Đề thi học sinh giỏi Toán 9 số 18

PHÒNG GD - ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN TĨNH GIA NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn Toán học lớp 9 Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề ) Bài 1: (2,0 điểm) 1- Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c = 0. Chứng minh: cba cba 111111 222 ++=++ . 2- Tính giá trị của biểu thức M = 22 3 1 2 1 1 ++ + 22 4 1 3 1 1 ++ + . . . + 22 2012 1 2011 1 1 ++ + 22 2013 1 2012 1 1 ++ Bài 2: (3,0 điểm) 1- Tìm giá trị của k để các đường thẳng (d 1 ): y = 2x + 5, (d 2 ): y = -2x + 1 và (d 3 ): y = (2k – 1)x + (k + 4) cùng đi qua một điểm. 2- Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4) a) Viết phương trình đường thẳng AB. b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M. Bài 3: (2,0 điểm) 1- Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết chu vi tam giác AHB là 30 cm, chu vi tam giác AHC là 40 cm. Tính chu vi tam giác ABC. 2- Cho N = 2++ aab a + 1++ bbc b + 22 2 ++ cca c . Biết abc = 4, Tính N . Bài 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có 0 20 ˆ =B . Vẽ phân giác trong BI, vẽ 0 30 ˆ =HCA về phía trong tam giác (H AB∈ ). Tính IHC ˆ . Bài 5: (1,0 điểm) Cho z ≥ y ≥ x > 0. Chứng minh rằng: ( ) ( )       ++≤++         + zx zxzx yyx y 11111 Chú ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 1 L ỜI GIẢI Bài 1 : 1- Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2( ) 1 1 1 a b c a b c ab bc ca c b a a b c abc a b c     + + = + + + + +  ÷  ÷     + + = + + + = + + Suy ra: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + 2- Xét , 2k N k∈ ≥ Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 2 2 2 2 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k   + − = + + + − −  ÷ − − − −   = + + + − + − − − −   ⇒ + + = + −  ÷ − −   ⇒ + + = + − − − Cho k = 3, 4, 5, , 2012, 2013 Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 2011 2012 2012 2013 1 1 2011 2011 2011 2 2013 4026 M         = + − + + − + + + − + + −  ÷  ÷  ÷  ÷         = + − = + Bài 2 : 1- Ta thấy (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau tại một điểm M trong mặt phẳng tọa độ.Khi đó tọa độ điểm M phải thỏa mãn đồng thời 2 phương trình: y = 2x+5 và y = -2x+1 Suy ra: 2x+5 = -2x+1 ⇔ x = -1 ⇒ y = 3 ⇒ M(-1;3) Để (d 1 ), (d 2 ) và (d 3 ) cùng đi qua một điểm , phải có M ∈ (d 3 ) . Do đó: (2k-1).(-1) + (k+4) = 3 ⇒ k = 2 Vậy k = 2 2- a) Gọi phương trình đường thẳng AB là: (d): y=ax+b Vì (d) đi qua A(5;2) và B(3;-4) nên: 5 2 3 3 4 13 a b a a b b + = =   ⇒   + = − = −   Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = 3x-13 b) Gọi M(x M ;0) là điểm nằm trên trục hoành sao cho tam giác MAB cân tại M. Ta có: MA 2 = (x M -5) 2 + (0-2) 2 = x M 2 -10x M +29 2 MB 2 = (x M -3) 2 + (0+4) 2 = x M 2 -6x M +25 Vì MA = MB nên x M 2 -10x M +29 = x M 2 -6x M +25 ⇒ x M = 1 ⇒ M(1;0) thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy M = (1;0) Bài 3 : 1- Gọi P 1 , P 2 , P 3 lần lượt là chu vi các tam giác AHB, CHA, CAB Dễ thấy: ∆ AHB ∆ CHA nên: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 30 3 40 4 3 4 3 4 3 4 5 : : 3: 4:5 3 4 5 P AB AB AB AC P CA CA AB AC AB AC BC AB AC BC AB AC BC = ⇒ = = ⇒ = + ⇒ = = = + ⇒ = = ⇒ = Mà ∆ AHB ∆ CHA ∆ CAB , suy ra: P 1 : P 2 : P 3 = AB: AC: BC = 3: 4: 5 Mà : P 1 = 30cm; P 2 = 40cm nên P 3 = 50cm Vậy chu vi tam giác ABC bằng 50cm 2- ĐKXĐ: a, b, c 0 ≥ mà abc = 4 nên a, b, c >0 và 2abc = Ta có: 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 2 2 2 1 1 2 a b c N ab a bc b ca c a ab c ab a abc ab a ca c abc a ab c ab a ab a c a ab a ab ab a ab a a ab ab a N ab a = + + + + + + + + = + + + + + + + + = + + + + + + + + = + + + + + + + + + + = = ⇒ = + + (vì N>0) Vậy 1N = Bài 4 : Dễ thấy · 0 40BCH = . Kẻ phân giác CK của · · · 0 20BCH BCK KCH⇒ = = Tam giác vuông ACH có · 0 1 1 30 . . 2 2 2 CH AH CH CB ACH AH HK HK BK = ⇒ = ⇒ = = (tính chất đường phân giác của · BCH ) (1) Kẻ KM ⊥ BC tại M, dễ thấy tam giác BMK và tam giác BAC đồng dạng ( ) ( ) 1 2 AB BM AB BC AH do BC BK BC BK HK = ⇒ = = Mặt khác do BI là phân giác của · ABC nên: ( ) 3 IA AB IC BC = 3 H C B A S S S _B _A _ C _I _H _K _M Từ (2) và (3) suy ra: · · 0 / / 20 IA AH CK IH CHI HCK IC HK = ⇒ ⇒ = = Vậy : · 0 20CHI = Bài 5 : Bài này đề sai vì cho z =2, x=y=1 thì VT = 5 > 4,5 = VP ⇒ Đpcm 4 . PHÒNG GD - ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN TĨNH GIA NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn Toán học lớp 9 Đề chính thức ( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề ) Bài 1: (2,0 điểm) 1-. có: MA 2 = (x M -5) 2 + (0-2) 2 = x M 2 -10x M + 29 2 MB 2 = (x M -3) 2 + (0+4) 2 = x M 2 -6x M +25 Vì MA = MB nên x M 2 -10x M + 29 = x M 2 -6x M +25 ⇒ x M = 1 ⇒ M(1;0) thử lại. Chứng minh rằng: ( ) ( )       ++≤++         + zx zxzx yyx y 11111 Chú ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 1 L ỜI GIẢI Bài 1 : 1- Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1