Chirp Thuật toán biến đổi z

Chirp – Thuật tốn biến đổi z Tóm tắt Một thuật tốn tính tốn đánh giá số lượng biến đổi z chuỗi mẫu N thảo luận Thuật toán đặt tên thuật toán chirp biến đổi z (CZT) Sử dụng thuật toán CZT cách hiệu đánh giá phép biến đổi z điểm M mặt phẳng z nằm vòng tròn đường viền xoắn ốc điểm tùy ý mặt phẳng z Khoảng cách góc điểm số tùy ý, M N số nguyên tùy ý Thuật toán dựa thực tế giá trị biến đổi z đường viền tròn xoắn ốc thể chập rời rạc Vì người ta sử dụng kỹ thuật chập tốc độ cao tiếng để đánh giá biến đổi hiệu Đối với M N lớn, thời gian tính tốn khoảng tỉ lệ thuận với (N + M) log 2(N + M) trái ngược với tỷ lệ N M để đánh giá trực tiếp biến đổi z điểm M I Lời giới thiệu Trong giao dịch với liệu lấy mẫu z-transform vận chuyển biến đổi Laplace tiếp tục đóng vai trị hệ thống thời gian Một ví dụ ứng dụng phân tích quang phổ Chúng ta thấy tính toán mẫu biến đổi z, tạo điều kiện thuận lợi nhiêu thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT) [l], [2], tiếp tục tạo điều kiện thuận lợi thuật toán chirp (CZT) biến đổi mô tả báo Biến đổi Z chuỗi số xn định nghĩa (1) chức phức tạp biến z Nói chung, x n X (z) phức tạp Người ta cho tổng phía bên phải (1) hội tụ cho số giá trị z Chúng ta tự giới hạn với trình tự z-biến đổi với N số lượng hữu hạn điểm khác Trong trường hợp này, khơng tính tổng qt, viết lại (1) : (2) trường hợp khoản (2) hội tụ cho tất z trừ z = Phương trình (1) (2) giống biểu thức xác định cho biến đổi Laplace tàu xung cách với biên độ xn Hãy để khoảng cách xung điện tand cho tàu xung Sau đó, biến đổi Laplace giống X (z) (3) Nếu đối phó với việc lấy mẫu dạng sóng mối quan hệ dạng sóng ban đầu tạo sóng xung lực hiểu rõ qua tượng cưa Do đó, phép biến đổi z theo trình tự mẫu dạng sóng thời gian hiểu đại diện biến đổi Laplace dạng sóng ban đầu Phép biến đổi Laplace chuỗi xung lặp lặp lại giá trị thực dải ngang mặt phẳng s với chiều rộng / T tất dải khác song song với Ở biểu đồ biến đổi z dải vào toàn mặt phẳng s , ngược lại, toàn mặt phẳng z tương ứng với dải ngang mặt phẳng z…-∞ < < ∞, ví dụ như, miền /T < / T s= +j Tương ứng thế, trục jw mặt phẳng-s, theo thường đánh đồng biến đổi Laplace với biến đổi Fourier, vòng tròn đơn vị mặt phẳng z, nguồn gốc mặt phẳng-s tương ứng với z = Phần bên vòng tròn đơn vị mặt phẳng z tương ứng với nửa trái mặt phẳng-s, bên tương ứng với mặt phẳng nửa bên phải Đường thẳng mặt phẳng s tương ứng với vòng trịn xoắn ốc mặt phẳng z Hình cho thấy tương ứng đường viền mặt phẳng-s với đường viền mặt phẳng z Để đánh giá biến đổi Laplace tàu xung dọc theo đường đồng mức tuyến tính để đánh giá z biến đổi dãy dọc theo đường viền xoắn ốc Hình 1: Sự tương ứng đường viền mặt phẳng z (A) với đường viền mặt phẳng s thông qua mối quan hệ Giá trị phép biến đổi z thường tính dọc theo