Tìm tập xác định của các hàm số sau a.. Chứng minh tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Bước 1.. Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự đ
Trang 1CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 11
Trang 2Phần I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác
1 Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M có số đo cung AM là α thì
sinα = yM; cosα = xM
tan α = sinα (α π kπ)
cosα ≠ + 2 ; cot α = cosα (α kπ)
sinα ≠
2 Các tính chất
Với mọi α ta có: –1 ≤ sin α ≤ 1 hay |sin α| ≤ 1; –1 ≤ cos α ≤ 1 hay |cos α| ≤ 1
3 Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
sin² α + cos² α = 1; tan α cot α = 1;
1 + tan² α = 12
cosα ; 1 + cot² α = 12
sinα
4 Các công thức liên hệ cung
cos(–α) = cos α cos(π – α) = –cos α cos(π + α) = –cos αsin(–α) = –sin α sin(π – α) = sin α sin(π + α) = –sin αtan(–α) = –tan α tan(π – α) = –tan α tan(π + α) = tan αcot(–α) = –cot α cot(π – α) = –cot α cot(π + α) = cot αcos(π/2 + α) = –sin α cos(π/2 – α) = sin α
sin(π/2 + α) = cos α sin(π/2 – α) = cos α
tan(π/2 + α) = –cot α tan(π/2 – α) = cot α
cot(π/2 + α) = –tan α cot(π/2 – α) = tan α
5 Công thức cộng
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
tan a tan b tan(a b)
1 tan a tan b
+ + =
−
tan a tan b tan(a b)
1 tan a tan b
−
− =
+
6 Công thức nhân đôi
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a
Trang 39 Công thức biến đổi tổng thành tích
cos α + cos β = 2 cosα βcosα β
I Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Hàm số y = tan x xác định khi x ≠ π/2 + kπ, k thuộc Z
Hàm số y = cot x xác định khi x ≠ kπ, k thuộc Z
Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau
a y = cos x + sin x b y = cos x 1
x 2
+ + c y = sin x 4+
II Chứng minh tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Bước 1 Tìm tập xác định D; Với mọi x thuộc D → –x thuộc D
Bước 2 Tính f(–x); so sánh với f(x) Có một trong 3 khả năng có thể xảy ra
+ f(–x) = f(x) → hàm số chẳn
+ f(–x) = –f(x) → hàm số lẻ
+ f(–x) ≠ f(x) & f(–x) ≠ –f(x) thì chọn giá trị xo và tính f(–xo), f(xo) thỏa mãn điều kiện suy ra hàm số không chẳn không lẻ
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
a y = 2 cos x b y = sin x + x c y = sin 2x + 2
d y = –2 tan² x e y = sin |x| + x² f y = |2x + 1| + |2x – 1|
III Xét chiều biến thiên hàm số lượng giác
Bài 3 Lập bảng biến thiên của hàm số
a y = –sin x + 1 trên đoạn [–π; π]
b y = –2cos (2x + π/3) trên đoạn [–2π/3; π/3]
IV Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Bài 4 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
a y = 2 sin (x – π/2) + 3 b y = 3 – 2 cos 2x c y = –1 – cos² (2x + π/3)
d y = 1 cos 4x 2 + 2 − e y = 2 sin x 3 + f y = sin² x – 4sin x + 3
Bài 5 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
a y = sin x trên đoạn [–π/2; π/3] b y = cos x trên đoạn [–π/2; π/2]
c y = sin x trên đoạn [π/6; 3π/4] d y = cos (πx / 4) trên đoạn [1; 3]
V Phương trình lượng giác
Bài 6 Giải các phương trình sau
Trang 4d 3sin 3x − 3 cos 9x = 1 + 4 sin³ 3x e sin x cos (x4 4 π) 1
Bài 7 Giải các phương trình sau
a 2 cos² x + 5sin x – 4 = 0 b 2 cos 2x – 8 cos x + 5 = 0
