXY Ta có công  0; 0

* Thay (1) vào hàm đã cho ta có Y F X Kiểm chứng    F X là hàm lẻ. 

Bài toán 25: CMR đồ thị (C) nhận đường thẳng  x x làm trục đối xứng:0

* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI với  I x 0;0, hệ trục Oxy thành hệ trục IXY Ta có công

* Thay (1) vào hàm đã cho ta có Y F X Kiểm chứng    F X là hàm chẵn. 

Bài toán 26: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích)

* Tìm tọa độ điểm M x y theo một tham số  ;   

* Khử m từ hệ trên ta được phương trình F x y ; 0

* Giới hạn: dựa vào điều kiện tồn tại điểm M hay điều kiện khi khử m để tìm điều kiện của xhoặc y

Kết luận: tập hợp điểm M là đường (L) có phương trình F x y ; 0thỏa điều kiện ở bước 3

Bài toán 27: Tìm điểm cố định mà họ C luôn đi qua: m

* Biến đổi phương trình y f x m về dạng   ,  Am B 0 (hay Am2Bm C 0 (ẩn m))

* Tọa độ điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình

* Biến đổi (1) về dạng F x  m (2), ở đây F(x) có thể là hàm phân thức

* Lập bảng biến thiên của hàm số y F x  

* Dựa vào bảng biến thiên ta biện luận số nghiệm của (2), và từ đó suy ra kết luận đối với (1)

Nhận xét: Phương pháp này cũng đặc biệt có ích cho bài toán tìm m để nghiệm của phương trình, hệ phương trình, thỏa điều kiện cho trước nào đó và một số bài toán khác về tìm m.

Bài toán 29: Các phép biến đổi đồ thị:

2 Xóa phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy và chừa lại phần đồ thị nằm bên phải

3 Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở bên phải trục Oy qua Oy, ta có được đồ thị (C’)

MŨ, LŨY TH A VÀ LOGARIT ỪA, HÀM SỐ MŨ

1 Lũy thừa, căn bậc n:

* a a m n a m n * 



m

m n n

b b

*Neáu 1thì: log log

*Neáu0 1thì: log log

Cho a x x, ,1 2 0,a1.Ta có: logax x1 2loga x1loga x2

* Logarit của một thương:

Cho a x x, ,1 2 0,a1.Ta có: 1  1 2

2

loga x loga x loga x x

* Logarit của một lũy thừa:

Cho a b, 0,a1 Ta có: log k  log   

a b k a b k

Đổi cơ số: log log

logc

a

c

b b

- Logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân

- log a thường được viết là lga hoặc loga10

* Logarit tự nhiên:

- Logarit cơ số e gọi là logarit tự nhiên e2,71828 

- loge a thường được viết là lna

Bảng đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit:

u a

4 Phương pháp dùng tính đơn điệu:

Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất

Giả sử y f x và    y g x là hai hàm số liên tục:  

* Cho y f x tăng và    y g x giảm Khi đó phương trình    f x g x nếu có nghiệm thì  nghiệm đó là duy nhất

* Cho y f x là hàm tăng (hoặc giảm) Khi đó phương trình    f x k nếu có nghiệm thì

Đặt: loga x t

Dạng 2: A.loga x B logx a C 0a0,a1

Đặt: loga x t Khi đó  log 1 0, 1

x a x x t

3 Phương pháp mũ hóa:

a f x M f x a

4 Phương pháp dùng tính đơn điệu:

Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất (tương tự phương trình mũ)

* Với  0 a 1thì hàm số logy a x làm hàm giảm

* Với 1a thì hàm số logy a x làm hàm tăng

B T PH ẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ƯƠNG TRÌNH MŨ NG TRÌNH MŨ, LÔGARIT

Khi giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit thì cần chú ý:

1 Điều cần xác định của bất phương trình

2 Cơ số của lũy thừa hoặc cơ số của logarit, nếu cơ số lớn hơn 1 thì hàm số đồng biến, cơ số lớn hơn



Ch ương I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ng III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ NG D NG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ỤC LỤC

Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên khoảng   a b thì:; 

a) Với mọi hằng số C, F x C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng đó. b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng   a b đều có thể viết dưới dạng; 

