BÀI TOÁN ĐIỂM CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1 ( 45 ) Tập 1 / N¨m 2008 78 BÀI TOÁN ĐIỂM CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG Đỗ Thị Thanh (Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh) 1. Đặt vấn đề Bài toán điểm cân bằng được hình thành từ khái niệm hữu hiệu mà Edgeworth và Pareto đã đề xướng từ cuối thế kỷ 19. Sau đó được nhiều nhà toán học như Debreu, Nash, sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế, trong những năm cuối của thế kỷ 20 nhiều nhà kinh tế trên thế giới quan tâm sử dụng. Để chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng của mô hình kinh tế, đầu tiên người ta thường sử dụng các định lý điểm bất động kiểu Brower, KakuTani, Kyfan, Browder, Sau này người ta tìm ra được nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm cân bằng như Ky Fan, năm 1972, Browder -Minty, năm 1978. Năm 1991, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng tổng quát. Các tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán này dựa trên nguyên lý KKM. Bài toán tổng quát do Blum và Oettli đặt ra được gọi là bài toán cân bằng cổ điển hay bài toán cân bằng vô hướng. Bài toán này được phát biểu như sau: Cho X là không gian vectơ lồi địa phương thức, D ⊂ X là tập lồi đóng, khác rỗng và f: D×D →R là hàm thoả mãn f(x,x) = 0 với mọi x ∈ D. Tìm điểm x ∈ D sao cho f( x , y)≥ 0, với mọi y ∈ D. Điểm x được gọi là điểm cân bằng. Người ta thường sử dụng ký hiệu (EP) để chỉ bài toán này (tiếng Anh : Equilibrium problem). Ngoài những ứng dụng trong toán học, bài toán trên còn được ứng dụng trong kinh tế, chẳng hạn như trong mô hình kinh tế Walras hay mô hình cân bằng Nash. Bằng cách chọn hàm f một cách thích hợp cho từng trường hợp có thể, ta suy ra được các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu. 2. Những bài toán liên quan 2.1. Bài toán tối ưu Cho D là tập hợp khác rỗng trong không gian X nào đó. Xét hàm số g: D → R. Bài toán: Tìm x ∈ D sao cho g( x ) ≤ g(x), với mọi y∈ D. Thông thường người ta viết nó dưới dạng Dx∈ min g(x). (2.1) N ế u ta đặ t f(x, y) = g(y) - g(x), v ớ i m ọ i x, y ∈ D, thì x là nghi ệ m c ủ a (2.1) khi và ch ỉ khi f( x , y) ≥ 0 m ọ i y ∈ D, t ứ c là x là nghi ệ m c ủ a (EP). 2.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân G ọ i X * là không gian đố i ng ẫ u c ủ a không gian tôpô tuy ế n tính X. Cho ánh x ạ T: D → X * . Bài toán: Tìm x ∈ D sao cho < T( x ), x - y > ≥ 0, v ớ i m ọ i y ∈ D. (2.2) Ta đặ t f(x, y) = < Tx, x - y > v ớ i m ọ i x, y ∈ D, thì x là nghi ệ m c ủ a (2.2) khi và ch ỉ khi x là nghi ệ m c ủ a bài toán (EP). T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1 ( 45 ) Tập 1 / N¨m 2008 79 2.3. Bài toán điểm bất động Cho X là