Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - số 13

Sở GD & ĐT Thanh hoá ************* Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn thi ; toán Thời gian : 150 phút Câu 1: Thay dấu * bởi các chữ số sao cho 5 4***** là một số nguyên (Bài 76 trang 22 sách 255 bài toán đại số chọn lọc của Vũ Dơng Thuỵ) Câu 2: Cho a , b , c , x , y , z thoả mãn hệ phơng trình =++ == 1 111 333 zyx czbyax Chứng minh rằng : 333 3 222 cbaczbyax ++=++ (Đề 33 Ôn thi vào 10 Vũ Đinh Hoàng ) Câu 3: Chứng minh rằng :Điều kiện cần và đủ để phơng trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là: (k+1) 2 ac = kb 2 (Đề 2 Giả toán đại số Nguyễn Cam ) Câu 4: a) Cho hai dãy số cùng chiều : a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Chứng minh rằng : (a 1 + a 2 +a 3 )(b 1 + b 2 + b 3 ) 3(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 1998 ) b) Chứng minh rằng : với cba 0 cba cba cba ++ ++ ++ 3 200620062006 200520052005 (sáng tác ) Câu 5: ở miền trong hình vuông ABCD lấy điểm M sao cho 0 15== MABMBA Chứng minh rằng : Tam gác MCD đều (sáng tác) đáp án và thang điểm Câu ý Nội dung điểm I đặt x = 5 4***** thì x 5 = *****4 x tận cùng bởi 4 Lại có 10 < x < 20 vì 10 5 =100000<*****4 <32.100000=20 5 Do đó x=14 và x 5 = 14 5 =537824 3 0,5 1 1 0,5 II đặt t=ax 3 =by 3 =cz 3 (*) 5 0,5 1 ax 2 = x t ; by 2 = y t ; cz 2 = z t (Do x, y, z đều khác 0) ax 2 + by 2 + cz 2 = t zyx t = ++ 111 3 3 222 cz by ax t =++ (1) Từ (*) suy ra x t aa x t 3 3 3 == y t bb y t 3 3 3 == z t cc z t 3 3 3 == 3 a + 3 b + 3 c = 33 111 t zyx t = ++ (2) Từ (1) và (2) 3 222 cz by ax ++ = 3 a + 3 b + 3 c 0,75 1 0,75 0,75 1 0,25 III Giả sử phơng trình ax 2 +bx +c = 0 có nghiệm này bằng klần nghiệm kia thì; (x 1 - kx 2 )(x 2 - kx 1 ) = 0 (1+k 2 )x 1 x 2 - k(x 1 2 + x 2 2 )=0 (1+k 2 )x 1 x 2 -k[(x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 ] = 0 (1+k 2 ) a c - k 0 2 2 2 = a c a b (vì x 1 +x 2 = a b ; x 1 x 2 = a c ) (1+k 2 )ac - k(b 2 - 2ac)=0 (2k+1+k 2 )ac = kb 2 (k+1) 2 ac = kb 2 Ngợc lại ; Nếu có (k+1) 2 ac = kb 2 Khi đó (k+1) 2 = (b 2 - 4ac) (k+1) 2 = b 2 (k+1) 2 - 4ac(k+1) 2 = b 2 (k+1) 2 - 4kb 2 = b 2 [(k+1) 2 - 4k] = b 2 (k-1) 2 0 0 phơng trình có hai nghiệm Vậy :Điều kiện cần và đủ để phơng trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là: (k+1) 2 ac = kb 2 4 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 IV a Do a 1 a 2 a 3 a 1 - a 2 0 a 1 - a 3 0 a 2 - a 3 0 và b 1 b 2 b 3 b 1 - b 2 0 b 1 - b 3 0 b 2 - b 3 0 (a 1 - a 2 )(b 1 - b 2 ) + (a 1 - a 3 )(b 1 - b 3 ) + (a 2 - a 3 )(b 2 - b 3 ) 0 2(a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 )- a 1 b 2 - a 2 b 1 - a 1 b 3 - a 3 b 1 - a 2 b 3 - a 3 b 2 0 a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 +a 1 b 2 +a 2 b 1 +a 1 b 3 +a 3 b 1 + a 2 b 3 +a 3 b 2 3(a 1 b 1 +a 2 b 2 + a 3 b 3 ) a 1 (b 1 + b 2 +b 3 )+ a 2 (b 1 + b 2 +b 3 )+ a 3 (b 1 + b 2 +b 3 ) 3(a 1 b 1 +a 2 b 2 + a 3 b 3 ) ( a 1 + a 2 + a 3 )( b 1 + b 2 +b 3 ) 3(a 1 b 1 +a 2 b 2 + a 3 b 3 ) 4 0,5 0,5 2 1 b §Æt a 1 = a 2005 ; a 2 = b 2005 ; a 3 = c 2005 b 1 = cba a ++ ; b 2 = cba b ++ ; b 3 = cba c ++ Do 0 ≤ a ≤ b ≤ c Nªn ta cã ; a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 vµ b 1 ≤ b 2 ≤ b 3 ¸p dông c©u a ta cã; (a 2005 +b 2005 +c 2005 )       ++ + ++ + ++ cba c cba b cba a ≤ 3         ++ ++ cba cba 200620062006 ⇔ cba cba cba ++ ≤ ++ ++ 3 200620062006 200520052005 0,5 0,5 1 V A B D C X¸c ®Þnh ®iÓm I trong tam gi¸c MDA sao cho tam gi¸c MIA lµ tam gi¸c ®Òu Ta cã ∠ IAD=90 0 -15 0 -60 0 =15 0 = ∠ MAB AB=AD AM=AI ⇒ ∆ AID= ∆ AMB ⇒ ∠ AID = ∠ AMB=150 0 ⇒ ∠ MID=360 0 -150 0 -60 0 =150 0 XÐt ∆ IDM vµ ∆ IDA cã ID chung ∠ MID= ∠ AID=150 0 IA=IM (do ∆ AIM lµ ®Òu) ⇒ ∆ IDM= ∆ IDA ⇒ AD=DM =DC (1) MÆt kh¸c ∆ DAM= ∆ CBM (v× BC=AD ;MB=MA; ∠ CBM= ∠ DAM) ⇒ MC=MD (2) tõ (1) vµ (2) ta cã ∆ DMC ®Òu ∑ 4 1 1 1 1 3 M I . hoá ************* Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn thi ; toán Thời gian : 150 phút Câu 1: Thay dấu * bởi các chữ số sao cho 5 4***** là một số nguyên (Bài 76 trang 22 sách 255 bài toán đại số chọn. a 1 - a 2 0 a 1 - a 3 0 a 2 - a 3 0 và b 1 b 2 b 3 b 1 - b 2 0 b 1 - b 3 0 b 2 - b 3 0 (a 1 - a 2 )(b 1 - b 2 ) + (a 1 - a 3 )(b 1 - b 3 ). + (a 1 - a 3 )(b 1 - b 3 ) + (a 2 - a 3 )(b 2 - b 3 ) 0 2(a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 )- a 1 b 2 - a 2 b 1 - a 1 b 3 - a 3 b 1 - a 2 b 3 - a 3 b 2 0 a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 +a 1 b 2 +a 2 b 1 +a 1 b 3 +a 3 b 1 +