Đề thi học sinh giỏi Toán 9 số 3

UBND HUYỆN DUYÊN HẢI PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) I/ MA TRẬN ĐỀ Chủ đề chính Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Thấp Cao Tổng Hàm số y = ax+b ( 0)a ≠ Biết xác định dạng của hàm số Vẽ đúng Đồ thị Và tìm toạ độ các giao điểm Số câu Số điểm 3 3 3 4 6 7 Hai đường thẳng song song và hai đường thẳng cắt nhau Biết tìm điều kiện đê hai đường thẳng song song và hai đường thẳng cắt nhau Số câu Số điểm 2 2 2 2 Hệ số góc của đường thẳng Tính được các góc tạo bởi 2 đường thẳng Số câu Số điểm 1 1 1 1 Tổng Số câu Số điểm 3 3 2 2 4 5 9 10 II/ ĐỀ Bài 1: (3 điểm) Thực hiện tính: 24 422 2 2 ++− −+ xx xx với 362 +=x Bài 2: (5 điểm) Giải các phương trình: a. 2455 22 −=++−+ xxxx b. 322323 22 −++−=+++− xxxxxx Bài 3: (4 điểm) a. Chứng minh phương trình (n+1)x 2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên. b. Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình x 2 + 2009x + 1 = 0 x 3 , x 4 là nghiệm của phương trình x 2 + 2010x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức: (x 1 +x 3 )(x 2 + x 3 )(x 1 -x 4 )(x 2 -x 4 ) Bài 4: ( 6 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M. Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. I là trung điểm của DE. Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K. a. Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn. b. Chứng minh ∠ ICB = ∠ IDK c. Chứng minh H là trung điểm của DK. Bài 5: ( 2 điểm) Cho A(n) = n 2 (n 4 - 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n. III/ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (3 điểm) Thực hiện tính: 24 422 2 2 ++− −+ xx xx với 362 +=x 2 1 )22(2 )22( 2)2)(2( )2)(2(222 2 + = ++−+ −++ = ++−+ −++−++ = xxxx xx xxx xxxx 1,5 Thay 362 +=x vào được: 23 23 1 )23( 1 3262 1 2 −= + = + = ++ 1,5 Bài 2: (5 điểm) Giải các phương trình: a. 2455 22 −=++−+ xxxx 24545 22 =++−++ xxxx . Đặt 45 2 ++= xxy (y ≥ 0) được: y 2 - y - 2 = 0 1 Giải phương trình được: y 1 = -1 (loại); y 2 = 2. 0,5 Với y = 2 giải 245 2 =++ xx được x 1 = 0; x 2 = -5. 0,5 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,5 Ghi chú: Có thể đặt y = x 2 + 5x. Lúc này cần đặt điều kiện khi bình phương hai vế. b. 322323 22 −++−=+++− xxxxxx )3)(1(23)2)(1( +−+−=++−− xxxxxx 0,5 032)32(1 =++−−+−−− xxxxx 0)11)(32( =−−+−− xxx 1 032 =+−− xx vô nghiệm; 011 =−−x được x = 2. 0,5 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm. 0,5 Bài 3: (4 điểm) a.Chứng minh Phương trình (n+1)x 2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên. n = -1: Phương trình có nghiệm. Với n ≠ -1 ⇒ n+1≠0. ∆’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1) = 1+ (n 2 + 3n)(n 2 +3n+2) = (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3n) + 1 =(n 2 + 3n + 1) 2 . 1 ∆’≥ 0 nên phương trình luôn có nghiệm. 