Bài tập toán cao cấp phần giải tích

Một công ty máy tính đang thực hiện việc bán sản phẩm theo các phương pháp trả góp như sau: - Trả đều hàng năm vào mỗi năm trong vòng 5 năm với giá trị một lần trả là 5tr - Trả ngay sau

KHOA HỆ THỐNG THÔNG TIN KINH TẾ

-

BÀI TẬP

TOÁN CAO CẤP

PHẦN GIẢI TÍCH

Người soạn: Trần Thị Khánh Linh

Bộ môn: Toán Kinh tế

Huế, 2011

Chương 1:

HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 Cho hàm số f x( )2 ,x g x( )x2

Hãy tính f g x ( ) , g f x( ) , f f x ( ) , g g x ? ( )

2 Cho hàm số

2

( )

1

x

f x

x





Hãy tìm   ( ) 

n lan

f f f x

3 Cho ( )f x a x ax, chứng minh rằng: (f x y) f x( y) f x f y( ) ( )

4 Tìm hàm số f(x) cho biết

4.1 f x( 2)= x25x 6

5 Tìm miền xác định của hàm số:

1

x

x



x y

x





10

x

§2 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

1 Tính các giới hạn:

1.1

2 2 1

m n x

m n





tan - sin lim

x

x



1.3

2 0

lim

x

x x x



3 3 0

5 lim

x

x

   

  

1.7

sin 2 lim

x

x

x





0

cos - cos lim

x

x



0

lim

x

x x



0

n x

ax

x



2 a Chứng minh   

0

lim ( ) v x b

x x u x a

0

 

0

lim

 

b Cho biết :lim ( ) 1, lim ( ) , lim ( ) 1 ( )

x a u x x a v x x a u x v x L

/ : lim ( ) v x L

x a

Áp dụng:

2.1 2 cot2

0

1

s inx 0

1 tan lim

1 s inx

x

x







1

x x 

1 cot

x

x

x

2.5

2

2 2

1 lim

2

x

x

x x





2.6

4

2 2

1 lim

x

x

x x



1 cot 2

lim sin x

x

x



1 0

lim cos x



0

lim(1 tan ) x

4

x

x





3 Tìm giới hạn

1 2

arcsin(1 2 ) lim

x

x x







0

lim

x

x

c



3.5

0

lim cot 5



4 Xét sự liên tục của hàm số:

4.1

2

4

2

x

khi x

khi x







4.2

2

1

0 ( )

x

f x

khi x





 



4.3

1

( )

khi x







 



4.4

2

2

1 ( )

f x

x khi x



 



4.5

x

2 ( )

f x









 



5 Tìm k để hàm số f(x) liên tục

5.1

3

( )

0

x khi x







 



liên tục trên R

( )

0

x

f x

x k khi x

 



liên tục trên R

( )

x

khi x

f x

k x khi x

 



liên tục trên R

5.4

1

( )

0







 



liên tục tại x 0 0

1

1

1

x khi x





 





liên tục tại x  0 1

§3 GIÁ TRỊ HIỆN TẠI VÀ GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA TIỀN TỆ

1 Trong điều kiện lãi suất 0,9% một tháng, hãy cho biết:

a, Giá trị tương lai của 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm

b, Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được sau 4 năm

2 Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu 6000$ và sẽ mang lại 10.000$ sau 5 năm Trong điều kiện lãi suất tiền gởi ngân hàng 9% một năm có nên đầu tư vào dự án đó hay không? Tính NPV của dự án đó?

3 Tính giá trị của khoản tiền 1000$ sau 3 năm nếu lãi suất được tính gộp liên tục với mức lãi suất 10% một năm

4 Một công ti đề nghị bạn góp vốn 3500$ và đảm bảo sẽ trả cho bạn 750$ mỗi năm liên tiếp trong 7 năm Bạn có chấp nhận góp vốn hay không nếu bạn còn có cơ hội đầu tư tiền vào chỗ khác với lãi suất 9% một năm?

5 Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu 40 triệu đồng và sẽ mang lại 10 triệu sau 1 năm, 20 triệu sau 2 năm, 30 triệu sau 3 năm Dự án đó có lợi về mặt kinh tế hay không nếu lãi suất hiện hành

là 10% một năm?

6 Một dự án đòi hỏi phải đầu tư ban đầu 7500$ và sau một năm sẽ mang lại cho bạn

2000$ mỗi năm, liên tiếp trong 5 năm Hãy tính giá trị hiện tại ròng của dự án đó trong điều kiện lãi suất 12% một năm Có nên thực hiện dự án đó hay không?

7 Một chủ đầu tư định mua là căn nhà trị giá 4 tỉ đồng và cho thuê trong vòng 10 năm với mức thuê là 60tr/ năm Sau 10 năm trị giá căn nhà ước tính khoảng 2,5 tỉ đồng Với mức lãi suất hiện nay là 9%, hỏi chủ đầu tư có nên mua nhà không?

8 Một công ty máy tính đang thực hiện việc bán sản phẩm theo các phương pháp trả góp như sau:

- Trả đều hàng năm vào mỗi năm trong vòng 5 năm với giá trị một lần trả là 5tr

- Trả ngay sau khi mua 3tr , các năm sau trả dều 1tr vào đầu mỗi năm liên tục trong 5 năm Lựa chọn phương thức bán hàng có lợi nhất cho công ty biết lãi suất tiên gửi NH ổn định 9%/năm

§4 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

1 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1.1 y 32e x 2x  1 ln5x 1.2 y(1 3 x5x2 4)

1

x y

x





 1.5 y arctanxarcsinx 1.6 yln lgx xln loga a x

1.7 y 3 a bx 3 1.8

2

(1 )arctanx - x

2

x

y 

ln

y

c





2

1.11 ye sin x2 1.12 yln sin( x31)

1.13

2 2

1 arcsin 1

x y

x





4

x

ya x

ln

1 2

x y

x





sin arctan 1- cos

x y

x







2 Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:

y e



1

y x

2.5 arcsin

2

x

x



y x x

yxe

3 Tính đạo hàm cấp 3 của các hàm số sau:

sin

2x

yx

sin 2

y f x

4 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:

1

y x





2 x

y 

4.5 y2x1n

5 Tìm biểu thức vi phân của các hàm số sau:

ln 1

x y

x





x arcsin

a

y 

x



x



sin 4

5x

yx

5.9 xsin

y xe



§5 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1 Định lí Fermat:

Giả sử hàm số f(x) xác định trong khoảng X và nhận giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) tại một điểm c bên trong khoảng X ( c không trùng với các đầu mút của khoảng X) Khi đó, nếu tại điểm c hàm số f(x) có đạo hàm thì f ( )/ c 0

2 Định lí Rolle:

Giả sử hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện:

a, Xác định và liên tục trên a b , 

b, Khả vi trong khoảng (a,b)

c, f(a) = f(b)

Khi đó tồn tại c( , )a b sao cho f: /( )c  0

3 Định lí Lagrange:

Giả sử hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện:

a, Xác định và liên tục trên a b , 

b, Khả vi trong khoảng (a,b)

Khi đó tồn tại c ( , )a b sao cho f: /( )c f b( ) f a( )

b a





1 Áp dụng công thức Lagrange, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:

1.1 sinasinb  a b 1.2 arctan - arctana b  a b

2 Tính giới hạn vô định sau:

2.1

2

1

1 ln

x



 

lim xsinx

x

c





2.3

x

m x

x a a

ax ax

0

ln(1 )

x

a x











2.5

1

ln(1 ) lim

cot

x

x x



 

lim

1 ln(1 )

x

x

x









2.7

1

lim(1 ) tan

2

x

x

0

1 lim cot

x





2.9

2

2cos

x

x







1

1 lim

x

x





2.11

4

lim tan 2 tan( )

4

x







0

e x

x x  

   

2.13

1

lim ln ln(1 )

1

c



  

