Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - số 18

Sở GD&ĐT Thanh Hoá Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 9_THCS Trờng THPT nh xuân Thời gian :150 phút Câu1 (4điểm) :1. Cho phơng trình x 2 + a.x +1 =0 Tìm a để phơng trình có hai nghiệm x 1 ,x 2 thoã mãn ( 2 1 x x ) 2 + ( 2 1 x x ) 2 > 7 2.Giải phơng trình : x5 + 3x = x 2 -8.x +18 Câu 2 (4điểm) : 1.Giải hệ phơng trình : =+ =+ =+ 2 1 2 1 2 1 x z z y y x 2.Giải hệ phơng trình : = + =++ 6 2 2 52 2 1 yx yx yx yx Câu 3 (7 điểm ) :Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đờng tròn tâm O qua B và C.Qua A vẽ tiếp tuyến AE,AF với đờng tròn (O); Gọi I là trung điểm BC ,N là trung điểm EF . a.Chứng minh rằng các điểm E,F luôn nằm trên một đờng tròn cố định khi đờng tròn (O) thay đổi . b.Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) tại K .Chứng minh rằng :EK song song với AB . c.Chứng minh rằng tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đờng thẳng cố định khi đờng tròn(O) thay đổi. Câu 4(5điểm ) : 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A= x1 2 + x 1 với 0 < x <1 2. a, Cho x,y là hai số dơng . chứng minh rằng : x 1 + y 1 yx + 4 b,Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c và chu vi 2p =a+ b + c Chứng minh rằng : ap 1 + bp 1 + cp 1 2 ( a 1 + b 1 + c 1 ) Câu Đáp án Thang điểm Câu1 (4điểm) 1. phơng trình : x 2 + a.x+1=0 Tacó : 4 2 = a Điều kiện để phơng trình có nghiệm x 1 ,x 2 là 0 24 2 aa (1) Ta có : ( ) 2 21 2 21 2 21 2 2 2 1 4 2 4 1 2 1 2 2 2 1 )(92)(77 xxxxxxxxxx x x x x >+>+> + (2) Theo định lý Viét ta có : = =+ 1 21 21 xx axx Thay vào (2) ta đợc : (a 2 -2) 2 >9 32 2 > a < > 32 32 2 2 a a 5 2 > a 5> a (thoả mãn (1) ) Vậy với 5>a thì thoả mãn yêu cầu bài toán. 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 2.Giải phơng trình : 18835 2 +=+ xxxx Điều kiện : 53 03 05 x x x (*) Ta có : 2 2 1)3( 2 1)5( 1).3(1).5(35 = + + + +=+ xx xxxx Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 4 13 15 = = = x x x Mặt khác :x 2 -8x+18=(x-4) 2 +2 2 ;Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :x=4 Suy ra: 418835 2 =+=+ xxxxx (thoả mãn (*) ) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là :x=4 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu2 (4điểm) 1. Giải hệ phơng trình : =+ =+ =+ 2 1 2 1 2 1 x z z y y x Cách1: Điều kiện : x,y,z 0 Từ pt (1) và(3) rút y,z thay vào pt (2) ta đuợc : 2 122 1 = + x x x Giải ra ta đợc : x=1 Do đó y=1;z=1 Vậy hệ phơng trình có nghiệm (1;1;1) 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu2 (4điểm) Cách2: =+ =+ =+ 2 1 2 1 2 1 x z z x y x 6) 1 () 1 () 1 ( =+++++ z z y y x x (*) Ta có: 2 1 + x x ; 2 1 + y y ; 2 1 + z z Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:x=y=z=1 