đường tương ứng với trục jw, cụ thể vòng tròn đơn vị Điều tương đương với biến đổi Fourier rời rạc có nhiều ứng dụng bao gồm dự tốn quang phổ, lọc, nội suy, tương quan Các ứng dụng tính tốn biến đổi z vịng trịn đơn vị hơn, điều trình bày phần khác [6], cụ thể tăng cường cộng hưởng quang phổ hệ thống cho thứ có biết trước vị trí cực Chúng ta tính tốn (2) cho tập hữu hạn mẫu, thể tính tốn (2) số hữu hạn điểm, zk (4) Các trường hợp đặc biệt mà nhận ý tập hợp điểm cách xung quanh vịng trịn đơn vị, (5) (6) Phương trình (6) gọi biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Độc giả dễ dàng chứng minh rằng, công thức (5), giá trị k đơn lặp lại giá trị N z k, nguyên đồng Nth Biên đổi Fourier rời rạc thừa nhận tầm quan trọng đáng kể, phần tính chất tốt đẹp nó, chủ yếu từ năm 1965, biết đến rộng rãi tính tốn (6) đạt đến được, khơng phải phép nhân phức tạp N bổ sung kêu gọi ứng dụng trực tiếp (6), trật tự hoạt động log2Ar N N sức mạnh hai, N ^ hoạt động số nguyên yếu tố N Một thuật tốn hồn thành gọi FFT Phần lớn tầm quan trọng FFT DFT sử dụng bước đệm để tính tốn sản phẩm có độ trễ nếp cuộn, tự tương quan nếp cuộn chéo nhanh so với trước [3], [4] Các DFT, nhiên, số hạn chế mà loại bỏ cách sử dụng thuật tốn CZT mà chúng tơi mơ tả Chúng tơi điều tra tính tốn biến đổi z- đường viền tổng quát hơn, có dạng z k = AW -k , k = 0, 1, • • •, M - (7a) M số nguyên tùy ý A W số phức tạp dạng: (7b) (7c) (xem hình 2.) trường hợp A = 1, M-N, W = exp (-j2 / N) tương ứng với DFT Đường viền chung mặt phẳng z bắt đầu với điểm z = A và, tùy thuộc vào giá trị W, xoắn ốc liên quan đến nguồn gốc xuất Nếu W o = , đường viền vòng cung vòng tròn Khoảng cách góc mẫu 27r £ o - Đường viền mặt phẳng s tương đương bắt đầu với điểm (8) điểm chung đường viền mặt phẳng s (9) Từ A W số phức tạp, thấy điểm sk nằm đoạn đường tùy ý thẳng chiều dài tùy ý mật độ lấy mẫu Rõ ràng đường viền (7a) đường viền chung coi tổng quát mà DFT áp dụng Trong hình 2, ví dụ đường viền gen-Eral thể hai mặt phẳng-z mặt phẳng s Hình 2: Minh họa tham số độc lập thuật toán C2T (A): cách đánh giá phép biến đổi z theo đường xoắn ốc điểm bắt đầu z=A (B) đường thăng tương ứng với đường xoắn ốc tham số độc lập mặt phẳng s Để tính toán biến đổi z dọc theo đường đồng mức tổng quát để yêu cầu phép nhân NM bổ sung đối xứng đặc biệt tx ^ ijlirk / N) khai thác nguồn gốc FFT vắng mặt trường hợp tổng quát Tuy nhiên, thấy cách sử dụng W chuỗi "2/2 vai trị khác nhau, áp dụng FFT để tính tốn biến đổi z dọc theo đường viền (7a) Kể từ cho W 0= 1, Wn trình tự, sinusoid phức tạp tần số tuyến tính ngày tăng Dạng sóng tương tự sử dụng số hệ thống radar có tên “chrip”, gọi thuật tốn mà mô tả chrip – phép biến đổi z (C2T) Vì C2T cho phép thực phép biến đổi z cách tổng quát FFT mà C2T linh hoạt FFT, cho tương