2.15

2

1

0

sin

x

x x



2.16

1

0

lim( x )x

x e x

2.17

1

lim( x )x

x e x

lim arctanx

x

x 

2.19

2 0

1 lim sin

x

x

e x





2.20

0

1 cos lim

1 cos

x

ax bx







3 Xác định khoảng tăng, giảm của hàm số:

3.1 yx x( 1) (2 x2)3 3.2

x

e y x



3.3 2 2 3

3

0

ln lim

ln sin

x

x x



3.5 yxlnx2

4 Tìm cực trị của các hàm số sau:

y x



2

x

( 1) arctan

x

4.5

2

x

5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

1+x

2

y xx

5.5

2

1

x x y

x

 

2x

6 Xác định các khoảng lồi lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số:

6.1

3 2

2

x y

x



3

2

y x

y x e

6.5 yearctanx

7 Khai triển Taylor các hàm sau:

ye tại x=1

y x

 tại xx0

y x



 tại x=0

8 Tìm hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên, cho hàm tổng chi phí:

8.1 C 3Q27Q12 8.2 C 35 5 Q2Q22Q3

9 Tìm hàm doanh thu bình quân và hàm doanh thu cận biên cho biết hàm tổng doanh thu:R12Q Q 2

10 Tìm hàm lợi nhuận bình quân, hàm lợi nhuận cận biên, cho biết hàm tổng lợi nhuận:

2

11 Tìm doanh thu cận biên, cho biết hàm cầu: Q36 2 p

Q

13 Cho biết hàm tổng chi phí: TC Q35Q260Q Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí bình quân nhỏ nhất

14 Cho biết hàm tổng chi phí TC và hàm tổng doanh thu TR, hãy xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa:

14.1 TC Q36Q2140Q750; TR1400Q7,5Q2C 3Q27Q12

14.2 TC Q35,5Q2150Q675; TR4350Q13Q2

15 Cho hàm cầu: Q 20 5 p, hãy tính hệ số co dãn ở các mức giá p2, p 3

16 Cho hàm tổng chi phí

2

5 5000

3

Q TC

Q

 16.1 Tìm hàm chi phí cận biên MC

16.2 Tính chi phí trung bình AC tại Q=100

16.3 Tính hệ số co dãn của TC theo Q tại Q= 17

17 Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm tổng chi phí: TC Q3Q2 700Q30

Hàm doanh thu trung bình: AR2000Q

17.1 Hãy xác định Q sao cho hàm chi phí bình quân nhỏ nhất

17.2 Xác định mức sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

18 Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược: p490 2 Q và hàm tổng chi phí:

2

1,5

TC  Q Trong đó, Q là sản lượng

18.1 Xác định hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên của doanh nghiệp

18.2 Xác định sản lượng và giá bán để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa

19 Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng với 1

656 2

d

phí: TC Q377Q21000Q100 Tìm Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất

20 Cho biết hàm cầu về một loại hàng hóa của doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh loại hàng nào đó là: Q d 300 p Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là:

TC Q  Q  Q Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa

21 Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng biết hàm cầu của loại hàng đó trên thị trường là: Q d 2340 p Hàm chi phí TC Q21000Q100

Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại

§6 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1 Tính tích phân

1.1 x 1dx, x 0

x





x



3

3

1

x

dx x

x x





1.5 3.2 2.3

2

x x

x dx



10

x x

x dx





1.7

2 2

1

x dx x



2 2

3

1

x

dx x x



 





cot xdx, xk,kZ

2





,

5

2 5

dx

x x



2

2 3

dx x





,

3

2 3

xdx

x x



3

x x dx



1.15

3

1 ln

dx

dx





1.17 s in2xdx2





2

dx



1.19 esinxcosxdx 1.20 e2x2lnx dx

2 Tính tích phân (Sử dụng phương pháp biến đổi biến)

dx

x



1

x x

e dx e





2.5

2

1

dx

x x 

1

dx

x

 





16x dx, x 4, 4

5

1

x

dx x x

 





x x dx x 

3 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tính các tích phân:

3.5 2 ,  

sin

xdx

x k

osx , sin

xc dx

x k



ln xdx, x 0



x x dx x 

1

x

dx x





4 Tích phân các phân thức hữu tỉ, lượng giác :

4.1

2

,

dx x x



1

dx

x  x



x



2 2

dx

 



4.5

3

4 2

2 1

x dx

x x 

4.9

3

sin

x

x





5 3cos

dx x





§7 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1 Tính các tích phân xác định sau:

1.1

1

0

1

1 2 x dx

2

3 0

sin 2 cosx xdx





1

10

0

1 3

1

01

x dx x





29 3

3 3

2

x

dx x



4

3 2 0

9

x x  dx



1.7

ln 2

0

1

x

e  dx

ln 5

0

1 3

x x x

dx e







1.9

13

3 0

1

1 2x1dx

2

0 2 cos 3

dx x







1.11

2 2 0

a

x dx

a x

5

xdx

x 



0

a

x a x dx

0

a

x a x dx



50.15

0

sin 2

x



0

os2x





1

0

ln 1

x x dx

1

ln

e

x x dx



1.19

1

0

x

e dx

e

e

x dx



1.21

3

0

arctan

2 2

0

arcsin



1.23

3

0

arcsin

1

x dx x



1

2

x

xe dx

x 



1.25

1 2

2

x

x e

dx

x 



2 Cho hàm số ( )f x là hàm số liên tục trên đoạn a a, .Hãy chứng minh:

a, Nếu f x là hàm số chẵn thì : ( )

f x d  f x d

b, Nếu f x là hàm số lẽ thì : ( )

a

-a

f x d 



3 Cho f x là hàm liên tục trên R và là hàm tuần hoàn với chu kì T, chứng minh với ( )

mọi số a ta luôn có:

f x d  f x d

4 Cho f x là hàm liên tục ( )  0,1 Hãy chứng minh :



2







5 Tính tích phân suy rộng

5.1

0

x

xe dx





dx



 



ln

a

dx

a





0

2 x

xe dx



5.5

dx



a

xdx





0

x

xe dx





2

dx

x x







dx



6

2 3

2 4

dx x





5.11

0

cos

x





1

0

dx

x x



5.13

2 3

x dx x





1

0 x 1

dx

e 



§8 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

1 Cho biết hàm đầu tư:

3 5

40

I  t và quỹ vốn tại thời điểm t=0 là 75 Hãy cho biết hàm quỹ vốn đầu tư?

2 Cho biết hàm đầu tư

1 3

60

I  t và quỹ vốn tại thời điểm t = 1 là 85 Hãy cho biết hàm quỹ vốn đầu tư?

3 Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q: MC 32 18 Q12Q2 và chi phí cố định FC 43 Hãy tính hàm tổng chi phí và hàm chi phí khả biên

4 Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q: MC 12e0,5Q và chi phí cố định 36

FC  Hãy tính hàm tổng chi phí

5 Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q MC16e0,4Q và chi phí cố định 100

FC  Hãy tính hàm tổng chi phí

6 Cho biết hàm doanh thu cận biên MR84 4 Q Q 2 Hãy cho biết hàm tổng doanh thu TR(Q) và hàm cầu?

7 Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên MPC 0,8 ở mọi mức thu nhập Y là C 40 khi 0

Y  Hãy xác định hàm tiêu dùng C(Y)?

8 Cho biết hàm cầu: p42 5 Q Q 2 Giả sử giá cân bằng là p  Hãy tính thặng dư 0 6 của người tiêu dùng

9 Cho biết hàm cầu và hàm cung: Q d  113 p Q, s  p  Hãy tính thặng dư của nhà 1 sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng

Chương 2

HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 Cho hàm số:  

f x y

xy



 Hãy tính f 2, 3 ,  f 1, 0

f x y x y  x  xy y Hãy tính f 0, 0 , f  2, 2

3 Cho hàm số f x y ,  xy y

x

  Hãy tìm biểu thức các hàm số sau: f y x , , f x,y,

 1, , 1, y

x

 