c 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x d 2 (sin4 x + cos4 x) = 2 sin 2x – 1
e cos (4x/3) = cos² x f (3 + tan² x) cos x = 3
g 5 tan x – 2 cot x – 3 = 0 h 6sin² 3x + cos 12x = 4
Bài 8 Giải các phương trình sau
a 2 sin² x – 5 sin x cos x – cos² x = –2b sin² x – 2 sin x cos x – (2 3 + 3) cos² x = 0
c 4 sin² x + 3 3sin 2x – 2 cos² x = 4 d 6 sin x – 2 cos³ x = 5 sin 2x cos x
e sin² x + sin 2x – 2cos² x = 1/2
Bài 9 Giải các phương trình sau
a 3(sin x + cos x) + 2sin 2x + 3 = 0 b sin 2x – 12(sin x – cos x) = –12
c 2(cos x + sin x) – 4 sin x cos x – 1 = 0 d cos x – sin x – 2sin 2x – 1 = 0
Bài 10 Giải các phương trình sau
a cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 b 2 + cos 2x = – 5 sin x
c 6 – 4cos² x – 9sin x = 0 d 2 cos 2x + cos x = 1
e 4sin4 x + 12cos² x = 7
Bài 11 Giải các phương trình sau
a 4(sin 3x – cos 2x) = 5(sin x – 1)
b 1 + sin (x/2) sin x – cos (x/2) sin² x = 2 cos² (π/4 – x/2)
c 1 + 3 tan x = 2 sin 2x d (2cos 2x – 8cos x + 7) cos x = 1
e sin 2x (cot x + tan x) = 4 cos² x f 2 cos² 2x + cos 2x = 4 sin² 2x cos² x
g cos 3x – cos 2x – 2 = 0 h 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tan x
i sin 2x + 2 tan x – 3 = 0 j sin² x + sin² 3x = 3cos² 2x
k tan³ (x – π/4) = tan x – 1 l sin 2x – cos 2x = 3 sin x + cos x – 2
m sin 2x + cos 2x + tan x = 2 n cos 3x – 2 cos 2x + cos x = 0
Bài 12 Giải các phương trình sau
a 2sin² x + 2sin 2x = 3 – 2cos² x b cos³ x – sin³ x = cos x + sin x
c sin x sin 2x + 2sin 3x = 6 cos³ x d sin³ x + cos³ x – 2(sin5 x + cos5 x) = 0
e sin³ (x – π/4) = 2sin x f 3cos4 x – sin² 2x + sin4 x = 0
g 3sin4 x + 5cos4 x – 3 = 0
Bài 13 Giải các phương trình sau
a cos³ x + sin³ x = sin 2x + sin x + cos x b 2 cos³ x + cos 2x + sin x = 0
c 1 + sin³ x + cos³ x = (3/2) sin 2x d 6 (cos x – sinx) + sin x cos x + 6 = 0
e sin³ x – cos³ x = 1 + sin x cos x f 1 1 sin x cos x 10
cos x sin x + + + = 3
g 2tan x + 3tan² x + 4tan³ x + 2cot x + 3cot² x + 4cot³ x = 18
h 2 (1 + cot² x) + 2 tan² x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0
i cos³ x – sin³ x + 1 = 0
j 2cos 2x + sin² x cos x + cos² x sin x = 2(sin x + cos x)
Bài 14 Giải các phương trình sau
a sin 2x + 2cos 2x = 1 + sin x – 4cos x b sin 2x – cos 2x = 3sin x + cos x – 2
Trang 5c sin² x + sin² 3x – 3cos² 2x = 0 d cos 3x cos³ x – sin 3x sin³ x = cos³ 4x + 1/4
e sin4 (x/2) + cos4 (x/2) – 1 + 2sin x = 0 f cos 3x – 2cos 2x + cos x = 0
g sin6 x + cos6 x = sin4 x + cos4 x h sin4 x + cos4 x – cos² x = 1 – 2sin² x cos² x
i 3sin 3x – 3cos 9x – 4sin³ 3x + 1 = 0 j cos x sin x sin x
m sin xcos x + cos x = –2sin² x – sin x + 1 n sin 3x = cos xcos 2x (tan² x + tan 2x)
o 5(sin x cos 3x sin 3x) cos 2x 3
1 2sin 2x
+
q cos 3x – 4cos 2x + 3cos x – 4 = 0 r tan x 14 (2 sin 2x)sin 3x2 4
cos x
− + =
s tan x + cos x – cos² x = sin x (1 + tan x tan x
2) t cot x – 1 = cos 2x sin x2 1sin 2x
2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách
a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số tự nhiên k ≤ n Khi lấy ra k phần tử trong
số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử
b Định lý: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là kn n!