không gian Hibert, T: D → D là ánh xạ đơn trị Bài toán: Tìm x ∈ D sao cho T x = x . (2.3) Điểm x được là điểm bất động của ánh xạ T. Đặt f(x, y) = < T(x) - x, x - y > với mọi x, y∈ D. Nếu x lànghiệm của (EP) thì f( x , y) ≥ 0 suy ra < T x - x , x -y > ≥ 0 với mọi y∈ D. Cho nên chọn y = T x ta được 2 xxT − = 0. Ta đó x là nghiệm của (2.3). Ngược lại, nếu x là nghiệm của (2.3) thì hiển nhiên x là nghiệm của (EP). 2.4. Bài toán cân b ằ ng Nash. Cho D i ∈ X, i ∈ I là các tập con khác rỗng trong tôpô tuyến tính X với I là tập hữu hạn các phần tử, I = {1, ,n}. Đặt D = ∏ ∈Ii i D và xét các hàm f i : D → R. Với mỗi x = (x i ) i∈I ∈ D ta đặt x i = (x j ) i∈I , j ≠ i. Bài toán : Tìm x = ( x i ) i∈I ∈ D sao cho f i ( x ) ≤ f i ( x i , y i ) với mọi y i ∈ D i , (2.4) được gọi là bài toán cân bằng Nash. Điểm x được gọi là điểm cân bằng Nash. Ta định nghĩa hàm f: D × D → R như sau: f(x,y):= ∑ ∈ − Ii ii i i xfyxf ))(),(( . Dễ dàng thấy rằng nếu x là nghiệm (2.4) thì ∑ ∈ − Ii ii i i xfyxf ))(),(( ≥ 0. Do đó x là nghiệm của (EP). Ngược lại, nếu x là nghiệm của (EP), tức là ∑ ∈ − Ii ii i i xfyxf ))(),(( ≥ 0 thì với mỗi i ∈ I ta chọn y = (y i ) i∈ I ∈ D sao cho y i = i x . Ta suy ra f j ( j x , y j ) – f j ( x ) = 0 với j ∈ I và j ≠ i và f( x , y) = f i ( x i , y i ) – f i ( x ). Như vậy f i ( x i , y i ) ≥ f i ( x ) với mọi i ∈ I. Điều này chứng tỏ x là nghiệm của (2.4). T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1 ( 45 ) Tập 1 / N¨m 2008 80 Trong bài toán này, I ={1, 2, , n} được gọi là tập hợp n người cùng tham gia hoạt động kinh tế, hay tham gia một trò chơi nào đó. D i được gọi là tập chiến lược của người chơi thứ i và f i là hàm thiệt hại của người chơi thứ i. Điểm cân bằng x chính là điểm mà tại đó mọi người chơi đều nhận thấy trong quá trình lựa chọn chiến thuật chơi của mình. 2.5. Bài toán điểm yên ngựa Cho D 1 , D 2 và ϕ : D 1 × D 2 → R. Điểm ( x 1 , x 2 ) được gọi là điểm yên ngựa của ϕ nếu ( x 1 , x 2 ) ∈ D 1 × D 2 và ϕ ( x 1 , y 2 ) ≤ ϕ ( x 1 , x 2 ) ≤ ϕ (y 1 , x 2 ), (2.5) với mọi (y 1 , y 2 ) ∈ D 1 × D 1 . Đặt D = D 1 × D 2 và định nghĩa f : D× D → R: f(x,y) = ϕ (y 1 , x 2 ) - ϕ (x 1 , y 2 ), với x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ). Điểm x = ( x 1 , x 2 ) là nghiệm của (2.5) nếu và chỉ nếu f( x , y) ≥ 0 với mọi y = (y 1 , y 2 ) ∈ D, tức là x là nghiệm của (EP). 2.6. Bài toán tối ưu của hàm khả vi lồi Cho ϕ : X→ R là hàm khả vi Gateaux với đạo hàm Gateaux D ϕ (x) ∈X * . Xét bài toán Dx∈ min ϕ (x). (2.6) Đặ t f(x, y) = < D ϕ (x), y – x >. Ta bi ế t r ằ ng trong gi ả i tích l ồ i: x là nghi ệ m c ủ a (2.6) khi và ch ỉ khi x tho ả mãn b ấ t đẳ ng th ứ c bi ế n phân < D ϕ ( x ), y – x > ≥ 0 v ớ i m ọ i y ∈ D. Đ i ề u này t ươ ng đươ ng v ớ i x là nghi ệ m c ủ a (EP). 