Bài toán điểm cân bằng kiểu Blum-oettli

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 THÂN THỊ THU HÀ BÀI TOÁN ĐIỂM CÂN BẰNG KIỂU BLUM - OETTLI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Hà Nội 2012 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 THÂN THỊ THU HÀ BÀI TOÁN ĐIỂM CÂN BẰNG KIỂU BLUM - OETTLI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội 2012 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Thân Thị Thu Hà LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bài toán điểm cân bằng kiểu Blum-Oettli” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã học hỏi và kế thừa những thành tựa của các nhà khoa học, các thầy cô giáo và bạn bè với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Thân Thị Thu Hà Mục lục Mở đầu 6 1 Kiến thức cơ bản của giải tích đa trị 9 1.1 Một số không gian cần dùng . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 18 1.2 Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Tính liên tục, tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị . . . . 23 1.4 Một số định lý về điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 27 2 Bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli vô hướng 30 2.1 Bài toán điểm cân bằng cổ điển và các bài toán liên quan 31 2.2 Định lý tồn tại điểm cân bằng Blum-Oettli . . . . . . . . 35 3 Bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli véctơ đa trị 42 3.1 Bài toán điểm cân bằng véctơ đa trị . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3 4 BẢNG KÍ HIỆU R tập số thực R tập số thực mở rộng R n không gian Euclide n-chiều R n + tập các véctơ không âm (orthant không âm) của R n x ∈ M phần tử x thuộc tập M y /∈ M phần tử y không thuộc M K ⊂ X K là một tập con của X M ∪ N hợp của hai tập M và N M ∩ N giao của hai tập M và N M \ N hiệu của hai tập M và N M × N tích Đề-các của hai tập M và N 2 X tập tất cả các tập con của tập X x, y tích vô hướng của x và y ρ(x, y) khoảng cách giữa x và y x chuẩn của x ¯ C bao đóng của tập C intC phần trong của tập C conv C bao lồi của tập C 5 (l)C nón đóng của nón C cone B tập sinh của nón C C  nón cực của C core D K lõi của K theo D X ∗ không gian tôpô đối ngẫu của X inf f cận dưới đúng của hàm f sup f cận trên đúng của hàm f dom F miền định nghĩa của hàm F graph F đồ thị của F epi F trên đồ thị của hàm F MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Bài toán điểm cân bằng đã được nghiên cứu từ cuối thế kỉ 19. Sau đó vào những năm cuối của thế kỉ 20 nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm, nghiên cứu như Debreu, Nash, đã sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế. Để chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng của bài toán kinh tế, đầu tiên người ta thường sử dụng các định lý điểm bất động Brouwer, Kakutani, Ky Fan, Sau này, người ta tìm được nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm cân bằng . Ky Fan (1972) và Brouwer-Minty (1978) đã phát biểu bài toán điểm cân bằng một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại nghiệm của nó dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1991, Blum-Oettli đã phát biểu bài toán điểm cân bằng tổng quát và tìm cách liên kết các bài toán của Ky Fan và Brouwer-Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu ngắn gọn như sau: Tìm ¯x ∈ D sao cho f(¯x, y) ≤ 0 với mọi y ∈ D, trong đó D là một tập cho trước của không gian véctơ thực X, f : D ×D → R là hàm thoả mãn f(x, x) = 0, mọi x ∈ D. Từ bài toán này ta có thể suy ra được các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu: Bài toán tối ưu, bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nash, Ban đầu người ta nghiên cứu những bài toán có liên quan tới ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn 7 chiều khác mà thứ tự trong nó được đưa ra bởi nón orthant dương. Sau đó mở rộng cho các bài toán trong không gian có số chiều vô hạn với nón bất kì. Từ những năm đầu của thế kỷ 20 khái niệm ánh xạ đa trị được nghiên cứu và đưa ra đã đáp ứng được nhu cầu của sự phát triển không ngừng của toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Những định nghĩa, tính chất, của các ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị. Trên cơ sở này, người ta cũng tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị cho đa trị. Vì vậy bài toán điểm cân bằng được nhiều nhà toán học quan tâm khai thác. Với những lý do trên cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo của thầy Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã chọn đề tài "Bài toán điểm cân bằng kiểu Blum-Oettli" để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Tập hợp trình bày hệ thống một số kết quả nghiên cứu cơ bản xung quanh kết quả của Blum-Oettli. Đó là kết quả tồn tại nghiệm của bài toán điểm cân bằng và bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli véctơ đa trị. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về bài toán điểm bằng Blum-Oettli véctơ đa trị và số bài toán liên quan có sự tham gia của ánh xạ đa trị. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli, một số bài toán liên quan. Tìm mối liên quan giữa các bài toán này và đưa ra các ứng dụng của chúng. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung nghiên cứu. - Sử dụng các phương pháp của giải tích đa trị, đặc biệt các định lý điểm bất động kiểu Ky Fan và Browder-Ky Fan. - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. [...]... tồn tại nghiệm của bài toán này dựa trên Nguyên lý KKM Trong mục này chúng ta đi tìm hiểu bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli và các bài toán liên quan, phần cuối đưa ra Định lý tồn tại và các hệ quả 31 2.1 Bài toán điểm cân bằng cổ điển và các bài toán liên quan Bài toán điểm cân bằng do Blum - Oettli đặt ra là bài toán điểm cân bằng cổ điển (hay bài toán cân bằng vô hướng) Bài toán được phát biểu... cứu một số bài toán ở chương sau Chương 2 Bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli vô hướng Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ cuối thế kỷ 19 Sau đó được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu, trong đó bài toán đã được vận dụng để xây dựng mô hình kinh tế Để chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng của mô hình kinh tế, ban đầu người ta thường sử dụng các định lý điểm bất động kiểu Brouwer,... ∈ D sao cho f (¯, y) ≥ 0 với mọi y ∈ D ¯ x (2.1) trong đó điểm x được gọi là điểm cân bằng ¯ Bài toán điểm cân bằng bao hàm nhiều trường hợp riêng là các bài toán trong lý thuyết tối ưu Từ bài toán này với cách chọn hàm f thích hợp cho từng trường hợp cụ thể, ta suy ra một số bài toán liên quan sau 1 Bài toán tối ưu Xét hàm số ϕ : D → R Bài toán tìm x ∈ D sao ¯ cho ϕ(¯) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ D, hay được...8 6 Những đóng góp mới của đề tài Trình bày được một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về một số không gian thường dùng trong các bài toán tối ưu, bài toán điểm bằng Blum-Oettli, các bài toán liên quan Mở rộng cho bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli véctơ đa trị Chương 1 Kiến thức cơ bản của giải tích đa trị Chương này nhắc lại một số không gian cơ bản và nghiên cứu một số tính chất... và năm 1978 Browder-Minty đã phát biểu bài toán điểm cân bằng một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại nghiệm của nó với những giả thiết khác nhau Kết quả của Ky Fan nặng về tính nửa liên tục trên, còn kết quả của Browder-Minty nặng về tính đơn điệu của hàm số Năm 1991, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán điểm cân bằng tổng quát và tìm cách hợp nhất các bài toán của Ky Fan và BrowderMinty với nhau... cận của điểm x ∈ X trong không gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r > 0 nào đấy Xét một tập A bất kỳ trong không gian metric M , với x ∈ X Điểm x được gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm x bao hàm trong tập A Điểm x gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm x không chứa điểm nào của tập A Điểm x gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm x... ∈ D x hay x là nghiệm của (2.1) ¯ 2 Bài toán điểm bất động Cho X là không gian Hilbert, T : D → D là một ánh xạ đơn trị cho trước Bài toán điểm bất động: Tìm x ∈ D sao cho T (¯) = x ¯ x ¯ x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T ¯ Đặt f (x, y) = T (x) − x, x − y với mọi x, y ∈ D (2.3) 32 Khi đó x là nghiệm của bài toán (2.1) nếu và chỉ nếu x là nghiệm của ¯ ¯ bài toán (2.3) Thật vậy: (2.3) => (2.1)... Điểm x gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm x đều chứa những điểm thuộc tập A, và những điểm không thuộc tập A 12 Tập tất cả những điểm biên của tập A được ký hiệu là δA Điểm x gọi là điểm giới hạn ( hay điểm tụ) của tập A, nếu mọi lân cận của điểm x đều chứa ít nhất một điểm của tập A khác x Tập tất cả các điểm giới hạn của tập A được gọi là tập dẫn suất và ký hiệu là A Định nghĩa... 22 i) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C nếu y − x ∈ C với mọi y ∈ A Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được kí hiệu là IM in(A \ C) hoặc IM inA ii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A đối với nón C, nếu không tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C \ l(C) Tập các điểm hữu hiệu là P M in(A \ C) hay M in(A \ C) hoặc M inA iii) Điểm x ∈ A là điểm hữu... ρ) và tập A ⊂ X Tập A gọi là tập mở trong không gian M , nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A, thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A Tập A gọi là tập đóng trong không gian M , nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nếu điểm x ∈ A thì tồn tại một / lân cận x không chứa điểm nào thuộc A Ví dụ Trên đường thẳng R, mỗi khoảng (a, b) là một . điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 27 2 Bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli vô hướng 30 2.1 Bài toán điểm cân bằng cổ điển và các bài toán liên quan 31 2.2 Định lý tồn tại điểm cân bằng Blum-Oettli. bài toán này ta có thể suy ra được các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu: Bài toán tối ưu, bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân. nghiệm của bài toán điểm cân bằng và bài toán điểm cân bằng Blum-Oettli véctơ đa trị. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về bài toán điểm bằng Blum-Oettli véctơ đa trị và số bài toán liên quan có