đề thi vào lớp 10 môn toán chuyên lê quý đôn khánh hoànăm 2014-2015

a Chứng minh rằng: MAC đồng dạng với AEC ; OMC đồng dạng với EDC.. b Tìm GTNN của biểu thức OMON AM DN Bài 5: 1đ Trên mặt phẳng cho 25 điểm phân biệt, biết rằng với 3 điểm bất kỳ t

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN

NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

NGÀY THI: 21/6/2014

Bài 1: (2đ)

1)Cho a, b là các số thực dương phân biệt Rút gọn biểu thức:

a a b b a a b b a b a b a b

P =

b a

2)Tìm giá trị tham số m để phương trình x2 – mx + m – 3 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức 2(x12 + x22) – x1x2 đạt GTNN

Bài 2: (2đ)

1) Giải phương trình: x4

+ 3x3 – 14x2 – 6x + 4 = 0 2) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a> 1 và b >1 Chứng minh rằng:

3 3( 2 2)

a b a b

8 (a 1)(b 1)

Bài 3: (2đ)

1) Chứng minh tổng 1 + 2 + 22

+ 23 + …+ 22014

+ 22015 chia hết cho 15

2) Giải hệ phương trình

3 3









x + y = 1 x + y + xy 7xy + y x = 7

Bài 4: (3đ)

Cho đường tròn (O) có 2 đường kình AB và CD vuông góc với nhau E là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AD (E khác A, D).Nối EC, EB cắt OA, OD lần lượt tại M, N

a) Chứng minh rằng: MAC đồng dạng với AEC ; OMC đồng dạng với EDC

b) Tìm GTNN của biểu thức OMON

AM DN

Bài 5: (1đ)

Trên mặt phẳng cho 25 điểm phân biệt, biết rằng với 3 điểm bất kỳ trong số đó luôn có 2 điểm cách nhau một khoảng nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng có 1 hình tròn bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm đã cho

-Hết -

ĐÁP ÁN:

Bài 1:

1)





P =

a ab b a ab b a b 2 ab

ab a b ab

2) Vì  = m2 – 4m + 12 = (m – 2)2 + 8 > 0 với mọi m nên PT luôn có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt Theo Viet có x1 + x2 = m và x1x2 = m – 3

Ta có: 2(x12 + x22) – x1x2 = 2(x1 + x2)2 – 5x1x2 = 2m2 – 5(m – 3) = 2m2 – 5m + 15

=       

2

Suy ra : GTNN của 2(x12 + x22) – x1x2 là 95 khi m5

Bài 2:

1) Nh ận xét: x = 0 không là nghiệm của PT

Chi cả 2 vế của PT cho x2 ta được:   

2 2

x + + 3 x 14 = 0

x

Đặt   2 2

2

a = x a + 4 = x +

PT trở thành a2 + 3a – 10 = 0  a = 2 hoặc a = –5

+ Với a = 2 thì   2 2 

2 = x x - 2x - 2 = 0 x = 1± 3

x

+ Với a = -5 thì   2 2  -5 ± 33

-5 = x x + 5x - 2 = 0 x =

Vậy PT có 4 nghiệm phân biệt x = 1± 3 ; -5 ± 33

2

2)

0

(a 1)(b 1) b - 1 a - 1

a b a 4b + 4 b 4a + 4

b - 1 a - 1 b - 1 a - 1

a b + b - 4b + 4 b a + a - 4a + 4

0

a b a b (b - 2) (a - 2)

b - 1 a - 1 b - 1 a - 1

1 1 (b 2) (a 2) (a b )

b 1 a 1 b 1 a

2

0

0

0



1

a - b (b 2) (a 2)

a - b a + b

(a - 1)(b - 1) b 1 a 1 (a - b) (a + b) (b 2) (a 2)

(a - 1)(b - 1) b 1 a 1 BĐT trên luôn đúng với a > 1 và b > 1 Suy ra đfcm

Bài 3 :

1) Số số hạng là 2016, nhóm mỗi bộ 4 số hạng ta được 504 nhóm

Ta có: (1 + 2 + 22

+ 23) + …+ (22012

+ 22013 + 22014 + 22015) = 15.1 + …+ 22012

(1 + 2 + 22 + 23) = 15 (1 + 22 + 24+ …+ 22012) chia hết cho 15

2) Giải hệ phương trình

3 3









x + y = 1 x + y + xy 7xy + y x = 7

Ta có: x3

+ y3 = 1 – x + y + xy  (x +y)[(x + y)2 – 3xy] = 8 – 6xy (*) Đặt a = x + y và b = xy

Từ (*)  a3 – 8 – 3ab + 6b = 0

 (a – 2)(a2 + 2a + 4 – 3b) = 0

 a = 2 hoặc a2 + 2a + 4 – 3b = 0

TH1: a = 2  x + y = 2  x = 2 – y

Từ 7xy + y – x = 7  7y2 – 16y + 9 = 0  y = 1 hoặc y = 9

7  (x,y) = (1 ; 1) hoặc  ; 

5 9

7 7

TH2: a2 + 2a + 4 = 3b

 (x +y)2

+ 2(x + y) + 4 = 3xy  x2 – xy + y2

+ 2x + 2y + 4 =0  x2 – (y – 2)x + y2

+ 2y + 4 = 0     

2

2

y - 2 3

x - + y + 2 = 0

Vậy hệ PT có 3 nghiệm là (1 ; 1) ;  ; 

5 9

7 7 ; (-2 ;-2)

a)

 MAC đồng dạng với AEC :

+ AB  CD nên AOC = AOD = BOC = BOD

 AC = AD = BC = BD  BAC = AEC (góc nội tiếp chắn cung BC và AC) + Xét MAC và AEC có ACE chung ; BAC = AEC (cmt)

Suy ra : MAC đồng dạng với AEC (g.g) (1)

 OMC đồng dạng với EDC :

+ CED = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0

+ OMC và EDC có ECD chung và 0

CED = MOC = 90 Suy ra : OMC đồng dạng với EDC (g.g) (2)

b) Tìm GTNN của biểu thức OMON

AM DN

Từ (2)  OMODOM.EC = ED.OD

Từ (1) AM ACAM.EC = AE.AC

Từ (3)(4)  OMED.OD

AM AE.AC (5) Chứng minh tương tự ta cũng có: ND.EB = ED.BD và ON EB = AE.OB

Suy ra: ONOB.AE

ND ED.BD (6)

Từ (5)(6) 

2

Do đó: OMON

AM DN đạt GTNN là 2 khi ED = EA

Bài 5: (1đ)

Nh ận xét: 25 = 2 12 + 1

Gọi A là 1 điểm trong số 25 điểm đã cho Vẽ đường tròn tâm A bán kính 1

+ Nếu 24 điểm còn lại nằm trong (A; 1) thì bài toán được chứng minh

+ Nếu có 1 điểm nằm ngoài (A; 1) , giả sử đó là điểm B nên AB > 1

Vẽ đường tròn tâm B bán kính 1

Với 1 điểm C bất kỳ ta có:

Xét 3 điểm A, B, C thì AB > 1 nên theo giả thiết đề bài thì AC < 1 hoặc BC < 1

Suy ra: C thuộc (A; 1) hoặc C thuộc (B; 1) Theo nguyên tắc Dirichlet thì có 25 điểm (25 con thỏ) mà có 2 đường tròn (2 cái lồng) nên tồn tại 1 1 đường tròn chứa ít nhất [25:2] + 1 = 13 điểm

N

A

C O E