Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn toán Đề đề xuất Thời gian150 Bài 1:(4đ) Cho biểu thức: a\ Rút gọn biểu thức P b\ Chứng minh rằng: 0<P<32/9 1x Bài 2:(4đ) Cho parabol (P): 2 2 1 xy = , điểm I(0;2) và điểm M(m;0) 0 m a\ Vẽ (P) b\ Gọi d là đờng thẳng đi qua I và m. Chứng minh rằng đờng thẳng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B c\ Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên trục Ox. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông. d\ Chứng minh rằng độ dài đoạn AB>4 0m Bài 3:(4đ) Cho phơng trình: (m-1)x 2 -2(m-2)x+m+1=0 a. Giải và biện luận theo thámố m b. Khi phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 . Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 , x 2 độc lập với tham số m Bài 4(6đ) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của (O) và các cạnhBC, CA, AB lần lợt là D, E, F. Kẻ BB 1 AO , AA 1 BO Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng. Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình y 2 =-2(x 6 -x 3 y-32) đáp án Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn toán Đề đề xuất Thời gian150 ĐK x 1 0.25 = )1)(1( 4 )1)(1( 1 )1)(1( 3 242222 ++ ++ + xxxxxxxxx 0.5đ 1 4 1 1 1 3 23453434 ++ + + = xxxxxxxxxxx P 1 4 1 1 1 3 23453434 ++ + + = xxxxxxxxxxx P Khi đó )1)(1( 4 )1)(1( 1)1(3 4242 22 ++ ++ +++ = xxxxxx xxxx P 0.5đ = )1)(1( 44242 242 2 ++ ++ xxx xx 0.5đ )1( 2 24 ++ = xx P 0.5đ b\ Ta có 1 24 ++ xx =(x 2 +1/2) 2 +3/4 >0 0.5đ )1( 2 24 ++ = xx P > 0 1x 0.5đ Xét ++ ++ = 4 3 ) 2 1 (9 143232 9 32 22 24 x xx p > 0 1x 0.5đ )1( 2 24 ++ = xx P <32/9 1x Suy ra: 0 <P <32/9 1x 0.5đ Bài 2: a. Vẽ đồ thị (P) 2 2 1 xy = Bảng giá trị: 0.5đ Đồ thị: y 0.5đ 2 -2 -1 O 1 2 x c. Phơng trình đờng thẳng d có dạng y=ax + b 0.25đ do d đi qua 2 điểm M(m;0) và I(0;-2) do đó ta có: x -2 -1 0 1 2 y 2 1/2 0 1/2 2 = = += = m a b bam b 2 2 0 2 Đờng thẳng d là: y m 2 = x + 2 0.25đ Khi đó hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của phơng trình: 2 2 2 1 2 + = x m x (1) 0.25đ 0044' 044 2 2 >+= =+ mm mxmx Suy ra phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt Hay d luôn cắt (P) tai j2 điểm phân biệt A, B 0m 0.25đ d. Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên truc Ox, ta có: x H =x A ; x K =x B 0.25đ ( x H ; x A ; x K ; x B lần lợt là hoành độ của điểm H, A, K, B) Do I(0;2) thuộc Oy nên HI 2 = OI 2 + HO 2 = 4 +x A 2 0.25đ KI 2 =KO 2 +OI 2 = x B 2 + 4 0.25đ HI 2 + KI 2 = 8 +x A + x B =(x A - x B ) 2 vì x A x B = -4 = HK 2 nên tam giác HKI vuông tại I 0.25đ e. Do x A , x B là nghiệm của phơng trình 0044 2 =+ mmxmx Theo viét ta có: =+ 4 4 BA BA xx m xx Mà A, B thuộc (P) = = 2 2 2 1 2 1 xy xy B A ( y A , y B lần lợt là tung độ của A và B) 0.25đ 22 )()( BABA