Bài tập toán cao cấp phần giải tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ HUẾ KHOA HỆ THỐNG THÔNG TIN KINH TẾ BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP PHẦN GIẢI TÍCH Người soạn: Trần Thị Khánh Linh Bộ môn: Toán Kinh tế Huế, 2011 Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh 2 Chương 1: HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Cho hàm số 2 ( ) 2 , ( ) x f x g x x   Hãy tính         ( ) , ( ) , ( ) , ( ) f g x g f x f f x g g x ? 2. Cho hàm số 2 ( ) 1 x f x x   Hãy tìm     ( ) n lan f f f x  ? 3. Cho ( ) x x f x a a    , chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) f x y f x y f x f y     4. Tìm hàm số f(x) cho biết 4.1 2 ( 2)= x 5 6 f x x    4.2 2 2 1 1 ( )f x x x x    4.3 2 1 ( ) 1 , ( 0) f x x x x     5. Tìm miền xác định của hàm số: 5.1 1 ( 2) 1 x y x x     5.2 sin x y x   5.3 sin(lg ) 10 x y arc 5.4 lg(lg ) y x  §2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1. Tính các giới hạn: 1.1 2 2 1 lim ( , 0) m n x x x x m m n x x x n           1.2 3 0 tan - sin lim x x x x  1.3. 2 0 1 1 lim x x x x     1.4 3 3 0 5 lim 1 1 x x x x     1.5   2 lim 2 x x x x    1.6   2 lim 2 x x x x    1.7 sin 2 lim x x x   1.8 2 0 cos -cos lim x mx nx x  1.9 2 0 cos 1 lim x x x   1.10 0 1 1 lim ( 0, 0) n x ax a n x      2. a. Chứng minh     0 lim ( ) v x b x x u x a   với điều kiện là các giới hạn     0 lim , 0 , x x u x a a      0 lim x x v x b   b. Cho biết :   lim ( ) 1, lim ( ) , lim ( ) 1 ( ) x a x a x a u x v x u x v x L         .   ( ) / : lim ( ) v x L x a Ch m u x e   Áp dụng: Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh 3 2.1 2 2 cot 0 lim(1 ) x x x   2.2 1 sinx 0 1 tan lim 1 sinx x x          2.3 cot 1 lim(1 sin ) x x x     2.4 1 cot 1 1 lim(sin os ) x x x c x   2.5 2 2 2 1 lim 2 x x x x          2.6 4 2 2 1 lim x x x x         2.7   1 cot 2 lim sin x x x   2.8   2 1 0 lim cos x x x  2.9 cot 0 lim(1 tan ) x x x   2.10   2 tan 2 4 lim sin 2 x x x   3. Tìm giới hạn 3.1 lim(sin 1 sin ) x x x    3.2 2 1 2 arcsin(1 2 ) lim 4 1 x x x    3.3 2 0 1 osx lim x x c   3.4   lim ln( 1) ln x x x x    3.5 0 lim cot5 x x x  4. Xét sự liên tục của hàm số: 4.1 2 4 2 ( ) 2 4 2 x khi x f x x khi x           4.2 2 1 0 ( ) 0 0 x e khi x f x khi x          4.3 1 sin 0 ( ) 0 0 x khi x f x x khi x         4.4 2 2 1 ( ) 2 1 x khi x f x x khi x          4.5 x os 1 2 ( ) 1 1 c khi x f x x khi x           5. Tìm k để hàm số f(x) liên tục 5.1 3 sin 0 ( ) 0 x khi x f x x k khi x         liên tục trên R 5.2 0 ( ) 0 x e khi x f x x k khi x        liên tục trên R 5.3 4.3 0 ( ) 2 0 x khi x f x k x khi x        liên tục trên R Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh 4 5.4 1 sin 0 ( ) 0 x khi x f x x k khi x         liên tục tại 0 0 x  5.5 3 1 1 ( ) 1 1 x khi x f x x k khi x             liên tục tại 0 1 x   §3. GIÁ TRỊ HIỆN TẠI VÀ GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA TIỀN TỆ 1. Trong điều kiện lãi suất 0,9% một tháng, hãy cho biết: a, Giá trị tương lai của 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm. b, Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được sau 4 năm. 2. Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu 6000$ và sẽ mang lại 10.000$ sau 5 năm. Trong điều kiện lãi suất tiền gởi ngân hàng 9% một năm có nên đầu tư vào dự án đó hay không? Tính NPV của dự án đó? 3. Tính giá trị của khoản tiền 1000$ sau 3 năm nếu lãi suất được tính gộp liên tục với mức lãi suất 10% một năm. 4. Một công ti đề nghị bạn góp vốn 3500$ và đảm bảo sẽ trả cho bạn 750$ mỗi năm liên tiếp trong 7 năm. Bạn có chấp nhận góp vốn hay không nếu bạn còn có cơ hội đầu tư tiền vào chỗ khác với lãi suất 9% một năm? 5. Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu 40 triệu đồng và sẽ mang lại 10 triệu sau 1 năm, 20 triệu sau 2 năm, 30 triệu sau 3 năm. Dự án đó có lợi về mặt kinh tế hay không nếu lãi suất hiện hành là 10% một năm? 6. Một dự án đòi hỏi phải đầu tư ban đầu 7500$ và sau một năm sẽ mang lại cho bạn 2000$ mỗi năm, liên tiếp trong 5 năm. Hãy tính giá trị hiện tại ròng của dự án đó trong điều kiện lãi suất 12% một năm. Có nên thực hiện dự án đó hay không? 7. Một chủ đầu tư định mua là căn nhà trị giá 4 tỉ đồng và cho thuê trong vòng 10 năm với mức thuê là 60tr/ năm. Sau 10 năm trị giá căn nhà ước tính khoảng 2,5 tỉ đồng. Với mức lãi suất hiện nay là 9%, hỏi chủ đầu tư có nên mua nhà không? 8. Một công ty máy tính đang thực hiện việc bán sản phẩm theo các phương pháp trả góp như sau: - Trả đều hàng năm vào mỗi năm trong vòng 5 năm với giá trị một lần trả là 5tr - Trả ngay sau khi mua 3tr , các năm sau trả dều 1tr vào đầu mỗi năm liên tục trong 5 năm Lựa chọn phương thức bán hàng có lợi nhất cho công ty biết lãi suất tiên gửi NH ổn định 9%/năm. §4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1.1 53 2 2 1 ln x x y e x     1.2 2 4 (1 3 5 ) y x x    1.3 2 arcsin 1-x y  1.4 1 1 x y x    1.5 arctan arcsin y x x   1.6 ln lg ln log a y x x a x   Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh 5 1.7 3 3 y a bx   1.8 2 (1 )arctanx - x 2 x y   1.9 1 sinx ln 1 osx y c    1.10 2 ln(1 1 ) y x    1.11 2 sin x y e  1.12 3 ln sin( 1) y x       1.13 2 2 1 arcsin 1 x y x    1.14 4 x y a x  1.15 1 2 ln 1 2 x y x    1.16 sin arctan 1- cos x y x    1.17   ln ln y x  1.18 sinx y x  1.19 x (arctanx) y  1.20 2 x y x  2. Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau: 2.1 2 (1 )arctanx y x  2.2 2 x y e   2.3 tan y x  2.4 2 1 y x   2.5 arcsin 2 x y  2.6 1 arctan y x  2.7 x y xe   2.8 2 2 sin 2 y x x  2.9 arcsin y x x  2.10 x y xe  3. Tính đạo hàm cấp 3 của các hàm số sau: 3.1 x y xe   3.2 cos x y e x  3.3 2 sin y x x  3.4 3 2 x y x  3.5 2 sin 2 y x x  3.6   3 y f x  4. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số: 4.1   ln y ax b   4.2 1 1 y x   4.3 x e y x  4.4 3 2 x y  4.5   2 1 n y x   5. Tìm biểu thức vi phân của các hàm số sau: 5.1 1 ln 1 x y x    5.2 x arcsin a y  5.3 2 ( ) 1 f x x   5.4 2 y x  5.5   ln sin y x  5.6 1 arctan y x  5.7 3 sin 4 y x  5.8 3 5 x y x  5.9 sin x y e x  5.10 2 x y xe   Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh 6 §5. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 1. Định lí Fermat: Giả sử hàm số f(x) xác định trong khoảng X và nhận giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) tại một điểm c bên trong khoảng X ( c không trùng với các đầu mút của khoảng X). Khi đó, nếu tại điểm c hàm số f(x) có đạo hàm thì / f ( ) 0 c  . 2. Định lí Rolle: Giả sử hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện: a, Xác định và liên tục trên   , a b . b, Khả vi trong khoảng (a,b). c, f(a) = f(b). Khi đó tồn tại / ( , ) : ( ) 0 c a b saocho f c   . 