2.7. Bài toán bù Cho C là nón l ồ i, đ óng trong X. G ọ i C * là nón c ự c c ủ a C. Xét T: C → X* v ớ i X * là không gian tôpô đố i ng ẫ u c ủ a X. Bài toán: Tìm x ∈ X sao cho x ∈ C, T x ∈ C * , < T x , x > = 0 (2.7) đượ c g ọ i là bài toán bù. Đặ t f(x, y) = < Tx, y – x > v ớ i x, y ∈ C. Khi đ ó, n ế u x là nghi ệ m c ủ a (2.7) thì f( x , y) = < T x , y - x > = <T x , y > ≥ 0 v ớ i m ọ i y ∈ C. Đả o l ạ i, gi ả s ử x là nghi ệ m c ủ a (EP). Ch ọ n y = 2 x và y = 0, ta suy ra < T x , x > = 0 và T x ∈ C * nên x là nghi ệ m c ủ a (2.7). 3. Sự tồn tại nghiệm Tr ướ c h ế t, ta nh ắ c l ạ i m ộ t s ố khái ni ệ m. Cho K, D là các t ậ p l ồ i khác r ỗ ng trong X v ớ i K ⊂ D. Nhân c ủ a K trong D là t ậ p core D K:= {a ∈ K / K ∩ (a,y] ≠ ∅ v ớ i m ọ i y ∈ D \ K}, T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1 ( 45 ) Tập 1 / N¨m 2008 81 trong đó (a,y] = {λa + (1- λ)y với 0 ≤ λ < 1}. Hàm số g: D×D → R được gọi là đơn điệu nếu g(x, y) + g(y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ D. Định lý tồn tại điểm cân bằng dưới đây đã được E. Blum và W. Oettli chứng minh trong [1]. Định lý 1: Nếu X là không gian lồi địa phương thực, D ⊂ X là tập lồi, đóng khác rỗng, các hàm g:D × D → R và h: D × D → R thoả mãn: i) g(x, x) = 0 với mọi x ∈ D; ii) g(x, y) + g(y, x) ≤ 0 với mọii x, y ∈ D (g là hàm đơn điệu); iii) Với mọi x, y ∈ D cố định t ∈ [0, 1] → g(ty + (1 - t)x, y) là nửa liên tục trên tại t = 0; iv) g là lồi và nửa liên tục dưới theo biến thứ hai ; v) h(x, x) = 0 với mọi x ∈ D; vi) h là nửa liên tục dưới theo biến thứ nhất, lồi theo biến thứ hai; vii)Tồn tại tập compắc, lồi, khác rỗng K ⊂ D sao cho với mọi x ∈ K\ Core D K đều tồn tại a ∈ Core D K để g(x, a) + h(x, a) ≤ 0, thì tồn tại x ∈ K sao cho g( x , y) + h( x , y) ≥ 0 v ớ i m ọ i y ∈ D. 4. Ứng dụng trong phương trình vi phân Ta nhắc lại một số khái niệm, định nghĩa, một số không gian quan trọng và một số kết quả cần dùng. Cho Ω là miền mở, giới nội trong R n , f: Ω → R. Giả sử rằng có các đạo hàm riêng i x f ∂ ∂ (x), i = 1, , N. Khi ấy vectơ ( 1 x f ∂ ∂ , , N x f ∂ ∂ (x)) được gọi là gradian của f tại x và được ký hiệu: ∇ f(x) = ( 1 x f ∂ ∂ , , n x f ∂ ∂ (x)); f∇ = ( 2/12 1 )))((( x x f N i i ∑ = ∂ ∂ Dive của f tại x là biểu thức divf = )( 1 x x f N i i ∑ = ∂ ∂ Khi các đạo hàm riêng cấp hai 2 2 i x f ∂ ∂ , i = 1, ,N tồn tại thì toán tử ∑ = ∂ ∂ =∇ N i i x f f 1 2 2 được gọi là toán tử Laplace. Cho 1≤ p < ∞ , ký hiệu T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1 ( 45 ) Tập 1 / N¨m 2008 82 p L (Ω) = {f: Ω → R = R ∪ { ± ∞ } sao cho ∞< ∫ Ω dxxf p )( }. W m, p ( Ω ) là không gian các hàm u ∈ L p ( Ω ) có đạo hàm suy rộng đến bậc m và D α u ∈ L p ( Ω ) với