suy ra : VT(*) 6 hoặc VT(*) 6 (loại) Pt(*) 1=== zyx Vậy hệ phơng trình có nghiệm là (1;1;1) 2.Hê phơngtrình : = + =++ 6 2 2 52 2 1 yx yx yx yx Điều kiện: x y2 Đặt :u= yx 2 1 ;v =x+2y Hệ pt trở thành : = = = =+ 2 3 6 5 v u uv vu hoặc = = 3 2 v u . = = =+ = = = 12 5 6 7 22 3 2 1 2 3 y x yx yx v u . = = =+ = = = 8 5 4 7 32 2 2 1 3 2 y x yx yx v u Vậy hệ pt đã cho có hai nghiệm là : ( ) 8 5 ; 4 7 (); 12 5 ; 6 7 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu3 (7điểm) 1. ABF và AFC đồng dạng (g_g) Ta có : AB/ AF=AF/AC AF 2 =AB.AC AF= ACAB. Mà AE=AF nên AE=AF= ACAB. không đổi Vậy E,F thuộc đờng tròn (A; ACAB. ) cố định. 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 2. Tứ giác AOIF nội tiếp đờng tròn Ta có : AIF = AOF (1) AOF = 2 1 EOF và EKF = 2 1 EOF EKF = AOF (2) Từ(1) và(2) AIF = EKF Do đó :EK vàAB song song vơí nhau 3. Cm đợc A,N,O thẳng hàng và AO EF ; Gọi H là giao điểm của BC và EF . Ta có : ANH và AIO đồng dạng nên AI AN AO AH = Suy ra :AH.AI =AN.AO Lại có :AN .AO=AE 2 =AB.AC Do đó : AI.AH =AB.AC AI ACAB AH . = không đổi . Vậy H cố định Tứ giác OIHN là tứ giác nội tiếp đờng tròn nên đờng tròn ngoại tiếp OIN luôn qua I và H ;Do đó tâm đơng f tròn này nằm trên đờng trung trực của IH 0.5 điểm 0 5 điểm 0.5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 1.0 điểm 1.0 điểm Câu4 5 điểm 1. 3 1 1 2 )1 1 2 1 2 () 1 1 2 ( 1 1 2 + + =+ + + =+ = x x x x x x xx x x x xx A (với 0 <x < 1) áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dơng x x 1 2 và x x1 ta có x x x x + 1 1 2 22 Dấu = xãy ra khi và chỉ khi : 3 1 10 1 1 2 = << = x x x x x x 322 +A Vậy min A = 322 + khi 3 1 =x 2. a, cho x>0, y>0 ta có 0)(4)( 4 . 411 22 + + + + + yxxyyx yxyx yx yxyx dấu = xảy ra khi và chỉ khi: x- y = 0 hay x=y Vậy: yxyx + + 411 dấu = xảy ra khi và chỉ khi: x=y b, ta có: 0 2 > + = acb aP 0 2 > + = bca bP 0 2 > + = cab cP áp dụng bất đẳng thức: x, y>0 ta có: yxyx + + 411 cbapbpap 4 2 411 = + Tơng tự ta có: acpbp 411 + ; bapcp 411 + 2 ) 111 (4) 111 ( cbacpbpap ++ + + ) 111 (2) 111 ( cbacpbpap ++ + + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm . Sở GD&ĐT Thanh Hoá Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 9_ THCS Trờng THPT nh xuân Thời gian :150 phút Câu1 (4điểm) :1. Cho phơng trình x 2 . xảy ra khi và chỉ khi : 4 13 15 = = = x x x Mặt khác :x 2 -8 x +18= (x-4) 2 +2 2 ;Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :x=4 Suy ra: 4188 35 2 =+=+ xxxxx (thoả mãn (*) ) Vậy phơng trình đã cho có. ) 2 21 2 21 2 21 2 2 2 1 4 2 4 1 2 1 2 2 2 1 ) (92 )(77 xxxxxxxxxx x x x x >+>+> + (2) Theo định lý Viét ta có : = =+ 1 21 21 xx axx Thay vào (2) ta đợc : (a 2 -2 ) 2 > ;9 32 2 > a < > 32 32 2 2 a a