BÀI TOÁN LUỒN cực đại và ỨNG DỤNG

BÀI TỐN LUỒN CỰC ĐẠI VÀ ỨNG DỤNG NHĨM 6: KHÁNH, TÙNG, HUY, DŨNG, TRƯỜNG NỘI DUNG BÁO CÁO       1.Luồng mạng toán luồng cực đại 2.Các khái niệm, bổ đề, định lý có liên quan 3.Thuật tốn Ford-Fulkerson 4.Một số toán luồng cực đại tổng quát 5.Ứng dụng tổ hợp Note:    Định nghĩa Bổ đề Định lý 1.Luồng mạng toán luồng cực đại  Định nghĩa 1: Ta gọi mạng đồ thị có hướng G = (V,E), đỉnh s khơng có cung vào gọi đỉnh phát, đỉnh t khơng có cung gọi điểm thu cung e=(v,w) ∈ E gán với số không âm c(e) =c(v,w) gọi khả thông qua cung e  Để thuận tiện cho việc trình bày ta qui ước khơng có cung (v,w) khả thông qua c(v,w) gán 1.Luồng mạng toán luồng cực đại Định nghĩa 2: Giả sử cho mạng G=(V,E) Ta gọi mạng f mạng G=(V,E) ánh xạ f:E→R  gán cho cung e =(v,w) ∈ E số thực không âm + f(e)=f(v,w), gọi luồng cung e, thoả mãn điểu kiện sau: - Luồng cung e ∈ E khơng vượt q khả thơng qua nó: - Điều kiện cân luồng đỉnh mạng: Tổng luồng cung vào đỉnh v tổng luồng cung khỏi đỉnh v, v ≠ s, t: + N (v) – tập đỉnh mạng mà từ có cung đến v, N (v) - tập đỉnh mạng mà từ v có cung đến nó: Giá trị luồng f số 1.Luồng mạng toán luồng cực đại  Bài toán luồng cực đại mạng: Cho mạng G(V,E) Hãy tìm luồng f* mạng với giá trị luồng val(f*) lớn Luồng ta gọi luồng cực đại mạng 2.Các khái niệm, bổ đề, định lý có liên quan   Định nghĩa 3: Ta gọi lát cắt (X, X*) cách phân hoạch tập đỉnh V mạng thành hai tập X X* = V\X, s ∈ X, t ∈ X*  Khả thông qua lát cắt (X, X*) số: c(X,X*) =       where      v ∈ X, w ∈ X*  Lát cắt với khả thông qua nhỏ gọi lát cắt hẹp 2.Các khái niệm, bổ đề, định lý có liên quan  Bổ đề 1:Giá trị luồng f mạng nhỏ khả thông qua * * lát cắt (X, X ) nó: val(f) ≤ c(X, X )  CM: ……….… 2.Các khái niệm, bổ đề, định lý có liên quan  Hệ quả:Giá trị luồng cực đại mạng không vượt khả thông qua lát cắt hẹp mạng  (1)Ford Fulkerson chứng minh giá trị luồng cực đại mạng khả thông qua lát cắt hẹp (Đây sơ thuật tốn trình bày phần sau) Làm sáng tỏ (1)  Giả sử f luồng mạng G = (V, E) Từ mạng G =(V, E) ta xây dựng đồ thị có trọng số cung Gf = (V, Ef), với tập cung Ef và trọng số cung xác định theo qui tắc sau :  - Nếu e = (v,w) ∈ E với f(v,w) = 0, (v,w) ∈ Ef với trọng số c(v,w);  - Nếu e = (v,w) ∈ E với f(v,w) =c(v,w), (w,v) ∈ E f với trọng số f(v,w);  - Nếu e = (v,w) ∈ E với < f(v,w) < c(v,w), (v,w) ∈ E f với trọng số c(v,w) - f (v,w) (w,v) ∈ Ef với trọng số f(v,w)  Các cung Gf đồng thời cung G gọi cung thuận, cung lại gọi cung nghịch Đồ thị Gf được gọi đồ thị tăng luồng Làm sáng tỏ (1) Ví dụ 1: Các số viết cạnh cung G hình 9.1 theo thứ tự khả thơng qua luồng cung Ford-Fulkerson Max Flow 1 11 s 2 Find any s-t path t Ford-Fulkerson Max Flow 1 1 s 2 Determine the capacity ∆ of the path Send ∆ units of flow in the path Update residual capacities t Ford-Fulkerson Max Flow 1 1 s 2 t There is no s-t path in the residual network This flow is optimal Ford-Fulkerson Max Flow 1 1 s 2 t These are the nodes that are reachable from node s Ford-Fulkerson Max Flow 1 2 s t Here is the optimal flow 3.Thuật toán Ford-Fulkerson  Định lý 4 (Định lý luồng cực đại mạng lát cắt hẹp nhất) Luồng cực đại mạng khả thông qua lát cắt hẹp  Định lý 5 (Định lý tính ngun) Nếu tất khả thơng qua số nguyên luồng tìm cực đại với luồng cung số nguyên 3.Thuật toán Ford-Fulkerson  Đánh giá: 4.Một số toán luồng cực đại tổng quát    4.1 Mạng nhiều điểm phát nhiều điểm thu 4.2 Bài toán khả thông qua cung đỉnh 4.3 Mạng khả thơng qua cung bị chặn phía 4.1 Mạng nhiều điểm phát nhiều điểm thu 4.2 Bài tốn khả thơng qua cung đỉnh 4.3 Mạng khả thơng qua cung bị chặn phía 5.Ứng dụng tổ hợp    5.1 Bài toán đám cưới vùng quê 5.2 Bài toán hệ thống đại diện chung 5.3 Về toán tối ưu rời rạc 5.1 Bài toán đám cưới vùng quê 5.2 Bài toán hệ thống đại diện chung 5.3 Về toán tối ưu rời rạc ... đến nó: Giá trị luồng f số 1.Luồng mạng toán luồng cực đại  Bài toán luồng cực đại mạng: Cho mạng G(V,E) Hãy tìm luồng f* mạng với giá trị luồng val(f*) lớn Luồng ta gọi luồng cực đại mạng 2.Các... BÁO CÁO       1.Luồng mạng toán luồng cực đại 2.Các khái niệm, bổ đề, định lý có liên quan 3.Thuật toán Ford-Fulkerson 4.Một số toán luồng cực đại tổng quát 5 .Ứng dụng tổ hợp Note:  ... ngun luồng tìm cực đại với luồng cung số nguyên 3.Thuật toán Ford-Fulkerson  Đánh giá: 4.Một số toán luồng cực đại tổng quát    4.1 Mạng nhiều điểm phát nhiều điểm thu 4.2 Bài tốn khả thơng