PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LỚP 9

Các dạng toán ôn thi vào THPT 1 Phần 1: Các bài tốn về biến đổi biểu thức,căn bậc hai và các phép tính về căn bậc hai Phương pháp: - Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử; - Tìm ĐKXĐ (Nếu bài tốn chưa cho ĐKXĐ) - Rút gọn từng phân thức(nếu được) - Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như: + Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia. + Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức + Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng. + Phân tích thành nhân tử – rút gọn Chú ý: - Trong mỗi bài tốn rút gọn thường có các câu thuộc các loại tốn: Tính giá trị biểu thức; giải Phương trình; bất Phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị ngun; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất…Do vậy ta phải áp dụng các Phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại bài. *Mét sè bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cÇn nhí : Những hằng đẳng thức đáng nhớ: • 7 hằng đẳng thức :(SGK) Với A, B là các biểu thức • (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 • (A – B) 2 = A 2 – 2AB + B 2 • A 2 – B 2 = (A + B)(A – B) • (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B +3AB 2 +B 3 • (A – B) 3 = A 3 – 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 • A 3 + B 3 = (A + B) (A 2 – AB + B 2 ) • A 3 – B 3 = (A – B) (A 2 + AB +B 2 ) • Các hằng đẳng thức liên quan : • (A + B) 2 = (A –B) 2 + 4AB • (A – B) 2 = (A +B) 2 – 4AB • ( ) 2 2 2 2A B A B AB+ = + − • A 3 + B 3 = (A + B) 3 – 3AB (A+B) • A 3 - B 3 = (A – B) 3 + 3AB (A – B) • (A + B – C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2(AB - AC – BC) • ( ) 2 2 . AAAAA === • 2 A A A A  = =  −  1. Các hằng đẳng thức thường gặp : 2 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 ( ) 2 1 1 2 ( ) 2 1 1 2 ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 a b a ab b a a a a b a ab b a a a a b a b a b a a b b a b a ab b a a b b a b a ab b a a a a a a a a a a + = + + + = + + − = − + − = − + − = − + + = + − + − = − + + − = − + + + = + − + 1) x 2 )1(12 +=+± xx ( víi x 0≥ ) 2) x 2 )(.2 yxyyx +=+± ( víi x,y 0≥ ) 3) x - y = ( ) ( ) yxyx +− . ( víi x,y 0≥ ) 4)x x yy± = ( ) ( ) yyxxyxyx +±=± 33  ( víi x,y 0≥ ) 5) x y y x± = ( )xy x y± = ( ))( yxyxyx +±  ( víi x,y 0≥ ) 6) 1 ( 1)( 1)x x x− = + − ( víi x,y 0≥ ) 7) yxxyx +−=− 2)( 2 8) 1- x x = (1- x )(1+ x + x) 2. C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc. a. 2 A A= b. . ( 0; 0)AB A B A B= ≥ ≥ c. ( 0; 0) A A A B B B = ≥ > d. 2 ( 0)A B A B B= ≥ e. 2 ( 0; 0)A B A B A B= ≥ ≥ 2 ( 0; 0)A B A B A B= − < ≥ f. 1 ( 0; 0) A AB AB B B B = ≥ ≠ i. ( 0) A A B B B B = > k. 2 2 ( ) ( 0; ) C C A B A A B A B A B = ≥ ≠ − ±  m. 2 ( ) ( 0; 0; ) C C A B A B A B A B A B = ≥ ≥ ≠ − ±  3 Ví dụ 1 . Cho biểu thức: 1 1 3 : 1 1 x x x x x A x x x x x + = ữ ữ ữ ữ + + a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi 526 =x c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. d) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3. e) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1. Giải : a) ĐKXĐ : x > 0 và x 1 1 1 3 : 1 1 x x x x x A x x x x x + = ữ ữ ữ ữ + + + + + + = 1 )3(1 : )1( 1 )1( 1 33 x xx xx x xx x A + ++ + ++ ++ = 1 31 : )1( 1)(1( )1( )1)(1( x xx xx xxx xx xxx A + + ++ = 1 22 : 1()1( x x x xx x xx A 1 )1(2 : 11 + +++ = x x x xxxx A )1(2 1 . 