A (n k)!
Trang 6+ Trong khai triển nhị thức Newton bậc n có n + 1 số hạng Trong mỗi số hạng thì tổng số
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù
ta đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω
Biến cố là một tập con của không gian mẫu Gọi n(A) là số phần tử của biến cố A, còn n(Ω) là số kết quả có thể xảy ra của phép thử Khi đó xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)
= n(A)/n(Ω)
Nếu A ∩ B = ϕ thì ta nói A và B xung khắc Khi đó P(A U B) = P(A) + P(B)
Định lý: P(ϕ) = 0, P(Ω) = 1, 0 ≤ P(A) ≤ 1
A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B)
Bài 1 Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ
41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2 Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4} Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn
trong số các phần tử của A?
Bài 3 Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5} hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số
1 xuất hiện ba lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Bài 4 Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ ngồi
riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Bài 5 Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau Có bao nhiêu vectơ nối
hai điểm trong các điểm đó?
Bài 6 Từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Bài 7 Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ 7 điểm trên có thể lập
được bao nhiêu tam giác?
Bài 8 Một lớp có 30 học sinh Cần chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó và
một bạn làm thư ký Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học sinh nào cũng có khả năng làm lớp trưởng, lớp phó hoặc thư ký như nhau
Bài 9 Tìm số tự nhiên n, nếu 6n – 6 + 3
c số đó không chia hết cho 10
Bài 11 Trong khai triển (2 x3 3 )10
x
− , với x > 0, tìm số hạng không chứa x.
Bài 12 Tìm hệ số của x8 trong khai triển [1 + x²(1 – x)]8
Bài 13 Cho khai triển: (1 + 2x)10 = ao + a1x + a2x² + + a10x10, có các hệ số ao, a1, a2, , a10 Tìm hệ số lớn nhất
Bài 14 Tìm số hạng
a thứ 13 trong khai triển (3 – x)25
b thứ 18 trong khai triển (2 – x²)25
c không chứa x trong khai triển (x + 1/x)12
Trang 7d không chứa x trong khai triển (x x3 914)12
x +
e hữu tỉ trong khai triển của ( 3 − 15) 6
f đứng chính giữa trong khai triển của (1 + x)10
g chứa x³ trong khai triển của (11 + x)11
Bài 15 Tìm hệ số của số hạng chứa
a x4 trong khai triển (x/3 – 3/x)12
b x8 trong khai triển ( 13 x )5 12
c x5 trong khai triển (1 + x + x² + x³)10
d x³ trong khai triển (x² – x + 2)10
e x³ trong khai triển S(x) = (1 + x)³ + (1 + x)4 + (1 + x)5 + + (1 + x)50
f x³ trong khai triển S(x) = (1 + 2x)³ + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + + (1 + 2x)22
Bài 17 Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 600000
Bài 18 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5
Bài 19 Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có
b Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế
Bài 24 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên
bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ ba màu
Bài 25 Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho
10 hoc sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu:
a Các học sinh ngồi tùy ý
b Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi bàn còn lại
Bài 26 Có 5 nhà toán học nam, ba nhà toán học nữ và bốn nhà vật lý nam Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý Có bao nhiêu cách chọn
Bài 27 Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ Có bao nhiêu cách chọn ra năm người sao cho
a Có đúng hai nam
b Có ít nhất hai nam và ít nhất một nữ
Trang 8Bài 28 Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9 Tính xác suất để
a Số được chọn là số nguyên tố
b Số được chọn chia hết cho 3
Bài 29 Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9 Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn
Bài 30 Tìm xác suất để khi gieo con xúc xắc 6 lần độc lập, không lần nào xuất hiện mặt có
số chấm là một số chẵn
Bài 31 Một bình chứa 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tìm xác suất để rút được 5 viên bi trắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏBài 32 Một đoàn tàu có 7 toa đổ ở một sân ga Có 7 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn một cách ngẫu nhiên lên một toa Tìm xác suất để có một khách lên mỗi toa tàu
Bài 33 Gieo 2 con súc sắc một cách ngẫu nhiên Tính xác suất của biến cố “ Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau”