đối chậm FFT Thêm vào C2T có them số đặc điểm tự khác sau: Số lượng thời gian trích mẫu khơng thiết phải với số mẫu phép biến đổi z M hay N khơng cần phải số tự nhiên Góc không gian zk Đường bao quanh khơng phải đường trịn xoắn vào hay xoắn tương ứng với trạng thái gốc Ngoài ra, điểm z0 giống trường hợp với FFT xn nhân them với z0-n trước biến đổi II Đạo hàm phép biến đổi CZT Cùng với đường bao quanh (7a),(4) trở thành (10) Trong đó, lần xuất đầu tiên, dương yêu cầu NM phép nhân phép cộng Hình 3: minh họa bước liên quan tính tốn giá trị phép biến đổi z sử dụng thuật tóan CZT quan sát Nhưng, sử dụng phép cách khéo léo, Blustein[5] (11) Cho thành phần W (10) Điều tạo biểu thức rõ ràng cồng kềnh nhiều (12) Nhưng, thực tế (12) coi trình bao gồm bước Thành lập chuỗi yn cách nhân thêm với xn theo công thức sau: (13) Thu gọn yn lại cách định nghĩa thêm dãy vn: (14) Ta thu dãy gk: (15) 3.Nhân gk với để thu Xk (16) Quá trình ba bước minh họa hình 3, bước bước tương ứng yêu cầu N,M phép nhân cịn bước phép lại tính kỹ thuật tốc độ nhanh thực Stockham [3], dựa cách sử dụng FFT Bước phần nỗ lực điện tốn yêu cầu thời gian gần tỷ lệ với (N+M)log(N+M) Bluestin sử dụng phép (11) để chuyển DFT thành phép cuộng hình Các hệ tuyến tính phép cuộn tương đương đươc gọi lọc chrip, đơi sử dụng để phân tích phổ Bluestin[5] với N số phương, lọc chrip tổng hợp cách đệ quy với nhân việc tính tốn DFT có thê tỷ lệ với N3/2 Sự linh hoạt tốc độ thuật toán CZT lien quan tới linh hoạt tốc độ phương pháp tích chập tốc độ cao FFT Bạn nhớ lại tích DFT chuỗi DFT đường xoắn ốc dãy tích chập tính tích DFT , tích mảng số phức phép biến đổi Fourier ngược miền gián đoạn (IDFT) , tính FFT Tích chập thơng thường tính đường xoắn ốc cách thêm vào điểm cuối dãy, câu trả lời số xác cho tích chập thơng thường thu từ đường xoắn ốc Chúng ta tóm lại chi tiêt thuật tốn CZT giả thiết tồn chương trình FFT ( hay máy có mục đích đặc biệt) ln sẵn sàng để tính DFT IDFT Bắt đầu với dạng song với N mẫu xn tìm M mẫu Xk A W chọn trước Chọn L số tự nhiên nhỏ lớn N+M-1 tương thích với chương trình FFT Với hầu hết người sử dụng có nghĩa L lũy thừa Chú ý rát nhiều chương trình FFT làm việc với L bất kỳ, chúng thực cho L Trong số nhỏ , L nên hợp tử cao Thành lập L điểm thuộc dãy yn từ dãy xn theo cơng thức (17) Tính L điểm DFT yn FFT Gọi chúng Yr với r=0,1,…,L-1 Xác định L điểm DFT dãy theo quan hệ (18) Tất nhiên, L = M+N-1 miền khơng tồn Nếu miền tồn khả rõ rang tăng lên M, số điểm mong muốn phép biến đổi z mà tính tốn, cho tơi miền khơng tồn Chú ý chia làm hai nửa với n=M-1 n=L-N+1 nửa tiến đến vùng giáp cách khác dãy kết lát chuỗi vơ khơng giới hạn Nó biểu diễn hình Chuỗi định nghĩa theo cách để buộc đường xoắn ốc cho ta kết số mong muốn tích chập thong thường Tính DFT gọi Vr, r=0,1,…,L-1 Nhân Vr với Yr tương ứng điểm với nhau, cho ta Gr Gr=VrYr, r=0,1,…,L-1 Tính L điểm IDFT gk Gr Nhân gk với cho ta kết Xk Với gk mà k M bị loại Hình mơ tả dạng song điển hình (độ lớn biểu diễn, bỏ qua góc pha) bước q trình Hình 4: Biểu đồ mơ tả biến đổi chuỗi liên quan thuật toán CZT (A) chuỗi đầu vào x k với N giá trị (B) chuỗi trọng lượng đầu vào yn (C) DFT yn (D) giá trị vủa chuỗi vô hạn W (E) chuỗi tạo xấp xỉ từ mảng W (F) DFT (G) tích Gr=Yr.Vr (H) IDFT Gr (I) giá trị mong muốn M phép biến đổi Z III Điểm sau tính tốn Hoạt động đếm cân nhắc thời gian Một số hoạt động đếm thực hiện, khoảng từ tám bước trình bày Chúng tơi cung cấp bước tất bước, dĩ nhiên, nhiều giá trị biến thể xem xét 1) Giả định bước 1, chọn L, hoạt động không đáng kể 2) Hình thành yn từ xn với yêu cầu N phép nhân phức tạp, không kể giá trị số A ~ nWn/2 Các số prestored, tính tốn cần thiết, tạo đệ quy cần thiết Các tính tốn đệ quy u cầu hai phép nhân phức tạp cho điểm 3) L điểm DFT đòi hỏi thời gian / cFFT L log2 cFFTL cho L cơng suất hai, chương trình FFT đơn giản Phức tạp (nhưng nhanh hơn) chương trình có cơng thức tính tốn với thời gian dài 4), 5) tính cho M N điểm, tùy theo giá trị lớn Đối xứng W-^12 cho phép giá trị khác mà khơng cần tính tốn Thêm nữa, tính đệ quy FFT thời gian tương tự bước Nếu đường đồng mức sử dụng cho nhiều liệu, Vr cần tính lần lưu lại 6) Bước đòi hỏi phép nhân L phức tạp 7) Đây phép biến đổi FFT khác yêu cầu thời gian tương tự bước 8) Bước đòi hỏi phép nhân M phức tạp Vì số lượng mẫu xn Xk lớn, thời gian tính tốn cho CZT tăng dần tới giá trị tiệm cận theo tỉ lệ thuận từ L tới log2 L Đây giống loại tiệm cận phụ thuộc FFT, tỷ lệ khơng đổi lớn cho CZT hai ba FFT yêu cầu thay một, L lớn so với N M Tuy nhiên, CZT nhanh so với việc tính tốn trực tiếp cơng thức (10) giá trị tương đối khiêm tốn M N, thứ tự 50 Giảm lưu trữ CZT đưa vào dạng hữu ích cho tính tốn cách xác định lại việc thay cơng thức (11) để đọc Phương trình (12) viết lại sau Các dạng phương trình tương tự (12) liệu đầu vào x n trước xử lí chuỗi phức tạp () với chuỗi thứ hai sau xử lí chuỗi thứ ba để tính tốn đầu chuỗi Xk Tuy nhiên, có khác biệt bước chi tiết để thực CZT Dữ liệu đầu vào Xn coi chuyển mẫu bên trái N0, ví dụ như, xử lí , thay W0 Khu vực mà phải hình thành, để có kết xác từ q trình khởi tạo lại, Bằng cách lựa chọn N0 = (N-M) / 2, nhìn thấy giới hạn mà đánh giá đối xứng, nghĩa là, chức đối xứng hai phần thực phần ảo ( Do mà biến đổi đối xứng hai phần thực phần ảo nó.) Có thể hiển thị cách sử dụng giá trị đặc biệt N0 , (L / +1) điểm cần phải tính tốn lưu trữ điểm phức tạp (L / +1) chuyển đổi sử dụng L / điểm biến đổi.2 Do tổng lưu trữ cần thiết cho biến đổi L+2 điểm Chỉ sửa đổi khác để thủ tục chi tiết để đánh giá CZT trình bày mục II viết là: 1) sau L điểm IDFT bước 