3. Định lí Lagrange: Giả sử hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện: a, Xác định và liên tục trên   , . a b b, Khả vi trong khoảng (a,b). Khi đó tồn tại / ( ) ( ) ( , ) : ( ) f b f a c a b saocho f c b a     1. Áp dụng công thức Lagrange, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau: 1.1 sin sin a b a b    1.2 arctan - arctan a b a b   1.3 ln b a b b a b a a     2. Tính giới hạn vô định sau: 2.1 2 1 1 ln lim x x x x e e     2.2 0 1 osax lim xsinx x c   2.3 x lim ( 1) m x x a a   2.4 ax ax 0 lim ( 0) ln(1 ) x e e a x      2.5 1 ln(1 ) lim cot x x x     2.6 2arctan lim 1 ln(1 ) x x x     2.7 1 lim(1 )tan 2 x x x    2.8 0 1 lim cot x x x         2.9 2 lim( tan ) 2cos x x x x     2.10 1 1 lim ln ln x x x x         2.11 4 lim tan 2 .tan( ) 4 x x x     2.12 1 2 1 0 lim 1 x e x x x         2.13 1 lim ln .ln(1 ) x x x    2.14 os x 2 1 lim(1 ) c x x     Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh 7 2.15 2 1 0 sin lim x x x x        2.16 1 0 lim( ) x x x e x   2.17 1 lim( ) x x x e x   2.18 2 lim arctanx x x         2.19 2 0 1 lim sin x x e x   2.20 0 1 cos lim 1 cos x ax bx    3. Xác định khoảng tăng, giảm của hàm số: 3.1 2 3 ( 1) ( 2) y x x x   3.2 x e y x  3.3 2 3 2 6 7 3 y x x   3.4 0 ln lim lnsin x x x  3.5 2 ln y x x  4. Tìm cực trị của các hàm số sau: 4.1 sin - y x x  4.2 ln x y x  4.3 arctanx 2 x y   4.4 2 2 1 1 ( 1)arctan 2 8 2 x y x x x       4.5 2 2 2 1 1 1 ( )arcsin 1 2 2 4 12 x y x x x x       5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 5.1 2 ln , 1 y x x x e    5.2 1-x arctan , 0 1 1+x y x    5.3 2 arcsinx y x   5.4 2 2 y x x   5.5 2 1 x x y x    , 1 2 2 x   6. Xác định các khoảng lồi lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số: 6.1 3 2 2 x y x   6.2 3 2 y x   6.3 33 4 12 y x x   6.4   2 1 x y x e   6.5 arctanx y e 7. Khai triển Taylor các hàm sau: 7.1 sinx y  tại x=0 7.2 x y e  tại x=1 7.3 cos y x  tại x   7.4 1 y x  tại 0 x x  7.5   5 x y x e   tại x=0 7.6 1 3 4 y x   tại x=0 Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh 8 8. Tìm hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên, cho hàm tổng chi phí: 8.1 2 3 7 12 C Q Q    8.2 2 3 35 5 2 2 C Q Q Q     9. Tìm hàm doanh thu bình quân và hàm doanh thu cận biên cho biết hàm tổng doanh thu: 2 12 R Q Q   . 10. Tìm hàm lợi nhuận bình quân, hàm lợi nhuận cận biên, cho biết hàm tổng lợi nhuận: 2 13 78 Q Q     11. Tìm doanh thu cận biên, cho biết hàm cầu: 36 2 Q p   12. Tìm hàm chi phí cận biên cho biết hàm chi phí bình quân: 46 1,5 4AC Q Q    13. Cho biết hàm tổng chi phí: 3 2 5 60 TC Q Q Q    . Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí bình quân nhỏ nhất. 14. Cho biết hàm tổng chi phí TC và hàm tổng doanh thu TR, hãy xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa: 14.1 3 2 2 6 140 750; 1400 7,5 TC Q Q Q TR Q Q       2 3 7 12 C Q Q    14.2 3 2 2 5,5 150 675; 4350 13 TC Q Q Q TR Q Q       15. Cho hàm cầu: 20 5 Q p   , hãy tính hệ số co dãn ở các mức giá 2, 3 p p   16. Cho hàm tổng chi phí 2 5 5000 3 Q TC Q    . 16.1 Tìm hàm chi phí cận biên MC. 16.2 Tính chi phí trung bình AC tại Q=100. 16.3 Tính hệ số co dãn của TC theo Q tại Q= 17. 17. Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm tổng chi phí: 3 2 700 30 TC Q Q Q     Hàm doanh thu trung bình: 2000 AR Q   17.1 Hãy xác định Q sao cho hàm chi phí bình quân nhỏ nhất. 17.2 Xác định mức sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. 18. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược: 490 2 p Q   và hàm tổng chi phí: 2 1,5 TC Q  . Trong đó, Q là sản lượng. 18.1 Xác định hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên của doanh nghiệp. 18.2 Xác định sản lượng và giá bán để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa. 19. Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng với 1 656 2 d Q p   . Hàm tổng chi phí: 3 2 77 1000 100 TC Q Q Q    . Tìm Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất. 20. Cho biết hàm cầu về một loại hàng hóa của doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh loại hàng nào đó là: 300 d Q p   . Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là: 3 2 19 333 10 TC Q Q Q     . Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa. 21. Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng biết hàm cầu của loại hàng đó trên thị trường là: 2340 d Q p   . Hàm chi phí 2 1000 100 TC Q Q   . Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại. Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh 9 §6. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. Tính tích phân 1.1   1 , 0 x dx x x    1.2   2 1 1 , 0 x xdx x x          1.3     3 3 1 , 0 x dx x x x    1.4   2 2 3 x x dx   1.5 3.2 2.3 2 x x x dx   1.6 1 1 2 5 10 x x x dx     1.7 2 2 1 x dx x   1.8   2 2 3 , 1 1 x dx x x      1.9   2 cot , , xdx x k k Z     1.10 2 tan , , 2 xdx x k k Z             1.11 2 , 5 2 5 dx x x          1.12 2 2 3 dx x   1.13 2 2 3 , 3 2 3 xdx x x            1.14 32 3 1 , x x dx   1.15 3 1 ln dx x x   1.16   , 2 , 1 osx dx x k k Z c      1.17 2 sin2xdx , , cos 2 2 x k k Z x             1.18 2 os 1 tan dx c x x   1.19 sin cos x e xdx  1.20 2 2 ln x x e dx   2. Tính tích phân (Sử dụng phương pháp biến đổi biến) 2.1   3 , 2 1 1 dx x x      2.2   32 , 0 dx x x x    2.3 1 1 x x e dx e    2.4 1 , ( 0) x e dx x    2.5 2 1 dx x x   2.6       2 , 1,1 \ 0 1 dx x x x     2.7     2 16 , 4,4 x dx x    2.8     5 2 , 1,1 1 x dx x x     2.9     2 2 4 , 2,2 x x dx x    2.10 3 2 sin cos x xdx  3. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tính các tích phân: 3.1 2 os2 x c xdx  3.2 2 sin x xdx  3.3 2x xe dx   3.4 2 3x x e dx  Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh 10 3.5   2 , sin xdx x k x    3.6   3 osx , sin xc dx x k x    3.7 2 tan x xdx  3.8   2 ln , 0 xdx x   3.9   2 ln( 1) , 1 x x dx x     3.10   arcsin , 1 1 x dx x x     4. Tích phân các phân thức hữu tỉ, lượng giác : 4.1 2 2 1 1 , 2 1 2 x x dx x x            4.2 2 1 dx x x    4.3   2 2 1 , 2, 3 5 6 x dx x x x x       4.4 2 2 2 1 2 5 x x dx x x      4.5 3 4 2 2 1 x dx x x    4.6 sin 3 .cos x xdx  4.7 5 sin xdx  4.8 3 4 sin cos x xdx  4.9 3 sin , , cos 2 x dx x k k Z x             4.10 5 3cos dx x   §7. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1. Tính các tích phân xác định sau: 1.1 1 0 1 1 2 dx x   1.2 2 3 0 sin 2 cos x xdx   1.3   1 10 2 3 0 1 3 x x dx   1.4 1 0 1 x dx x   1.5     29 3 3 3 2 3 2 x dx x     1.6 4 3 2 0 9 x x dx   1.7 ln 2 0 1 x e dx   1.8 ln 5 0 1 3 x x x e e dx e    1.9 13 3 0 1 1 2 1 dx x   1.10 2 0 2cos 3 dx x    1.11 7 3 2 2 0 a x dx a x  1.12 5 0 3 1 xdx x   1.13 2 2 0 a x a x dx   1.14 2 2 2 0 a x a x dx   [...]... 