yyxxAB += 0.25đ = = 4 4) 8 1)( 1 1(4 22 > >++ AB m mm 0.25đ 0.25đ Bài 3: a. Giải và biện luận phơng trình (m-1)x 2 -2(m-2)x+m+1=0 + Nếu m-1=0 122)1(1 === xxm 0.5đ + NÕu 101 ≠⇔≠− mm Ta cã: 54 1)2(' 22 +−= +−−=∆ m mm NÕu )1( 4 5 0' ptm ⇒>⇔<∆ v« nghiÖm 0.25® NÕu )1( 4 5 0' ptm ⇒=⇔=∆ cã nghiÖm kÐp x 1 =x 2 =-3 0.25® NÕu )1( 4 5 0' ptm ⇒<⇔>∆ cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 1 542 1 − +−−− = m mm x 1 542 2 − +−+− = m mm x 0.25® KÕt luËn: Víi m=1, pt(1) cã ngiÖm duy nhÊt x=-1 Víi m=5/4, pt(1) cã ngiÖm kÐp x=-3 Víi m<5/4 vµ m 1≠ pt(1) cã 2 ngiÖm ph©n biÖt 1 542 1 − +−−− = m mm x 1 542 2 − +−+− = m mm x 0.5® Víi m>5/4 th× ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm b. Víi ≠ ≤ 1 4 5 m m Theo vi Ðt ta cã 1® 322 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 121 1 21 1 21 =++⇒ − += − −=+ ⇔ − + = − − =+ xxxx m xx m xx m m xx m m xx 0.5® KÕt luËn: HÖ thøc liªn hÖ gi÷a x 1 , x 2 ®éc lËp víi tham sè m lµ 322 121 =++ xxxx 0.5® Bµi 4: A F E O A 1 B B 1 D C Theo bài ra ta có: BBABAA 11 = =90 0 Suy ra tứ giác AA 1 B 1 B nôi tiép trong một đờng tròn 0.5đ 111 BBABBA = cùng chắn cung BB 1 0.5đ Mặt khác: == VOAAOAE 1 11 tứ giác AEA 1 O nội tiếp 0.5đ 11 AOEAEA = cùng chắn cung AE ) 0.5đ mà 11 0 11 ,,90 BAEAOEEAO EABBAB =+ = thẳng hàng (*) 1đ Tơng tự: ta có tứ giác AA 1 B 1 B nội tiếp Theo bài ra ta có: BBABAA 11 = =90 0 Suy ra tứ giác AA 1 B 1 B nôi tiép trong một đờng tròn 0.5đ ABAABA 111 = cùng chắn cung AA 1 0.5đ Ta lại có: == VBBOBOD 1 1 tứ giác OB 1 DB nội tiếp 0.5đ BODBDB 1 = (cùng chắn cung BD ) 0.5đ mà ABOOBD BODOBD OBDDOB 90 0 = =+ = Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau 0.5đ Vậy =++ 0 1111 180 ABAABBBDB 3 điểm D, B 1 , A 1 thẳng hàng (**) 0.5đ Từ (*) , (**) suy ra A 1 , D, B 1 , E thẳng hàng 0.5đ Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình y 2 =-2(x 6 -x 3 y-32) 0.5đ 0.25đ 0.25đ 64)()( 64)( 6422 332 36 236 =+ =+ =++ yxx yxx yyxx Vì x NxZ 2 Vậy x chỉ có thể nhận các giá trị { 0; 1; 2 } 0.5đ Suy ra cặp nghiệm nghuyên cần tìm là: (0; 8),(0;-8),(2;8), (-2;-8) 0.5đ . B thẳng hàng. Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình y 2 =-2 (x 6 -x 3 y-32) đáp án Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn toán Đề đề xuất Thời gian150 ĐK x 1 0.25 = )1)(1( 4 )1)(1( 1 )1)(1( 3 242222 ++ ++ +. Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn toán Đề đề xuất Thời gian150 Bài 1:(4đ) Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức P b Chứng minh rằng: 0<P<32 /9 1x Bài 2:(4đ) Cho parabol. 0.5đ Xét ++ ++ = 4 3 ) 2 1 (9 143232 9 32 22 24 x xx p > 0 1x 0.5đ )1( 2 24 ++ = xx P <32 /9 1x Suy ra: 0 <P <32 /9 1x 0.5đ Bài 2: a. Vẽ đồ thị (P) 2 2 1 xy = Bảng giá trị: 0.5đ Đồ thị: y 0.5đ 2 -2 -1