2 + = x x x x A 1 1 + = x x A Vậy 1 1 + = x x A b) Ta có : 525 25 5 115 115 15)15()15(526 22 += = + ===== Axx Vậy với 526 =x thì 525 +=A c) Ta có : 1 2 1 1 2 1 1 1 21 1 1 += + = + = + = xxx x x x x x A Để A có giá trị nguyên thì 112 xx Ư(2) hay 1x { } 2;1 +)Với 1x = -1 0011 ==+= xxx (loại vì không T/MĐK) +)Với 1x = 1 4211 ==+= xxx (T/MĐK) +)Với 1x = -2 112 =+= xx (loại) +)Với 1x = 2 9312 ==+= xxx (T/MĐK) Vậy với x { } 9;4 thì A có giá trị nguyên. 4 d)Ta cã : A= -3 ⇔ 1 1 − + x x = - 3 ⇔ 1 1 − + x x + 3 = 0 ⇔ 1 1 − + x x + 0 1 )1(3 = − − x x 0331 =−++⇒ xx 4 1 2 1 24 =⇔=⇔ =⇔ xx x VËy A = -3 Khi 4 1 =x e) Ta cã : A < -1 ⇔ 1 1 − + x x <-1 ⇔ 1 1 − + x x +1 < 0 ⇔ 1 1 − + x x + 0 1 1 < − − x x 0 1 11 < − −++ ⇔ x xx 1 1 01 0 1 2 <⇔ <⇔ <−⇔ < − ⇔ x x x x x (v× 2 x >0 do x>0) KÕt hîp víi §KX§ ta ®îc 0 < x < 1 th× A <-1 VËy A<-1 khi 0 < x < 1 Ví dụ2: Cho biểu thức: 12 1 : 1 11 +− +         − + − = aa a aaa P a/ Rút gọn P. b/ Tìm giá trị của a để biểu thức P có giá trị nguyên. Giải: a/ Rút gọn P: - Phân tích: 2 )1( 1 : 1 1 )1( 1 − +       − + − = a a aaa P - ĐKXĐ: 101 ;0 ≠⇔≠− > aa a - Quy đồng: 1 )1( . )1( 1 2 + − − + = a a aa a P - Rút gọn: . 1 a a P − = b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên: 5 - Chia t cho mu ta c: a P 1 1= . - Lý lun: P nguyờn a 1 nguyờn a l c ca 1 l 1 . = = 11 )(1 a ktm a Vy vi a = 1 thỡ biu thc P cú giỏ tr nguyờn. Bi tp : Dạng 1 Bài 1 Cho biểu thức x 2 1 A ( ): x 1 x x x 1 = + a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b)Tính giá trị của A khi x=3-2 2 Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1. Rút gọn x 2 1 x 2 1 A ( ): ( ): x 1 x x x 1 x 1 x 1 x( x 1) = + = + 2 ( x) 2 x 1 (x 2)( x 1) x 2 A . 1 x( x 1) x( x 1) x + + + = = = b. Khi x= 3-2 2 = 2 ( 2 1) Bài 2: Cho biểu thức 1 1 3 A : x 3 x 3 x 3 = ữ + a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của xthì A > 1 3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất Bài giải: a) ĐKXĐ x 0;x 9 ( ) ( ) ( ) x 3 x 3 1 1 3 A : x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 + = = ữ + + . x 3 3 = ( ) ( ) 6 x 3 x 3 + . x 3 3 A = 2 x 3+ b) A > ( ) 1 2 1 2 1 3 x 0 0 3 3 3 x 3 x 3 3 x 3 > > > + + + 6 ( ) ( ) 2 5 2 2 2 1 3 2 2 2 5 2 2 A 1 3 2 1 2 1 ( 2 1) + + = = = = + 3 x 0 > ( vì 3( ( x 3) 0)+ > x 9 x 9 < < Kết quả hợp với ĐKXĐ: 0 x 9 thì A > 1/3. c) 2 A x 3 = + đạt giá trị lớn nhất khi x 3+ đạt giá trị nhỏ nhất. Mà ( ) min x 3 3 x 3 3 x 0 x 0+ + = = = lúc đó A Max = 2 x 0. 