7, liệu mảng g k phải luân chuyển bên trái N0 điểm, 2) yếu tố trọng số cho gk là Yếu tố bổ sung đại diện cho thay đổi liệu N0 mẫu bên phải, phần bù chuyển đổi ban đầu giữ vị trí liệu bất biến giá trị N sử dụng Một ước tính lưu trữ cần thiết để thực CZT thực Giả sử tồn q trình diễn lõi, lưu trữ yêu cầu cho VT có L +2 điểm; cho yn, có 2L điểm, có lẽ số lượng khác mà chúng tơi muốn để tiết kiệm, ví dụ, đầu vào, giá trị Nguyên tắc bổ sung Kể từ CZT cho phép M N, Có thể lí phát sinh M »N N >> M Trong trường hợp này, số lượng nhỏ đủ nhỏ, phương pháp (10) gọi phương pháp trực tiếp Tuy nhiên, số lượng số nhỏ nhiều thích hợp để sử dụng phương pháp phân đoạn mô tả Stockham [3] Hoặc lap-lưu lại lap-thêm vào phương pháp sử dụng Một phần sử dụng phát sinh vấn đề lớn để xử lý nhớ Chúng tơi khơng thực gặp phải vấn đề khơng lập trình CZT với khả dự phòng cho phận Kể từ đường viền cho CZT đoạn thẳng mặt phẳng, rõ ràng việc lặp lặp lại áp dụng CZT tính tốn biến đổi Z dọc theo đường viền piecewise xoắn ốc mặt phẳng z piecewise tuyến tính mặt phẳng Hãy cho thời gian ngắn xem xét thuật toán CZT cho tất các trường hợp zk vịng trịn đơn vị Điều có nghĩa biến đổi Z giống biến đổi Fourier Không giống DFT, mà theo định nghĩa cho điểm N biến đổi cho N điểm Kỹ thuật để chuyển đổi hai chuỗi thực L điểm đối xứng cách sử dụng L/2 điểm FFT chứng minh J Cooley Hội thảo FFT, Arden House, tháng 10 năm 1968 Một tóm tắt kỹ thuật trình bày liệu Phụ lục, CZT không yêu cầu M = N Hơn nữa, ZK cần khơng kéo dài tồn vịng trịn đơn vị cách dọc theo vịng cung Hãy để chúng tơi giả định, nhiên, thực quan tâm đến máy tính N điểm DFT N điểm liệu CZT cho phép lựa chọn giá trị N Một ứng dụng quan trọng CZT tính tốn DFT N khơng phải giá trị hai chương trình, thiết bị chuyên dùng cho máy tính DFT FFT giới hạn trường hợp N hai giá trị Ngồi cịn có lý CZT mở rộng trường hợp biến đổi hai nhiều kích thước với lí tương tự DFT hai chiều trở thành chập hai chiều tính tốn kỹ thuật FFT Chúng cảnh báo người đọc cần lưu ý FFT bình thường, điểm khởi đầu đường viền tùy ý; đơn nhân xn dạng sóng A n ~ trước sử dụng FFT, điểm đường viền có hiệu chuyển từ z = tới z = A Tuy nhiên, đường viền nhiều hạn chế để vòng tròn đồng tâm với gốc Các góc khoảng cách zk cho FFT kiểm soát số phạm vi cách phụ thêm điểm khơng cuối xn trước tính tốn DFT (giảm khoảng cách góc zk) cách chọn giá trị P bổ nhiệm xn thêm với tất xn với n giá trị tương ứng P, nghĩa là, gói dạng sóng xung quanh hình trụ thêm mảnh với mà chồng lên (để tăng khoảng cách góc) IV Hạn chế Một hạn chế việc sử dụng thuật toán CZT để đánh giá biến đổi Z vòng tròn đơn vị bắt nguồn từ thực tế chúng tơi u cầu để tính toán W 0± cho n lớn Nếu W0 khác nhiều từ 1,0 trở nên lớn nhỏ n lớn (Chúng yêu cầu n lớn M N lớn hơn, kể từ cần phải đánh giá phạm vi N