4 Cho hàm số: f x y ,  22xy 2



 , hãy chứng minh: f x y là hàm thuần nhất cấp 0?  , 

5 Tìm miền xác định của hàm số:

,

f x y   yx

f x y  x y   x y

5.4 f x y ,  arcsin x xy

y

5.5 f x y ,  2 12 2



§2 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC

1 Cho hàm số f x y ,  x y

x y





 Tìm các giới hạn lim lim0 0  ,  , lim lim0 0  ,  

2 2

2

2 2

f x y



 

0 0

x y

f x y





3 Tìm các giới hạn lặp lim lim  ,  , lim lim  ,  

x a y b f x y y b x a f x y



1

y y

x

x



2

x

x y



1

xy



2

x y



4 Tìm các giới hạn

4.1

0 0

sin lim

x

y

xy



2

3

1 lim 1

x

x y x









4.3

2

x lim

x

x

y

y







4.4

0 0

sin lim

x y

xy xy





4.5

0 0

lim

1 1

x

y

xy xy



  

5 Cho hàm số:

0 ( , )

xy

khi x y

f x y

khi x y







 





Chứng minh hàm số f x y liên tục  , 

tại 0, 0 

6 Chứng minh rằng hàm số

( , )

xy khi x y

f x y

khi x y







 



liên tục theo từng biến

riêng lẻ, nhưng không liên tục theo cả 2 biến tại điểm 0, 0 

§3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN

1 Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau:

1.1 f x y ,  ln tan y

x

x

f x y 

y x

f x y e

 

 

 



1.5

1

w



z

x w y

  

1.9 w arctan yz

x

ln

w x y z

2 Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số:

2.1 w arctan y

x

w

x y







2.3 1  2 23

3

2.5 wxln xy

3 Tính vi phân toàn phần của hàm số:

w x  y

3.3 wln tanxy 3.4 xsin

we y

ln

w x y

4 Tính giá trị gần đúng của các hàm số sau:

4.1 f x y ; xy tại M1,1; 2,03 4.2    2 2

;

f x y  x y tại M2,1; 1; 03

4.3 f x y ;  1

xy

;

f x y  x y tại M 3,1; 2,1

f x y  x  y M2,1;1, 2 4.6 f x y ;  x y tại M1, 01; 2, 04

§4 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Tìm cực trị của hàm số:

1.1 zx33xy2 15x12y 1.2 z 1 x4 y4 2x2 4xy2y2

2

x y

ze  x y

1.5 zx4 y4 x22xyy2 1.6 zx4y42x24xy2y2

1.7 zx2xyy22x3y 1.8 z2x4 y4x22y2

z xy

2 Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm:

2

3 Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm Cho biết hàm cầu đối với các sản phẩm

đó như sau: Q125 0, 5 p Q1, 2 30 p2 Với hàm chi phí kết hợp:

1 2 1 2 2 20

CQ  Q Q Q  , hãy cho biết mức sản lượng Q Q để đạt lợi nhuận tối đa 1, 2

4 Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm Cho biết hàm cầu đối với các sản phẩm

đó như sau:Q150 0,5 p Q1, 2 76p2

Với hàm chi phí kết hợp: C 3Q122Q Q1 2 2Q2255, hãy cho biết mức sản lượng Q Q 1, 2

để đạt lợi nhuận tối đa

5 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền và kinh doanh hàng hóa trên 2 thị trường tách biệt với hàm cầu: Q1840 2 ; p1 Q2 1230 3 p2

Hàm chi phí: TC 20 150 QQ2 với QQ1Q2 Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để lợi nhuận cực đại

6 Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá

1 60; 2 75

p  p  Hàm chi phí: CQ12Q Q1 2Q22 Tìm các mức sản lượng Q Q để đạt 1, 2 lợi nhuận tối đa

7 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm Biết hàm cầu của 2 loại trên là:

Q   p  p Q   p p

Hàm chi phí: TC 160Q1240Q2150 với QQ1Q2 Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để lợi nhuận cực đại