3 = Bài 3: Cho biểu thức 3 1 1 P : x 1 x 1 x 1 = + ữ + + a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P = 5 4 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 12 1 . P x 1 + = Bài giải: a) ĐKXĐ x 0;x 1 P = ( ) ( ) ( ) 3 1 3 x 1 x 1 . 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1) x 1 + + + = + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 + + + = + b) ( ) ( ) 5 x 2 5 P 4 x 2 5 x 1 4 x 8 5 x 5. 4 4 x 1 + = = + = + = x 13 x 168 = = (TMĐK) c) x 12 1 x 12 x 1 x 12 x 4 16 M . . P x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 + + + + = = = = + + + = 16 16 x 2 x 2 4 x 2 x 2 + = + + + + ta có 16 x 2 2 16 2.4 8 x 2 + + = = + min 16 M 8 4 4 M 4 x 2 x 2 = = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x 2 16 x 2 4 x 2 4 0 x 6 x 2 0 x 2 0 x 4(TMDK) + = + + + = + = = = Vậy M min = 4 x 4 = . Dạng 2 Bài 1 :Cho biểu thức: a 2 a a a P 1 : 1 a 2 a 1 + = + ữ ữ + a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm a z để P nhận giá trị nguyên. 7 Bài giải: a) ĐKXĐ: a 0;a 1 ( ) ( ) ( ) ( ) a a 2 a a 1 a 1 P 1 1 a 1 : a 1 a 2 a 1 a 1 + = + = + = + + b) a 1 2 P 1 a 1 a 1 = = + + để P nhận giá trị nguyên thì 2 a 1+ nhận giá trị nguyên dơng. a 1 + thuộc ớc dơng của 2. a 1 1 a 0 a 1 a 1 2 + = = = + = a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện) Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0 Bài 2: Cho biểu thức ( ) ( ) 1 1 B 2 x 3 1 2 x 3 1 = + + + a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B. b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên. Bài giải: a) ĐKXĐ x 3;x 2 B = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 3 1 x 3 1 1 1 2 1 2 x 3 1 2 x 2 x 2 2 x 3 1 2 x 3 1 + + + = = = + + + + + + b) B nhận giá trị nguyên khi 1 x 2+ nhận giá trị nguyên. x 2 + Ư(1) x 2 1 x 1 x 2 1 x 3 + = = + = = thoả mãn điều kiện Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên Dạng 3 Bài 1: Cho biểu thức: ( ) 2 1 1 x 1 P : x x 1 x 1 x + = + ữ a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0 Bài giải a) ĐKXĐ x>0; x 1 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 x 1 1 x 1 1 x 1 x P : . 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x + + = + = = + b) P > 0 1 x 0 1 x 0 x > > ( vì x 0)> x 1 x 1. < < Kết hợp với ĐKXĐ: 0 x 1< < thì P > 0 Dạng 4 Bài 1 : Cho biểu thức: x 1 1 A : x 1 x x x 1 = ữ a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0 c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A. x m x= có nghiệm. Bài giải a) ĐKXĐ: x > 0; x 1 ( ) ( ) ( ) 2 x 1 1 x 1 1 A : : x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 . 1 x x 1 x = = ữ = = b) A < 0 x 1 0 x 1 0 x < < (vì x 0 < ) x 1 < kết hợp với ĐKXĐ 0 <x < 1 thì A < 0 c) P.t: A. x 1 x m x . x m x x 1 m x(1) x = = = ( ) x 1 m x x x m 1 0(*) = + + = Đặt x t= >0 ta có phơng trình ( ) ( ) 2 t t m 1 0 *+ + = để phơng trình (1) có nghiệm thì ph- ơng trình (*) phải có nghiệm dơng. Để phơng trình (*) có nghiệm dơng thì: ( ) ( ) 1 4 m 1 0 m 1 0 = + + + < 5 4m 5 0 m m 1 4 m 1 0 m 1 + > + > > Vậy m>-1 và m 1 thì pt A x m x= có nghiệm. 