Bài toán khoảng cách

Tìm trên những điểm cách đều 2 trục toạ độ.Giải Ta thấy những điểm cách đều hai trục toạ độ chính là tất cả các điểm nầm trên đường thẩng.. Vậy các điểm phải tìm chính là giao điểm của đ

I.Lý thuyết cơ bản cần nhớ

* Khoàng cách giữa hai điểm và là

* Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Cho điểm và đường thẳng Khi đó:

II Một số ví dụ có giải

Dạng 1: Các bài toán về khoảng cách thoả mãn một điều kiện cho trước

M( , ) x1 y1 N( , ) x2 y2

MN = ( − √ − x −−−−−−−−−−−−−−−−1 x2)2 + ( − y1 y2) −2

d(M, Δ) = |A + B + C| x0 y0

+

A2 B2

− −−−−− −

√

y = f(x) = 3 − 3 , (C)

Bài toán khoảng cách

Ví Dụ 1: Cho hàm số Tìm trên những điểm cách đều 2 trục toạ độ.

Giải

Ta thấy những điểm cách đều hai trục toạ độ chính là tất cả các điểm nầm trên đường thẩng

Vậy các điểm phải tìm chính là giao điểm của đường thẳng và

Hoành độ giao điểm chính là nghiệm của phương trình:

Vậy trên có 3 điểm mà từ đó khoảng cách đến hai trục bằng nhau là:

Ví dụ 2: Cho hàm số Tìm tất cả các cặp điểm nằm trên và đối xứng với nhau qua

Giải

Gọi là phương trình đường thẳng đi qua và có hệ số góc Khi đó phương trình của là:

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Để cắt tại hai điểm đối xứng với nhau qua thì trước hết phương trình hai của

hệ phải có hai nghiệm sao cho:

y = f(x) = x3 − 3 , (C)

y = ±x

⎡

⎣

⎢

⎢

= x

− 3

x2

x + 2

= − x

− 3

x2

x + 2

⎡

⎣

x = − 3 2

2 + 2x − 3 = 0 x2

⎡

⎣

x = − 3 2

x = − 1 ± 7 √

x ≠ − 2

(C)

2

3

(C) : y = x2 + x + 2

I(0; ) 5 2

y = kx + 5

2

+ x + 2

x2

x − 1

5 2

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

x ≠ 1 (k − 1) + ( − k)x − x2 3 2 9 2 = 0

Với thì phương trình hai của trở thành:

Vậy là hai điểm phải tìm

Ví dụ 3: Cho hàm số Tìm để khoảng cách tử đến gấp hai lần khoảng cách từ đến

Giải

Giả sử Khoảng cách từ đến hai trục là:

- Trục :

- Trục :

Ta có: Xét hai trường hợp sau:

Ta thấy phương trình hai của có Suy ra hệ vô nghiệm

S 2

+

x1 x2

2

3 2

3 2

(−3; −2), (3; 7)

Ox |y| = x2 + 5x + 15 x + 3 = d1

Oy |x| = d2

= 2 ⇔ |y| = 2|x|

d1 d2

∙

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

y = 2x

y = x2 + 5x + 15 x + 3

⎪

y = 2x

2x = x2 + 5x + 15 x + 3

y = 2x + x − 15 = 0

x2

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎧

⎩

⎨ x = −1 − 62

−−

√ 2

y = − 1 − 62 √ −−

⎧

⎩

⎨ x = −1 + 62

−−

√ 2

y = − 1 + 62 √ −−

⎩

⎨

⎪

⎪

y = − 2x

y = x2+ 5x + 15 x + 3

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

y = − 2x

−2x = x2 + 5x + 15 x + 3

y = − 2x

3 + 11x + 15 = 0 x2

−1 + 61 √ −−

Dạng 2: Bài toán tìm cực trị của khoảng cách

Ví dụ 4: Cho hàm số Tìm tất cả các điểm trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ đến hai tiện cận là nhỏ nhất

Giải

có tiệm cận đứng là

có tiện cận xiên

khoảng cách của chúng đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất là