* 2  cot sin

* Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ: ta có thể dùng các phép biến đổi lượng giác, thêm-bớt,… để

đưa nguyên hàm cần tìm về dạng đơn giản, dễ tìm

* Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ dạng  

Q x ax b mx n Quy đồng mẫu ở vế cuối cùng, đồng nhất hệ số

với P(x) ta tìm được A,B

đồng nhất hệ số với P(x) ta tìm được A,B,C

Từ đó biến đổi được bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn để tính

* Chú ý: Trong quá trình giải toán cần chú ý đến công thức    

* Phương pháp đổi biến loại 1:

8 chữ vàng cần nhớ đối với bài toán tích phân:

Đổi biến: “LỐC, CĂN, MẪU, MŨ”

Từng phần: “LỐC, ĐA, LƯỢNG, MŨ”



NG D NG HÌNH H C C A TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN ỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN ỌC CỦA TÍCH PHÂN ỦA TÍCH PHÂN

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành:

Cho hàm số y f x (C) liên tục  

trên đoạn a b Diện tích hình; 

phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và

hai đường thẳng x a x b được, 

+ Cách 1: Xét dấu biểu thức dưới dấu tích phân để bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo tính chất

Ch ương I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ng IV S PH C Ố ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

'

a a

z z

b b

4 Biểu diễn hình học của số phức:

* Cho số phức  z a bi , điểm M a b trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là điểm biểu diễn cho số  ; phức z

* Giả sử số phức  z a bi được biểu diễn bởi điểm M a b Độ dài của vectơ  ;  OM gọi là môđun 

của số phức z, kí hiệu: z Vậy:

7 Số phức nghịch đảo, chia hai số phức:

- Số phức nghịch đảo của số phức  z a bi là một số phức, kí hiệu là: 

z z (nhân tử và mẫu cho z )'

8 Phương trình bậc hai hệ số thực trên tập  :

Cho phương trình ax2bx c 0a0; , ,a b c  Gọi   b2 4ac :

+ Nếu   0 phương trình có hai nghiệm thực:   

2

b x

a

+ Nếu  0 phương trình có một nghiệm thực: 

2

b x a

+ Nếu   0 phương trình có hai nghiệm phức:   

b

9 Chú ý: Khi giải các bài toán tìm số phức z, hay tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều

kiện đề bài cho ta thường gọi z=x+yi rồi dựa vào dữ kiện của đề bài để giải quyết ycbt



TH TÍCH KH I ĐA DI N VÀ KH I TRỊN XOAY Ể TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRỊN XOAY Ố ỆM CẬN Ố

I Thể tích khối đa diện:

1 Thể tích khối lập phương cạnh a: V a (đvtt)3

2 Thể tích khối hộp chữ nhật cĩ ba kích thước a,b,c là  V a b c (đvtt)

3 Thể tích khối lăng trụ cĩ diện tích đáy là B, chiều cao là h là;  V B h (đvtt)

4 Thể tích của khối chĩp cĩ diện tích đáy B, chiều cao h là: 1

* Tỉ số thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỉ số đồng dạng

* Cho khối chĩp S.ABC Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với

Cho hình nĩn N cĩ chiều cao là h, đường sinh l , bán kính đáy R

- Diện tích xung quanh của hình nĩn: S xq Rl (đvdt)

- Diện tích tồn phần: S tp S xqSđáy RlR2

- Thể tích khối nĩn: 1 2

3

V R h (đvtt)

2 Mặt trụ trịn xoay:

Cho hình trụ T cĩ chiều cao h và bán kính đáy R

- Diện tích xung quanh hình trụ: S xq 2Rh (đvdt)

- Thể tích khối trụ: V R h (đvtt)2

3 Mặt cầu:

Ch ương I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ng III PH ƯƠNG TRÌNH MŨ NG PHÁP T A Đ TRONG KHÔNG GIAN ỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ỘT SỐ BÀI TOÁN

H T A Đ TRONG KHÔNG GIAN ỆM CẬN ỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ỘT SỐ BÀI TOÁN

1 Hệ trục tọa độ trong không gian:

3 Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ hai điểm mút:

Cho ba điểm A x y z A; ;A A ,B x y z C x y z Khi đó: B; ;B C , C; ;C C