9 Bài 2: Cho biểu thức: 1 1 P 1 . x 1 x x = + ữ a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm giá trị của P khi x = 25 c) Tìm x để P. ( ) 2 5 2 6. x 1 x 2005 2 3.+ = + + Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 ( ) 1 1 x 1 P 1 . x 1 x x x 1 x x 1 ữ = + = ữ ữ ( ) 2 1 P x 1 = b) Khi x= 25 ( ) 2 1 1 P 16 25 1 = = c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 P. 5 2 6. x 1 1 x 2005 2 3 . 2 3 . x 1 x 2005 2 3 x 1 + = + + + = + + 2 3 x 2005 2 3 + = + + x 2005 = TMĐK Vậy x = 2005 thì P. ( ) 2 5 2 6 x 1 x 2005 2 3+ = + + Dạng 5 Bài 1: Cho biểu thức 1 1 1 A . 1 x 1 x 1 x = + + ữ ữ + a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A. b)Tính giá trị của A khi x= 1 4 . c)Tìm giá trị của x để A A.> Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 . ( ) ( ) 1 1 1 x 1 x 1 x 1 A . 1 . x 1 x 1 x x x 1 x 1 + + + = + + = ữ ữ + + = ( ) ( ) ( ) 2 x x 1 2 A x 1 x 1 x 1 x + = + b) Khi x = 1 2 2 A 4 1 4 1 1 1 2 4 = = = c) 2 A 0 0 A 1 0 1. x 1 > < < < < 10 [...]... giải hệ phơng trình: - Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó 4 Định nghĩa hệ phơng trình tơng đơng - Hai hệ phơng trình gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm 5.Các phơng pháp giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn thờng dùng : - Phơng pháp thế - phơng pháp cộng đại số - phơng pháp đặt ẩn phụ * Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế a Qui tắc thế (SGK toán. .. (SGK toán 9 tập 2, trang 16) b Tóm tắt cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế 1) Dùng qui tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình một ẩn 2) Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho * Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số a Qui tắc cộng đại số: (SGK toán 9 tập 2, trang 16) b.Tóm tắt cách giải hệ... y1 = x2 + x v y2 = x1 + x Theo h th c VI- T ta c ỳ: 1 1 x +x 1 1 3 9 + x1 + = ( x1 + x2 ) + + ữ = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + = x1 x2 x1 x2 2 2 x1 x2 1 1 1 1 9 P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + 1 + 1 + = 2 +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 2 S = y1 + y2 = x2 + Vy Phng trỡnh cn lp cỳ dng: y 2 Sy + P = 0 35 hay y2 9 9 y + = 0 2 y2 9 y + 9 = 0 2 2 Bi tp ỏp dng: 1/ Cho Phng trỡnh 3x 2 + 5 x 6 = 0 cỳ 2 nghim... nhất và một phơng trình bậc hai hai ẩn Thờng dùng phơng pháp thế 7.Một số bài toán liên quan đến hệ phơng trình chứa tham số : ax + by = c (1) (I) a ' x + b' y = c ' (2) Bài toán : Cho hệ phơng trình a/ Chứng minh hệ luôn có nghiệm b/Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất c/Tìm m để hệ vô nghiệm d/Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc Phơng pháp giải : *Cách 1: a/ Rút x ( hoặc y ) từ (1) (hoặc (2)... pháp giải phù hợp *Cách 2: (Dựa vào vị trí tơng đối của hai đờng thẳng) ax + by = c (a, b, c, a, b, c khác 0) a' x + b' y = c ' a b c = = a' b ' c ' a b c = + Hệ vô nghiệm nếu a' b ' c ' a b + Hệ có một nghiệm