Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán - Thang điểm: 20 Bài 1: (6đ) 1. (2đ) Rút gọn biểu thức A = 322 32 322 32 + ++ + 2. (4đ) Tính giá trị của tổng B = 222222 100 1 99 1 1 3 1 2 1 1. 2 1 1 1 1 +++++++++ Bài 2: (2đ) Tìm x, y, z nguyên dơng đôi một khác nhau thoả mãn: 3 x + 3 y + 3 z = 6831 Bài 3: (4đ). 1. (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số: y = xx ++ 63 2. (2đ) Cho các số dơng a, b, c biết 1 111 + + + + + c c b b a a Chứng minh rằng: abc 8 1 Bài 4: (2đ) Giải phơng trình: x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = -7 Bài 5: (6 đ). Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH. Gọi (P), (Q) theo thứ tự là đờng tròn nội tiếp hai tam giác AHB và AHC. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC) của (P) và (Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N. Chứng minh rằng. a. (2đ) HPQ ~ ABC b. (2đ) KP // AB, KQ // AC. c. (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp đợc 1 ®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái tØnh líp 9 (M«n to¸n) Bµi 1: (2 ®iÓm) 1. (1 ®iÓm) 1 6 3333 )33)(33( )32)(33()33)(32( 33 32 33 32 3242 32 3242 32 2 = −++ = −+ −++−+ = − − + + + = −− − + ++ + = A => A = 2 2. XÐt A = 22 )1( 11 1 + ++ aa a > 0 ta cã 22 2222 22 2 )1( )1()1( )1( 11 1 + ++++ = + ++= aa aaaa aa A = 22 22 22 224 )1( )1( )1( )1()1(2 + ++ = + ++++ aa aa aa aaaa V× a > 0, A > 0 nªn A = 1 11 1 )1( 1 2 + −+= + ++ aaaa aa ¸p dông ta cã B = 222222 100 1 99 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 +++++++++ = 99,99 100 1 100) 100 1 99 1 1( ) 3 1 2 1 1() 2 1 1 1 1( =−=−+++−++−+ Bµi 2: Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x < y < z Ta cã: 3 x + 3 y + 3 z = 6831 <=> 3 x (1 + 3 y - x + 3 z -x ) = 3 3 .253 V× (1 + 3 y - x + 3 z -x ) kh«ng chia hÕt cho 3 vµ 253 còng kh«ng chia hÕt cho 3 nªn: =++ = (2) 253331 33 x-zx-y 3 (1) x (1) => x = 3 thÕ vµo (2): 1 + 3 y - 3 + 3 z -3 = 253 <=> 3 y-3 (1 + 3 z-y ) = 252 = 3 2 . 28 Do 1 + 3 z-y kh«ng chia hÕt cho 3 vµ 28 kh«ng chia hÕt cho 3 nªn 2 = = = = =+ = 8 5 33 5 2831 33 35 23 z y y z yz y Vậy x = 3; y = 5 ; z = 8 Bài 3: 1. ĐK: ]6;3[x rõ ràng y 0 ]6;3[x ta có y 2 = 9 + 2 96.3 + xx ]6;3[x => y 3 ]6;3[x Tại x = -3 hoặc x = 6 thì y = 3 Vậy Min y = 3 áp dụng bất đẳng thức (a + b) 2 2(a 2 + b 2 ) ta có y 2 2.(x + 3+ 6-x) = 18 ]6;3[x => y 3 2 ]6;3[x Tại x = 2 3 thì y = 3 2 Suy ra: max y = 3 2 2. Theo giả thiết 1 1 1 1 11 1 111 + = + + + + + + + + + aa a c c b b c c b b a a Do b > 0; c > 0 nên theo bất đẳng thức côsi ta có: 0 )1)(1( 2 1 1 0 )1)(1( 2 11 > ++ + > ++ + + + cb bc acb bc c c b b (1) Tơng tự ta cũng chứng minh đợc 0 )1)(1( 2 1 1 > ++ + ca ac b (2) 0 )1)(1( 2 1 1 > ++ + ba ab c (3) Từ (1); (2); (3) ta chứng minh đợc )1)(1)(1( 8 1 1 . 1 1 . 1 1 cba abc cba +++ +++ => 1 8 1 8 abcabc => đpcm Bài 4: Pt <=> (x 2 + 2x)(x 2 + 2x - 8) = -7 đặt t = x 2 + 2x 3 Pt trở thành t(t - 8) = -7 <=> t 2 - 8t + 7 = 0 <=> = = 7 1 t t Với t = 1 => x 2 + 2x = 1 <=> x 2 + 2x - 1 = 0 <=> += = 21 21 x x Với t = 7 => x 2 + 2x = 7 <=> += = 221 221 x x Vậy tập nghiệm của phơng trình là: S = { } 221;221;21;21 ++ Bài 5: a. Tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA mặt khác P và Q lần lợt là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác AHB và tam giác AHC => AC AB HQ HP = (1) lại có góc BAC = góc PHQ = 90 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra Tam giác HPQ đồng dạng với tam giác ABC b. Theo câu a. ta có góc PQH = góc ACB (3) góc PKQ = góc PHQ = 90 0 => tứ giác PKQH nội tiếp đợc => góc PKH = góc PQH (4) Từ (3) và (4) => góc PKH = góc ACB lại có góc BAH = góc ACB => góc PKH = góc BAH => PK // AB chứng minh tơng tự ta cũng có KQ //AC. c. Ta có góc ACB = góc PKH = góc MKP = góc AMK => góc BMN + góc NCB = góc BMN + góc AMK = 180 0 => tứ giác BMNC nội tiếp đợc 4 P Q H B M C N A K . BMNC nội tiếp đợc 1 ®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái tØnh líp 9 (M«n to¸n) Bµi 1: (2 ®iÓm) 1. (1 ®iÓm) 1 6 33 33 )33 ) (33 ( )32 ) (33 ( )33 ) (32 ( 33 32 33 32 32 42 32 32 42 32 2 = −++ = −+ −++−+ = − − + + + = −− − + ++ + = A =>. 3 z = 6 831 <=> 3 x (1 + 3 y - x + 3 z -x ) = 3 3 .2 53 V× (1 + 3 y - x + 3 z -x ) kh«ng chia hÕt cho 3 vµ 2 53 còng kh«ng chia hÕt cho 3 nªn: =++ = (2) 2 533 31 33 x-zx-y 3 (1). nªn 2 = = = = =+ = 8 5 33 5 2 831 33 35 23 z y y z yz y Vậy x = 3; y = 5 ; z = 8 Bài 3: 1. ĐK: ]6 ;3[ x rõ ràng y 0 ]6 ;3[ x ta có y 2 = 9 + 2 96 .3 + xx ]6 ;3[ x => y 3 ]6 ;3[ x Tại x = -3 hoặc x =