/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/otb1438051737- 1768428-14380517378503/otb1438051737.doc SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN - THCS Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu1( 3,0 điểm) a) Giải phương trình trên tập nguyên 0128y4x4xy5yx 22 =−−+−+ b)Cho 214x3xxP(x) 23 −+−= . Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11 Câu 2( 4,0 điểm) a) Tính gía trị biểu thức 25a4aa 23aa P 23 3 −+− +− = , biết 33 302455302455a −++= b) Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn 13zz1,3yy1;3xx 333 −=−=−= Chứng minh rằng 6zyx 222 =++ Câu 3( 4,0 điểm) a) Giải phương trình 13x 4x 1x 13x += − +− b) Giải hệ phương trình: =−++− =−++−+ 03y2xyx 048yx4xy2y3x 22 22 Câu 4( 7,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC không đi qua tâm .Gọi A là chính giữa cung nhỏ BC.Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng α không đổi sao cho E và F khác phía với điểm A qua BC ;AE và AF cắt BC lần lượt tại M và N .Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED là hình bình hành . a)Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp . b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF .Chứng minh rằng khi góc nội tiếp EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định. c) Khi 0 60 = α và BC=R ,tính theo R độ dài nhỏ nhất của đoạn OI. Câu 5( 2,0 điểm) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3 Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 x y z y x z z y x xyz yz xz yx + + + + + + + + ≥ − − − Hêt— Họ và tên thí sinh số báo danh Thí sinh không sử dụng tài liệu,Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm HƯỚNG DẪNCâu1( 3,0 điểm) a) Giải phương trình trên tập nguyên HD: 0(*12)8y5y()1(40128y4x4xy5yx 2222 =−−−−−⇔=−−+−+ yxx ) để PT(*) có nghiệm nguyên x thì / ∆ chính phương 1616 2/ ≤−=∆ y từ đó tìm được ( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) } ;4;6;4;10;0;6;0;2; −−−∈ yx b)Cho 214x3xxP(x) 23 −+−= . Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11 HD 2212)x-2)(x-(x214x3xxP(x) 223 ++=−+−= để P(x) chia hết 11 thì 1112)x-2)(x-(x 2 + mà 1111)-x(x12)x-(x 2 ++=+ ta có 1)1( +− xx không chia hết cho 11 suy ra 12)x-(x 2 + không chia hết cho 11 nên x-2 chia hết co 11 mà x<100 ; Nx ∈ suy ra { } 90;79;68;57;47;35;22;13;2 ∈ x Câu 2( 4,0 điểm) a)Tính gía trị biểu thức 25a4aa 23aa P 23 3 −+− +− = , biết 33 302455302455a −++= HD tính a=5 thay vào 3 7 = P b)Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn 13zz1,3yy1;3xx 333 −=−=−= Chứng minh rằng 6zyx 222 =++ HD công cả ba đảng thức ta có hệ =++ =++ =++ ⇔ −=− −=− −=− ⇔ −= −= −= )3(3 )2(3 )1(3 )(3 )(3 )(3 13 13 13 22 22 22 33 33 33 3 3 3 zxzx zzyy yxyx xzxz zyzy yxyx zz yy xx trừ (1) cho (2) ta được 00))(( =++⇔=++− zyxzyxzx cộng (1) ;(2) ;(3) ta có 9)(2 222 =+++++ xzyzxyzyx (*) mà tù x+y+z=0 suy ra 2 222 zyx xzyzxy ++ −=++ thay vaò (*) ta có đpcm Câu 3( 4,0 điểm) a) Giải phương trình 13x 4x 1x 13x += − +− HD đkxđ 3 1− ≥x ( ) ++=− ++= ⇔++=⇔+= − +− 1324 1324 1321613x 4x 1x 13x 2 2 xxx xxx xxx giải ra pt có 2 nghiệm x=1; 72 1533 − =x b) Giải hệ phương trình: =−++− =−++−+ 03y2xyx 048yx4xy2y3x 22 22 HD =−++− =−++−+ ⇔ =−++− =−++−+ 0(2)6y24xy22x 0(1)48yx4xy2y3x 03y2xyx 048yx4xy2y3x 22 22 22 22 lấy pt(1) trù pt(2) ta được ( ) += += ⇔ =−−−−⇔=+−−− 22 12 0)22)(12(02)2(32 2 yx yx yxyxyxyx thay vào phương trình 032 22 =−++− yxyx hệ có 4 nghiệm ( ) ( ) ( ) −−−− +−+− −−∈ 6 10913 ; 3 1097 ; 6 10913 ; 3 1097 ;35;0;1; yx Câu 4( 7,0 điểm) a) ∠ ENB= ∠ EFM suy ra ∠ ENM+ ∠ EFM=180 0 b)gọi giao (O) và (I) tiếp tam giác MDF tại P ta có ∠ DPF= ∠ DMF = ∠ EAF= α mặt khác ∠ EAF= ∠ EPF nên ∠ EPF=DPF nên E;D;P thẳng hàng suy ra EP//BC mà EPAOBCAO ⊥⇒⊥ gọi AO cắt EP tại H ;OI cắt PF tại K thì K là trung điểm FP và OI vuông góc FP nên tứ giác OHKP nội tiếp suy ra ∠ HOI= ∠ HPF= α ( không đổi) suy ra I thuộc tia Ox tạo với tia AO một góc bằng α c) khi BC=R ; ∠ EAF==60 0 thì tam giác OBC đều suy ra IO đi qua B ta chứng minh được OI min khi F trùng P khi đó EF//BC tam giác AMN; MDF đều khi đó IM//AO áp dụng Talet tam giác BIM có AO//IM tính được OI Câu 5. GVHD KIỀU ĐÌNH PHÚ -THCS TT SÔNG THAO Áp dụng bđt cô si cho 4 số trên tử thức của các phân thức VT BĐT ta được VT BĐT ≥ 4 4 4 (*) 4 4 4 x yz z xy y zx yz zx xy + + − − − -Ta đi cm 4 4 4 4 4 4 4 x yz z xy y zx xyz yz zx xy + + ≥ − − − - Do x; y; z dương nên chia 2 vế BĐT trên cho 4xyz, và đặt : ; ;xy a yz b zx c = = = với a,b,c dương ta được BĐT : 2 2 2 1 1 1 1 (4 ) (4 ) (4 )a a b b c c + + ≥ − − − ( Đến đây bạn tự cm BĐT này đứng nhé! - BĐT này trên báo THTT đấy! ( Bạn Phải cm BĐT 3 1 1 4 4 9 9 a a a − ≥ + − với 0< a= 3xy ≤ . Hướng dẫn ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 4 4 4 4 4 4 9 ( ) 12 ( ) 12 ( ) 9 3( ) 12 ( ) 12 ( ) 12 36 12 ( ) 12 3 x y z P x y z yz xz yx yz xz yx x y z x y z P xy yz xz xy yz xz xy yz xz xy yz xz P xy yz xz xy yz xz xy yz xz x y z P xy yz xz x + + ÷ = + + + + + − − − ÷ ÷ − − − ÷ + + + + ≥ + − + + − + + + + + + ≥ + − + + − + + + + ≥ ≥ − + + − 2 2 3 y z Đánh giá thứ 2 ở dòng thứ 4 sai rồi ! Đặt 3 1 3 x y z xyz t + + = ≤ = Xét hiệu 2 3 2 2 2 36 4 12 ( 1)( 3) 0 12 3 t t t t t t t − ⇔ − + − ≥ − Bất đẳng thức được chứng minh dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1 GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2 013 - 2014 MÔN: TOÁN - THCS Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu1( 3,0 điểm) a) Giải. nghiệm ( ) ( ) ( ) −−−− +−+− −−∈ 6 1 091 3 ; 3 1 097 ; 6 1 091 3 ; 3 1 097 ;35;0;1; yx Câu 4( 7,0 điểm) a) ∠ ENB= ∠ EFM suy ra ∠ ENM+ ∠ EFM=180 0 b)gọi. phương trình 13x 4x 1x 13x += − +− HD đkxđ 3 1− ≥x ( ) ++=− ++= ⇔++=⇔+= − +− 132 4 132 4 132 1613x 4x 1x 13x 2 2 xxx xxx xxx giải ra pt có 2 nghiệm x=1; 72 1533 − =x b) Giải hệ phương trình: