GV: VÕ MỘNG TRÌNH – TRƯỜNG THCS CÁT MINH – HUYỆN PHÙ CÁT – TỈNH BÌNH ĐỊNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY : 18 – 3 – 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi : 18 /3/2014 Bài 1. ( 6 ,0 điểm) a. Giải phương trình: 2 6x x− − + x 2 – x – 18 = 0 b. Tìm hai số nguyên dương khác nhau x , y thõa mãn : x 3 + 7y = y 3 + 7x Bài 2. ( 2,0 điểm) Tính tổng sau : S = 2 2 1 1 1 1 2 + + + 2 2 1 1 1 2 3 + + + … + 2 2 1 1 1 2013 2014 + + Bài 3. ( 3,0 điểm) Giả sử x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình: 2 4 1 x x x − − = 3x + m , trong đó m là tham số . Tìm m để biểu thức 1 2 x x− đạt giá trị nhỏ nhất . Bài 4. ( 6 ,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, tam giác ACE vuông cân ở C. CD cắt AB tại M; BE cắt AC tại N. a. Tính DM biết AM = 3 cm, AC = 4 cm. b. Chứng minh : AM = AN 2. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và H là trực tâm của tam giác ABC. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. a. Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành. b. Với điểm M lấy bất kỳ thuộc cung nhỏ BC , gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC . Chứng minh rằng ba điểm N, H, E thẳng hàng. Bài 5. ( 3, 0 điểm) Chứng minh rằng : 2 ( ) 3 3 3 ( ) 3 2 a c d d b d c c − + ≤ ≤ − + , với 2 ≤ a, b, c, d ≤ 3 . GV: VÕ MỘNG TRÌNH – TRƯỜNG THCS CÁT MINH – HUYỆN PHÙ CÁT – TỈNH BÌNH ĐỊNH Bài: (TS Lê Hồng Phong TPHCM: 2001 – 2002. HSG Bình Đình: 2013 - 2014) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm là H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. a) Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành. b) Với M lấy bất kì thuộc cung nhỏ BC; gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp. c) Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng. d) Xác định vị trí của điểm M thuộc cung nhỏ BC để cho NE có độ dài lớn nhất. Giải a) Xác định vị trí của điểm M sao cho tứ giác BHCM là hình bình hành. Ta có: BH ⊥ AC; CH ⊥ AB (vì H là trực tâm tam giác ABC) Tứ giác BHCM là hình bình hành ⇔ BH // MC và CH // MB ⇔ AC ⊥ MC và AB ⊥ MB ⇔ AM là đường kính của (O) ⇔ M là điểm đối xứng của A qua O. b) Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp. Ta có: ¶ ¶ 1 1 M N= (T/c đối xứng trục) ¶ µ 1 1 M C= (góc nội tiếp cùng chắn cung AB) ¶ µ 1 1 N C⇒ = , mà · µ 0 1 180AHB C+ = Do đó: · ¶ 0 1 180AHB N+ = ⇒ Tứ giác NAHB nội tiếp. c) Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng. Tứ giác NAHB nội tiếp ¶ µ 1 1 H A⇒ = , mà µ ¶ 1 2 A A= (T/c đối xứng trục) ¶ ¶ 1 2 H A⇒ = . Chứng minh tương tự, ta cũng có: ¶ µ 2 3 H A= Ta có: · · 0 180BAC BHC+ = Do đó: · ¶ ¶ · 1 2 NHE H H CHB= + + = ¶ µ · 2 3 A A CHB+ + = · · 0 180BAC BHC+ = ⇔ N, H, E thẳng hàng. d) Xác định vị trí của điểm M thuộc cung nhỏ BC để cho NE có độ dài lớn nhất. Ta có: · · 2NAE BAC= . Kẻ AK ⊥ NE tại K Ta có: AM = AN; AM = AE (Tính chất đối xứng trục) ⇒ AE = AN ⇒ ∆ ANE cân. Mà: AK là đường cao ⇒ AK là trung tuyến, là phân giác ⇒ · · 2 ; 2NAE NAK NE NK= = 2 NE NK⇒ = Do đó: · · BAC NAK= Tam giác KAN vuông tại K ⇒ NK = AN.sin · NAK Do đó: NE = 2AN. sin · NAK = 2AM.sin · BAC · 2 .sinR BAC≤ (vì AM · 2 ; sinR BAC≤ : Không đổi) Do đó: NE lớn nhất ⇔ AM lớn nhất ⇔ AM là đường kính của đường tròn (O) ⇔ M đối xứng với A qua O Vậy khi M là điểm đối xứng của A qua O thì NE lớn nhất. GV: VÕ MỘNG TRÌNH – TRƯỜNG THCS CÁT MINH – HUYỆN PHÙ CÁT – TỈNH BÌNH ĐỊNH Bài 5. ( 3, 0 điểm) Chứng minh rằng : 2 ( ) 3 3 3 ( ) 3 2 a c d d b d c c − + ≤ ≤ − + , với 2 ≤ a, b, c, d ≤ 3 . Lời giải : Vì 2 ≤ a, b, c, d ≤ 3 nên : ( 3 – a)(d – 2) ≥ 0 ⇔ 2a + 3d – ad ≥ 6 ⇒ tử : a(c – d) + 3d = ac + 3d – ad ≥ 2a + 3d – ad ≥ 6 Lại có : (b – 3)( c – 3) ≥ 0 ⇔ 3c – bc + 3b ≤ 9 ⇒ mẫu : b(d – c) + 3c = 3c – bc + bd ≤ 3c – bc + 3b ≤ 9 Do đó M = ( ) 3 ( ) 3 a c d d b d c c − + − + ≥ 6 2 9 3 = Tương tự : (3 – b)(c – 2 ) ≥ 0 ⇔ 3c – bc + 2b ≥ 6 ⇒ mẫu : b(d – c) + 3c = 3c – bc + bd ≥ 3c – bc + 2b ≥ 6 Và ( a – 3)( d – 3) ≥ 0 ⇔ 3d – ad + 3a ≤ 9 ⇒ tử : a(c – d) + 3d = ac + 3d – ad ≤ 3a + 3d – ad ≤ 9 Do đó M = ( ) 3 ( ) 3 a c d d b d c c − + − + ≤ 9 3 6 2 = . ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY : 18 – 3 – 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi : 18 /3/2014 . c – 3) ≥ 0 ⇔ 3c – bc + 3b ≤ 9 ⇒ mẫu : b(d – c) + 3c = 3c – bc + bd ≤ 3c – bc + 3b ≤ 9 Do đó M = ( ) 3 ( ) 3 a c d d b d c c − + − + ≥ 6 2 9 3 = Tương tự : (3 – b)(c – 2 ) ≥ . 3)( d – 3) ≥ 0 ⇔ 3d – ad + 3a ≤ 9 ⇒ tử : a(c – d) + 3d = ac + 3d – ad ≤ 3a + 3d – ad ≤ 9 Do đó M = ( ) 3 ( ) 3 a c d d b d c c − + − + ≤ 9 3 6 2 =