4.1  0 2 f  s inx  dx   f  cosx  dx 0   4.2 2  f  s inx  dx  2  f  sinx  dx 0 0 5 Tính tích phân suy rộng  5.1   xe x dx 5.2 5.3 2 dx  x2 0 dx  x ln a 2 0 0  x x  a  0 5.4  xe 2x dx  11 Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh   dx  1  x ... y y 2.2 w  2.1 w  arctan x y x 3 1 2.3 w  2.4 w  e x sin y  x2  y 2  3 2.5 w  x ln  xy  3 Tính vi phân toàn phần của hàm số: 1.9 w  arctan 3.1 w  x 2 y  y 2 x  3  3.2 w  x 2  y 2  3 14 Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - 3.4 w  e x sin y 3.3 w  ln tan... 6  dx   x  y  3 dy  0 xy dx  xdy 1.16 y /   8 x  2 y  1 2 17 Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - §4 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Giải các phương trình sau: 1.1 xy /  2 y  2 x 4 1.2  2 x  1 y /  4 x  2 y 1.3 x  y /  y   e x 1.4 x 2 y /  xy  1  0 1.5... sao cho đoạn  x0 , x  ,  y0 , y  thuộc trong miền xác định D  R 2 của hàm số M  x, y  , N  x, y  1 Giải các phương trình sau: 1.1  x  y  dx   x  2 y  dy  0 1.2 x 2  y 2  2 x  dx  2 xydy  0 18 Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - 1.3  x3  3 xy 2  2.. .Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh   x  x sin 2 dx 0 1.16  x ln 1  x  dx 1.18 50.15 2  x cos2xdx 0 1 1.17 e 0 x e 1.20 dx dx  ln x dx...  p2 Hàm chi phí: TC  160Q1  240Q2  150 với Q  Q1  Q2 Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để lợi nhuận cực đại 15 Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - §5 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC 1 Tìm cực trị có điều kiện của hàm số theo phương pháp nhân tử Lagrange:... 240Q2  150 với Q  Q1  Q2 Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để lợi nhuận cực đại với với ngân sách cố định 41750$ 16 Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN §1 CÁC KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1  C1 x 5  C2 x là nghiệm của phương... dùng 9 Cho biết hàm cầu và hàm cung: Qd  113  p , Qs  p  1 Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng 12 Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - Chương 2 HÀM NHIỀU BIẾN SỐ §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2 1 Cho hàm số: f  x, y   x  y2 Hãy tính f  2, 3...  1 3.4 f  x, y   tan   , a  0, b   xy  1  xy  3.2 f  x, y   x  y cos y , a  0, b  0 2x  y 4 Tìm các giới hạn 13 Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh 4.1 lim x 0 y 0 sin xy 2 x y y 3  xy  4.3 lim  2  x  x  y 2  y   4.5 lim x0 y 0   4.2... 1 dy  0 Phương pháp thừa số tích phân: + Thừa số tích phân chỉ phụ thuộc vào biến x được xác định như sau: M N  y x   x  , (biểu thức chỉ phụ thuộc vào biến x) N   x  dx Lúc đó thừa số tích phân: p  x   e  + Thừa số tích phân chỉ phụ thuộc vào biến y được xác định: M N  y x (biểu thức chỉ phụ thuộc vào biến y)   x  M   y  dy Lúc đó thừa số tích phân theo y: p  y   e . TẾ BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP PHẦN GIẢI TÍCH Người soạn: Trần Thị Khánh Linh Bộ môn: Toán Kinh tế Huế, 2011 Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị. 3. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tính các tích phân: 3.1 2 os2 x c xdx  3.2 2 sin x xdx  3.3 2x xe dx   3.4 2 3x x e dx  Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh. sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại. Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh 9 §6. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. Tính tích phân 1.1   1 , 0 x dx x x    1.2   2 1 1