duy nhất nếu a' b' + Hệ có vô số nghiệm nếu B.Một số ví dụ : Dạng1: Giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn Bài 1: Giải các HPT sau: 2 x y = 3 3 x + y = 7 2 x + 3 y = 2 5 x + 2 y = 6 a b Giải: ... nghiệm của hệ phơng trình : y = ax + b (2) y = a' x + b' Giải hệ phơng trình (2) tìm đơc x = x 0 ;y = y 0 Toạ độ giao điểm là A (x 0 ; y 0 ) 2) Bài toán 2: Cho hai đờng thẳng y = ax + b (d) và parabol y = ax2 (P) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) Phơng pháp giải : Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình : ax + b = ax2 (1) Giải phơng trình (1) tìm x sau đó thay x tìm đợc vào (d)... (d) và (d) là A ( 2;5 ) Dang 5: Tìm điều kiện của tham số để 3 đờng thẳng đồng quy : 1)Bài toán : Cho ba đờng thẳng: y = ax+ b (d) ; y = ax+ b (d) và y = ax+ b (d) Trong đó y = ax + b chứa tham số m Phơng pháp giải : 15 y = ax + b - Toạ độ giao điểm của (d) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình (1) y = a' x + b' Giải hệ phơng trình (1) tìm đơc x = x 0 ;y = y 0 Toạ độ giao điểm là A (x 0 ; y 0 ) - Để... 2011-2012,Ngày thi : 01/7/2011) x 2 y = 4 2 x y = 3 b) (Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2010-2011,Ngày thi : 01/7/2010) 3 x + y = 2 x + y = 5 c) (Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 20 09- 2010,Ngày thi : 10/7/20 09) x y = 3 a) Giải: 2 x + 3 y = 13 7 y = 21 y = 3 y = 3 2 x 4 y = 8 2 x 2.3 = 4 2 x = 2 x = 1 x = 1 Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm y = 3 a) 2 x y = 3 3 x + y = 2 5 x... p) ; 3 y + 9 x = 6 k) q) 2 x + y = 5 v) 3 3 15 2 x + 4 y = 2 Bài 4: Giải hệ phơng trình: 2 1 x + y x y = 2 a) 5 4 =3 x+ y x y 4 x 2 + y 2 = 13 2 2 2 x y = 7 b) Bài 5: Cho hệ phơng trình: x + y =1 ax + 2 y = a a Giải hệ phơng trình với a = 3 b Tìm điều kiện của a để hệ phơng trình có một nghiệm ? có vô số nghiệm Bài 6:Cho hệ phơng trình : 6 x + ay = b 2ax by = 3 a Giải hệ phơng... thẳng và Parabol 1) Bài toán 1 : Cho hai đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax + b (d) (với a a) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d) Phơng pháp giải : - Cách 1 : Vẽ đồ thị hai hàm số y = ax + b (d) và y = ax + b (d) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy,sau đó tìm toạ độ giao điểm ( nếu có ) - Cách 2 : Hoành độ giao điểm của (d) và (d) là nghiệm của phơng trình : 14 ax + b = ax + b (1) Giải phơng trình (1) . nghiệm. 5 .Các phơng pháp giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn thờng dùng : - Phơng pháp thế - phơng pháp cộng đại số - phơng pháp đặt ẩn phụ * Giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp thế. a Các dạng toán ôn thi vào THPT 1 Phần 1: Các bài tốn về biến đổi biểu thức,căn bậc hai và các phép tính về căn bậc hai Phương pháp: - Phân tích đa thức tử và. tử – rút gọn Chú ý: - Trong mỗi bài tốn rút gọn thường có các câu thuộc các loại tốn: Tính giá trị biểu thức; giải Phương trình; bất Phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị