Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - số 8

sở gd & đt thanh hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9 truờng thpt đặng thai mai môn : Toán thời gian: 150 phút Câu1:(4đ) 1.Đơn giản các biểu thức sau: 249225 ++=A 1 22 5 56 + + = a aaa B ; 1 a . 2.Tính giá trị biểu thức B ở phần 1, khi zxyx a + = + 5 và ( ) ( )( ) zyxyz zx ++ = + 2 1625 2 Câu2:(4đ) Giải các phơng trình sau: 1. 29612 22 =+++ xxxx 2. ( )( ) 256 27 21 3 = xx với 21 x Câu3: (4đ) Cho họ đờng thẳng (D m ) có phơng trình : 11 1 2 2 2 ++ + ++ + = mm m x mm m y 1.Tìm điểm cố định của họ đờng thẳng (D m ). 2.Tìm m để đờng thẳng của họ (D m ) cắt Parabol (P) : y = x 2 tại hai điểm có hoành độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy. Câu4: (4đ) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O . M là một điểm bất kỳ trên đờng tròn đó . Gọi A / ,B / ,C / lần lợt là hình chiếu của M trên các đờng thẳng BC , CA , AB . 1.Chứng minh các tứ giác BC / A / M và CA / MB / nội tiếp. 2.Chứng minh 3 điểm A / , B / , C / thẳng hàng. 3.Trên đờng tròn tâm O đã cho lấy điểm M 1 M. Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần lợt là hình chiếu của M 1 lên các đờng thẳng BC , CA , AB . Tìm vị trí của điểm M 1 trên đờng tròn tâm O để đờng thẳng A 1 B 1 C 1 vuông góc với đờng thẳng A / B / C / . Câu5: (4đ) Chứng minh rằng: 1. 01 258 ++ xxxx với mọi số thực x. 2. 1 1 1 11 2 >++ + + n nn với mọi số tự nhiên 1>n ./. sở gd & đt thanh hoá Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 9 truờng thpt đặng thai mai môn : Toán thời gian: 150 phút Câu1 : (4đ) 1. ( ) 2 122225 ++=A 0,25đ 22325 += 0,25đ ( ) 1225 += 0,25đ 223 = 12 = 0,25đ ( ) ( ) 1 22 5 5 + + = a aaa B 0,25đ ( ) ( ) 1 21 5 5 + + = a aa 0,25đ Do 011 5 + aa 0,25đ 2= aB 0,25đ 2.Theo giả thiết ta có yz a zxyx a = + = + 55 0,25đ zyx a ++ + = 2 5 0,25đ ( ) ( )( ) ( )( ) zyxyz aa zx ++ + = + 2 5525 2 0,25đ ( )( ) zyxyz a ++ = 2 25 2 0,25đ Mà ( ) ( )( ) zyxyz zx ++ = + 2 1625 2 nên ( )( ) ( )( ) zyxyzzyxyz a ++ = ++ 2 16 2 25 2 0,25đ 31625 2 == aa 0,25đ = 5 1 B khi khi 3 3 = = a a 0,25đ Câu2: (4đ) 1. ( ) ( ) 23129612 22 22 =+=+++ xxxxxx 0,25đ 231 =+ xx 0,25đ =+ =+ =++ 231 231 231 xx xx xx khi khi khi 3 31 1 < < x x x 0,75đ = = = 3 22 1 x x khi khi khi 3 31 1 < < x x x 0.5đ Vậy nghiệm của phơng trình là tất cả các số thực x sao cho : 31 x 0,25đ 2.Do 0 3 2 01 21 x x x 0,25đ Ta thấy 1 3 2 3 2 3 2 1 = + + + xxx x 0,25đ Các số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng nếu đạt GTLN khi và chỉ khi các số đó bằng nhau, tức là khi và chỉ khi [ ] 2;1 4 5 3 2 1 = = x x x 0,25đ Khi đó tích của chúng đạt GTLN bằng ( ) 256 1 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 1 4 5 3 2 3 2 3 2 1 = ì ì ì = ì ì ì xxx x 0,25đ Hay tích (x-1).(2-x) 3 đạt GTLN bằng ( )( ) 256 27 21 3 = xx 0,5đ Theo giả thiết (x-1).(2-x) 3 = 256 27 nên tích ( ) 3 2 3 2 3 2 1 xxx x ì ì ì đạt GTLN 0,25đ Vậy 4 5 =x là nghiệm của phơng trình đã cho. 0,25đ. Câu3: (4đ) 1.Giả sử M 0 (x 0 ;y 0 ) là điểm cố định của họ đờng thẳng (D m ).Khi đó M 0 (D m ) m Hay 11 1 2 2 0 2 0 ++ + ++ + = mm m x mm m y , m 0,5đ ( ) ( ) 01 0000 2 0 =++ xymxymy , m 0,5đ = = = = 1 1 0 01 0 0 00 0 y x xy y ( ) 1;1 0 M 0,5đ Vậy điểm cố định của họ đờng thẳng (D m ) là M 0 (1 ; 1) 0,5đ 2.Theo trên M 0 (1 ; 1) (D m ) Ta lại nhận thấy M 0 (1 ; 1) (P) : y = x 2 M 0 (1 ; 1) là một giao điểm của (D m ) và (P). 0.5đ Để hai giao điểm có hoàng độ đối nhau thì giao điểm thứ hai N 0 phải có hoàng độ x=-1. Khi đó tung độ của N 0 là y=1 N 0 (-1 ; 1) 0,5đ Lại do N 0 (D m ) nên: ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 = ++ + ++ + = m mm m mm m 0,5đ Vậy với m = -1 thì (D m ) và (P) cắt nhau tại hai điểm có hoành độ đối nhau và hai điểm đó có toạ độ là M 0 (1;1) và N 0 (-1;1) 0,5đ Câu4: (9đ) Không mất tính tổng quát ta giả sử M thuộc cung BC. Khi đó ta có hình vẽ: 1.Xét BC / A / M có: = = vMBA vMBC 1 1 / / tứ giác BC / A / M nội tiếp trong đờng tròn đờng kính BM 0,75đ Hoàn toàn tơng tự :MA / CB / nội tiếp trong đờng tròn đờng kính CM vì có = = vMCB vMCA 1 1 / / 0,25đ 2.Tứ giác CA / MB / nội tiếp nên : = /// MCBBMA (cùng chắn cung MB / ) 0,25đ = MCACMA // (cùng bù với ABM ) 0,25đ 180 ///// =+=+ MCAMCBCMABMA 0,25đ /// ,, CBA thẳng hàng. 0,25đ 3. = BCAAMCBABA 11 //// 11 (1) (góc có cạnh tơng ứng ) 0,25đ Do BC / A / M nội tiếp = /// AMCMBA (2) 0,25đ Do BA 1 C 1 M 1 nội tiếp = BCAABM 1111 (3) 0,25đ Từ (1),(2),(3) suy ra = 11 / ABMMBA (4) 0,25đ Mà 90 1111 =+ BAMABM (5) 0,25đ Tõ (4) vµ (5) suy ra:  90 11 / =+ ∧ ∧ BAMMBA 0,25® Tøc  90 1 = ∧ MBM 0,25® VËy M 1 ®èi xøng víi M qua t©m O 0,25® C©u5: (4®) 1.Chøng minh 01 258 ≥+−+− xxxx Rx ∈∀ Ta cã : 01 258 ≥+−+− xxxx ( ) 0 2 1 2 2 222 2 2 22 2 2 4 ≥++−       +       +−⇔ xxxxx xx 1,0® 0 2 1 22 2 22 4 ≥+       −+       −⇔ xxx x (*) 0,5® B§T (*) ®óng ∀x∈R⇒®pcm. 0,5® 2.Chøng minh : 1,;1 1 2 1 1 11 2 >∈∀>++ + + + + nNn n nnn  Ta cã:          > > + > + 22 2 2 11 . . . 1 2 1 1 1 1 nn n n n n gåm (n 2 -n) B§T 1, >∈∀ nNn 0,75® ( )         )( 2222 22 11111 2 1 1 11 nnnn nnn n n nnn VT −− ++++>++ + + + += 0.25®     nn n n VT − +++ +>⇔ 2 2 1111 0,25® 2 2 1 n nn n VT − +>⇔ 0,25® 1 11 = − +>⇔ n n n VT 0,25® ⇔ 1,;1 >∈∀> nNnVT 0,25® . rằng: 1. 01 2 58 ++ xxxx với mọi số thực x. 2. 1 1 1 11 2 >++ + + n nn với mọi số tự nhiên 1>n ./. sở gd & đt thanh hoá Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 9 truờng thpt đặng thai mai môn : Toán . sở gd & đt thanh hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9 truờng thpt đặng thai mai môn : Toán thời gian: 150 phút Câu1:(4đ) 1.Đơn giản các biểu thức sau: 2 492 25 ++=A 1 22 5 56 + + = a aaa B . ) 256 1 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 1 4 5 3 2 3 2 3 2 1 = ì ì ì = ì ì ì xxx x 0,25đ Hay tích (x-1).(2-x) 3 đạt GTLN bằng ( )( ) 256 27 21 3 = xx 0,5đ Theo giả thi t (x-1).(2-x) 3 = 256 27 nên tích ( ) 3 2 3 2 3 2 1 xxx x ì ì ì