mọi α mà α ≤ m, với m = 0, ta đặt W 0,p ( Ω ) = p L ( Ω ). )(Ω ∞ c C là không gian các hàm khả vi vô hạn lần với giá compắc trong Ω, )( , 0 Ω nm W là bao đóng của )(Ω ∞ c C trong )( , Ω nm W . Bài toán 1 Cho p, q là hai số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1, qp 11 + = 1. Cho f là một hàm số xác định trên Ω , f ∈ q L ( Ω ). Bài toán : Tìm hàm u xác định trên Ω thoả mãn phương trình tựa tuyến tính Dirichlet sau: - div(a(u) ∇ u) = f trong Ω , u = 0 trên ∂Ω với a(u) = (1 + .)))( 2 1 1 − − − Ω ∇∇ ∫ p p p p udxxu Bài toán tìm nghiệm yếu của phương trình này tương đương với việc giải bài toán biến phân sau: Tìm u ∈ )( ,1 0 Ω p W sao cho <A(u),v> = ∫ Ω dxvf với mọi v ∈ )( ,1 0 Ω p W , với <A(u) = .)( ∫ Ω ∇∇ vdxuua ,với mọi u, v ∈ )( ,1 0 Ω p W . Với các giả thiết như trên, phương trình vi phân tuyến tính Dirichlet luôn có nghiệm. Điều này được suy từ Định lý 1 trong đó g(u, v) = < A(u), v - u >, và h(u, v) = - < f, v – u >. Bài toán 2. Cho f ∈ q L ( Ω ), F: H 2 ( Ω ) → R. Tìm u ∈ q L ( Ω ) thoả mãn các phương trình sau: ∆ ( )())1( 1 uFupuu p +∆∆+∆ − ∆ = f, trong Ω , v ớ i các đ i ề u ki ệ n biên )1((( uuu n pp ∆∆+∆ ∂ ∂ = 0 : ∆ u = 0, trên ∂Ω Bài toán này t ươ ng đươ ng v ớ i bài toán: Tìm u ∈ H 2 (Ω) sao cho < A(u), v - u > + .))(( ∫ Ω − dxuvuF ≥ ., ∫ Ω >−< dxuvf , v ớ i m ọ i v ∈ H 2 (Ω) v ớ i T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1 ( 45 ) Tập 1 / N¨m 2008 83 <A(u),v > = ∫ Ω − ∆+∆ 1 )1( pp uu vu ∆ ∆ dx. Định nghĩa các hàm số g, h: H 2 ( Ω ) × H 2 ( Ω ) → R như sau: g(u,v) = < A(u), v - u>, h(u,v) = .),))(( ∫ Ω >−<−−< dxuvfuvuf , u, v ∈ H 2 ( Ω ). Ta giả thiết rằng F là hàm nửa liên tục trên với tôpô yếu thoả mãn điều kiện lim n sup n nn u dxuuF ∫ Ω ).( ≤ + ∞ v ớ i m ọ i dãy {u n } ⊂ H 2 ( Ω ) mà n u → ∞ . V ớ i các gi ả thi ế t nh ư trên, ph ươ ng trình vi phân t ự a tuy ế n tính trên luôn có nghi ệ m. Ta th ấ y r ằ ng các hàm s ố g, h đị nh ngh ĩ a nh ư ở trên tho ả mãn m ọ i đ i ề u ki ệ n c ủ a Đị nh lý 1 v ớ i a = 0. Bài toán 3 Cho φ ∈ )( ,1 0 Ω p W ∩ )(Ω ∞ L , φ ≥ 0 là hàm số cho trước. Đặt K = { ω ∈ )( ,1 0 Ω p W / ω ≥ φ hầu khắp nơi trong Ω }, ta dễ dàng thấy rằng K là tập lồi, đóng trong )( ,1 0 Ω p W . Cho f: Ω × )( ,1 0 Ω p W → L 1 ( Ω ) A: )( ,1 0 Ω p W → Ω , Định nghĩa bởi A(v) = - div( ) 2 vv p ∇∇ − . <.,.> là tích vô h ướ ng gi ữ a )( ,1 0 Ω p W v ớ i W -1,p ( Ω ): < A(u), v - u > ≥ ∫ Ω − ∇∇∇ vdxuu p 2 Xét bài toán b ấ t đẳ ng th ứ c bi ế n phân: Tìm u ∈ K sao cho < A(u), v - u > ≥ ∫ Ω − dxuvuxf )).(,( v ớ i m ọ i v ∈ K. (3) Ta đị nh ngh ĩ a hàm s ố h: K×K → R nh ư sau h(u,v) = < A(u), v – u > - ∫ Ω − dxuvuxf )).