0,5 ∆’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm của phương trình là số hữu tỉ. 0,5 b. Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình x 2 + 2009x + 1 = 0 x 3 , x 4 là nghiệm của phương trình x 2 + 2010x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức: (x 1 +x 3 )(x 2 + x 3 )(x 1 -x 4 )(x 2 -x 4 ) Giải: Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm. Có: x 1 x 2 = 1x 3 x 4 = 1 x 1 +x 2 = -2009 x 3 + x 4 = -2010 0,5 Biến đổi kết hợp thay: x 1 x 2 = 1; x 3 x 4 = 1 (x 1 +x 3 )(x 2 + x 3 )(x 1 -x 4 )(x 2 -x 4 ) = (x 1 x 2 + x 2 x 3 - x 1 x 4 -x 3 x 4 )(x 1 x 2 +x 1 x 3 -x 2 x 4 -x 3 x 4 ) = (x 2 x 3 - x 1 x 4 )(x 1 x 3 -x 2 x 4 ) = x 1 x 2 x 3 2 - x 3 x 4 x 2 2 - x 3 x 4 x 1 2 +x 1 x 2 x 4 2 = x 3 2 - x 2 2 - x 1 2 + x 4 2 = (x 3 + x 4 ) 2 - 2x 3 x 4 -( x 2 + x 1 ) 2 + 2x 1 x 2 = (x 3 + x 4 ) 2 -( x 2 + x 1 ) 2 1 Thay x 1 +x 2 = -2009; x 3 + x 4 = -2010 được : 2010 2 - 2009 2 =2010+2009 =4019 0,5 Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x 1 +x 3 )(x 2 + x 3 )].[(x 1 -x 4 )(x 2 -x 4 )] Bài 4: ( 6 điểm) OB ⊥ BA; OC ⊥ CA ( AB, AC là các tiếp tuyến) OI ⊥ IA (I là trung điểm của dây DE) . ⇒ B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO. 1,5 ∠ICB = ∠IAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) (1) DK // AB (Cùng vuông góc với BO) ⇒ ∠ IDK = ∠IAB (2) Từ (1) và (2) được: ∠ ICB = ∠ IDK 2 ∠ ICB = ∠ IDK hay ∠ ICH = ∠ IDH ⇒ Tứ giác DCIH nội tiếp. ⇒ ∠HID = ∠ HCD ∠ HCD = ∠ BED (Cùng chắn cung DB của (O)) ⇒ ∠HID = ∠ BED ⇒ IH // EB ⇒ IH là đường trung bình của DEK ⇒ H là trung điểm của DK 2,5 OA B C I D E K H M Bài 5: ( 2 điểm) Chứng minh A(n) = n 2 (n 4 - 1). chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n. - A(n) = n.n(n 2 - 1)( n 2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n 2 + 1). Do n(n - 1)(n+1) chia hết cho 3 nên A(n) chia hết cho 3 với mọi n. 0,5 - A(n) = n 2 (n 4 - 1) = n(n 5 - n). Do n 5 - n chia hết cho 5 theo phecma nên A(n) chia hết cho 5 với mọi n. 0,5 - Nếu n chẵn ⇒ n 2 chia hết cho 4 ⇒ A(n) chia hết cho 4. Nếu n lẻ ⇒ (n-1)(n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho 4. ⇒ A(n) chia hết cho 4 với mọi n. 0,5 - Ba số 3,4,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay A(n) chia hết cho 60. 0,5 * Chú ý: học sinh làm cách khác đúng đạt điểm tối đa. . nhau Số câu Số điểm 2 2 2 2 Hệ số góc của đường thẳng Tính được các góc tạo bởi 2 đường thẳng Số câu Số điểm 1 1 1 1 Tổng Số câu Số điểm 3 3 2 2 4 5 9 10 II/ ĐỀ Bài 1: (3 điểm) Thực. DUYÊN HẢI PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 20 13- 2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) I/ MA TRẬN ĐỀ Chủ đề chính Nhận biết Thông hiểu. điều kiện khi bình phương hai vế. b. 32 232 3 22 −++−=+++− xxxxxx )3) (1( 23) 2)(1( +−+−=++−− xxxxxx 0,5 032 )32 (1 =++−−+−−− xxxxx 0)11) (32 ( =−−+−− xxx 1 032 =+−− xx vô nghiệm; 011 =−−x được x