Bài 34 Gieo ngẫu nhiên đồng thời 4 đồng xu Tính xác suất để ít nhất hai đồng xu lật ngửa.Bài 35 Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ khác nhau về màu sắc lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên bi nữa Tính xác suất của biến cố: “lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”
Bài 36 Hai hộp chứa các quả cầu Hộp thứ nhất chứa 5 quả đỏ và 5 quả xanh, hộp thứ 2 chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả Tính xác suất sao cho hai quả
a đều đỏ b cùng màu c khác màu
Bài 37 Mọt hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu xanh được đánh
số từ 1 đến 20 Lấy ngẫu nhiên một quả Tìm xác suất sao cho quả được chọn
a có ghi số chẵn b màu đỏ c màu đỏ và ghi số chẵn d màu xanh hoặc ghi số lẻ.Bài 38 Một tổ có 7 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên ba người Tìm xác suất sao cho 3 người đó
a đều là nữ b không ai là nữ c ít nhất một người là nữ d có đúng một người nữ
CẤP SỐ CỘNG
1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, )
Khi d = 0 thì cấp số cộng có các số hạng đều bằng nhau
Trang 9Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
Bài 4 Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là
165
Bài 5 Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140 Bài 6 Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng
với công sai là 25
Bài 7 Cho cấp số cộng (un) Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16
Bài 8 Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
Bài 9 Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối và số
hạng đầu là 30 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó
Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có
un+1 = un.q (n = 1, 2, )
Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, 0, 0, , 0,
Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, u1, , u1,
Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0,
|uk| = u k 1 k 1− .u + với k ≥ 2
4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho một cấp số nhân (un) với công bội q
Trang 10Bài 4 Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3 = 12, u5 = 48.
Bài 5 Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết: 1 2 3
+ Nếu |un| < vn với mọi n, lim vn = 0 thì lim un = 0
+ lim un = L → lim|un| = |L| + lim un = L → 3 3
n
+ lim un = L, un > 0 với mọi n → L > 0 và lim u n = L
+ Với cấp số nhân mà |q| < 1 thì S = lim (u1 + u1q + u1q² + + u1qn–1) = u (1 q ) 1 n u 1
n = với mọi k > 0+ lim nk = +∞ với mọi k > 0 + lim qn = +∞ nếu q > 1
+ lim un = L thì lim (k.un) = k.L + lim un = L, lim vn = M thì lim (un + vn) = L + M+ lim un = L, lim vn = M thì lim (un.vn) = L.M
+ lim un = L, lim vn = M ≠ 0 thì lim (un / vn) = L / M
lim
+ +
+
n(n 1) lim
(n 4)
+ +
Bài 2 Tìm các giới hạn sau:
Trang 11Bài 5 Tìm các giới hạn sau:
a limsin nπ
sin10n cos10n lim
+ +
Bài 6 Tìm các giới hạn sau:
+ + + + + +
Bài 7 Tính các giới hạn sau:
Bài 2 Tìm các giới hạn sau:
a x 2lim (2x2 3x)
→ − b
x 1
5x 2 lim
x 1
→
+ +
Bài 3 Tìm các giới hạn sau:
Trang 12a x 0lim f (x)→ b x 3lim f (x)→ c x 1lim f (x)→
Bài 7 Tìm các giới hạn sau
→
− +
3 2
x 1
x 1 lim
→−
+ + −
Trang 13f (x)
3 khi x 5 2
Xét tính liện tục của hàm số trên tập xác định
Bài 5 Tìm a để hàm số liên tục tại xo
Bài 7 Chứng minh rằng phương trình x³ – 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 8 Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng (–2; 5)
Bài 9 Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a ax² + bx + c = 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b ax² + bx + c = 0 với a + 2b + 5c = 0
c a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 d cos x + m cos 2x = 0
Bài 10 Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt
a x² – 3x + 1 = 0 b x³ + 6x² + 9x + 1 = 0
ĐẠO HÀM
1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
+ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và xo thuộc (a; b)
Trang 14+ Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì nó liên tục tại điểm đó.
2 Ý nghĩa của đạo hàm
+ f′(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; f(xo))
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; f(xo)) là y = f′(xo)(x –
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo bằng định nghĩa ta thực hiện các bước
Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại xo Tính ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo)
Bước 2: Tính
o
x x
y lim x
Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a y = 2x4 1x3 2 x 5
3
− + − b y 32 4x x
3 x
1 x x y
= + +