(,( . Bài toán b ấ t đẳ ng th ứ c bi ế n phân (3) t ươ ng đươ ng v ớ i bài toán đ i ể m cân b ằ ng: Tìm u ∈ K sao cho h(u,v) ≥ 0 v ớ i m ọ i v ∈ K. Ta có : N ế u v ớ i m ọ i dãy {u n } ⊂ K mà ∞→n lim n u = + ∞ , đề u t ồ n t ạ i n 0 để dxu p n ∫ Ω ∇ 0 ≥ dxuxf n ∫ Ω 0 ,( , (4) Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1 ( 45 ) Tp 1 / Năm 2008 84 thỡ bt ng thc bin phõn (4) cú nghim. iu ny c suy trc tip bi nh lý 1 vi g = 0. iu kin (4) chng t h( 0 n u , 0) 0. 5. Kt lun Bi toỏn im cõn bng v m rng ca nú cú vai trũ quan trng trong lý thuyt v thc t. Trong bi bỏo a ra ỏp dng ó chng minh s tn ti nghim yu ca mt s bi toỏn trong lý thuyt phng trỡnh vi phõn o hm riờng. Cỏc bi toỏn liờn quan n bi toỏn im cõn bng vn cn c tip tc nghiờn cu vỡ kh nng ng dng ca chỳng rt phong phỳ Túm tt Bi toỏn im cõn bng c hỡnh thnh t nhng khỏi nim hu hiu trong kinh t ó a ra bi Edgeworth v Pareto ó xng t cui th k 19, sau ú c nhiu nh toỏn hc nh Debreu, Nash, s dng xõy dng nhng mụ hỡnh kinh t. Ngy nay ngi ta cũn ng dng nhng bi toỏn ny vo nhng mụ hỡnh kinh t khỏc nhau, phng trỡnh vi phõn o hm riờng v cỏc vn khỏc. Cho X là không gian vectơ lồi địa phơng thực, D X là tập lồi đóng, khác rỗng và f: DìD R là hàm thoả mn f(x,x) = 0 với mọi x D. B i toán: Tìm điểm x D sao cho f( x ,y) 0, với mọi y D, đợc gọi là bài toán điểm cân bằng theo Blum và Oettli. Điểm x đợc gọi là điểm cân bằng. Ngời ta thờng sử dụng ký hiệu (EP) để chỉ bài toán này (tiếng Anh : Equilibrium problem). Trong bi bỏo ny ta s ỏp dng kt qu ny vo vic tỡm nghim yu ca mt vi phng trỡnh vi phõn o hm riờng trong vt lý v hoỏ sinh. Summary Equilibrium problem and applications by Do Thi Thanh Equilibrium problems are based on the conceptions of efficient points in the ecomnomics that intrduced by Edgeworth and Pareto in the end of 19 century. Then, many mathematicians as Debreu, Nash used them to construct some economical models. Today one also applies these problems to some other economical problems, partical diffirential equations and other problem. In this paper, we apply result obtained by Blum and Oettli on equilibrium prpblems of the form: Find x D such that f( x ,y) 0, for all y D, to some partial differential equations coming from physics and bioehemistry. Ti liu tham kho [1]. E. Blum, W. Oetlli (1993), From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, The mathmatics student, Vol.63 (1993), p.1-23. [2]. F. Browder (1966), Exitstence and pproximation of solution of nonlinear variational innequalities, Proc.Natl. Acad. Sci. US, Vol.56 (1966), p. 1080-1086. [3]. Minty, G (1962)., Monotone (Nonlinear) Operators in Hilbert Space, Duke Math. Jounal, Vol.29(1962), p.341-346. [4]. N.X.Tan and P.N.Tinh (1998), On the exitstence of equilibrium points of vector functions, Numer. Funct. Anl. Optim. Vol.19(1998), p.141-156.