(F1 ∪F2)(x) = F1(x)∪F2(x); (F1 ∩F2)(x) = F1(x)∩F2(x);
FC(x) =Y \F(x).
Hợp của ánh xạ F và G là ánh xạ G◦F : X → 2Z cho bởi công thức
G◦F(x) = [
x∈X
G(F(x)).
Tích Decarde của F : X → Y và G :W → Z là ánh xạ G×F :
X ×W → 2Y×Z cho bởi công thức
(G×F)(x, y) =G(x)×F(y).
b) Khi Y là không gian tôpô tuyến tính, tổng đại số của hai ánh xạ
F1, F2 và phép nhân của một số với ánh xạ F1 là các ánh xạ đa trị từ X
vào Y được xác định bởi.
(F1 +F2)(x) = F1(x) +F2(x).
(λF1)(x) = λF1(x).
1.3 Tính liên tục, tính lồi theo nón của ánh xạ đatrị trị
Định nghĩa 1.3.1. Cho X, Y là hai không gian tôpô Hausdorff. Một ánh xạ đa trị F : X → 2Y. Miền định nghĩa và đồ thị của F được định nghĩa
domF = {x ∈ X |F(x) 6= ∅},
Định nghĩa 1.3.2. Cho Y là không gian tôpô Hausdorff với nónC, trên đồ thị của F được định nghĩa
epiF = {(x, y) ∈ X ×Y |y ∈ F(x) +C, x ∈ domF}.
F được gọi là đóng theo nón C (C-đóng) nếu epiF là tập đóng trong
X ×Y.
Ta nhắc lại khái niệm liên tục của ánh xạ đơn trị.
Cho F : X → Y là ánh xạ đơn trị từ X vào Y, ánh xạ F được gọi là liên tục tại x¯ ∈ X nếu với mỗi tập mở V chứa F(¯x) tồn tại lân cận mở
U của x¯ sao cho F(x) ∈ V, với mọi x ∈ U.
F liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trong X.
Vì ánh xạ đa trị biến mỗi điểm thành một tập hợp, do đó với mỗi tập mởV bất kỳ và điểmxcó thể xảy ra hai trường hợp, hoặcF(x) ⊆ V, hoặc F(x)∩V 6= ∅. Vì vậy có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đa trị theo hai cách khác và ta có hai khái niệm hoàn toàn khác nhau: ánh xạ nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới. Sau đây ta đưa ra hai khái niệm trên theo định nghĩa của Berge.
Định nghĩa 1.3.3. Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô. Ánh xạ
F : X → 2Y là ánh xạ đa trị.
F được gọi là nửa liên tục trên tại x¯ nếu với mọi tập mở V, sao cho F(¯x) ⊂ V đều tồn tại tập mở U của x¯ sao cho F(x) ⊂ V với mọi
x ∈ U.
F được gọi là nửa liên tục dưới tại x¯ nếu với mọi tập mở V, sao cho F(¯x)∩V 6= ∅ đều tồn tại tập mở U của x¯ sao cho F(x)∩V 6= ∅ với mọi x ∈ U.
F được gọi là nửa liên tục tại x ∈ X nếu nó đồng thời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x. F được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
Định nghĩa 1.3.4. Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X → 2Y là ánh xạ đa trị. F được gọi là ánh xạ đóng nếu graphF là tập đóng trong
X ×Y
Định nghĩa 1.3.5. Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D ⊂ X khác rỗng, C là nón trong Y, ánh xạ đa trị F : D →Y. i) F là C- liên tục trên (hoặc dưới) tại x¯ ∈ D nếu với bất kỳ lân cận V
của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của x¯ trong X sao cho :
F(x) ⊂F(¯x) +V +C.
(hoặc F(¯x) ⊂F(x) +V −C), với mọi x ∈ U ∩domF.
ii) F là C- liên tục tại x¯ nếu F vừa là C- liên tục trên vừa là C- liên tục dưới tại x¯.
F là C- liên tục trên, C- liên tục dưới hoặc C- liên tục trên D nếu nó là
C- liên tục trên, C- liên tục dưới hoặc C-liên tục tại mọi x thuộc D. iii) F là C-liên tục trên yếu (C-liên tục dưới yếu) tại x¯ nếu lân cận U
của x¯ trong định nghĩa ở trên là lân cận trong tôpô yếu của X.
Trong phần tiếp theo chúng ta trình bày tính lồi của ánh xạ đa trị. Khái niệm này có vai trò quan trọng trong việc kiểm tra các định lý tồn tại nghiệm ở các chương sau. Ta nhắc lại khái niệm hàm lồi của hàm véctơ.
Định nghĩa 1.3.6. Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính,D ⊂ X
là tập lồi, C là nón lồi trong Y.
Hàm véctơ f : D →Y được gọi là C-lồi trên D nếu với mọi x1, x2 ∈ D,
α ∈ [0,1] ta luôn có
f(αx1 + (1−α)x2) ∈ αf(x1) + (1−α)f(x2)−C.
Trong trường hợp Y = R, C = R+ định nghĩa trên cho ta khái niệm về hàm f-lồi theo nghĩa thông thường.
Định nghĩa 1.3.7. i) F được gọi là C-lồi trên (hoặc C-lồi dưới) nếu
αF(x) + (1−α)F(y) ⊂F(αx+ (1−α)y) +C.
(tương ứng F(αx+ (1−α)y) ⊂αF(x) + (1−α)F(y)−C).
với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0,1].
ii) F được gọi là C-lõm trên (hoặc C-lõm dưới) nếu
αF(x) + (1−α)F(y) ⊂F(αx+ (1−α)y)−C.
(tương ứng F(αx+ (1−α)y) ⊂αF(x) + (1−α)F(y) + C).
với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0,1].
Chú ý. a) Nếu C = 0 thì tính {0}-lồi trên và {0}-lõm trên của F đồng nhất với nhau và F được gọi là dưới tuyến tính.
b) Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị thì tính C-lồi trên và C-lồi dưới (hoặc C-lõm trên và C-lõm dưới) là trùng nhau và ta gọi là C-lồi (hoặc C-lõm).
c) Nếu F là C-lồi trên, thì F(x) +C, x∈ domF là những tập lồi. Tương tự, nếu F là C-lõm trên, thì F(x)−C, x ∈ domF là những tập lồi.
Đối với các bài toán tối ưu, tính liên tục yếu của hàm số cho ta điều kiện rất nhẹ để xét sự tồn tại nghiệm. Thông thường miền ràng buộc của bài toán đòi hỏi phải là tập compắc. Nhưng với tính liên tục yếu của hàm số ta chỉ cần tính compắc yếu hay lồi, đóng giới nội trong không gian Banach phản xạ là đủ. Vì vậy, tính liên tục yếu của ánh xạ đa trị cũng rất quan trọng. Ta có định lý sau:
Định lý 1.3.8.(Xem [6]) Cho X là không gian lồi địa phương, Y là không gian Banach, D ⊂ X là tập lồi, đóng, khác rỗng, C là nón trong
Y có nón cực C0 là nón nhọn, đa diện. Nếu F : D → 2Y là C-lồi trên,
C-liên tục trên, thì F là C-liên tục trên yếu.
Định lý 1.3.9.(Xem [6]) Với giả thiết X, Y, D, C như trong Định lý 1.3.8. Nếu F : D → 2Y là (−C)-liên tục dưới, C-lõm dưới trên domF
và F(x) +C là lồi với mọi x ∈ D, thì F là (−C)-liên tục dưới yếu trên
domF.