Ví dụ 5: Cho hàm số Tìm sao cho tổng khoảng cách từ tới hai trục toạ độ

là nhỏ nhất

Giải

Gọi Ta thấy tổng khoảng cách từ đến là:

y = x2 − x + 1 (C)

x − 1 M

y = x2x − 1 − x + 1 = x + x − 1 1

y = − ∞, y = + ∞ ⇒ (C)

lim

(y − x) = 0, (y − x) = 0 ⇒ (C)

lim

M( ; ) ∈ (C) ⇒ x0 y0 y0 = x0 + 1

− 1

x0

d2 Δ2 ∣∣x0 − y0∣∣

2

√

∣∣x0 x0 x01−1 ∣∣

2

√

1

| − 1|

2

√ x0

| − 1|

2

| − 1|

2

√ x0

− −−−−−−−−−−−−−− −

2

√4

| − 1|

2

2

1 2

√4

2

√4

8

√4

2

√4

8

√4

4

2 2

√4

Ox, Oy

d(M) = |MH| + |MK| = |x| + |y| = |x| + ∣∣∣ x − 1 x + 1 ∣ ∣∣

Ta thấy: khi toạ độ của là thì Do đó giá trị nhỏ nhất của sẽ nhỏ hơn hoặc bằng Ta chì cần xét bài toán với thoả các điều kiện sau:

Khi đó trở thành:

Ví dụ 6: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số các điểm sao cho

nhỏ nhất

Giải

có tiệm cận đứng là Gọi thuộc nhánh trái của và thuộc nhánh phải của

Ta có:

{ |x| < 1 ⇔ ⇔ 0 < x < 1

|y| < 1

⎧

⎩

⎨ −1 < x < 1 ∣ < 1

∣∣ x − 1 x + 1 ∣ ∣∣

d(M)

d(M) = x + 1 − x 1 + x = x − 1 + x + 1 2 = (x + 1) + x + 1 2 − 2 ≥ 2 √ − (x + 1) −−−−−−−−− x + 1 2 − − 2 = 2 √ 2

− 2 min d(M) = 2( − 1) √ 2 ⇔ ⎧ ⎩ ⎨ 0 < x < 1 x + 1 = 2 ⇔ x = − 1 ⇒ M( − 1; 1 − )

x + 1

2

y = − + 2x − 5 x2x − 1 (C) M1, M2

| M1M2|

y = − + 2x − 5 x2x − 1 = − x + 1 − x − 1 4

y = − ∞, y = + ∞ ⇒ (C)

lim

( ; )

⇒

⎧

⎩

⎨ x x12 = 1 − a = 1 + b

a, b > 0

⎧

⎩

⎨

⎪

⎪

= a +

= − b −

( M1M2)2 ( − ) x1 x2 2 ( − ) y1 y2 2 (−a − b)2 (a + b + 4 a + ) 4 b

2

ab

2

ab

2

Suy ra:

III Bài tấp đề nghị

Bài 1: Cho Tìm để khoảng cách từ đến gấp ba lần khoảng cách từ đến

Bài 2: Cho Tìm trên những điểm sao cho khoảng cách từ đó đến đường thẳng

là nhỏ nhất

Bài 3: Cho hàm số Tìm trên đồ thị hàm số ứng với những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất

Bài 4: Cho Tìm trên mỗi nhánh của các điểm sao cho là nhỏ nhất

Bài 5: Cho Tìm để khoảng cách từ đế tiện cận xiên lớn nhất

≥ (2 √ −− ab )2(2 + ab 8 + 16 ) (theo bất đẳng thức Cauchy)

a2b2

a2b2

8

8 ab

− − −−−

√

≥ 32( + 1) ( M1M2)2 √ 2

⇔ ⎧ ⎩ a = b > 0 ⇔ a = b = ⇔ [

ab = 8 ab

8

√4 M1(1 − √48 ; √48 + 2 √42 )

M2 √48 √48 √42

(C) : y = x2 + 4x + 5

3x + y + 6 = 0

(C) : y = x2 − x + 1

( ) : y = Ca 2 sin a − 3x cos a + 6 x2

(C) : y = x + 1

Bài 6: Cho hàm số: Tìm m để đường thẳng cắt tại hai điểm sao cho

(với là gốc toạ độ)

a Tìm trên hai nhánh phân biệt của hai điểm sao cho ngắn nhất

b Chứng minh tích của hai khoảng cách từ hai điểm bất kì trên đến hai đường tiện cận là một hằng số ĐS:

a

Tài liệu tham khảo

- Tuyển tập cac chuyên đề luyện thi đại học phần hàm số của Trần Phương

- Phương pháp giải toán hàm số của Mai Xuân Hệ

- Một số tài liệu trên internet

m = 1 ± 5 2 √

y = f(x) = x2x − 1 + x − 5 (C)

(C)

2

√4

1 2

√4

1 2

√4

1 2

√4

d = 1

2

√